第1頁(yè)/共1頁(yè)階段性調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題2024.11注意事項(xiàng)1．請(qǐng)將本試卷答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上；2．考試時(shí)間為120分鐘，試卷總分為150分．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求解.【詳解】由，可知拋物線的焦點(diǎn)在的正半軸上，又，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：B.2.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】由已知可得，求解即可.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，所以，解得.故選：C.3.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：D．4.圓和圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩圓圓心距與兩圓的半徑差、半徑和的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】圓的圓心為,半徑，圓的圓心為,半徑，因?yàn)椋?，所以，所以兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：C5.平行直線與之間的距離為（）A.1 B. C.32 D.3【答案】C【解析】【分析】利用兩平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由，得，又，所以兩平行線間的距離.故選：C.6.與圓及圓都外切的圓的圓心在（）A.橢圓上 B.雙曲線的一支上C.拋物線上 D.圓上【答案】B【解析】【分析】求得動(dòng)圓的圓心所滿足的幾何條件，由雙曲線的定義可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，由，可得圓心，半徑，由，可得圓心為，半徑由題意可得，消去可得，所以動(dòng)圓的圓心是雙曲線靠近的一支曲線.故選：B.7.若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將曲線方程化為，利用直線與曲線位置關(guān)系，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】依題意，曲線的方程可化為：它表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的右半圓，如圖：直線過(guò)定點(diǎn)，直線與相切時(shí)，可得，解得，直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，根據(jù)圖形，結(jié)合對(duì)稱性可得，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.8.我們稱與向量平行的非零向量為直線的法向量.已知直線與圓相交，則下列向量不可能是直線的法向量的為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直線與圓相交，可得，求解可得結(jié)論.【詳解】由，可得圓心，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相交，所以，解得，根據(jù)法向量的定義可得直線的法向量為，且，所以A，B，C均可作為直線的法向量，D不能作為直線的法向量.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選的得0分．9.下列四個(gè)命題中真命題有（）A.直線在軸上截距為B.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C.直線過(guò)定點(diǎn)D.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是【答案】ACD【解析】【分析】令可求直線在軸上的截距判斷A；分斜率存在與不存在兩種情況可判斷B；求得的定點(diǎn)可判斷C；由點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，可得，所以直線在軸上的截距為，故A正確；對(duì)于B，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)可以用方程表示，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，故經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線方程為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，方程過(guò)直線與直線的交點(diǎn)的直線，由，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，故D正確.故選：ACD.10.已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.B.的最大值為C.面積的最大值為D.點(diǎn)到直線的距離小于【答案】ABD【解析】【分析】判斷出點(diǎn)在圓外，計(jì)算出的最小值，可判斷A選項(xiàng)；當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，取最大值，可判斷B選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷C選項(xiàng)；分析直線與垂直時(shí)，直線與圓的位置關(guān)系，可判斷D選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，則點(diǎn)在圓外，對(duì)于A選項(xiàng)，，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，取最大值，且最大值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即面積的最大值為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則直線的斜率為，此時(shí)，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，此時(shí)，直線與圓相離，且此時(shí)，原點(diǎn)到直線的最大距離為，由于直線與圓相交，故原點(diǎn)到直線的距離小于，D對(duì).故選：ABD.11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的最大值為20C.的外接圓圓心到x軸的距離的最小值為D.直線的斜率之差可能為1【答案】AC【解析】【分析】得用已知橢圓求得，再結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)的條件逐項(xiàng)計(jì)算可判斷結(jié)論.【詳解】由橢圓C：的方程可知，，解得，所以，即，故A正確；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；由的外接圓的圓心在的垂直平分線上，可得圓心在軸上，由，所以為銳角，且在短軸的端點(diǎn)處時(shí)，最大，由外接圓的半徑為可知，越大，半徑越小，此時(shí)外心到x軸的距離最小，設(shè)外心為，取在上頂點(diǎn)時(shí)，所以，解得，故C正確；設(shè)，由，得，所以，不妨取，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線的斜率之差不可能為1，故D不正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可求得為定值，進(jìn)而可利用基本不等式判斷直線斜率之差是否可能為1.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線可得拋物線的焦點(diǎn)為，即可得方程.【詳解】由雙曲線方程可知，且焦點(diǎn)在x軸上，可知雙曲線的右焦點(diǎn)為，即拋物線的焦點(diǎn)為，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.13.若光線通過(guò)點(diǎn)，經(jīng)軸反射，其反射光線通過(guò)點(diǎn)且與圓相切，則______【答案】【解析】【分析】求出反射光線所在直線的方程，利用直線與圓的位置關(guān)系結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求出正數(shù)的值.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，，直線的方程為，即，由題意可知，反射光線即為直線，則直線與圓相切，且圓心為，半徑為，可得，由于，解得.故答案為：.14.已知曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡，圓與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的值為_(kāi)_____【答案】2或【解析】【分析】設(shè)，可得，分類(lèi)討論化簡(jiǎn)，與圓的方程聯(lián)立可求得的值.【詳解】設(shè)，由題意可得：.當(dāng)或時(shí)，，所以無(wú)軌跡；當(dāng)時(shí)，，由關(guān)于軸對(duì)稱，圓與有公共點(diǎn)時(shí)，在有解，可得，當(dāng)時(shí)，，圓與有公共點(diǎn)時(shí)，則在有解，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)稱性可知圓與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的值只能有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，所以只有或符合題意，所以圓與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的值為或.故答案為：或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)均在直線上，，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意列方程組，即可求得.（2）設(shè)，由題意可得，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可求直線的方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由題意可得：，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為.根據(jù)題意可得，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或.16.設(shè)為實(shí)數(shù)，直線與圓相交于兩點(diǎn).（1）若弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的取值范圍及直線的方程；（2）若直線，，求圓的半徑.【答案】（1）的取值范圍為,直線的方程為（2）【解析】【分析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用半徑為正、點(diǎn)在圓內(nèi)得到的取值范圍，再利用和點(diǎn)斜式方程得到直線的方程即可.（2）利用圓中的弦長(zhǎng)公式可求得圓心到直線的距離，進(jìn)而可得，求解即可.【小問(wèn)1詳解】將化為，即該圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以在圓的內(nèi)部，即，解得，又，所以；因?yàn)椋?，所以，所以直線的方程為，即；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得圓的圓心為，半徑為，由，可得圓心到直線的距離，所以圓心到直線的距離，解得，所以圓的半徑為..17.已知橢圓與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)．①求橢圓的方程；②求的坐標(biāo).（2）若橢圓的離心率為，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求橢圓的方程.【答案】（1）①橢圓的方程為；②的坐標(biāo)為（2）橢圓的方程為【解析】【分析】（1）①求得直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，可求橢圓的方程；②聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由已知可得橢圓的方程可變?yōu)椋c直線聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理，由已知可得，進(jìn)而代入計(jì)算可得橢圓的方程.【小問(wèn)1詳解】①因?yàn)橹本€與坐標(biāo)軸交于，又橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，所以,所以橢圓的方程為；②聯(lián)立，消去得，解得或，所以的坐標(biāo)為，所以的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】若橢圓的離心率為，則，解得，所以，所以橢圓的方程可變?yōu)?，?lián)立，消去得，設(shè)的坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，則，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，所以，解得，符合，所以橢圓的方程為.18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到的距離為3．（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于兩點(diǎn)，分別以為直徑作圓①證明：圓與軸相切；②若直線的斜率為1，求與圓都相切的直線方程.【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②或y=-1或x=0【解析】【分析】（1）利用焦半徑公式可得，求解即可；（2）①利用焦半徑公式可求得線段中點(diǎn)到軸的距離可得結(jié)論；②由平面幾何知識(shí)可得所求切線可能是內(nèi)公切線與也可能是外公切線，分情況討論可求與圓相切的直線方程.【小問(wèn)1詳解】由拋物線的方程得焦點(diǎn)，又拋物線上的點(diǎn)到的距離為3，所以，解得，所以拋物線的方程為【小問(wèn)2詳解】①設(shè)，由焦半徑公式可得，所以的中點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，所以以為直徑作圓與軸相切；②由①可知圓與軸也相切，且兩圓的圓心在同一直線上，又，可得圓相外切于點(diǎn)，所以與圓相切的直線有三條，一條內(nèi)公切線，兩條外公切線，因?yàn)閮蓤A與軸相切，故直線與兩圓相切，因圓相外切于點(diǎn)，故過(guò)點(diǎn)與垂直的直線與兩圓相切，又直線的斜率為1，所以所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即；兩外公切線關(guān)于直線對(duì)稱，直線的斜率為1，又直線是一條外公切線，故另一條外公切線的斜率為0，又的方程為，即，與直線交于點(diǎn)，故所求的另一條外公切線方程為，所以所求切線方程為或或.19.已知中，，的角平分線交于點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）若點(diǎn)在曲線上，求：①的取值范圍；②直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）12（2）①取值范圍為；②直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)【解析】【分析】（1）求得直線，的方程，利用角平分線的性質(zhì)得到，求解即可；（2）①設(shè)，求得直線，的方程，利用角平分線的性質(zhì)得到，化簡(jiǎn)可得，可得的取值范圍；②求得直線的直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立方程，判斷方程組的解的個(gè)數(shù)可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，又，?/p>