§3.3變形體內(nèi)質(zhì)點的應(yīng)變狀態(tài)分析位移：物體內(nèi)各質(zhì)點在外力作用下發(fā)生的位置變化。

相對位移剛性平移剛體轉(zhuǎn)動質(zhì)點的相對位置不變形狀變化產(chǎn)生應(yīng)變位移場應(yīng)變場幾何學(xué)上的應(yīng)變分析應(yīng)變分析—小變形(10－3~10－2的彈塑性變形)塑性加工—大變形(應(yīng)變增量、應(yīng)變速率)一、質(zhì)點的應(yīng)變狀態(tài)1、位移及其分量

位移—變形體內(nèi)任意一點變形前后的直線距離。(矢量)

位移分量ui(u、v、w)沿坐標(biāo)軸上的分量，坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。位移場物體變形，質(zhì)點產(chǎn)生位移，位移引起應(yīng)變；一點的應(yīng)變狀態(tài)—變形體內(nèi)一點任意截面上應(yīng)變的方向、大小和個數(shù)。M點(x、y、z),ui

(u、v、w)M′點(x+dx

、y+dy

、z+dz),ui+

ui

(u+

u、v+

v

、w+

w)泰勒級數(shù)展開位移增量xzM(xi)vuwM1M′(xi+dxi)v′u′w′uiui

uiui+

uiyM1′MM′平行于x

軸時dy=0,

dz=02、線應(yīng)變與切應(yīng)變應(yīng)變

—線應(yīng)變；切應(yīng)變（應(yīng)變無單位）線應(yīng)變：變形體內(nèi)線元長度的相對變化率；切應(yīng)變：變形體內(nèi)相交兩線元夾角變形前后的變化。線元，線應(yīng)變(伸長為正，縮短為負(fù)）PBPAPC

為xy平面內(nèi)的偏轉(zhuǎn)角，記

xy

；若取兩相鄰邊線元PA、PC產(chǎn)生相同偏轉(zhuǎn)角

xy、

yx時，得到切應(yīng)變。線元偏轉(zhuǎn)，夾角變化，產(chǎn)生切應(yīng)變。工程切應(yīng)變（相對切應(yīng)變）—線元單位長度上的偏移量或兩相鄰邊線元所夾角的變化。（角度減小為正，增大為負(fù)）線元偏轉(zhuǎn)方向線元方向若兩相鄰邊線元PA、PC產(chǎn)生不同偏轉(zhuǎn)角

xy、

yx剛體轉(zhuǎn)動理論切應(yīng)變角變形＝切應(yīng)變＋剛體轉(zhuǎn)動切變形旋轉(zhuǎn)3、應(yīng)變分量和應(yīng)變張量變形疊加—三個線應(yīng)變分量、六個切應(yīng)變分量。應(yīng)變張量4、點的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)類比a、任意方向上的應(yīng)變分量b、主方向、主應(yīng)變、應(yīng)變狀態(tài)特征方程、應(yīng)變摩爾圓c、應(yīng)變張量不變量d、主切應(yīng)變和最大切應(yīng)變e、應(yīng)變張量分解應(yīng)變球張量應(yīng)變偏張量塑性變形體積不變條件f、八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變等效應(yīng)變單向拉伸1、位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點的相對位移（產(chǎn)生應(yīng)變）和變形體的剛性位移（剛性平移和剛體轉(zhuǎn)動）；2、工程切應(yīng)變

xy和理論切應(yīng)變

xy

；3、應(yīng)變符號規(guī)定線應(yīng)變()：伸長為正，縮短為負(fù)；切應(yīng)變（）：夾角減小為正，增大為負(fù)；4、應(yīng)力和應(yīng)變的類比相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似總結(jié)和討論：差異性：應(yīng)力

ij

研究面元ds

上內(nèi)力的集度，應(yīng)力平衡微分方程；應(yīng)變

ij研究線元dl

的變化情況，應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程，塑性變形體積不變條件；等效關(guān)系：等效應(yīng)力—彈性變形和塑性變形表達(dá)式相同；等效應(yīng)變—彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同。塑性變形彈性變形二、位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系

—小變形幾何方程單元體abcd，ac=dx,ac//ox軸，ab

=dy，ab//oy軸，變形為a1b1c1d1

，a點產(chǎn)生x、y方向位移u、v。線應(yīng)變切應(yīng)變小變形假設(shè)同理對

z、

yz、

zy

、

zx

、

xz。小變形幾何方程直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系物理意義：表示位移分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系。三、應(yīng)變連續(xù)方程三個位移分量，六個應(yīng)變分量，應(yīng)變分量之間存在一定關(guān)系—應(yīng)變連續(xù)方程（應(yīng)變協(xié)調(diào)方程），以保證變形體變形前后的連續(xù)性，不出現(xiàn)“重疊”和“撕裂”。若已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗其是否滿足連續(xù)性條件。

不同坐標(biāo)平面內(nèi)應(yīng)變分量之間的關(guān)系，三維坐標(biāo)下，三個切應(yīng)變分量確定，則線應(yīng)變分量也確定。坐標(biāo)平面內(nèi)應(yīng)變分量之間的關(guān)系，兩個線應(yīng)變分量確定，則切應(yīng)變分量也確定。四、應(yīng)變增量和應(yīng)變速率張量應(yīng)變?nèi)繎?yīng)變：反映變形體在某一變形過程或變形過程

中某一階段結(jié)束時的變形大小。應(yīng)變增量：在無限小的時間間隔dt內(nèi)，變形體內(nèi)質(zhì)點產(chǎn)生極小的位移變化（位移增量），引起的無限小的應(yīng)變增加量。應(yīng)變速率：單位時間內(nèi)的應(yīng)變大小。1、速度場和速度分量質(zhì)點的運動速度是坐標(biāo)和時間的函數(shù)，質(zhì)點位移是速度隨時間的積分。2、位移增量和應(yīng)變增量位移增量應(yīng)變增量應(yīng)變增量張量幾何方程★3、應(yīng)變速率應(yīng)變速率—變形速度（s-1）應(yīng)變速率分量幾何方程應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率表示瞬時的變形程度大小，與工具的速度有區(qū)別；應(yīng)變速率不單取決于工具速度，還與變形體尺寸及邊界條件有關(guān)。五、塑性變形程度的表達(dá)方式1、相對應(yīng)變相對延伸率相對端面收縮率2、對數(shù)應(yīng)變（真實應(yīng)變）對數(shù)應(yīng)變—用應(yīng)變增量的積分來表示的全量應(yīng)變，能反映變形體變形的實際情況（真實應(yīng)變)。應(yīng)變增量總應(yīng)變3、應(yīng)變的變換關(guān)系拉伸均勻變形階段4、對數(shù)應(yīng)變的特點對數(shù)應(yīng)變具有疊加性，是可加應(yīng)變；相對應(yīng)變不具可加性；對數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變；相對應(yīng)變不具可比性。對數(shù)應(yīng)變反映瞬時的變形，真實表示塑性變形過程，塑性成形中一般采用對數(shù)應(yīng)變來表示變形程度；小變形時，如無特殊說明認(rèn)為兩者相等；對數(shù)應(yīng)變不具有坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，只能用于主應(yīng)變方向不變的情況，對數(shù)應(yīng)變不是張量。伸長一倍縮短一倍注：六、塑性變形體積不變條件變形前變形后體積變化率塑性變形體積不變對數(shù)應(yīng)變的體積不變條件三種主應(yīng)變狀態(tài)圖（線應(yīng)變和不能全部同號）主應(yīng)力與主應(yīng)變的組合：

主應(yīng)力—9種；主應(yīng)變—3種一共只有23種可能的應(yīng)力應(yīng)變組合。？主應(yīng)力主應(yīng)變主應(yīng)變120mm

36mm

0.5mm的板，長度拉伸至144mm，寬度不變，求板的最終尺寸例3-4體積不變條件應(yīng)用板的最終尺寸為144mm

36mm

0.417mm七、平面變形和軸對稱變形1、平面變形體積不變條件幾何方程平面應(yīng)力問題時，

z不一定等于零，

x=-

y不一定成立，其它相同。2、軸對稱變形幾何方程某些軸對稱問題§3.4屈服準(zhǔn)則物體變形：彈性變形

塑性變形

=

S單向拉伸：彈性伸長變形→屈服→均勻塑性變形→塑性失穩(wěn)→斷裂多向應(yīng)力狀態(tài)：考慮所有應(yīng)力分量，以及物體變形與應(yīng)力狀態(tài)的特點。屈服準(zhǔn)則：變形體內(nèi)質(zhì)點由彈性狀態(tài)過渡到塑性狀態(tài)，并維持繼續(xù)進(jìn)行塑性變形所需滿足的力學(xué)條件，即各應(yīng)力分量與材料性能之間必須符合的一定關(guān)系。(塑性條件、屈服條件)★說明：對于各向同性材料，f為應(yīng)力不變量的函數(shù)；C是只與變形時材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，或是與材料性質(zhì)以及應(yīng)變歷史有關(guān)的函數(shù)；屈服準(zhǔn)則只是針對變形體內(nèi)的質(zhì)點，而不是整個變形體；f(

ij

)<

C，質(zhì)點處于彈性狀態(tài)，f(

ij

)=C，質(zhì)點處于塑性狀態(tài)，f(

ij

)>

C無意義。已提出基于不同假設(shè)而產(chǎn)生屈服的力學(xué)條件，但普遍應(yīng)用且較符合實際的主要有密席斯(Mises)屈服準(zhǔn)則和屈雷斯加(Tresca)屈服準(zhǔn)則。1864年，Tresca，擠壓實驗，提出Tresca屈服準(zhǔn)則—材料的屈服與最大切應(yīng)力有關(guān)，即當(dāng)變形體內(nèi)質(zhì)點的最大切應(yīng)力達(dá)到某一定值（材料的性能：剪切屈服強(qiáng)度）時，材料就發(fā)生屈服。（最大切應(yīng)力不變條件）一、Tresca屈服準(zhǔn)則單向應(yīng)力狀態(tài)一般應(yīng)力條件下平面應(yīng)變狀態(tài)和主應(yīng)力異號的平面應(yīng)力狀態(tài)下物理意義：當(dāng)材料產(chǎn)生塑性變形時，體內(nèi)質(zhì)點的最大切應(yīng)力保持不變?；蚴軆?nèi)壓薄壁圓筒，半徑r=300mm，內(nèi)壓p=35Mpa，(1)

S

=700Mpa，求管處于彈性變形的最小壁厚tmin

。例3-5Tresca屈服準(zhǔn)則的應(yīng)用1913年，Mises屈服準(zhǔn)則—當(dāng)質(zhì)點的等效應(yīng)力到達(dá)某定值時，材料屈服，該定值與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。二、Mises屈服準(zhǔn)則單向應(yīng)力狀態(tài)下物理意義：(1926年，Hencky)在三向應(yīng)力的作用下，當(dāng)變形體內(nèi)單位體積形狀改變的彈性能達(dá)到某常數(shù)時，材料屈服。單位體積的彈性能體積變形能形狀變形能Mises屈服準(zhǔn)則平面應(yīng)力狀態(tài)下平面應(yīng)變狀態(tài)下軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下例3-6Mises屈服準(zhǔn)則的應(yīng)用受內(nèi)壓薄壁圓筒，半徑r=300mm，內(nèi)壓p=35Mpa，(1)

S

=700Mpa，求管處于彈性變形的最小壁厚tmin

。屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式可用幾何圖形描述，即屈服軌跡和屈服表面。三、屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)—屈服軌跡和屈服表面1、平面應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡Mises橢圓，長半軸，短半軸。Mises屈服準(zhǔn)則(

3

=0)坐標(biāo)變換Tresca屈服準(zhǔn)則(

3

=0)Tresca屈服軌跡—內(nèi)接于Mises橢圓的六邊形，Tresca六邊形。對于理想塑性材料，按Tresca屈服準(zhǔn)則，點位于六邊形上—塑性，六邊形內(nèi)—彈性，六邊形外—無意義；按Mises屈服準(zhǔn)則，點位于橢圓上—塑性，橢圓內(nèi)—彈性，橢圓外—無意義。兩個軌跡有差別，Mises橢圓在外，Tresca六邊形在內(nèi)，要產(chǎn)生塑性變形，按Mises準(zhǔn)則，需要較大的應(yīng)力；兩個軌跡六個交點A(

S,0)

、C(

S,

S

)、E(0

,

S)、G(-

S,0)

、I(-

S,

-

S

)、K(0

,-

S)，為單向應(yīng)力狀態(tài)和軸對稱應(yīng)力狀態(tài)，兩準(zhǔn)則一致。兩個軌跡六個點B(

)

、D(

)、F(

)、H()

、J(

)、L(

)，為純剪切應(yīng)力狀態(tài)和平面應(yīng)變應(yīng)力狀態(tài)，兩準(zhǔn)則差別最大。2、屈服表面主應(yīng)力空間—以主軸作為坐標(biāo)系的空間。任意點P，矢量OP

，等傾線ON，分解為OM和MP

，OM代表應(yīng)力球張量，MP代表應(yīng)力偏張量。按Mises屈服準(zhǔn)則Mises屈服表面

—以為ON軸線，以為半徑的圓柱面，Mises圓柱面。Tresca屈服表面

—Mises圓柱的內(nèi)接六棱正柱面，Tresca六棱柱面。屈服表面與主軸坐標(biāo)平面的交線即屈服軌跡，12個特征點在屈服表面上為柱面的母線。屈服表面的幾何意義：主應(yīng)力空間上的點位于屈服表面上，處于塑性狀態(tài)；在屈服表面內(nèi)，處于彈性狀態(tài)；對理想塑性材料，位于屈服表面外，無意義。平面—主應(yīng)力空間中，過原點垂直于等傾線

ON的平面。應(yīng)力球張量為0，單向應(yīng)力線純剪切線3、

平面上的屈服軌跡設(shè)，Tresca屈服準(zhǔn)則中間主應(yīng)力對屈服沒有影響，Mises屈服準(zhǔn)則中間主應(yīng)力對屈服有影響。四、中間主應(yīng)力的影響

—屈服準(zhǔn)則的簡化表達(dá)式羅德(Lode)應(yīng)力參數(shù)，表示

2在應(yīng)力莫爾圓中的位置變化。Mises屈服準(zhǔn)則中間主應(yīng)力

應(yīng)力狀態(tài)10－111.1551圓柱體應(yīng)力狀態(tài)(單向應(yīng)力疊加靜水應(yīng)力)平面應(yīng)變應(yīng)力狀態(tài)(純剪切疊加靜水應(yīng)力)圓柱體應(yīng)力狀態(tài)(單向應(yīng)力疊加靜水應(yīng)力)Tresca屈服準(zhǔn)則T準(zhǔn)則K=0.5

S，M準(zhǔn)則K=0.5～0.577

S；在板料成形等平面應(yīng)力狀態(tài)中，

可取在

上的平均值，約為

=1.1。T準(zhǔn)則M準(zhǔn)則-1+101.1551兩個屈服準(zhǔn)則的比較（各向同性理想塑性材料）兩屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式與坐標(biāo)的選擇無關(guān)，是應(yīng)力不變量的函數(shù)；三個主應(yīng)力可以任意置換，且拉應(yīng)力與壓應(yīng)力作用相同；屈服準(zhǔn)則表達(dá)式與應(yīng)力球張量無關(guān)；（實際應(yīng)力球張量的影響可參閱固體現(xiàn)實應(yīng)力空間的鐘罩理論）Tresca屈服準(zhǔn)則只和最大、最小主應(yīng)力相關(guān)，是線性函數(shù)，當(dāng)主應(yīng)力順序已知時，使用方便；Mises屈服準(zhǔn)則還考慮中間主應(yīng)力的影響；實驗證明一般韌性金屬材料與Mises屈服準(zhǔn)則符合較好；Mises屈服表面是Tresca六棱柱面的外接圓柱面，當(dāng)單向應(yīng)力和軸對稱應(yīng)力狀態(tài)時，兩準(zhǔn)則相同；當(dāng)平面應(yīng)變狀態(tài)時，兩準(zhǔn)則相差最大。五、硬化材料的屈服準(zhǔn)則簡介材料加工硬化類型等向強(qiáng)化