2024～2025學(xué)年佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測（一）高三數(shù)學(xué)2025.1本試卷共4頁，19小題．滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必要填涂答題卷上的有關(guān)項目．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．4．請考生保持答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求.【詳解】因為，故，故選：B.2.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合是否為空集進(jìn)行分類討論，由此求得取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，滿足，當(dāng)時，，由，可知，綜上所述，.故選：D3.等比數(shù)列中，，設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比中項可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】因為為等比數(shù)列，故為等比數(shù)列，且三者同號，若，則由可得，故甲是乙的充分條件；若，則由及可得，故甲是乙的必要條件；故甲是乙的充要條件，故選：C.4.函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式可得或，故可求零點(diǎn)個數(shù).【詳解】令，則，故或，而，所以或或或或，故共有5個零點(diǎn)，故選：B.5.隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式，某景區(qū)的旅游人數(shù)大約每年以的增長率呈指數(shù)增長，那么至少經(jīng)過多少年后，該景區(qū)的旅游人數(shù)翻一倍？（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件列不等式，由此quiet正確答案.【詳解】設(shè)經(jīng)過年后，人數(shù)翻一倍，則，兩邊取以為底的對數(shù)得，所以，所以至少經(jīng)過年后，該景區(qū)的旅游人數(shù)翻一倍.故選：B6.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點(diǎn)表示的區(qū)域面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系來求得正確答案.【詳解】依題意，，所以不等式組表示的區(qū)域是圓與圓公共的內(nèi)部區(qū)域，畫出圖象如下圖所示，，兩圓半徑都是，設(shè)兩個圓相交于兩點(diǎn)，則，由于，，所以是圓的切線，是圓的切線，同理是圓的切線，是圓的切線，，所以四邊形是正方形，所以區(qū)域面積為.故選：D7.若直線與曲線相切，則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】通過設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值.【詳解】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為.對求導(dǎo)，根據(jù)，可得.因為直線的斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在切點(diǎn)處，即.又因為切點(diǎn)既在直線上又在曲線上，所以且，即.將代入可得：，即.將代入可得：，所以當(dāng)，時，取得最小值為.故選：A8.已知直線與平面所成的角為，若直線，直線，設(shè)與的夾角為，與的夾角為，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】把直線和平面放置在錐體中，然后利用異面直角夾角定義，結(jié)合三余弦定理及余弦函數(shù)的單調(diào)性得，根據(jù)二面角平面角的定義，結(jié)合最大角定理及正弦函數(shù)單調(diào)性得，即可得解.【詳解】如圖，設(shè)斜線為直線，平面為平面，且，由圖可知，當(dāng)恰為時，此時與的夾角為；當(dāng)為時，，由于，知，故由在上單調(diào)遞減得，知.綜上可知；由于，故是二面角所成角，即，，由于，則，故由在上單調(diào)遞增得，即，可知.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.有一組成對樣本數(shù)據(jù)，，，，設(shè)，，由這組數(shù)據(jù)得到新成對樣本數(shù)據(jù)，下面就這兩組數(shù)據(jù)分別先計算樣本相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)最小二乘法計算經(jīng)驗回歸直線，最后計算出殘差平方和，則（）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．相關(guān)系數(shù)．A.兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同 B.兩組數(shù)據(jù)的殘差平方和相同C.兩條經(jīng)驗回歸直線的斜率相同 D.兩條經(jīng)驗回歸直線的截距相同【答案】ABC【解析】【分析】利用公式求相關(guān)系數(shù)，通過對公式的理解，可以作出判斷.【詳解】由于新成對樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)分別為，同理，這樣根據(jù)公式，用樣本數(shù)據(jù)減去平均數(shù)得與新成對數(shù)據(jù)，用樣本數(shù)據(jù)減去平均數(shù)得與新成對數(shù)據(jù)，即它們每一個對應(yīng)數(shù)據(jù)的差值都是一樣的，這就說明兩條經(jīng)驗回歸直線的斜率相同，兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同，故A、C正確；由于回歸直線經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)為，而新數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)為，即樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，而新數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，故兩條經(jīng)驗回歸直線的截距不相同，故D錯誤；由于樣本數(shù)據(jù)回歸直線和新數(shù)據(jù)回歸直線是平行關(guān)系，所以實際值與估計值的差的平方和應(yīng)該是相同的，即兩組數(shù)據(jù)的殘差平方和相同，故B正確；故選：ABC.10.在中，，，則下列說法正確的是（）A. B.C.在方向上的投影向量為 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】A選項對題干條件直接根據(jù)數(shù)量積定義，化簡成，然后根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化求解；B選項利用兩角和的正切公式求解；C選項結(jié)合正弦定理，投影向量公式求解；D選項根據(jù)正弦定理算出三邊長度之后根據(jù)數(shù)量積定義求解.【詳解】A選項，對于，根據(jù)數(shù)量積的定義展開可得，，即，即，由正弦定理，，即，則為銳角，由，解得，，A選項正確，B選項：由A選項和題干可知，，，故，B選項錯誤.C選項：在方向上的投影向量為，由B知，，，且，解得，由正弦定理，，則，C選項正確.D選項：由正弦定理，，即，解得，于是，，D選項錯誤.故選：AC11.已知定義域為的函數(shù)滿足，且，為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.為周期函數(shù)C. D.【答案】ABD【解析】【分析】通過對給定的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行賦值等操作來分析函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷各個選項的正確性，從而確定正確答案.【詳解】令，代入可得：，即，所以，令，則，即，令得，以替換，則，以替換，則，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).令，則，即，所以是偶函數(shù)，A選項正確.因為是周期為的周期函數(shù)，對兩邊求導(dǎo)得：，即.替換，則.以替換，則，所以是周期為的周期函數(shù)，B選項正確.由的周期為，且，，，.，C選項錯誤.因為的周期為，，所以.又，兩邊求導(dǎo)得，即，所以而，令，可得，即，.對兩邊求導(dǎo)得，令，得.對兩邊對求導(dǎo)，得，即令，可得，所以，則，D選項正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于抽象函數(shù)性質(zhì)的研究，賦值法是一種重要手段，通過合理選取賦值，能夠挖掘出函數(shù)的奇偶性、周期性等關(guān)鍵性質(zhì).函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間存在緊密聯(lián)系，對函數(shù)等式兩邊求導(dǎo)，能從函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，反之亦然.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式可求的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為，的展開式的通項公式為，令，則的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，故的展開式中的系數(shù)為，故答案為：.13.記的內(nèi)角的對邊分別為且，則______．【答案】【解析】【分析】切化弦后結(jié)合正余弦定理可得，故可求.【詳解】因，故，所以，整理得到：，故，故答案為：.14.直線過雙曲線的左焦點(diǎn)，交的漸近線于兩點(diǎn)．若，且，則的離心率為______．【答案】【解析】【分析】先判斷出直線的斜率，由此求得直線的方程，通過聯(lián)立方程求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)比例列方程，化簡求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的左焦點(diǎn)F?c,0，到漸近線的距離為所以直線與漸近線垂直，所以直線的斜率為，直線的方程為，設(shè)Ax1,聯(lián)立，消去并化簡得點(diǎn)橫坐標(biāo)為.聯(lián)立，消去并化簡得點(diǎn)橫坐標(biāo).因為，所以.即，，，.，，，，，，又因為，所以雙曲線的離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離與已知條件建立聯(lián)系，確定直線與漸近線的位置關(guān)系，進(jìn)而得到直線方程，這是解決本題的關(guān)鍵之一.通過聯(lián)立直線與漸近線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合向量關(guān)系列出等式，最后利用雙曲線的基本性質(zhì)和離心率公式求解離心率，這是處理此類雙曲線與直線、向量綜合問題的常見方法.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，直三棱柱的體積為，側(cè)面是邊長為1的正方形，，點(diǎn)分別在棱上．（1）若分別是的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，可得，根據(jù)線面平行的判定定理可證平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量的垂直表示可求的坐標(biāo)，從而可求.【小問1詳解】如圖，連接，則彼此平分，而為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)，而為的中點(diǎn)，故，而平面，平面，故平面.【小問2詳解】由直三棱柱的體積為可得，而，故，而為三角形內(nèi)角，故，故即，結(jié)合直三棱柱可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，而，由，可得，解得.故，故16.ACE球是指在網(wǎng)球?qū)种校环桨l(fā)球，球落在有效區(qū)內(nèi)，但接球方卻沒有觸及到球而使發(fā)球方直接得分的發(fā)球．甲、乙兩人進(jìn)行發(fā)球訓(xùn)練，規(guī)則如下：每次由其中一人發(fā)球，若發(fā)出ACE球，則換人發(fā)球，若未發(fā)出ACE球，則兩人等可能地獲得下一次發(fā)球權(quán)．設(shè)甲，乙發(fā)出ACE球的概率均為，記“第次發(fā)球的人是甲”．（1）證明：；（2）若，，求和．【答案】（1）證明見解析（2）,【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率的意義可證明；（2）利用（1）中的結(jié)果可求，結(jié)合全概率公式可得，利用構(gòu)造法可求.【小問1詳解】若第次為甲發(fā)球條件下第次還是甲發(fā)球，則第次甲沒有發(fā)出ACE球，故此時，若第次不是甲發(fā)球的條件下第次是甲發(fā)球，（1）乙發(fā)ACE球，則第次是甲發(fā)球；（2）乙沒有發(fā)出ACE球，則有的概率第次是甲發(fā)球；故，故.【小問2詳解】，,故，所以即，所以，故而，故為等比數(shù)列，故即.17.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，討論關(guān)于的方程的實根個數(shù)；（2）當(dāng)時，證明：對于任意的實數(shù)，都有．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合圖象確定正確答案.（2）將要證明的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來證得不等式成立.【小問1詳解】當(dāng)時，方程解的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為與y=fx有交點(diǎn)的個數(shù)，y=fx的定義域為，令f′x>0得，令f′故在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，方程有0個解，當(dāng)或時，方程有1個解，當(dāng)時，方程有2個解.【小問2詳解】要證，即證，由于，故只需證，不妨設(shè)，即證，兩邊同時除以并化簡，即證，令，則，設(shè)，，由(1)知在0,+∞上單調(diào)遞增，故，故在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，從而命題得證.18.已知的頂點(diǎn)在軸上，，，且邊的中點(diǎn)在軸上，設(shè)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若正三角形的三個頂點(diǎn)都在上，且直線的傾斜角為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)列方程，化簡求得的方程；（2）設(shè)出直線的方程并與的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長公式求得的表達(dá)式，根據(jù)是正三角形【小問1詳解】設(shè)，，因為是的中點(diǎn)且在軸上，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，若為，則，所以，即，已知，且，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，，，因為，所以，兩邊平方可得，展開式子：，化簡得，所以曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，直線的方程為，由消去得，即，由韋達(dá)定理得，，，則，，根據(jù)弦長公式（這里），所以，因為是正三角形，設(shè)中點(diǎn)為，則，即，直線與直線垂直，直線斜率為，則直線斜率為，點(diǎn)在曲線上，設(shè)，則，又因為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，，由，可得，由可得，即，，則，，，，由，，，兩式相減得，，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，(舍去)，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程時，常通過設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件找到動點(diǎn)坐標(biāo)滿足的等式關(guān)系，再進(jìn)行化簡,本題利用中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系確定點(diǎn)坐標(biāo)，通過距離相等建立等式，是求軌跡方程的典型方法.對于直線與曲線相交的問題，聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而解決弦長等問題。在涉及三角形形狀相關(guān)問題時，要充分利用三角形的性質(zhì)，如正三角形三邊相等、三線合一等，建立等式求解.19.將項數(shù)列重新排序為的操作稱為一次“洗牌”，即排序后的新數(shù)列以為首項，將排在之后，將排在之后．對于數(shù)列，將“洗牌”后得到的新數(shù)列中數(shù)字的位置定義為．例如，當(dāng)時，數(shù)列經(jīng)過一次“洗牌”后變?yōu)?，此時，，，，，．（1）寫出數(shù)列經(jīng)過3次“洗牌”后得到的新數(shù)列；（2）對于滿足的任意整數(shù)，求經(jīng)過一次“洗牌”后的解析式；（3）當(dāng)（其中）時，數(shù)列經(jīng)過若干次“洗牌”后能否還原為？如果能，請說明至少需要多少次“洗牌”；如果不能，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）至少需要次＂洗牌＂．【解析】【分析】（1）直接寫出三次洗牌后的數(shù)列；（2）分和討論即可；（3）通過特殊情況猜想至少通過次＂洗牌＂，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【小問1詳解】數(shù)列經(jīng)過一次＂洗牌＂變?yōu)?，再?jīng)過一次＂洗牌＂變?yōu)椋谌危⑾磁疲⒑笞優(yōu)椋拘?詳解】依題意，當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此，【小問3詳解】先觀察簡單的情形．當(dāng)時，數(shù)列經(jīng)過1次＂洗牌＂變?yōu)椋ǎ⒌剐颍ⅲ?，再?jīng)過1次＂洗牌＂就還原為；當(dāng)時，數(shù)列經(jīng)過2次＂洗牌＂變?yōu)椋ǎ⒌剐颍ⅲ俳?jīng)過2次＂洗牌＂就還原為；當(dāng)時，由（1）知數(shù)列經(jīng)過3次＂洗牌＂變?yōu)椋ǎ⒌剐?/p>