專(zhuān)題06函數(shù)的概念及其表示（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】函數(shù)的概念 3【考點(diǎn)2】求函數(shù)的定義域 4【考點(diǎn)3】求函數(shù)的解析式 5【考點(diǎn)4】分段函數(shù) 6【分層檢測(cè)】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.2.在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一個(gè)函數(shù)(1)前提條件：①定義域相同；②對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.(2)結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.4.分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個(gè)函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.1.直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).2.注意以下幾個(gè)特殊函數(shù)的定義域：(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合.(2)偶次方根型函數(shù)，被開(kāi)方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合.(3)f(x)為對(duì)數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合.(4)若f(x)＝x0，則定義域?yàn)閧x|x≠0}.(5)正切函數(shù)y＝tanx的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).真題自測(cè)真題自測(cè)一、填空題1．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．2．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．3．（2022·浙江·高考真題）已知函數(shù)則；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是．4．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為；a的最大值為．5．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】函數(shù)的概念一、單選題1．（2023·山東濰坊·一模）存在函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意都有（

）A． B． C． D．2．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)若，則m的值為（

）A． B．2 C．9 D．2或9二、多選題3．（21-22高一·全國(guó)·單元測(cè)試）下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·陜西西安·期末）設(shè)集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數(shù)關(guān)系的有（）A．

B．

C．

D．三、填空題5．（2023·上海青浦·二模）已知函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)弧度，若得到的圖像仍是函數(shù)圖像，則可取值的集合為.6．（2023·遼寧大連·一模）已知可導(dǎo)函數(shù)，定義域均為，對(duì)任意滿(mǎn)足，且，求.反思提升：（1）函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而B(niǎo)中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同【考點(diǎn)2】求函數(shù)的定義域一、單選題1．（2023·湖北·三模）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（

）A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上單調(diào)遞減4．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)法正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．在定義域上單調(diào)遞減 D．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱(chēng)中心三、填空題5．（23-24高一上·新疆·期中）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.6．（2023·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是．反思提升：1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，定義域應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義.2.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.【考點(diǎn)3】求函數(shù)的解析式一、單選題1．（2023·河南鄭州·二模）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．2．（2022·河北保定·二模）若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國(guó)·一模）設(shè)a為常數(shù)，，則（

）．A．B．成立C．D．滿(mǎn)足條件的不止一個(gè)4．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式，則.6．（22-23高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)a均有成立，則函數(shù)的解析式為．反思提升：函數(shù)解析式的求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x).【考點(diǎn)4】分段函數(shù)一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．62．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）十九世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中有著重要意義，若函數(shù)，則下列實(shí)數(shù)不屬于函數(shù)值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題3．（2021·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的函數(shù)，則（

）A．若為增函數(shù)，則的取值范圍為B．若為增函數(shù)，則的取值范圍為C．若為減函數(shù)，則的取值范圍為D．若為減函數(shù)，則的取值范圍為4．（21-22高三上·江蘇常州·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的可能取值是（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)，則不等式的解集為.6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，若存在，使得，則的取值范圍為.反思提升：1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿(mǎn)足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A． B．C． D．2．（2023·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A．的最小值為2 B．C．的最大值為2 D．二、多選題5．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．6．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上為增函數(shù)B．C．若在上單調(diào)遞增，則或D．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）給定數(shù)集，，滿(mǎn)足方程，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空題8．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知的定義域?yàn)锳，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.9．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)，則．10．（2021·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若a＞0且a≠1，且函數(shù)在R上單調(diào)遞增，那么a的取值范圍是．四、解答題11．（20-21高二上·山東臨沂·期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程．（2）時(shí)，若，求的定義域，并分析其單調(diào)性．12．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù).（1）求的值；（2）求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【能力篇】一、單選題1．（2023·全國(guó)·三模）已知對(duì)于每一對(duì)正實(shí)數(shù)，，函數(shù)滿(mǎn)足：，若，則滿(mǎn)足的的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、多選題2．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．在上的值域?yàn)镃．若在上單調(diào)遞減，則D．若，則在定義域上單調(diào)遞增三、填空題3．（2022·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象是兩條線段（如圖），它的定義域?yàn)?，則不等式的解集為．四、解答題4．（2023·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若且滿(mǎn)足，記是的最大值，證明：.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（22-23高三上·山東濰坊·期末）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，對(duì)，，有，則（

）A． B． C． D．2．（2021·浙江·二模）已知定義在上的函數(shù)為減函數(shù)，對(duì)任意的，均有，則函數(shù)的最小值是（

）A．2 B．5 C． D．33．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的解集是（

）A． B．C． D．專(zhuān)題06函數(shù)的概念及其表示（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)1】函數(shù)的概念 5【考點(diǎn)2】求函數(shù)的定義域 9【考點(diǎn)3】求函數(shù)的解析式 12【考點(diǎn)4】分段函數(shù) 16【分層檢測(cè)】 20【基礎(chǔ)篇】 20【能力篇】 25【培優(yōu)篇】 29考試要求：1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.2.在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一個(gè)函數(shù)(1)前提條件：①定義域相同；②對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.(2)結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.4.分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個(gè)函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.1.直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).2.注意以下幾個(gè)特殊函數(shù)的定義域：(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合.(2)偶次方根型函數(shù)，被開(kāi)方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合.(3)f(x)為對(duì)數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合.(4)若f(x)＝x0，則定義域?yàn)閧x|x≠0}.(5)正切函數(shù)y＝tanx的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).真題自測(cè)真題自測(cè)一、填空題1．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．2．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．3．（2022·浙江·高考真題）已知函數(shù)則；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是．4．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為；a的最大值為．5．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則.參考答案：1．1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，所以.故答案為：12．【分析】根據(jù)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)椋还蚀鸢笧椋?．/【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.【詳解】由已知，，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，等價(jià)于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.4．0（答案不唯一）1【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類(lèi)討論，可知，符合條件，不符合條件，時(shí)函數(shù)沒(méi)有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，

解得.【詳解】解：若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），15．2【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】函數(shù)的概念一、單選題1．（2023·山東濰坊·一模）存在函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意都有（

）A． B． C． D．2．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)若，則m的值為（

）A． B．2 C．9 D．2或9二、多選題3．（21-22高一·全國(guó)·單元測(cè)試）下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·陜西西安·期末）設(shè)集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數(shù)關(guān)系的有（）A．

B．

C．

D．三、填空題5．（2023·上海青浦·二模）已知函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)弧度，若得到的圖像仍是函數(shù)圖像，則可取值的集合為.6．（2023·遼寧大連·一模）已知可導(dǎo)函數(shù)，定義域均為，對(duì)任意滿(mǎn)足，且，求.參考答案：1．D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義一一判斷各選項(xiàng)中函數(shù)是否符合，即可判斷出答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不符合函數(shù)定義，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,令，則，令，則，不符合函數(shù)定義，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,令，則，令，則，不符合函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,,,則，則存在時(shí)，，符合函數(shù)定義，即存在函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意都有，D正確，故選：D2．C【分析】由題可得或，即求.【詳解】∵函數(shù)，，∴或，解得.故選：C.3．ACD【分析】根據(jù)兩函數(shù)定義域相同且解析式一致即為相等函數(shù)，一一判斷即可.【詳解】解：的定義域?yàn)椋畬?duì)于A，的定義域?yàn)?，與的定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于B，定義域?yàn)?，與定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋c定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于D，，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)．故選：ACD．4．BD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】對(duì)于A：由圖象可知定義域不是，不滿(mǎn)足；對(duì)于B：定義域?yàn)?，值域?yàn)榈淖蛹?，故符合函?shù)的定義，滿(mǎn)足；對(duì)于C：集合中有的元素在集合中對(duì)應(yīng)兩個(gè)值，不符合函數(shù)定義，不滿(mǎn)足；對(duì)于D：由函數(shù)定義可知D滿(mǎn)足．故選：BD．5．【分析】題中函數(shù)為圓的一段劣弧，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，只需根據(jù)函數(shù)的定義考慮一個(gè)只有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，即圖形與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度符合題意.【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖1所示：圓弧所在的圓方程為，，，在圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程所得的圖形均為函數(shù)的圖象，如圖2所示：此時(shí)繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度為；若函數(shù)圖象在圖2位置繞著原點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知，所得圖形不是函數(shù)的圖象，如圖3所示：此時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，不滿(mǎn)足題意；若函數(shù)的圖象在圖3位置繞著原點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)整個(gè)圖象都在軸下方時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知，所得圖形是函數(shù)的圖象，如圖4所示：此時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為；故答案為：.6．【分析】利用函數(shù)值的定義及函數(shù)的求導(dǎo)法則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)值的定義即可求解.【詳解】由題意可知，令，則，解得，由，得，即，令，得，即，解得.故答案為：.反思提升：（1）函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而B(niǎo)中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同【考點(diǎn)2】求函數(shù)的定義域一、單選題1．（2023·湖北·三模）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（

）A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上單調(diào)遞減4．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)法正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．在定義域上單調(diào)遞減 D．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱(chēng)中心三、填空題5．（23-24高一上·新疆·期中）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.6．（2023·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是．參考答案：1．D【分析】利用根式及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義建立不等式組，解不等式組得到定義域即可.【詳解】由，得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D．2．C【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可求出函數(shù)的定義域，對(duì)于函數(shù)，可列出關(guān)于的不等式組，由此可得出函數(shù)的定義域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t，可得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù)，則有，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.3．AB【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)榈闹涤蚴欠裨谏蠠o(wú)法判斷，所以在上的單調(diào)性無(wú)法判斷，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，因的值域是否在上無(wú)法判斷，所以在上的單調(diào)性無(wú)法判斷，故D錯(cuò)誤.故選：AB.4．AD【分析】由，可知由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，根據(jù)的性質(zhì)得到的性質(zhì)，即可判斷；【詳解】解：由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故D正確；函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋蔄正確，B錯(cuò)誤；函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；故選：AD5．【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法和分式、根式有意義的要求可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，解得：，的定義域?yàn)?故答案為：.6．【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，∴，解得．故答案為：反思提升：1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，定義域應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義.2.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.【考點(diǎn)3】求函數(shù)的解析式一、單選題1．（2023·河南鄭州·二模）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．2．（2022·河北保定·二模）若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國(guó)·一模）設(shè)a為常數(shù)，，則（

）．A．B．成立C．D．滿(mǎn)足條件的不止一個(gè)4．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式，則.6．（22-23高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)a均有成立，則函數(shù)的解析式為．參考答案：1．A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，即可得解.【詳解】由圖象知，的兩根為2，4，且過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，所以，故選：A2．D【分析】先利用配湊法求出的解析式，則可求出的解析式，從而可求出函數(shù)的最小值【詳解】因?yàn)?，所?從而，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：D3．ABC【分析】對(duì)已知條件進(jìn)行多次賦值，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，再對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對(duì)A：對(duì)原式令，則，即，故A正確；對(duì)B：對(duì)原式令，則，故，對(duì)原式令，則，故非負(fù)；對(duì)原式令，則，解得，又非負(fù)，故可得，故B正確；對(duì)C：由B分析可得：，故C正確；對(duì)D：由B分析可得：滿(mǎn)足條件的只有一個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察抽象函數(shù)的性質(zhì)，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)已知條件合理的賦值，屬中檔題.4．CD【分析】由為奇函數(shù)與為偶函數(shù)，得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性，先由特值待定，再根據(jù)性質(zhì)求值即可，CD選項(xiàng)結(jié)合周期特點(diǎn)進(jìn)行數(shù)列求和，使用并項(xiàng)求和法.【詳解】由為奇函數(shù)，得關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足；由為偶函數(shù)，得關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足.故，所以是周期函數(shù)，且周期.對(duì)選項(xiàng)A，由，令，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，已知當(dāng)時(shí)，，則，故當(dāng)時(shí)，.則，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，，，，且周期.則，故C正確．對(duì)選項(xiàng)D，，故D正確．故選：CD．5．6【分析】用方程組法求得，代入求值即可解答.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所?故選：66．【分析】先利用方程組思想結(jié)合誘導(dǎo)公式求出或，再利用換元法即可得解，注意函數(shù)的定義域.【詳解】由，①得，即，②得：，所以，令，則，所以.故答案為：.反思提升：函數(shù)解析式的求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x).【考點(diǎn)4】分段函數(shù)一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．62．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）十九世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中有著重要意義，若函數(shù)，則下列實(shí)數(shù)不屬于函數(shù)值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題3．（2021·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的函數(shù)，則（

）A．若為增函數(shù)，則的取值范圍為B．若為增函數(shù)，則的取值范圍為C．若為減函數(shù)，則的取值范圍為D．若為減函數(shù)，則的取值范圍為4．（21-22高三上·江蘇常州·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的可能取值是（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)，則不等式的解集為.6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，若存在，使得，則的取值范圍為.參考答案：1．A【分析】由分段函數(shù)解析式，利用周期性求得，進(jìn)而求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由分段函數(shù)知：當(dāng)時(shí)，周期，所以，所以．故選：A2．C【分析】根據(jù)已知條件求出，利用分段函數(shù)分段處理及函數(shù)值域的定義即可求解.【詳解】由題意可知所以，，，而無(wú)解.故選：C.3．BD【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)增和單調(diào)減的條件分別列出不等式組，即可求得相應(yīng)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：此函數(shù)為增函數(shù)的條件是：，解得,此函數(shù)為減函數(shù)的條件是：，解得,故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，涉及指數(shù)函數(shù)，分式函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題，分段函數(shù)單調(diào)增(減),需要各段上單調(diào)增(減),而且銜接點(diǎn)處是非減(增)的.4．BD【分析】由分段函數(shù)解析式判斷函數(shù)性質(zhì)并畫(huà)出函數(shù)圖象，討論參數(shù)判斷不同a對(duì)應(yīng)值域的的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象判斷解的情況，即可確定有個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍.【詳解】在上單調(diào)遞增且值域?yàn)椋辉谏蠁握{(diào)遞減且值域?yàn)?；在上單調(diào)遞增且值域?yàn)?；故的圖象如下：由題設(shè)，有個(gè)零點(diǎn)，即有7個(gè)不同解，當(dāng)時(shí)有，即，此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有，即，∴有1個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有或或，∴有1個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有7個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有或或，∴有1個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有6個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有或，∴有3個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有5個(gè)零點(diǎn)；綜上，要使有7個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則，()故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由解析式確定分段函數(shù)的性質(zhì)并畫(huà)出草圖，進(jìn)而討論參數(shù)確定對(duì)應(yīng)的取值范圍，結(jié)合函數(shù)圖象判斷零點(diǎn)情況.5．【分析】分和兩種情況，結(jié)合指、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則有：當(dāng)時(shí)，可得，解得；當(dāng)時(shí)，可得，則，解得；綜上所述：不等式的解集為.故答案為：.6．【分析】先討論、與1的大小關(guān)系確定、，進(jìn)而確定的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.【詳解】①當(dāng)時(shí)，則，，又由，得，所以，則；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以不存在，使得；③?dāng)時(shí)，則，，又由，得，則，，令，則在上單調(diào)遞增，所以，則；綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.反思提升：1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿(mǎn)足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A． B．C． D．2．（2023·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A．的最小值為2 B．C．的最大值為2 D．二、多選題5．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．6．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上為增函數(shù)B．C．若在上單調(diào)遞增，則或D．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）給定數(shù)集，，滿(mǎn)足方程，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空題8．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知的定義域?yàn)锳，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.9．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)，則．10．（2021·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若a＞0且a≠1，且函數(shù)在R上單調(diào)遞增，那么a的取值范圍是．四、解答題11．（20-21高二上·山東臨沂·期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程．（2）時(shí)，若，求的定義域，并分析其單調(diào)性．12．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù).（1）求的值；（2）求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：1．D【分析】用換元法求出，再用代入法即可解出答案．【詳解】設(shè)，則，∴，．由，有，即，∴．故選：D2．C【分析】由題可知解即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，，即，解得，所以，函?shù)的定義域?yàn)楣蔬x：C3．A【分析】先求的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)求的定義域.【詳解】由題意得，，解得函數(shù)滿(mǎn)足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選:A4．B【分析】首先根據(jù)題意得到，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，，所?所以，所以的最小值，無(wú)最大值，為故A，C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，，因?yàn)?，所以，即，故B正確.對(duì)選項(xiàng)D，，因?yàn)?，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：B5．AC【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)定義可構(gòu)造方程組求得，由此依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由得：，又分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，；由得：，；對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.6．BC【分析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一辨析即可.【詳解】易知在(－∞，0]，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤，，，B正確；若在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則或，即或，故C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：BC.7．ABD【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，A正確；對(duì)于B，，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，B正確；對(duì)于C，，取，，不符合函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，D正確.故選：ABD8．【分析】先求出的定義域得到集合A，再根據(jù)子集的定義即可求得a的取值范圍.【詳解】，則或，即或.①當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，所以若，則有或（舍），解得；③當(dāng)時(shí)，，所以若，則有或（舍），解得.綜上所述，.故答案為：9．【分析】代入函數(shù)解析式計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)椋裕?故答案為：.10．【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，然后求解即可．【詳解】且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得：，解得，故答案為：.11．（1）；（2）定義域?yàn)椋瑔握{(diào)性見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線斜率為，再由根據(jù)點(diǎn)斜式即可得解；（2）由可得，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以

又，所以曲線在處的切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，∴，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.12．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入計(jì)算即可；（2）先判斷的取值范圍，再代入分段函數(shù)解析式，得到的具體不等式寫(xiě)法，解不等式即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以，即，解?【能力篇】一、單選題1．（2023·全國(guó)·三模）已知對(duì)于每一對(duì)正實(shí)數(shù)，，函數(shù)滿(mǎn)足：，若，則滿(mǎn)足的的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、多選題2．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．在上的值域?yàn)镃．若在上單調(diào)遞減，則D．若，則在定義域上單調(diào)遞增三、填空題3．（2022·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象是兩條線段（如圖），它的定義域?yàn)椋瑒t不等式的解集為．四、解答題4．（2023·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若且滿(mǎn)足，記是的最大值，