22.1.3比例的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.進(jìn)一步理解并掌握比例、比例線段的概念.

2.掌握比例的基本性質(zhì).

3.會(huì)求常見圖形中的線段比.

4.會(huì)進(jìn)行黃金分割的有關(guān)計(jì)算.

【過程與方法】

1.經(jīng)歷探究比例、比例線段的性質(zhì)的過程,體會(huì)類比的思想,促進(jìn)探究、質(zhì)疑、

歸納能力的發(fā)展.

2.經(jīng)歷黃金分割的引入以及黃金分割點(diǎn)的探究過程.

3.通過問題情境的創(chuàng)設(shè)和解決過程進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系,體會(huì)

數(shù)學(xué)的思維方式,增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

在交流協(xié)作中，體會(huì)生生交往與師生交往的樂趣;在解決問題的過程中接受

挑戰(zhàn)、戰(zhàn)勝困難，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

比例及比例線段的性質(zhì)；黃金分割點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算.

【難點(diǎn)】

比例及比例線段的應(yīng)用；黃金分割點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)回顧，引入新課

師:在上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了成比例線段，同學(xué)們現(xiàn)在能畫出兩條線段、量出長

度并求出它們的比值嗎？

學(xué)生作圖后測(cè)量并求出比值.

師:用同一個(gè)單位去度量?jī)蓷l線段a、b,得到它們的長度,我們把這兩條線段

長度的比叫做這兩條線段的比,記作或a：b.在四條線段a、b、c、d中，如果其

中兩條線段a、b的比,等于另外兩條線段c、d的比，即=（或a：b=c：d）,那么這

四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.

二、探究新知

師:兩條線段的比是它們長度的比,也就是兩個(gè)數(shù)的比，因此也應(yīng)具有關(guān)于兩

個(gè)數(shù)成比例的性質(zhì).如果=，你能把這個(gè)式子改寫成乘積的形式嗎？

生:兩邊同乘以bd,得到ad=bc.

師:反之,如果ad=bc（b、dWO）我們是否能得到=呢？

生:能，兩邊同除以bd.

師：比例的這個(gè)性質(zhì)叫做比例的基本性質(zhì).

教師多媒體課件出示：

2cm

(1)(2)

師:現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們看這三個(gè)圖形.圖形(1)和圖形(2)對(duì)應(yīng)邊是成比例的，圖形

(3)的長等于圖形(1)的長加上圖形(2)的長，圖形(3)的寬等于圖形(1)的寬加上

圖形⑵的寬,你能判斷圖形⑴和圖形⑶的邊是否成比例嗎？

學(xué)生思考,討論.

師:你怎么判斷這兩個(gè)長方形的邊是否是成比例的呢？

生:計(jì)算3.6：2和2.7：1.5是否相等.

師:現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們算一下是否相等.

學(xué)生計(jì)算后回答:相等.

師:所以我們有=.對(duì)于式子=,能否得到=呢？

學(xué)生思考,討論.

生:在=的兩邊都加上1,然后通分就得到了三

師:對(duì)!所以我們得到了這個(gè)結(jié)論:如果=,那么=(b、dWO).這叫做比例的合比

性質(zhì).如果=,匕+員H0,你能否證明=呢？

教師提示:我們可以倒著推：

要證=,可先證(ai+a?)Xbi=(bi+b2)Xa,,即ab+a2b產(chǎn)biai+Aa1，兩邊都減去ab,

兩邊都減去ab,得a2b產(chǎn)b?ai,你能證明a2b尸b2al嗎？

學(xué)生思考后回答:能.

師:怎么證明？

生：因?yàn)?，兩邊同乘以bb,就證出來了.

師:現(xiàn)在你知道怎么證明=了嗎？

生:知道了.

師:請(qǐng)同學(xué)們想想有沒有其他的證法？

學(xué)生思考.

教師提示:的值與的值相等，我們要證的是的值也與的值相等，如果我現(xiàn)在設(shè)

==k,你能否證出=k呢？

學(xué)生思考,討論.

師:①、E能否用含匕、兒的代數(shù)式表示？

生:能.

師:怎樣表示？

生：ai=bik,a2=b2k.

師:你知道怎樣證明了嗎？

生:知道,將a產(chǎn)bik,a?=b2k代入中.

師:我們有了兩種證法，哪兩位同學(xué)愿意上來寫出證明過程？

學(xué)生舉手,教師從舉手的同學(xué)中找兩生板演.

生1板書：

證明：???=（已知），

兩邊同乘以得

...=（合比性質(zhì)）.

兩邊同乘以得

兩邊取倒數(shù)，得=,

即=.

生2板書:設(shè)==總得

a.i=b1k,a2=b?k,代入得

===k=.

師:你能總結(jié)一下以上兩種方法嗎？

生:第一種方法是先倒推,再證明；第二種方法是設(shè)定值.

師：同學(xué)們總結(jié)得很好!再遇到證明兩式相等的問題時(shí)要記起這兩種方法，其

中設(shè)定值的方法一般適用于設(shè)比值為定值.如果我把這個(gè)式子推廣,===??=成立,

且b1+b2+b3+-+b.,^0I你能否推出所有分子之和與所有分母之和的比是等于呢？

生:能.

教師找一生板演,其余同學(xué)在下面做,教師巡視指導(dǎo).

師:所以我們得到比例的又一性質(zhì)：如果=="=,且bl+b2+b3+-+bn^0,那么三

三、例題講解

【例1】已知:如圖，在aABC中,=.

師:請(qǐng)同學(xué)們看這道題.

學(xué)生讀題思考.

師:哪位同學(xué)能證明這道題，跟大家說說你的思路.

學(xué)生舉手.

教師找一生回答第⑴題.

生：因?yàn)?,由合比性質(zhì)得=,即=.

教師找另一生回答第⑵題.

師:你是怎樣考慮的呢？

生:AB可以寫成AD+DB,AC可以寫成AE+EC.因?yàn)楹媳刃再|(zhì)是分子加分母,要證

明=,可先證=,然后兩邊取倒數(shù),就得到要證的結(jié)果了.

師:很好!現(xiàn)在請(qǐng)你把證明步驟寫在黑板上,其余同學(xué)在下面做.

學(xué)生證明后集體訂正.

教師多媒體課件出示：

【例2］在地圖或工程圖紙上,都標(biāo)有比例尺，比例尺就是圖上長度與實(shí)際

長度的比.現(xiàn)在一張比例尺為1：5000的圖紙上,量得一個(gè)aABC的三邊:AC=3

cm,BC=4cm,AB=5cm.問這個(gè)圖紙所反映的實(shí)際4A'B'C'的周長是多少？

解:根據(jù)題意，得===.

即=.

又AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),

.'.A'B'+B'C'+A'C'

=12X5000=60000(cm)

=600(m).

答:實(shí)際AA'B'C的周長是600m.

【例3】如圖所示，已知線段AB長度為a,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且使AB:

AP=AP：PB.求線段AP的長和的值.

ApB

解：設(shè)AP=x,那么PB=a-x.根據(jù)題意，得a:x=x:(a-x),

即x2+ax-a2=0.

解方程，得x=a.

因?yàn)榫€段長度不能是負(fù)值,所以取x=a.

即AP=a.

于是==-0.618.

把一條線段分成兩部分，使其中較長線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng),

這樣的線段分割叫做黃金分害％分割點(diǎn)叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，比值叫做黃

金數(shù).

四、鞏固練習(xí)

1.若6x=5y,則x:y=.

【答案】

2.已知ab=cd,則=.

【答案】

3.若==,則=.

【答案】

4.已知x===,貝Ix的值是.

解析:Vx===,

a'+ab=bc+c；①

b2+bc=a2+ac.②

ac+c2=ab+b!③

將③式減去②式得

ab-bc=c2-a2.(4)

將②式減去①式得

ac-ab=b'-c2.⑤

將③式減去①式得

b2-a2=ac-bc.(6)

由④⑤⑥式都可得出

a+b+c=O.

/.a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.

.".x====-l.

【答案】-1

5.點(diǎn)P在線段AB上,AP2=AB?PB.若PB=4,則AP的長為.

解析：設(shè)AP=x,

Z.x2=(x+4)X4,

X2-4X-16=0.

：.x=2±2.

又Yx〉。，

AAP長取2+2.

【答案】2+2

6.已知點(diǎn)M將線段AB黃金分割(AM>BM),則下列各式中不正確的是()

A.AM：BM=AB:AMB.AM=AB

C.BM=ABD.AM^O.618AB

【答案】C

7.已知x：y=3：5,y：z=4：7,求x：y：z.

【答案】Vx:y=3:5,.*.x=y.

X*.*y:z=4:7,.,.z=y.

Ax：y：z=y：y：y=12：20：35.

五、課堂小結(jié)

師:本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?有什么收獲？

學(xué)生回答,教師點(diǎn)評(píng).

教學(xué)反思

首先,從回顧上節(jié)已學(xué)的比例知識(shí)入手,運(yùn)用類比的方法得到實(shí)數(shù)范圍的比

和比例,再類比得到比例線段的概念,這樣會(huì)比較直觀、易學(xué).其次,盡可能體現(xiàn)數(shù)

學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，如課題的引出及知識(shí)的應(yīng)用，盡可能讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)源

于實(shí)際,并且數(shù)學(xué)知識(shí)和方法能很好地解決實(shí)際生活中的問題,激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的欲望.總的來說,本節(jié)課是在輕松愉快的氛圍中完成的,學(xué)生的熱情也比較高

漲，由于所涉及的問題是每個(gè)學(xué)生觸手可及的，因而學(xué)生在活躍的課堂氣氛中也

各有所獲.

22.2.3利用邊角關(guān)系判定兩三角形相似

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

理解并掌握相似三角形的判定方法2.

【過程與方法】

培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納的能力，感受兩個(gè)三角形全等的兩種判

定方法SAS與三角形相似定理的區(qū)別與聯(lián)系,體驗(yàn)事物間特殊與一般的關(guān)系.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

讓學(xué)生經(jīng)歷從試驗(yàn)探究到歸納證明的過程,發(fā)展學(xué)生合理的推理能力.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

兩個(gè)三角形相似的判定方法2及其應(yīng)用.

【難點(diǎn)】

探究?jī)蓚€(gè)三角形相似的判定方法2的過程.

教學(xué)過程

一、問題引入

1.兩個(gè)三角形全等有哪些判定方法？

(SSS,SAS,ASA,AAS定理.)

2.我們學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？

(三角形相似的定理兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似)

二、新課教授

探究：

ABAC

利用刻度尺和量角器畫AABC和AA'B'C',使NA=NA',7和；都等于

A'BA'C

給定的值k,量出它們的第三組對(duì)應(yīng)邊BC和B'C'的長,它們的比等于k嗎?另外兩

組對(duì)應(yīng)角NB與NB'、NC與NC'是否相等？

改變NA或k值的大小，再試一試,是否具有同樣的結(jié)論？

師生活動(dòng)：

教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生在稿紙上按要求畫圖.

學(xué)生動(dòng)手畫圖、測(cè)量，獨(dú)立研究.

學(xué)生通過小組交流得出結(jié)論,教師進(jìn)行補(bǔ)充.

三角形相似的判定方法2:兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.

三、例題講解

【例1】在Z\ABC和AA'B*C中，AB=5,AC=3,NA=45°,A'B'=10,A'C=6,

NA'=45。；

判斷這兩個(gè)三角形是否相似.

解:?.?里=維，，NA=NA、45。，

A'B'A'C2

.".△ABC^AA'B'C'.

［例2］如圖,BC與DE相交于點(diǎn)0.問

(1)當(dāng)NB滿足什么條件時(shí)，AABC^AADE?

(2)當(dāng)AC：AE滿足什么條件時(shí)，AABC^AADE?

分析:從圖中可以看出，在4ABC與4ADE中，ZA=ZA,根據(jù)三角形相似的判

定定理只要NB=ND或AC：AE=AB：AD,都有△ABCSAADE.

D

E

解：⑴?.?NA=NA,

.?.當(dāng)NB=ND時(shí)，AABC^AADE.

(2)VNA=NA,

,當(dāng)AC:AE=AB:AD時(shí)，AABC^AADE.

四、鞏固練習(xí)

1.根據(jù)下列條件,判斷4ABC和AA'B'C'是否相似,并說明理由.

ZA=40°,AB=8cm,AC=15cm,

NA'=40°,A'B'=16cm,A'C'=30cm;

【答案】相似,兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等..

2.圖中的兩個(gè)三角形是否相似？

D

【答案】相似；

五、課堂小結(jié)

師:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么體會(huì)與收獲?可以與大家分享一下嗎？

學(xué)生發(fā)言:說說自己的體會(huì)與收獲，教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言予以點(diǎn)評(píng).

教學(xué)反思

本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法2,由于上節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了探究?jī)?/p>

個(gè)三角形相似的判定方法1,而本節(jié)課內(nèi)容在探究方法上與上節(jié)課又具有一定的

相似性，因此本課教學(xué)設(shè)計(jì)注意方法上的“新舊聯(lián)系”，以幫助學(xué)生形成認(rèn)知上的

正遷移.此外，由于判定方法2的條件“相應(yīng)的夾角相等”在應(yīng)用中容易被學(xué)生忽

視,所以教學(xué)中教師要強(qiáng)調(diào)以加深學(xué)生的印象.

22.2.2利用角的關(guān)系判定兩三角形相似

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

掌握''兩角對(duì)應(yīng)相等,兩個(gè)三角形相似”的判定方法;能夠運(yùn)用三角形相似的

條件解決簡(jiǎn)單的問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷兩個(gè)三角形相似的探索過程,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

培養(yǎng)學(xué)生敢于實(shí)踐、勇于發(fā)現(xiàn)、大膽探索、合作創(chuàng)新的精神.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

三角形相似的判定方法：1.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

【難點(diǎn)】

三角形相似的判定方法1的運(yùn)用.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

師:根據(jù)相似三角形的定義，三角分別相等、三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相

似三角形.那么，兩個(gè)三角形至少要滿足哪些條件就相似呢？能否類比兩個(gè)三角形

全等的條件尋找判定兩個(gè)三角形相似的條件呢?今天這節(jié)課我們就一起來探索三

角形相似的條件.

二、探究新知

師:觀察兩副三角尺，其中同樣角度（30°與60°，或45°與45°）的兩個(gè)三

角尺大小可能不同，但它們看起來是相似的.

問題1：一般地，如果兩個(gè)三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等，它們一定相似嗎？

師生活動(dòng)：

教師出示有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形圖片，提出問題.

學(xué)生細(xì)心觀察,交流討論.

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):兩個(gè)三角尺的大小可能不同，但它們的形狀相同.學(xué)生從

實(shí)物的比較中容易直觀地得到:如果兩個(gè)三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等，它們很可能

相似.

作4ABC與△ABG,使得NA=NAi,ZB=ZB1＞這時(shí)它們的第三個(gè)角滿足NC=

NG嗎?分別度量這兩個(gè)三角形的邊長,計(jì)算金，旦，工，你有什么發(fā)現(xiàn)？

A[B[B]C]A】G

把你的結(jié)果與鄰座的同學(xué)比較,你們的結(jié)論一樣嗎?AABC與△ABG相似嗎?

師生活動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生度量并計(jì)算.

學(xué)生獨(dú)立操作并判斷.

師生通過試驗(yàn)得出：這兩個(gè)三角形的第三個(gè)角滿足/C=NG,邊滿足

ABBCAC

AlB、B[C]AG

因此,如果兩個(gè)三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

問題2：分別改變這兩個(gè)三角形邊的大小，而不改變它們的角的大小,再試一

試,是否有同樣的結(jié)論？

師生活動(dòng)：

教師應(yīng)用“幾何畫板”等計(jì)算機(jī)軟件做動(dòng)態(tài)探究進(jìn)行演示驗(yàn)證,引導(dǎo)學(xué)生觀

察在動(dòng)態(tài)變化中存在的不變因素.

學(xué)生利用刻度尺、量角器等作圖工具做靜態(tài)探究,學(xué)生思考得出結(jié)論.

改變這兩個(gè)三角形邊的大小,而不改變它們的角的大小,這兩個(gè)三角形仍然

相似.由此可得：

三角形相似的判定方法1:兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.（定理的證明由

學(xué)生獨(dú)立完成）

三、例題講解

【例】已知：如圖，矩形ABCD中,E為BC上一點(diǎn)，如J_AE于F,若

AB=4,AD=5,AE=6,求DF的長.

分析:要求的是線段DF的長,觀察圖形,我們發(fā)現(xiàn)AB、AD、AE和DF這四條線

段分別在AABE^lAAFD中，因此只要證明這兩個(gè)三角形相似,再由相似三角形的

性質(zhì)可以得到這四條線段對(duì)應(yīng)成比例，從而求得DF的長.由于這兩個(gè)三角形都是

直角三角形,故有一對(duì)直角相等,再找出另一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，即可用“兩角分別相

等的兩個(gè)三角形相似”的判定方法來證明這兩個(gè)三角形相似.

解：?.?DFLAE于F,

二在矩形ABCD中，ZB=ZD.

XVZBAE+ZDAF=90°,

ZFDA+ZDAF=90°,

.?.NBAE=NFDA,

.,.△ABE^ADFA,

.ABAE

,?—，

DFAD

4X510

??Dr-------------=-------=一?

AE63

四、鞏固練習(xí)

1.如圖,若NBEF=NCDF,則

【答案】Z^FEBAFDCAABDAACE

HC

第1題圖

2.如圖，已知A(3,0),B(0,6),且NACO=NBAO,則點(diǎn)C的坐標(biāo)

為,AC=.

【答案】(0,)

3.如圖，若NACD=NB,則4,對(duì)應(yīng)邊的比例式為,Z

ADC=—.

【答案】ACDABC==ZACB

4.下列各組圖形一定相似的是()

A.有一個(gè)角相等的等腰三角形

B.有一個(gè)角相等的直角三角形

C.有一個(gè)角是100°的等腰三角形

D.有一個(gè)角是對(duì)頂角的兩個(gè)三角形

【答案】C點(diǎn)撥:等腰三角形角相等時(shí)，要注意該角所在的位置.

五、課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了：

三角形相似的判定方法1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

教學(xué)反思

本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法1,本課教學(xué)力求使探究途徑多元

化,把學(xué)生利用刻度尺、量角器等作圖工具做靜態(tài)探究與應(yīng)用“幾何畫板”等計(jì)

算機(jī)軟件做動(dòng)態(tài)探究有機(jī)結(jié)合起來,讓學(xué)生充分感受探究的全面性,豐富探究的

內(nèi)涵.另外小組合作學(xué)習(xí)的開展不僅提高了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效率，而且培養(yǎng)了學(xué)生的

合作能力.

22.2.4利用三邊關(guān)系判定兩三角形相似

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

理解并掌握相似三角形的判定方法3.

【過程與方法】

培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納的能力，感受兩個(gè)三角形全等的判定方

法SSS與三角形相似定理的區(qū)別與聯(lián)系,體驗(yàn)事物間特殊與一般的關(guān)系.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

讓學(xué)生經(jīng)歷從試驗(yàn)探究到歸納證明的過程,發(fā)展學(xué)生合理的推理能力.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

兩個(gè)三角形相似的判定方法3及其應(yīng)用.

【難點(diǎn)】

探究?jī)蓚€(gè)三角形相似的判定方法3的過程.

教學(xué)過程

一、問題引入

1.全等三角形與相似三角形有怎樣的關(guān)系？

（全等三角形是特殊的相似三角形,相似比k=l）

2.如果要判定4ABC與MB'C'相似,是不是一定需要一一驗(yàn)證所有的對(duì)應(yīng)

角和對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系？

（不需要）

二、新課教授

由三角形全等的SSS判定方法,我們會(huì)想如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)

三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么能否判定這兩個(gè)三角形相似呢？

探究：

任意畫一個(gè)三角形，再畫一個(gè)三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長

的k倍,度量這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角，它們相等嗎?這兩個(gè)三角形相似嗎?與同學(xué)

交流一下,看看是否有同樣的結(jié)論.

師生活動(dòng)：

教師提出問題,引導(dǎo)學(xué)生在稿紙上畫圖.

學(xué)生動(dòng)手畫圖、測(cè)量，獨(dú)立研究后再小組討論.

三角形相似的判定方法3:三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

三、例題講解

【例】如圖，方格網(wǎng)的小方格是邊長為1的正方形,4ABC與△A'B'C'的頂

解：由于AABC與aA'B'C'的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,根據(jù)勾股定理,得

AB=V2,AC=2,BC=W+l=V10;

A'B'=V22+1=后，A'C'=732+l=M,B'C'=5.

..ABV2V10AC2V10BC

"而一忑一號(hào)'AV-VW

.,.△ABC^AA5B'C'.

四、鞏固練習(xí)

1.根據(jù)下列條件,判斷4ABC和AA'B'C'是否相似,并說明理由.

AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,

A'BJ=20cm,B'C)=16cm,A'C'=32cm.

【答案】相似，三組對(duì)應(yīng)邊的比相等.

2.圖中的兩個(gè)三角形是否相似？

25/45、

【答案】不相似.

3.要做兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形的三邊長分別為3、4、

5,另一個(gè)三角形的一邊長為2,它的另外兩邊長為多少?你有幾個(gè)答案？

【答案】1.5,2.5或1.2,1.6.

五、課堂小結(jié)

師:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有什么體會(huì)與收獲?可以與大家分享一下嗎？

學(xué)生發(fā)言:說說自己的體會(huì)與收獲,教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言予以點(diǎn)評(píng).

教學(xué)反思

本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法3,由于前兩節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了探究

兩個(gè)三角形相似的判定方法1和2,而本節(jié)課內(nèi)容在探究方法上與前兩節(jié)課又具

有一定的相似性,因此本課教學(xué)設(shè)計(jì)注意方法上的“新舊聯(lián)系”，以幫助學(xué)生形成

認(rèn)知上的正遷移.

22.1.4平行線分線段成比例

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握平行線分線段成比例定理及其推論,并會(huì)靈活

應(yīng)用.

2.使學(xué)生掌握三角形一邊的平行線的判定定理.

【過程與方法】

通過學(xué)習(xí)定理再次鍛煉類比的數(shù)學(xué)思想，能把一個(gè)稍復(fù)雜的圖形分成幾個(gè)基

本圖形,通過應(yīng)用鍛煉識(shí)圖能力和推理論證能力.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

通過定理的學(xué)習(xí)知道認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律是從特殊到一般,并能欣賞數(shù)學(xué)表

達(dá)式的對(duì)稱美,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

平行線分線段成比例定理和推論及其應(yīng)用.

【難點(diǎn)】

平行線分線段成比例定理的正確性的說明及推論應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

教師多媒體課件出示：

1.求下列各式中x：y的值.

(l)3x=7y;(2)y=x;(3)y：x=4：7.

2.已知x:2=y:3=z:6,求(x+y-z)：(4x+6y+z).

教師找兩位學(xué)生分別板演1、2題,其余同學(xué)在下面做,教師巡視,然后集體訂

正.

二、共同探究，獲取新知

師:平行于三角形一邊的直線，在另外兩邊上截得的線段是怎樣的呢？

生:……

教師多媒體課件出示：

已知：如圖,過4ABC的AB邊上任意一點(diǎn)D作直線DE平行于BC,交AC于點(diǎn)

E,求證：=.

師:你能證明這個(gè)問題嗎？

學(xué)生思考、討論.

教師邊操作邊講解:我們可以作輔助線,連接BE、CD,再過點(diǎn)E作AB上的垂

線段h.

師:現(xiàn)在你能猜出可以轉(zhuǎn)化為哪兩個(gè)三角形的面積之比嗎？

學(xué)生思考后回答:能，可以轉(zhuǎn)化為4ADE和4BDE的面積之比.

師:你是怎樣得到的呢？

生:AADE的面積等于AD與h乘積的一半,ABDE的面積等于BD與h乘積一

半,所以==.

師:你回答得太好了！我們要證的是=,我們把AD與DB的比轉(zhuǎn)化為了兩個(gè)三角

形的面積之比.再證出什么就能得到結(jié)論了？

學(xué)生思考后回答:再證出三

師:對(duì),你們太聰明了！你怎么證明這個(gè)相等關(guān)系呢？

生:過點(diǎn)D向AC邊作垂線,與前面同理可證出這個(gè)相等關(guān)系.

師:很好!這樣我們就證出三

由這個(gè)比例式，你能推出哪些線段也是成比例的?還有哪些比例式也是成立

的呢？

學(xué)生思考,教師提示.

生甲：=.

生乙：=.

師:對(duì)!上面的圖形,也可看作是直線BC平行于4ADE的一邊與另外兩邊的延

長線相交而得到的.于是我們能得到一個(gè)定理.

教師提示大家讀出書上的推論,并板書：

定理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

師:這個(gè)定理可推廣成一般的形式.

教師多媒體課件出示：

已知：如圖，直線L〃k〃L直線AC、DF被這三條直線分別截于點(diǎn)A、B、C

和D、E、F,求證：=.

師:直線AC、DF被這三條直線所截，不止一種結(jié)果.因?yàn)椴煌闆r下的證明方

法不同,所以我們要對(duì)截得的結(jié)果分類,被截的情形有哪幾種呢？

學(xué)生思考、討論.

生甲:AC與DF平行.

生乙:AC與DF不平行，但它們?cè)贚與k間不相交.

生丙:AC與DF相交在L或13±.

生丁:AC與DF相交在兩條平行線間.

師：下面我們分別就這幾種情況進(jìn)行討論.先看平行時(shí),怎么證明這個(gè)結(jié)論

呢？

生:根據(jù)夾在兩條平行線間的平行線段相等得到AB=DE,BC=EF,所以AB:

BC=DE：EF.

師:很好!如果AC與DF不平行且在L與1?間不相交時(shí)，又該如何證明呢？

學(xué)生思考,討論后教師找一生板演,其余同學(xué)在下面做，然后集體訂正.

證明：過點(diǎn)A作DF的平行線,分別交上、k于點(diǎn)E'、F'.

這時(shí)有=,而四邊形AE'ED和四邊形E'F'FE都是平行四邊形,所以

AE'=DE,E'F'=EF,因而可得=.

其余兩種情況類似可證.

師:于是我們得到如下定理：

（教師板書）

平行線分線段成比例定理兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成

比例.

三、繼續(xù)探究，層層推進(jìn)

師:在這個(gè)定理中，當(dāng)=1時(shí),有=1,即當(dāng)AB=BC時(shí),有DE=EF,由此你能得到什么

結(jié)論？

學(xué)生口述,教師板書：

平行線等分線段定理兩條直線被三條平行線所截,如果在其中一條上截得

的線段相等,那么在另一條上截得的線段也相等.

四、例題講解

【例】如圖,在Z\ABC中，E、F分別是AB和AC上的點(diǎn),且EF〃BC.

(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的長是多少？

(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的長是多少？

解：⑴?.?EF〃BC,

VAE=7,EB=5,FC=4,

AF===.

(2)VEF/7BC,

?一

??一?

VAB=10,AE=6,AF=5,

AC===,

.,.FC=AC-AF=-5=.

五、鞏固練習(xí)

師：同學(xué)們,我們今天學(xué)習(xí)了不少知識(shí)，你們都掌握了嗎?現(xiàn)在我來出幾道題

目幫助大家消化一下.

1.如圖，已知AB〃CD〃EF,那么下列結(jié)論正確的是()

A.=

B.=

C.=

D.=

【答案】A

2.如圖，DE〃BC,AB：DB=3：1,則AE：AC=

【答案】2：3

第3題圖

3.如圖,DE〃BC,若AB=8,AE：EC=2：3,則AD=.

【答案】

4.如圖,DE是4ABC的中位線,F是DE的中點(diǎn),BF的延長線交AC于點(diǎn)H,則

AH：HE=—.

【答案】2：1

第5題圖

5.如圖，在Z\ABC中，DE〃BC,AD=4,DB=8,AE=3.

(D求的值；

⑵求AC的長.

【答案】⑴===;

⑵?.?DE〃BC,；.==.

XVAE=3,/.AC=9.

六、課堂小結(jié)

師:今天你學(xué)習(xí)了哪些定理?

學(xué)生口述定理.

22.4圖形的位似變換

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.了解位似圖形及其有關(guān)概念，了解位似與相似的聯(lián)系和區(qū)別,掌握位似圖

形的性質(zhì).

2.掌握位似圖形的畫法,能夠利用作位似圖形的方法將一個(gè)圖形放大或縮

小.

【過程與方法】

經(jīng)歷位似圖形的探索過程,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作的能力,體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖.

【難點(diǎn)】

利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小.

教學(xué)過程

一、問題引入

1.生活中我們經(jīng)常把照片放大或縮小，由于沒有改變圖形的形狀,我們得到

的照片是真實(shí)的.

2.問：如圖，多邊形ABCDE,把它放大為原來的2倍,即新圖與原圖的相似比為

2,應(yīng)該怎樣做?你能說出畫相似圖形的一種方法嗎？

二、新課教授

活動(dòng)1:觀察下圖，圖中有多邊形相似嗎?如果有，那么這種相似有什么共同

的特征？

師生活動(dòng)：

教師提出問題.

學(xué)生通過觀察了解到有一類相似的圖形,除具備個(gè)似的所有性質(zhì)外,還有其

他特性,學(xué)生自己歸納出位似圖形的概念:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每

組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖

形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又稱為位似比.每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中

心共線（位似中心可在形上、形外、形內(nèi)）；不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.利用

位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小.

活動(dòng)2:把圖中的四邊形ABCD縮小到原來的.

師生活動(dòng)：

教師提出問題,要注意引導(dǎo)學(xué)生能夠用不同的方法畫出所要求作的圖形，要

讓學(xué)生通過作圖理解符合要求的圖形不唯一,這和所作的圖形與所確定的位似中

心的位置有關(guān)（如位似中心0可能選在四邊形ABCD外,可能選在四邊形ABCD內(nèi)，

可能選在四邊形ABCD的一條邊上,可能選在四邊形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)上），并且同

一個(gè)位似中心的兩側(cè)各有一個(gè)符合要求的圖形,因此，位似中心的確定是關(guān)鍵.

學(xué)生積極思考如何作圖,并動(dòng)手作圖,遇到問題及時(shí)詢問.

分析:把圖形縮小到原來的，也就是使新圖形上各頂點(diǎn)到位似中心的距離與

原圖形各對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比為1：2.

作法一：

(1)在四邊形ABCD外任取一點(diǎn)0;

(2)過點(diǎn)0分別作射線射、OB、0C、0D;

(3)分別在射線0A、OB、0C、0D上取點(diǎn)A'、B'、C'、D',使得

OA'OB'OCOD'.

OAOBOCOD'

(4)順次連接A"B'、B'C'、CD\D'A',所得四邊形A'B'CD'就是所要求作

的圖形，如圖.

問：此題目還可如何畫出圖形？

作法二：

(1)在四邊形ABCD外任取一點(diǎn)0;

(2)過點(diǎn)0分別作射線射、OB、OC、0D;

(3)分別在射線OA、OB、OC、0D的反向延長線上取點(diǎn)A'、B'、C'、D',使得

OA'OB'OC_OD'_2.

(4)順次連接A'B'、B'C'、C'D'、-父，所得四邊形人'8'(：』'就是所要求作

的圖形，如圖.

作法三：

(1)在四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)0;

(2)過點(diǎn)0分別作射線射、OB、OC、0D;

(3)分別在射線OA、OB、OC、0D上取點(diǎn)A'、B'、C'、D',使得

OA'OB'OCOD'c

OA~OB~OC~OD~'

(4)順次連接A'B'、B'C'、C'D'、-父，所得四邊形人"'(；』'就是所要求作

的圖形，如圖.

(當(dāng)點(diǎn)0在四邊形ABCD的一條邊上或在四邊形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)上時(shí)，作法略.

可以讓學(xué)生自己完成)

三、例題講解

【例】如圖，指出下列各圖中的兩個(gè)圖形是否是位似圖形，如果是位似圖形,

請(qǐng)指出其位似中心.

分析:位似圖形是特殊位置上的相似圖形，因此判斷兩個(gè)圖形是否為位似圖

形,首先要看這兩個(gè)圖形是否相似再看對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否都經(jīng)過同一點(diǎn),這兩個(gè)

方面缺一不可.

解：圖⑴、⑵和⑷三個(gè)圖形中的兩個(gè)圖形都是位似圖形，位似中心分別是

圖(1)中的點(diǎn)A,圖⑵中的點(diǎn)P和圖⑷中的點(diǎn)0.(圖⑶中的點(diǎn)0不是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線

的交點(diǎn),故圖(3)不是位似圖形，圖(5)也不是位似圖形)

四、鞏固練習(xí)

1.已知：四邊形ABCD及點(diǎn)0,試以0點(diǎn)為位似中心,將四邊形放大為原來的2

倍.

【答案】略

2.畫出所給圖形的位似中心.

五、課堂小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了：

1.位似圖形的概念:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線

相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.

2.位似的作用：利用位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小.

3.位似圖形的畫法.

教學(xué)反思

位似是相似形的延伸和深化.位似圖形在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用,

如利用位似把圖形放大或縮小;放電影時(shí)，膠片與屏幕的畫面也是位似圖形.本章

編排的素材不僅豐富了教材的內(nèi)容,加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與自然、社會(huì)及其他學(xué)科的聯(lián)系，

同時(shí)體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，更突出地

反映了數(shù)學(xué)的價(jià)值.因此,本節(jié)教材對(duì)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和應(yīng)用意識(shí)，

提高解決問題的能力,感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣,增進(jìn)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,具有積極

促進(jìn)的作用.

22.3相似三角形的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

理解并掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（高、中線、角平分線）之間的關(guān)系和相似三角

形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，掌握定理的證明方法,并能靈

活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)，并能用來解決簡(jiǎn)單的問題.

【過程與方法】

在對(duì)性質(zhì)定理的探究中，學(xué)生經(jīng)歷“觀察一猜想一論證一歸納”的過程，培養(yǎng)

學(xué)生主動(dòng)探究、合作交流的習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度,并在其中體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思

想,培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、勇于探索、勤于思考的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高分析問題和解決問

題的能力.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

經(jīng)歷探索相似三角形性質(zhì)的過程,并在探究過程中發(fā)展學(xué)生積極的情感、態(tài)

度與價(jià)值觀,體驗(yàn)解決問題策略的多樣性.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

相似三角形性質(zhì)定理的探究及應(yīng)用.

【難點(diǎn)】

綜合應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定定理探索相似三角形中對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系

和相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)回顧

師:相似三角形的判定方法有哪些？

學(xué)生回答：

師:相似三角形有哪些性質(zhì)？

生:相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.

師:三角形有哪些相關(guān)的線段?

生:中線、高和角平分線.

二、共同探究，獲取新知

探究1：

己知：如圖，AABC^AA'B'C',它們的相似比為k,AD,A'D'是對(duì)應(yīng)高.求

ADAB,

證:-------=---------=K.

A'D'A'B'

師:這個(gè)題目中已知了哪些條件？

生:ZXABC和B'C'相似,這兩個(gè)三角形的相似比是k,AD、A'D'分別是它們

的高.

師:我們要證明的是什么？

生:它們的高的比等于它們對(duì)應(yīng)邊的比，等于這兩個(gè)三角形的相似比.

師:你是怎樣證明的呢？

學(xué)生思考,交流.

生:證明aABD和AA'B'D'相似,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

ADAB

A'D'A'B'

師:你怎樣證明4ABD和AA'B'D'相似呢？

學(xué)生思考后回答：因?yàn)閍ABC和AA'B'C'相似，由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，

所以NB=/B',ZADB=ZA'D'B'=90°.根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到

△ABD和AA'B'D'相似.

師:很好!現(xiàn)在請(qǐng)大家寫出證明過程,然后與課本上的對(duì)照，加以修正.

學(xué)生寫出證明過程.

證明：：AABC^AA'B'C',

.,.ZB=ZB".

VZBDA=ZB*D*A'=90°,

.".RtAABD^RtAA"B'D',

.ADAB,

..-----=----=k.

A'D'A'B'

師:現(xiàn)在我請(qǐng)兩位同學(xué)分別板演下面的兩道練習(xí)題,其余同學(xué)在下面做.

1.已知:如圖,△ABCS/XA'B'C',它們的相似比為k,AD、A'D'是對(duì)應(yīng)的中線.

ADAB,

求證:----=----=k.

A'D'A'B'

證明：?.?△ABCSAA'B'C',

/.ZB=ZB\

B'C'A'B'

XVAD和A'D'分別是AABC和Z\A'B'C的中線,

...BD=』BC,B'D'=，B'C',

22

.BDAB

??----=----=k,

B'D'A'B'

：.AABD和AA'B'D'相似（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似）,

.ADAB,

..----=----=k.

A'D'A'B'

2.已知：如圖，△ABCsaA'B'C',它們的相似比為k,AD、A'D'分別是NBAC

和/B'A'C'的平分線.

求證:但=空4

A'D'A'B'

證明：:△ABCsAA'B'C,

.?.NB=NB',NA=NA'.

又TAD和A'D'分別是NBAC和NB'A'C的平分線,

.,.ZBAD=ZBAC,

NB'A"D'=NB'A'C',

ZBAD=ZB*A'D',

/.△BAD-AB'A'D'（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似），

.ADAB,

??---=----=k.

A'D'A'B'

師:于是我們就得到了相似三角形的一個(gè)性質(zhì)定理.

教師板書：

定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于

相似比.

探究2:如果兩個(gè)三角形相似，它們的周長之間是什么關(guān)系？如果是兩個(gè)相似

多邊形呢？

學(xué)生小組自由討論、交流，達(dá)成共識(shí).

讓學(xué)生回答結(jié)果，給出評(píng)價(jià).

設(shè)△ABCSAABG,相似比為k,

wACBCAB,

那么----=----=----=k

AGB、C[A蜴

由等比性質(zhì)，得

___A_C__+__B__C__+_A__B__—k.

AG+B[G+AB、

由此我們可以得到：

相似三角形的性質(zhì)2:相似三角形周長的比等于相似比.

用類似的方法,還可以得出：

相似多邊形的性質(zhì)1：相似多邊形周長的比等于相似比.

探究3

(1)如圖(1),△ABCSAABC,相似比為kb它們的對(duì)應(yīng)高的比是多少?它們

的面積比是多少？

通過前面的學(xué)習(xí)，我們得到了相似三角形的性質(zhì)1:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比

等于相似比.

.ADAB,

??----=----=ki.

A12AB]

由上述結(jié)論,我們有：

@-BC?AD

?△ABC_2=女2.

相似三角形的性質(zhì)3:相似三角形面積的比等于相似比的平方.

(2)如圖(2),我們也可以得到

相似多邊形的性質(zhì)2:相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

三、例題講解，應(yīng)用新知

［例1］如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形,它的邊BC=80cm,高AD=60cm.要把它

加工成矩形零件使矩形的長、寬之比為2：1,并且矩形長的一邊位于邊BC上,另

外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上.求這個(gè)矩形零件的長與寬.

師:請(qǐng)同學(xué)們思考一下這個(gè)問題.

學(xué)生思考,計(jì)算,交流.

師:我們要怎樣用輔助線呢？

教師找一生回答.

生:加工成的矩形邊SR在BC上，頂點(diǎn)P、Q分別在AB、AC上，把a(bǔ)ABC的高

AD與PQ的交點(diǎn)記為E.

教師作圖.

師:作出了輔助線后該怎么做呢?我們都已知了哪些條件？

生:BC的長、AD的長和矩形零件的長、寬比.

師:你打算怎樣由這些條件求出這個(gè)零件的長和寬呢？

生：因?yàn)镻Q〃BC,所以4APQ和4ABC相似,然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成

正比例得到一個(gè)等量關(guān)系，設(shè)矩形零件的寬為xcm,長就為2xcm,代入那個(gè)等量關(guān)

系式,就得到了關(guān)于x的一個(gè)方程,解方程即可求出x的值,即矩形的寬，然后根據(jù)

長寬的比求出零件的長.

師:很好!你的思路很清晰.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們寫出求解過程.

解:如圖,矩形PQRS為加工后的矩形零件,邊SR在邊BC上,頂點(diǎn)P、Q分別在

邊AB、AC上，AABC的高AD交PQ于點(diǎn)E.設(shè)PS為xcm,則PQ為2xcm.

VPQ/7BC.

.,.△APQ^AABC.

?PQAF^

,?而一而‘

即生=竺M.

8060

解方程,得x=24,2x=48.

答:這個(gè)矩形零件的邊長分別是48cm和24cm.

A

【例2】如圖，AABC的面積為25,直線DE平行于BC分別交AB、AC于點(diǎn)D、

E.如果4ADE的面積為9,求的值.

解：VDE^BC,

.".△ADE^AABC.

AF"^7-25'

解方程，得四=工

AB5

.AD3

..=—?

DB2

四、課堂小結(jié)

師:今天你又學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？

學(xué)生回答.

教學(xué)反思

本節(jié)課主要是讓學(xué)生理解并掌握相似三角形的性質(zhì).通過探索相似多邊形周

長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方讓學(xué)生體驗(yàn)化歸思想,學(xué)會(huì)應(yīng)用

相似三角形周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方來解決簡(jiǎn)單的問題.

因此本課的教學(xué)設(shè)計(jì)突出了“相似比=相似三角形周長的比=相似多邊形周長的

比”，“相似比=相似三角形面積的比=相似多邊形面積的比”等一系列從特殊

到一般的過程,讓學(xué)生深刻體驗(yàn)到有限數(shù)學(xué)歸納法的魅力.

22.2.1相似三角形及平行線截相似三角形

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

掌握平行線截相似三角形有用的結(jié)論;能夠運(yùn)用三角形相似的條件解決簡(jiǎn)單

的問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷兩個(gè)三角形相似的探索過程,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

培養(yǎng)學(xué)生敢于實(shí)踐、勇于發(fā)現(xiàn)、大膽探索、合作創(chuàng)新的精神.

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

三角形相似的有用的結(jié)論:平行于三角形一邊的直線與其他涼拌（或兩邊的

延長線）香蕉，截得的三角形與原三角形相似.

【難點(diǎn)】

三角形相似的有用的結(jié)論的運(yùn)用.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

師:根據(jù)相似三角形的定義，三角分別相等、三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相

似三角形.那么，兩個(gè)三角形至少要滿足哪些條件就相似呢？能否類比兩個(gè)三角形

全等的條件尋找判定兩個(gè)三角形相似的條件呢?今天這節(jié)課我們就一起來探索三

角形相似的條件.

二、探究新知

問題.如圖,在aABC中,D為AB上任意一點(diǎn),過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)

E,那么4ADE與4ABC相似嗎？

要證AADE與4ABC相似,關(guān)鍵是要證明它們的對(duì)應(yīng)邊長度的比相等，因?yàn)樗?/p>

們的對(duì)應(yīng)角是分別相等的（為什么）?

過點(diǎn)D作AC的平行線交BC于點(diǎn)F.

VDE/7BC,DF〃AC,

.ADAEFCAD

"AB-AC'

,/四邊形DFCE是平行四邊形，

.?.DE=FC,即”="=.

BCAB

..ADAEDE

?~AB~~AC~~BC，

又；ZA=ZA,ZB=ZADE,ZC=ZAED,

.".△ADE^AABC.

于是得到如下有用結(jié)論：

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交,截得的三角形

與原三角形相似.

D

Z_A

OXA￡flc

tn⑶⑴

三、例題講解

【例】如圖，D、E分別是AABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，DE〃BC,AB=7,AD=5,DE=10,

求BC的長.

/A\

BL--------

解：VDEZ/BC,

.".△ADE^AABC,

.ADDE

??二.，

ABBC

ABC=A^DE=7xlO=14

AD5

四、鞏固練習(xí)

已知，如圖，AABC中,DE〃BC,DF〃AC,則圖中共有對(duì)相似三角形.

【答案】4點(diǎn)撥:兩條直線平行時(shí)，相應(yīng)的角相等.

I

D4

五、課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了：

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交,截得的三角形

與原三角形相似.

教學(xué)反思

本節(jié)課主要是探究平行線截得相似三角形,本課教學(xué)力求使探究途徑多元化,

讓學(xué)生充分感受探究的全面性,豐富探究的內(nèi)涵.另外小組合作學(xué)習(xí)的開展不僅

提高了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效率,而且培養(yǎng)了學(xué)生的合作能力.

22.1.1相似圖形

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

知道相似圖形的兩個(gè)特征:對(duì)應(yīng)邊成比例,對(duì)應(yīng)角相等.掌握判斷兩個(gè)多邊形

是否相似的方法一一“如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么

這兩個(gè)多邊形相似”.

【過程與方法】

經(jīng)歷從生活中的事物中抽象出幾何圖形的過程,體會(huì)由特殊到一般的思想方

法,感受圖形世界的豐富多彩.

【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】

在探索中培養(yǎng)學(xué)生與他人交流、合作的意識(shí)和品質(zhì).

重點(diǎn)難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

知道相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比相等.

【難點(diǎn)】

能運(yùn)用相似圖形的性質(zhì)解決問題.

教學(xué)過程

一、問題引入

活動(dòng)1:觀察圖片,體會(huì)開關(guān)相同的圖形.（多媒體出示）

師：同學(xué)們,請(qǐng)觀察下列幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)什么?你能對(duì)觀察到圖片特點(diǎn)進(jìn)

行歸納嗎？

JQdZyO

Oo??

生:這些圖形的開關(guān)相同，而大小不同.

二、新課教授

活動(dòng)2:思考:如圖是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們的形狀

相同嗎？

生:形狀不同.

師生活動(dòng).

教師出示圖片，提出問題.

學(xué)生細(xì)心觀察，認(rèn)真思考，小組討論后回答問題.

教師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行評(píng)價(jià)，總結(jié):哈哈鏡里看到的不同鏡像,它們的形狀不

同，它們的形狀發(fā)生了改變.

形狀相同而大小不同的兩個(gè)平面圖形,較大的圖形可以看成是由較小的圖形

“放大”得到的,較小的圖形可以看成是由較大的圖形“縮小”得到的.在這個(gè)過

程中,兩個(gè)圖形上的相應(yīng)線段也被“放大”或“縮小”，因此，對(duì)于形狀相同而大

小不同的兩個(gè)圖形,我們可以用相應(yīng)線段長度的比來描述它們的大小關(guān)系.

活動(dòng)3:探究.

如圖(1)的兩個(gè)正方形，應(yīng)有

ZA=ZAbZB=ZBI,ZC=ZCbZD=ZDl;

如圖⑵的兩個(gè)等邊三角形,應(yīng)有

ZA=ZA?ZB=ZBbZC=ZC1：

0.I-------------------|C,

1.63.2

(1)

⑵

一般地,兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形,如果它們的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊長度的比相

等,那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長度的比叫做相似比

或相似系數(shù).

師生總結(jié):相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等.

(1)如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)多邊形相

似;

(2)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比；

(3)當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)多邊形全等.

三、例題講解

【例1】如圖所示，四邊形ABCD和四邊形EFGH相似,求角a和B的大小以

及EH的長度X.

師生活動(dòng).

教師出示例題，提出問題.

學(xué)生通過運(yùn)用相似多邊形的性質(zhì)正確解答出角a和B的大小以及EH的長度

X.

解：四邊形ABCD和四邊形EFGH相似,它們的對(duì)應(yīng)角相等.由此可得

Na=/C=83°,ZA=ZE=118°,

在四邊形ABCD中，

Z0=360°-(78°+83°+118°)=81°.

四邊形ABCD和四邊形EFGH相似它們的對(duì)應(yīng)邊成比例.由此可得

=,即=.

解得:x=28(cm).

【例2】已知四邊形ABCD與四邊形ABCD相似，且AB：B.C,：CD：

D,A,=7：8：11：14.若四邊形ABCD的周長為40,求四邊形ABCD各邊的長.

分析：因?yàn)閮蓚€(gè)四邊形相似，因此可根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等來解

題.

解：???四邊形ABCD與四邊形ABCD相似，

AAB：BC：CD：DA=AIB,：BC:CD：D,A,.

VA1Bt：BC：CD：D,Ai=7：8：11：14,

AAB：BC：CD：DA=7：8：11：14.

設(shè)AB=7m,則BC=8m,CD=llm,DA=14m.

???四邊形ABCD的周長為40,

7m+8m+1lm+14m=40,

m=l,

/.AB=7,則BC=8,CD=11,DA=14.

四、鞏固練習(xí)

1.在比例尺為1：10000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是30cm,求

兩地的實(shí)際距離，

【答案】3000km

2.如圖所示的兩個(gè)直角三角形相似嗎?為什么？

【答案】相似,因?yàn)樗鼈兊膶?duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

3.如圖所示的兩個(gè)五邊形相似，求求知邊a、b、c、d的長度.

【