PAGEPAGE1課時(shí)訓(xùn)練(二十九)軸對(duì)稱與中心對(duì)稱(限時(shí):45分鐘)|夯實(shí)基礎(chǔ)|1.[2019·青島]下列四個(gè)圖形中,既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是 ()圖K29-12.如圖K29-2,在△ABC中,D點(diǎn)在BC上,∠B=62°,∠C=51°,E,F分別是點(diǎn)D關(guān)于AB,AC的對(duì)稱點(diǎn),連接AE,AF,則∠EAF= ()圖K29-2A.113° B.124° C.129° D.134°3.[2019·邵陽]如圖K29-3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,AD是斜邊BC上的中線,將△ACD沿AD對(duì)折,使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處,線段DF與AB相交于點(diǎn)E,則∠BED等于 ()圖K29-3A.120° B.108° C.72° D.36°4.[2018·內(nèi)江]如圖K29-4,將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,BE交AD于點(diǎn)F,已知∠BDC=62°,則∠DFE的度數(shù)為 ()圖K29-4A.31° B.28° C.62° D.56°5.如圖K29-5,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=12,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E,F分別在AB,AC邊上,把△ABC沿EF折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D恰好重合,則△DEF的周長是 ()圖K29-5A.14 B.15 C.16 D.176.[2018·菏澤]如圖K29-6,∠AOB=60°,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP=3,若點(diǎn)M,N分別是射線OA,OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn),則△PMN周長的最小值是 ()圖K29-6A.362 B.332 C.6 7.[2019·南充]如圖K29-7,正方形MNCB在寬為2的矩形紙片一端,對(duì)折正方形MNCB得到折痕AE,展開后再翻折紙片,使AB與AD重合,以下結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()圖K29-7A.AH2=10+25 B.CDBC=C.BC2=CD·EH D.sin∠AHD=58.[2019·吉林]如圖K29-8,在四邊形ABCD中,AB=10,BD⊥AD,若將△BCD沿BD折疊,點(diǎn)C與邊AB的中點(diǎn)E恰好重合,則四邊形BCDE的周長為.

圖K29-89.[2019·甘肅]如圖K29-9,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E為BC上一點(diǎn),把△CDE沿DE折疊,使點(diǎn)C落在AB邊上的F處,則CE的長為.

圖K29-910.[2019·長春]如圖K29-10,有一張矩形紙片ABCD,AB=8,AD=6,先將矩形紙片ABCD折疊,使邊AD落在邊AB上,點(diǎn)D落在點(diǎn)E處,折痕為AF;再將△AEF沿EF翻折,AF與BC相交于點(diǎn)G,則△GCF的周長為.

圖K29-1011.如圖K29-11,等邊三角形ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),若AE=2,則EM+CM的最小值為.

圖K29-1112.[2019·徐州]如圖K29-12,將平行四邊形紙片ABCD沿一條直線折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,點(diǎn)D落在點(diǎn)G處,折痕為EF.求證:(1)∠ECB=∠FCG;(2)△EBC≌△FGC.圖K29-1213.[2019·廣州]如圖K29-13,等邊三角形ABC中,AB=6,點(diǎn)D在BC上,BD=4,點(diǎn)E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),△CDE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為△FDE.(1)當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí),求證:DF∥AB.(2)設(shè)△ACD的面積為S1,△ABF的面積為S2,記S=S1-S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.(3)當(dāng)B,F,E三點(diǎn)共線時(shí),求AE的長.圖K29-13|拓展提升|14.[2019·山西]綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作:第一步:如圖K29-14①,正方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC所在的直線折疊,展開鋪平,再沿過點(diǎn)C的直線折疊,使點(diǎn)B,點(diǎn)D都落在對(duì)角線AC上.此時(shí),點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,記為點(diǎn)N,且點(diǎn)E,點(diǎn)N,點(diǎn)F三點(diǎn)在同一條直線上,折痕分別為CE,CF.如圖②.第二步:再沿AC所在的直線折疊,△ACE與△ACF重合,得到圖③.第三步:在圖③的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合,得到圖④,展開鋪平,連接EF,FG,GM,ME,如圖⑤.圖中的虛線為折痕.問題解決:(1)在圖⑤中,∠BEC的度數(shù)是,AEBE的值是(2)在圖⑤中,請(qǐng)判斷四邊形EMGF的形狀,并說明理由;(3)在不增加字母的條件下,請(qǐng)你以圖⑤中的字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn),動(dòng)手畫出一個(gè)菱形(正方形除外),并寫出這個(gè)菱形:.

圖K29-14

【參考答案】1.D2.D[解析]連接AD.∵E,F分別是點(diǎn)D關(guān)于AB,AC的對(duì)稱點(diǎn),∴∠EAB=∠BAD,∠FAC=∠CAD,∵∠B=62°,∠C=51°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-51°=67°,∴∠EAF=2∠BAC=134°,故選D.3.B[解析]∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,∴∠C=90°-∠B=54°.∵AD是斜邊BC上的中線,∴AD=BD=CD,∴∠BAD=∠B=36°,∠DAC=∠C=54°,∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=72°.∵將△ACD沿AD對(duì)折,使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處,∴∠ADF=∠ADC=72°,∴∠BED=∠BAD+∠ADF=36°+72°=108°.故選B.4.D[解析]∵四邊形ABCD為矩形,∴∠ADC=90°,∵∠BDC=62°,∴∠ADB=90°-62°=28°,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,根據(jù)題意可知∠EBD=∠CBD,∴∠ADB=∠EBD=28°,∴∠DFE=∠ADB+∠EBD=56°.故選擇D.5.B6.D[解析]分別以O(shè)B,OA為對(duì)稱軸作點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)P1,P2,連接OP1,OP2,P1P2,P1P2分別交射線OA,OB于點(diǎn)M,N,則此時(shí)△PMN的周長取最小值,△PMN周長等于PN+PM+MN=P1N+P2M+MN=P1P2,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知,OP1=OP2=OP=3,∠P1OP2=120°,∠OP1M=30°,過點(diǎn)O作MN的垂線,垂足為Q,在△OP1Q中,可知P1Q=32,所以P1P2=2P1Q=3,故△PMN的周長最小值為37.D[解析]在Rt△AEB中,AB=AE2+BE2=22+12又∵BH∥AD,∴∠BHA=∠DAH,∴∠BAH=∠BHA,∴AB=BH,∴AD=BH,又∵BH∥AD,∴四邊形ABHD是平行四邊形,∵AB=AD,∴四邊形ABHD是菱形,∴AD=AB=BH=5,∴CD=AD-AC=5-1,EH=5+1,∴CDBC=5-12,AH2=22+(5+1)2∵BC2=4,CD·EH=(5-1)(5+1)=4,∴BC2=CD·EH,故選項(xiàng)C正確;∵四邊形ABHD是菱形,∴∠AHD=∠AHB,∴sin∠AHD=sin∠AHB=AEAH=222+8.20[解析]∵BD⊥AD,E為AB的中點(diǎn),∴BE=DE=12AB=由折疊可知BC=BE=5,CD=DE=5,∴四邊形BCDE的周長為5+5+5+5=20.9.103[解析]設(shè)CE=x,則BE=6-x,由折疊性質(zhì)可知,EF=CE=x,DF=CD=AB=在Rt△DAF中,AD=6,DF=10,∴AF=8,∴BF=AB-AF=10-8=2,在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,即(6-x)2+22=x2,解得x=103,故答案為1010.4+22[解析]在題圖③中,由折疊的性質(zhì)可知∠BAF=45°,AD=DF,∴FC=2,∠GFC=45°,∴CG=2,∴FG=22,∴△GCF的周長為4+22.故答案為4+22.11.2712.證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠A=∠BCD.由折疊可知:∠A=∠ECG,∴∠BCD=∠ECG,∴∠BCD-∠ECF=∠ECG-∠ECF,∴∠ECB=∠FCG.(2)由折疊可知:∠D=∠G,AD=CG.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠D=∠B,AD=BC,∴∠B=∠G,BC=GC.又∵∠ECB=∠FCG,∴△EBC≌△FGC.13.解:(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.由折疊可知:DF=DC,且點(diǎn)F在AC上,∴∠DFC=∠C=60°,∴∠DFC=∠A,∴DF∥AB.(2)存在.如圖①,過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M,∵AB=BC=6,BD=4,∴CD=2,∴DF=2,∴點(diǎn)F在以D為圓心,DF為半徑的圓上,∴當(dāng)點(diǎn)F在DM上時(shí),△ABF的面積S2的值最小.∵BD=4,DM⊥AB,∠ABC=60°,∴MD=23,∴F在MD上時(shí),MF=MD-FD=23-2,S2=12×6×(23-2)=63又S1=12×2×6×32=3∴S最大值=33-(63-6)=6-33.(3)如圖②,過點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H.∵△CDE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為△FDE,∴DF=DC=2,∠EFD=∠C=60°.∵GD⊥EF,∠EFD=60°,∴FG=1,DG=3FG=3.∵BD2=BG2+DG2,∴BG=BD2-∵EH⊥BC,∠C=60°,∴CH=EC2,EH=3∵∠GBD=∠EBH,∠BGD=∠BHE=90°,∴△BGD∽△BHE,∴DGBG=EH∴313=3∴EC=13-1,∴AE=AC-EC=7-13.14.[解析](1)通過折疊可知對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊相等,進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和求∠BEC的度數(shù),再利用45°角的三角函數(shù)值解決線段的比值問題;(2)根據(jù)第(1)問的提示,可以通過折疊求角的度數(shù),進(jìn)而得到四邊形各內(nèi)角的度數(shù)為90°,利用三個(gè)內(nèi)角為90°的四邊形是矩形進(jìn)而可以判定四邊形的形狀是矩形;(3)利用多次折疊可以得到很多相等的線段以及互相垂直的線段,可以利用四條邊相等的四邊形是菱形或?qū)蔷€互相垂直平分的四邊形是菱形來得到符合條件的菱形.解:(1)67.5°2[解析]∵正方形ABCD,∴∠ACB=45°,由折疊知:∠1=∠2=22.5°,∠BEC=∠CEN,BE=EN,∴∠BEC=90°-∠1=67.5°,∴∠AEN=180°-∠BEC-∠CEN=45°,∴cos45°=ENAE=22,AEEN=2,AEBE=故答案為67.5°;2.(2)四邊形EMGF是矩形.理由如下:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠B=∠BCD=∠D=90°,由折疊可知:∠1=∠2=∠3=∠4,CM=CG,∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC,∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°4