PAGEPAGE5提分專練(二)與二次函數(shù)相關(guān)的長度、面積問題|類型1|二次函數(shù)與線段、周長的有關(guān)問題1.已知:拋物線y=ax2+4ax+m(a>0)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0).(1)求拋物線的對(duì)稱軸.(2)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo).(3)點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn),點(diǎn)C是拋物線上的一個(gè)點(diǎn),且CD∥x軸,若四邊形ABCD的面積為9,求D點(diǎn)坐標(biāo).圖T2-1①(4)求此拋物線的解析式.(5)點(diǎn)E是第二象限內(nèi)到x軸,y軸的距離比為5∶2的點(diǎn),如果點(diǎn)E在(4)中的拋物線上,且點(diǎn)E與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè),求E點(diǎn)的坐標(biāo).圖T2-1②(6)在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△APE的周長最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.圖T2-1③(7)若點(diǎn)H是拋物線上位于AD下方的一點(diǎn),過點(diǎn)H作y軸的平行線,交AD于點(diǎn)K,設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為h,線段HK=d.①求d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式;②求d的最大值及此時(shí)H點(diǎn)的坐標(biāo).圖T2-1④|類型2|二次函數(shù)與面積的有關(guān)問題2.如圖T2-2①,已知點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.(1)求拋物線的解析式.圖T2-2①(2)若在拋物線上存在點(diǎn)M,使得△MAB的面積與△ABC的面積相等,求點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,求D點(diǎn)的坐標(biāo).(4)在(3)的條件下,連接CD,BD,求四邊形ACDB和△CBD的面積.圖T2-2②(5)在直線BC上方的拋物線上求一點(diǎn)N,使△NBC的面積為1.圖T2-2③(6)在直線BC上方的拋物線上求一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大.

【參考答案】1.解:(1)拋物線y=ax2+4ax+m的對(duì)稱軸為直線x=-2.(2)因?yàn)樵搾佄锞€與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),且對(duì)稱軸為直線x=-2,所以拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B(-3,0).(3)由題意可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,m),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,m),S四邊形ABCD=12(AB+CD)·OD=12×(2+4)解得m=3,所以點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,3).(4)因?yàn)锳(-1,0),B(-3,0),所以設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x+1),因?yàn)辄c(diǎn)D(0,3)在拋物線上,所以3=3a,解得a=1,所以拋物線的解析式為y=x2+4x+3.(5)由點(diǎn)E是第二象限內(nèi)到x軸,y軸的距離比為5∶2的點(diǎn),可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2n,5n),因?yàn)辄c(diǎn)E在拋物線y=x2+4x+3上,所以5n=4n2-8n+3,解得n=14或n=3當(dāng)n=14時(shí),點(diǎn)E-12,54當(dāng)n=3時(shí),點(diǎn)E(-6,15)(不符合題意,舍去).故點(diǎn)E的坐標(biāo)為-12,54.(6)存在.點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸直線x=-2對(duì)稱的點(diǎn)為點(diǎn)B,△PAE的周長=PE+AP+AE=PE+PB+AE,AE的長為定值,要使△PAE的周長最小,即使PB+PE最小,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,可知連接BE,BE與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P(如圖),設(shè)過點(diǎn)B(-3,0)和點(diǎn)E-12,54的直線為y=kx+b,則54=所以直線BE的解析式為y=12x+3當(dāng)x=-2時(shí),y=12,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為-2,12.(7)①設(shè)過點(diǎn)A(-1,0),D(0,3)的直線的解析式為y=k1x+b1,則-解得k1=3,b1=3,∴當(dāng)x=h(-1≤h≤0)時(shí),d=(3h+3)-(h2+4h+3)=-h2-h.②d=-h2-h=-h2+h+14+14=-h+122+14.當(dāng)h=-12時(shí),d有最大值1當(dāng)h=-12時(shí),y=h2+4h+3=5所以H-12,54.2.解:(1)把A(-1,0),B(3,0),C(0,1)分別代入y=ax2+bx+c,得a-b∴拋物線的解析式為y=-13x2+23x(2)當(dāng)y=1時(shí),-13x2+23x+1解得x1=0(舍去),x2=2;當(dāng)y=-1時(shí),-13x2+23x+1解得x3=1+7,x4=1-7.∴符合條件的M點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1),(1+7,-1),(1-7,-1).(3)y=-13x2+23x+1=-13(x-1)2∴D點(diǎn)坐標(biāo)為1,43.(4)設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.OA=1,OB=3,OC=1,DE=43,OE=S四邊形ACDB=S△AOC+S四邊形COED+S△BDE=12×1×1+12×1+43×1+12×2×43=12+S△CBD=S四邊形ACDB-S△ABC=3-12×4×1=1(5)∵B(3,0),C(0,1),∴直線BC的解析式為y=-13x作NF⊥x軸于點(diǎn)F,交直線BC于H,設(shè)Nx,-13x2+23x+1,易得Hx,-13x+1.∴NH=-13x2+23x+1--13x+1=-13x2∴S△NBC=S△NHC+S△NHB=12NH(xB-xC)=12-13x2+x(3-0)=-12x2+∵S△NBC=1,∴-12x2+32x=1,∴x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=∴N11,43,N