人教A版高一（下）數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)6.2.4向量的數(shù)量積-分層作業(yè)題型研究題型1：向量數(shù)量積的運(yùn)算律【練習(xí)1】已知，均為單位向量，，則（

）A． B． C． D．題型2：用數(shù)量積求向量的模和向量的夾角【練習(xí)2】已知向量，滿足，，，，則（

）A． B． C． D．題型3：與垂直有關(guān)的問題【練習(xí)3】設(shè)與是兩個(gè)向量，則是或的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知是單位向量，，則向量在上的投影向量是（

）A． B． C． D．2.已知向量，則為（

）A． B． C． D．3.已知向量，，，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．4.已知，，且，則為（

）．A． B． C． D．5.若，是兩個(gè)單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6.已知向量，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7.設(shè)非零向量滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．8.已知非零向量滿足，.若，則實(shí)數(shù)t的值為（

）A． B． C． D．3能力提升1.已知向量，滿足，，在方向上的投影為，則（

）A．6 B．9 C． D．2.如圖，在正六邊形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，則（

）A． B． C．1 D．13.已知為的外接圓圓心，且，則（

）A． B． C． D．24.已知平面向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．5.已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6.在中，，則在上的投影向量的模為（

）A．1 B．2 C． D．7.設(shè)，是兩個(gè)向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8.已知，，且?的夾角為，如果，那么的值為（

）A． B． C． D．直擊高考1.（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，則“且”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2.（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知，且向量與的夾角為，求.3.（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量的夾角為，若，則.4.（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知向量是單位向量，，且滿足，則．參考答案與解析一、題型研究題型1：向量數(shù)量積的運(yùn)算律【練習(xí)1】已知，均為單位向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律【解析】利用向量的積的運(yùn)算求解即可【詳解】，均為單位向量，故，，由，得，則有，化簡(jiǎn)得，所以，故選：B題型2：用數(shù)量積求向量的模和向量的夾角【練習(xí)2】已知向量，滿足，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算【分析】先根據(jù)已知條件求出向量與的點(diǎn)積，再利用向量點(diǎn)積公式求出.【詳解】，兩邊平方可得，即.因?yàn)椋?；，所?那么.又因?yàn)?，所以，解?根據(jù)公式，可得，解得.故選：A.題型3：與垂直有關(guān)的問題【練習(xí)3】設(shè)與是兩個(gè)向量，則是或的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】充分條件的判定及性質(zhì)、必要條件的判定及性質(zhì)、數(shù)量積的運(yùn)算律、垂直關(guān)系的向量表示【分析】運(yùn)用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算判定即可.【詳解】由得，則，若或，可得，即，可知必要性成立；若則，即，無法得出或，綜上所述，是或的必要不充分條件.故選：B.二、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知是單位向量，，則向量在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、向量夾角的計(jì)算【分析】根據(jù)投影向量定義以及已知條件直接計(jì)算即可求解.【詳解】由題意以及投影向量定義得向量在上的投影向量是：.故選：B.2.已知向量，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?所以所以故選：.3.已知向量，，，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，，所以，即，即，因此，又因?yàn)?，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量夾角公式的應(yīng)用，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4.已知，，且，則為（

）．A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】根據(jù)性質(zhì)將所求轉(zhuǎn)化為數(shù)量積直接計(jì)算可得.【詳解】由題意，．故選：B．5.若，是兩個(gè)單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】由已知可知，先求出，然后利用夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，是兩個(gè)單位向量，且在上的投影向量為，所以，所以，，，所以，即的夾角的余弦值為，故選：C6.已知向量，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、平面向量數(shù)量積的定義及辨析【分析】由條件轉(zhuǎn)化為，且兩向量不平行，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】與的夾角為銳角，且，解得：且.故選：D7.設(shè)非零向量滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、已知模求數(shù)量積【分析】利用性質(zhì)結(jié)合已知求出，然后可得投影向量.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以在上的投影向量?故選：D8.已知非零向量滿足，.若，則實(shí)數(shù)t的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系的向量表示【解析】由可得，即得，即可解出.【詳解】由，得，，，，解得.故選：C.三、能力提升1.已知向量，滿足，，在方向上的投影為，則（

）A．6 B．9 C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模、平面向量數(shù)量積的幾何意義【分析】由條件可知，利用數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】由，得，所以，因?yàn)樵诜较蛏系耐队盀?，所以，，所以，，故選：A2.如圖，在正六邊形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，則（

）A． B． C．1 D．1【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、平面向量數(shù)量積的幾何意義【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可【詳解】設(shè)正六邊形的邊長為，因?yàn)檎呅蔚囊粋€(gè)內(nèi)角為，所以向量在向量上的投影為，因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄渴牵?，故選：A3.已知為的外接圓圓心，且，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、向量加法法則的幾何應(yīng)用【分析】由已知條件可得是為直角的等腰三角形，然后數(shù)量積的定義求解即可【詳解】由可知為中點(diǎn)，則為直徑，所以；在等腰中，由，得，所以，所以是為直角的等腰三角形，所以故選：A.4.已知平面向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、向量夾角的計(jì)算【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合向量夾角的運(yùn)算，求解即可.【詳解】依題意，在方向上的投影向量為：，又因?yàn)椋?，代入上式，所以在方向上的投影向量為?故選：A.5.已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及平面向量夾角公式計(jì)算即可．【詳解】由，得，由，得，整理得，所以，則，設(shè)向量的夾角為，則．故選：．6.在中，，則在上的投影向量的模為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量【分析】在中，求得長從而可得的值，再根據(jù)投影向量的模的概念求解即可.【詳解】在中，，所以所以于是有在上的投影向量的模為.故選：D.7.設(shè)，是兩個(gè)向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】已知模求數(shù)量積【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，對(duì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可判斷充分性和必要性.【詳解】設(shè)，是兩個(gè)向量，若，兩邊平方可得：則其等價(jià)于也等價(jià)于.故“”是“”的充分必要條件.故選：C．8.已知，，且?的夾角為，如果，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用向量垂直求參數(shù)、垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積【分析】求得，根據(jù)可得，展開化簡(jiǎn)，可得答案.【詳解】由題意可得，由，可得，即，即，即，故選：A四、直擊高考1.（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，則“且”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、判斷命題的充分不必要條件【分析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算公式得到，從而推出充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到答案.【詳解】，因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的單位向量，設(shè)，的夾角為，所以，即，當(dāng)且時(shí)，，由于，故成立，充分性成立，不妨設(shè)，，，此時(shí)，滿足，必要性不成立，故“且”是“”的充分不必要條件.故選：A2.（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知，且向量與的夾角為，求.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積【分析】直接由數(shù)量積的運(yùn)算律以及數(shù)量積公式運(yùn)算即可.【詳解】.3.（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量的夾角為，若，則.【答案