湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2021屆高三第一次聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()A.復(fù)數(shù)的實(shí)部為3 B.復(fù)數(shù)的虛部為C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D.復(fù)數(shù)的模為1【答案】C【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的基本概念得選項(xiàng).【詳解】，所以的實(shí)部為，虛部為，的共軛復(fù)數(shù)為，模為，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目.2.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出集合，再求即可.【詳解】因?yàn)?，所?所以.故選：C3.已知是平面向量,如果,那么與的數(shù)量積等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：由題設(shè)可得,即,也即,故,應(yīng)選A.考點(diǎn)：向量乘法運(yùn)算.4.1614年納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明對(duì)數(shù)；1637年笛卡爾開(kāi)始使用指數(shù)運(yùn)算；1707年歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系.對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這已成為歷史珍聞.若，，，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，估計(jì)的值約為()A.0.4961 B.0.6941 C.0.9164 D.1.469【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可得，再利用換底公式即可求出的近似值．【詳解】解：，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，考查了換底公式的應(yīng)用；5.已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)面面關(guān)系、線面關(guān)系的判定定理及性質(zhì)定理一一判斷即可；【詳解】解：對(duì)于A：若，，，則或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，，則與平行或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，，則或與相交或平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，如圖設(shè)，過(guò)作，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所以，故D正確；故選：D6.若，則的值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角恒等變換可得，再由平方關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：A.7.若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)在上為增函數(shù)，可得在R上恒成立，即恒成立，根據(jù)正弦型函數(shù)的值域，即可求得a的范圍【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)樵谏系脑龊瘮?shù)，所以在R上恒成立，所以，即，所以，解得，故選：B8.對(duì)于函數(shù)，下列關(guān)于說(shuō)法中正確的是()A.圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B.在上單調(diào)遞增C.最小正周期為 D.在上有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】A.由與是否相等判斷；B.根據(jù)當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)判斷；C.由與是否相等判斷；D.時(shí)，由判斷.【詳解】A.，圖像不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故錯(cuò)誤；B.當(dāng)時(shí)，，是偶函數(shù)，不可能單調(diào)，故錯(cuò)誤；C.，最小正周期不是，故錯(cuò)誤；D.時(shí)，，，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，故正確；故選：D二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全都選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于數(shù)列的說(shuō)法正確的是()A. B.數(shù)列為遞增數(shù)列C. D.數(shù)列為周期數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】由，變形得到，再利用等差數(shù)列的定義求得，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，即，又，所以是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以，即，故C正確；所以，故A正確；，所以為遞增數(shù)列，故正確；數(shù)列不具有周期性，故D錯(cuò)誤；故選：ABC10.以下說(shuō)法，錯(cuò)誤的是()A.，使成立B.，函數(shù)都不是偶函數(shù)C.是的充要條件D.中，“”是“”的充要條件【答案】AB【解析】【分析】．根據(jù)特稱(chēng)命題的定義進(jìn)行判斷，．根據(jù)全稱(chēng)命題的定義進(jìn)行判斷，．根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，．根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：對(duì)于A：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，，所以恒成立，即恒成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)，則函數(shù)為增函數(shù)，則，是的充要條件，故正確，對(duì)于D：在中，，則，則由，則必要性成立；，，兩邊平方得，，，則或，即或，當(dāng)時(shí)，等價(jià)為，，即，此時(shí)，綜上恒有，即充分性成立，綜上中，“”是“”的充要條件，故正確，故選：AB11.若函數(shù)(其中)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有()A.函數(shù)是奇函數(shù) B.C.是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖象平移法則及奇函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷A的正誤；利用奇函數(shù)的定義，即可判斷B的正誤，根據(jù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，代入特殊值，可求得a，b，c的值，即可求得的解析式，求導(dǎo)可判斷C、D的正誤，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)?，所以是奇函?shù)，故A正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以c=1又因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以，解得，所以，，所以對(duì)稱(chēng)軸為，故C正確；對(duì)于B：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，結(jié)合左加右減的原則，可得為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的定義，結(jié)合特殊值，可求得的解析式，再進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.12.我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上、下兩個(gè)面為平行矩形的六面體成為芻童.如圖芻童有外接球，且，平面與平面的距離為1，則下列說(shuō)法中正確的有()A.該芻童外接球的體積為 B.該芻童為棱臺(tái)C.該芻童中在一個(gè)平面內(nèi) D.該芻童中二面角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】作出圖形，設(shè)球心為O，上下底面的中心為，A.在中，，在中，，兩式求得半徑即可判斷；B.根據(jù)棱臺(tái)的幾何特征判斷；C.根據(jù)根據(jù)棱臺(tái)的幾何特征判斷；D.過(guò)點(diǎn)F作平面ABCD，，連接MN，由為二面角的平面角求解判斷.【詳解】如圖所示：設(shè)球心為O，上下底面的中心為，在中，，即，在中，，即，兩式解得，所以，則，故A正確；若該芻童為棱臺(tái)，則滿足,而，故B錯(cuò)誤；若該芻童中在一個(gè)平面內(nèi)，則，則,而，故C錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)F作平面ABCD，，連接MN，則為二面角的平面角，易知FM=1，，所以，故D正確；故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程.【詳解】，在點(diǎn)處的切線方程為，即故答案為：14.在中，，，則__________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，再利用正弦定理即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：15.已知三棱錐的四個(gè)表面是都是直角三角形，且平面，，則該三棱錐的體積為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】首先說(shuō)明，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槿忮F的四個(gè)表面是都是直角三角形，且平面，平面，平面，平面，所以，，若，則，，，則不為直角三角形，故因?yàn)椋悦?，面，所以，所以所以所以故答案為?6.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，利用一元二次方程的解法結(jié)合，得到，進(jìn)而得到，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào)，所以的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用方程思想，由條件解得x，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解決.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角；(2)若，為邊的中點(diǎn)，在下列條件中任選一個(gè)，求的長(zhǎng)度.條件①：的面積，且；條件②：(注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分)【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，進(jìn)而可得，即可得解；(2)選擇條件①：由三角形面積公式可得，由余弦定理可得，聯(lián)立方程組即可得，，再由余弦定理即可得解；選擇條件②：由同角三角函數(shù)的關(guān)系及三角恒等變換可得、，再由正弦定理可得，，結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】(1)由可得，又，所以，由可得，所以即，又，所以；(2)選擇條件①：由的面積可得，即①，又，所以②，聯(lián)立①②得或，又，所以，，在中，由余弦定理可得，所以.選擇條件②：由可得，所以，在中，由可得，所以，，所以在中，由余弦定理可得，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用正弦、余弦定理及三角恒等變換合理轉(zhuǎn)化題目條件.18.數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)利用(1)結(jié)論，進(jìn)一步利用乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【詳解】解：(1)由題意，.由，①得，②①-②，得，所以又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，上式也成立，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由題意，，所以，③，④③-④，得從而.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱(chēng)性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．19.如圖，四棱錐的底面是菱形，，且.(1)證明：平面平面；(2)若，棱上一點(diǎn)滿足，求直線與平面所成角的正弦.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】【分析】(1)首先根據(jù)題意易證，，從而得到平面，再根據(jù)面面垂直的判定即可證明平面平面.(2)首先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，易證為等邊三角形，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求解線面成角即可.【詳解】(1)因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?(2)因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平?又因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?，，所以，即.所以為等邊三角形.取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，，，，設(shè)，.所以，，，因?yàn)椋?，即，解得?舍去).所以，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，.所以.，設(shè)直線與平面所成角為，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查面面垂直的證明和線面成角的計(jì)算，根據(jù)第一問(wèn)結(jié)合題意建立空間直角坐標(biāo)系和設(shè)出，并解出的值為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.20.已知是橢圓的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.(1)當(dāng)時(shí)，求的面積；(2)當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】(1)；(2)2.【解析】【分析】(1)因?yàn)?，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，可求得直線AM的方程，與橢圓聯(lián)立，可解得M點(diǎn)的坐標(biāo)，代入面積公式，即可求解；(2)設(shè)直線AM的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可求得的表達(dá)式，代入弦長(zhǎng)公式，可求得，同理可求得，根據(jù)題意，列出方程，即可求得k值.【詳解】(1)設(shè)，由題意知，，因?yàn)?，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，所以直線AM的方程為，將代入中，可得，解得或y=0(舍)，即，所以的面積.(2)設(shè)直線AM的方程為，聯(lián)立方程，得，所以，即，所以，設(shè)直線AN方程為，同理可求得，由，得，即，即，因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達(dá)定理，求得的表達(dá)式，靈活運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，求得，的表達(dá)式，即可得答案，難點(diǎn)在于解三次方程時(shí)，優(yōu)先選擇分解因式，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算，提高正確率，屬中檔題.21.近年來(lái)，我國(guó)肥胖人群的規(guī)模急速增長(zhǎng)，肥胖人群有著很大的健康隱患.目前，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)(英文為，簡(jiǎn)稱(chēng))來(lái)衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計(jì)算公式是中國(guó)成人的數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖.某地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了6000名35歲以上成人的身體健康狀況，其中有1000名高血壓患者，得到被調(diào)查者的頻率分布直方圖如圖：(1)求被調(diào)查者中肥胖人群的平均值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能有多大(百分?jǐn)?shù))的把握認(rèn)為35歲以上成人高血壓與肥胖有關(guān)？肥胖不肥胖總計(jì)高血壓非高血壓總計(jì)參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.250.100.0500.0100.0011.3232.70638416.63510.828【答案】(1)；(2)能有的把握認(rèn)為35歲以上成人高血壓與肥胖有關(guān)；【解析】【分析】(1)利用頻率分布直方圖，填寫(xiě)分布表．利用頻率分布直方圖求解被調(diào)查者中肥胖人群的平均值．(2)求出，對(duì)照參考數(shù)據(jù)，判斷有多大(百分?jǐn)?shù))的把握認(rèn)為35歲以上成人高血壓與肥胖有關(guān)．【詳解】(1)解：由圖可知，1000名高血壓患者中：，，，人數(shù)5000名非高血壓患者中：，，，人數(shù)被調(diào)查者中肥胖人群的平均值．(2)由(1)及頻率分布直方圖知，1000名高血壓患者中有人肥胖，5000名非高血壓患者中有人肥胖，所以可得下列列表：肥胖不肥胖總計(jì)高血壓3506501000非高血壓115038505000總計(jì)150045006000由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得的觀測(cè)值為，所以能有的把握認(rèn)為35歲以上成人高血壓與肥胖有關(guān)．【點(diǎn)睛】獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說(shuō)結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問(wèn)題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)某個(gè)問(wèn)題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋?zhuān)?2.已知函數(shù)(且)定義域?yàn)?(1)若在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，求整數(shù)的最大值.(注：其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，)【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)令可得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即有且只有一個(gè)解，設(shè)，求導(dǎo)后得單調(diào)性即可得的大致圖象，數(shù)形結(jié)合即可