人教版平行四邊形單元達標(biāo)測試題試題

一、選擇題

1.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,且AD>BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分別從A、C同時出

發(fā),P以lcm/s的速度由A向D運動,Q以2cm/s的速度由C向B運動，多少s時直線將四邊

形ABCD截出一個平行四邊形（）

2.如圖，菱形A8CD的周長為24,對角線4C、8。交于點。，ND48=60。，作DHLA8于

點H,連接0H,則0H的長為（）

A.2B.3C.2GD.4g

3.如圖，"BC中，ZBAC=60°,N8=45。，A8=2,點D是8c上的一個動點，點。關(guān)于

AB,AC的對稱點分別是點邑F,四邊形4EGF是平行四邊形，則四邊形AEGF面積的最小

值是（）

A.1B.—C.72D.73

4.如圖，在菱形ABCD中，兩對角線AC、BD交于點O,AC=8,BD=6,當(dāng)aOPD是以PD

為底的等腰三角形時，CP的長為（）

C

5.如圖，在平行四邊形A3CD中，過點A作AG_L3c于G,作A"_LCO于"，且

NG4〃=45。，4G=2,AH=3,則平行四邊形的面積是（）

A.672B.12>/2C.6D.12

6.如圖，在EJABCD中，AD=2AB,F是AD的中點，作CE_LAB,垂足E在線段AB上（E不

與A、B重合），連接EF、CF,則下列結(jié)論中一定成立的是（）

①NDCF=g/BCD；②EF=CF；③V2sAe「；?ZDFE=4ZAEF

A.①②??B.①②③C.①②D.①②④

7.如圖，△48iG中，48i=4,4cl=5,81cl=7.點4、B?、C2分別是邊86、4G、

481的中點;點4、83、C3分別是邊82c2、42c2、482的中點；......;以此類推，則第2019

個三角形的周長是（）

A，220MB.22015C.22016D*^20l7

8.如圖，在△ABC中，48=3,AC=4,BC=5,bABD,LACE,A8CF都是等邊三角形,

下列結(jié)論中：?AB±AC；②四邊形4EF0是平行四邊形；③NDF￡=150°；④S內(nèi)邊形謝）=

5.正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個

D.4個

9.如圖，在平行四邊形A8CO中，對角線AC,80交于點。，BD=2AD,點E,

F,G分別是OA,OB,C。的中點，EG交FD于/H,下列4個結(jié)論中說法正確的

有()

①EO_LCA；②EF=EG.,③FH=；FD；@S^EFD=^S^CD.

B

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

10.如圖，已知一個矩形紙片04CB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點4(10,

0),點8(0,6),點P為8c邊上的動點，將△O8P沿OP折疊得到AOPD,連接8、

AD.則下列結(jié)論中：①當(dāng)N8OP=45。時，四邊形O8PD為正方形；②當(dāng)N8OP=30。時，

△O4D的面積為15；③當(dāng)P在運動過程中，8的最小值為2后-6；④當(dāng)OOJ_A。時,

BP=2.其中結(jié)論正確的有()

0X

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形48C。的邊C。、OA分別在x軸、y軸上，點E在邊

BC上，將該矩形沿4E折疊，點8恰好落在邊OC上的F處.若。4=8,CF=4,則點￡的

坐標(biāo)是.

12.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點0,對角線長為1cm,過點O任作一條直線分

別交AD,BC于E,F,則陰影部分的面積是.

13.如圖，菱形A8C。的8C邊在尢軸上，頂點C坐標(biāo)為(-3,0),頂點。坐標(biāo)為

(0,4),點E在軸上，線段E///X軸，且點尸坐標(biāo)為(8,6),若菱形48C。沿x軸左

右運動，連接4￡、。尸，則運動過程中，四邊形AOFE周長的最小值是.

14.如圖，在正方形ABCD中，點￡尸將對角線AC三等分，且AC=6.點P在正方

形的邊上，則滿足PE+P/=5的點尸的個數(shù)是個.

15.如圖，在△ABC中，48=3,AC=4,8c=5,P為邊8c上一動點，PE_L48于E,

PFLACTF,則EF的最小值為

BP

3

16.已知在矩形ABC。中，48=—,8。=3,點尸在直線3。上，點。在直線C。上，且

2

從「_1。。,當(dāng)4尸二尸。時，AP=.

17.如圖，菱形A3C。的邊長是4,NABC=60。，點E,尸分別是AB,3c邊上的

動點（不與點A,B,C重合）：且BE=B產(chǎn)，若EG//BC,FG'JAB,EG與尸G相

交于點G,當(dāng)AOG為等腰三角形時，BE的長為.

18.如圖，長方形A8C。中48=2,8c=4,正方形4EFG的邊長為1.正方形AEFG繞點4

19.如圖，在RtZ\48C中，Z4Cfi=90°，AC=8,BC=6,點。為平面內(nèi)動點，且滿足4D

=4,連接8D,取8。的中點E,連接CE,則CE的最大值為

20.如圖，在四邊形ABCD中，A。//8cAO=5,8C=18,E是BC的中點.點P以每秒

1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動;點。同時以每秒3個單位長度的速度

從點C出發(fā)，沿C8向點8運動.點尸停止運動時，點。也隨之停止運動，當(dāng)運動時間為

，秒時，以點P,Q,E,。為頂點的四邊形是平行四邊形，貝〃的值等于

21.如圖，在R/&48C中，NABC=90。，ZC=30°,AC=\2cm,點E從點A出發(fā)

沿AB以每秒\cm的速度向點B運動，同時點。從點C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向

點A運動，運動時間為，秒(0v/v6),過點。作OR_LBC于點尸.

圖①圖②

(1)試用含/的式子表示AE、AD.。尸的長；

(2)如圖①，連接七尸，求證四邊形AEbO是平行四邊形；

(3)如圖②，連接OE,當(dāng)/為何值時，四邊形尸。是矩形？并說明理由.

22.如下圖1,在平面直角坐標(biāo)系中中，將一個含30。的直角三角板如圖放置，直角頂

點與原點重合，若點A的坐標(biāo)為(-1,0),480=30。.

(1)旋轉(zhuǎn)操作：如下圖2,將此直角三角板繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30。時，則點B的坐標(biāo)

為?

(2)問題探究：在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)將直角三角板繞點。順時針60。，如圖3,在AB邊

上的上方以AB為邊作等邊A8C,問：是否存在這樣的點D,使得以點A、B、C、D四

點為頂點的四邊形構(gòu)成為菱形，若存在，請直接寫出點D所有nJ能的坐標(biāo)：若不存在，請

說明理由.

(3)動點分析：在圖3的基礎(chǔ)上，過點。作OP_LA5于點P,如圖4,若點F是邊0B的

中點，點M是射線PF上的一個動點，當(dāng)△OM8為直角三角形時，求0M的長.

23.如圖，A8C是等腰直角三角形，NAC3=90。,分別以AB,AC為直角邊向外作等

腰直角和等腰直角VAC瓦G為8。的中點，連接CG,BE,CD,BE與CD交于點、

D

(1)證明：四邊形ACGO是平行四邊形；

(2)線段8E和線段CO有什么數(shù)量關(guān)系，請說明理由；

(3)已知8C=&,求EF的長度(結(jié)果用含根號的式子表示).

24.如圖，在矩形4BCD中，E是AD的中點，將A4BE沿8E折疊，點A的對應(yīng)點為

點G.

圖1圖2

(1)填空：如圖1,當(dāng)點G恰好在BC邊上時，四邊形ABGE的形狀是；

(2)如圖2,當(dāng)點G在矩形A8CO內(nèi)部時，延長BG交。。邊于點尸.

①求證：BF=AB+DF.

②若AO=Ji4B，試探索線段。尸與尸。的數(shù)量關(guān)系.

25.如圖，在長方形ABCO中，A8=8,A￡>=6.動點P、。分別從點。、A同時出發(fā)

向點C、8運動，點P的運動速度為每秒2個單位，點。的運動速度為每秒1個單位，當(dāng)

點P運動到點。時，兩個點都停止運動，設(shè)運動的時間為，(s).

(1)請用含，的式子表示線段尸C、的長，則PC二.BQ=.

(2)在運動過程中，若存在某時刻使得ABPQ是等腰三角形，求相應(yīng)/的值.

26.如圖1,在矩形紙片A8CD中，AB=3cm,4D=5cm,折疊紙片使8點落在邊45上的

E處，折痕為PQ,過點E作EF〃好交PQ于F,連接8F.

(1)求證：四邊形8FEP為菱形；

(2)當(dāng)E在4D邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨著移動.

①當(dāng)點Q與點C重合時，(如圖2),求菱形8FEP的邊長；

②如果限定P、Q分別在線段848c上移動，直接寫出菱形BFEP面積的變化范圍.

27.矩形48CD中，AB=3,8c=4.點￡,F在對角線AC上，點M,N分別在邊4D,BC

上.

(1)如圖1,若4F=CF=1,M,N分別是RU的中點.求證：四邊形FA4FN為矩形.

(2)如圖2,若4E=CF=05AM=CN=MO<X<2),且四邊形EMFN為矩形，求x的

值.

(圖1)(圖2)

(1)如圖2,連接EF,FG,GH,HE,試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)將正方形ABCD沿線段EG,HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一

個四邊形.若正方形ABCD的邊長為3cm,HA=EB=FC=GD=lcm,則圖3中陰影部分的面積

為—cm2.

29.在邊長為5的正方形ABCD中，點E在邊CD所在直線上，連接BE,以BE為邊，在

BE的下方作正方形BEFG,并連接AG.

(1)如圖1,當(dāng)點E與點D重合時，AG=

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段CD上時，DE=2,求AG的長;

備用圖

30.如圖，ABCD的對角線AC,BD相交于點0,48JLAC,AB=6cm,BC=1Ocm,

點尸從點A出發(fā)，沿AO方向以每秒1cm的速度向終點O運動，連接PO,并延長交

于點。.設(shè)點尸的運動時間為/秒.

(1)求8。的長(用含，的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)四邊形A3QP是平行四邊形時，求f的值；

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意設(shè)t秒時，直線將四邊形ABCD截出一個平行四邊形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-

2t.要使成平行四邊形，則就有AP二BQ或CQ=PD,計算即可求出t值.

【詳解】

根據(jù)題意設(shè)t秒時，直線將四邊形ABCD截出一個平行四邊形

則AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t

要使構(gòu)成平行四邊形

則：AP=BQ或CQ=PD

進而可得：r=6-2z或2f=9T

解得，=2或，=3

故選D.

【點睛】

本題主要考查四邊形中的動點移動問題，關(guān)犍在于根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即

可.

2.B

解析：B

【解析】

【分析】

由菱形四邊形相等、OD=OB,且每邊長為6,再有ND48=60。，說明△DAB為等邊三角

形，由。斤_L4B,可得AH=HB（等腰三角形三線合一），可得0H就是AD的一半，即可完

成解答。

【詳解】

解：???菱形48CD的周長為24

/.AD=BD=244-4=6,OB=OD

由?.?/D48=60°

???△DAB為等邊三角形

又?.?OHLAB

ZAH=HB

1

：,OH=-AD=3

2

故答案為B.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形、三角形中位線的知識，考查知識點較多，提升了試

題難度，但抓住雙基，本題便不難。

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

由對稱的性質(zhì)和菱形的定義證出四邊形AEGF是菱形，得出NEAF=2NBAC=120。，當(dāng)

AD_LBC最小時，AD的值最小，艮JAE的值最小，即菱形AEGF面積最小，求出AD=a,

即可得出四邊形AEGF的面積的最小值.

【詳解】

由對稱的性質(zhì)得：AE=AD=AF,

???四邊形AEGF是平行四邊形，

，四邊形AEGF是菱形，

.\ZEAF=2ZBAC=120°,

當(dāng)AD1BC最小時,AD的值最小，即AE的值最小,即菱形AEGF面積最小,

VZABC=45°,AB=2,

???AD=垃，

???四邊形AEGF的面積的最小值=

故選：D

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、對稱的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的

性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解決問題的關(guān)鍵.

4.C

解析：C

【解析】

【分析】

過。作。E_LCD于E.根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分得出08,0C的長，AC±BD,再利

用勾股定理列式求出C。，然后根據(jù)二角形的面積公式求出。E.在RtZXOED中，利用勾股

定理求出ED.根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出PE,利用CP=CD-PD即可得出結(jié)論.

【詳解】

過。作O￡_LC。于E.

「菱形48CD的對角線47、8D相交于點。，??.O8=28D=!X6=3,

22

22225

O4=OC=^/4C=-x8=4,AC±BD,由勾股定理得：CD=7OD+0C=73+4=-

11+

V-OCX0D=-CDX0E,/.12=5O￡,：.0E=2A.在RtZXODE中，

22

DE=yjoDr-OE2=>/32-2.42=1-8-

7

?：OD=OP,：.PE=ED=1.8t/.CP=CD-PD=5-1.8-1.8=1.4=-.

I

故選C.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出0E的長是解題的關(guān)鍵.

5.A

解析：A

【分析】

設(shè)NB=x,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得ND=NB="BAD=180°-x,AB=CD,

再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得x=45。，然后根據(jù)等腰直角三角形的判

定與性質(zhì)、勾股定理可得AB=2及，從而可得CD=2血，最后利用平行四邊形的面積

公式即可得.

【詳解】

設(shè)NB=x,

四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZD=ZB=x,ZBAD=180°-ZB=l80°-x,AB=CDf

AG-LBC.AHLCD,

ZBAG=90°-ZB=90°-x,ZDAH=90°-ZD=90°-x,

又/BAG+ZGAH+ADAH=ZBAD=180°-x,/GAH=45°,

.?.90O-X+45°4-90O-X=180°-X,

解得X=45。，

即ZB=45°,

RtABG是等腰直角三角形，

...BG=AG=2,AB=>1AG2+BG2=25/2?

:.CD=2y[2，

???平行四邊形ABCD的面積是AHCD=3x2近=6夜，

故選：A.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、等腰直角三角形的判定與性

質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.B

解析：B

【分析】

分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出△4EF空/XOMF(ASA),得

出對應(yīng)線段之間關(guān)系進而得出答案.

【詳解】

解：①:F是4。的中點，???”=8).

???在勿8CD中,4。=〃8,：.AF=FD=CD,：.ZDFC=ZDCF.

\'AD//BC,:?NDFC=/FCB,：,ZDCF=ZBCF,/DCF=；/BCD,故①正確；

延長EF,交CD延長線于M.

???四邊形A8CD是平行四邊形，，48〃C。，/.ZA=ZMDF.

??，F(xiàn)為AD中點,：.AF=FD.在AAEF和△DFM

NA=NFDM

中，AF=DF,：,AAEF^/^DMF(ASA),；.FE=MF,ZAEF=ZM.

4AFE=4DFM

,：CE.LAB,???NAEC=90°,/.ZAEC=ZECD=90°.

■;FM=EF,：,EF=CF,故②正確；

③,:EF=FM,:.S/\EFC=S^CFM-

?：MC>BEt：,S^BEC<2S^EFC

故③正確；

④設(shè)NFEC=x,則

/FCE=x,：.ZDCF=ZDFC=90°-AZEFC=180°-2x,AZEFD=900-x+180°-2x=2700-3x

VZAEF=90°-x,：.NDFE=3NAEF,故④錯誤.

故答案為B.

點睛：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出

/\AEF^ADMF是解題的關(guān)鍵.

7.A

解析：A

【分析】

由三角形的中位線定理得：BG，4c2，4芻分別等于A與、BG、GA的所

以aA2B2C2的周長等于△&B￡為周長的一半，以此類推可求出結(jié)論.

【詳解】

解：△44G中，44=4,AjC1=5,81G=7,

「.△A4G的周長是16,

&,B”G分別是邊4G，AG，44的中點，

.Be，4c2，4與分別等于A4、B?、GA的

9

以此類推，則的周長是最xl6=2；

24

???△4紇?！钡闹荛L是白，

2〃一

當(dāng)〃=2019時，第2019個三角形的周長二^?二熱

故選：A.

【點睛】

本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線

段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應(yīng)用.

8.C

解析：C

【分析】

由得出/班C=90。，則①正確；由等邊三角形的性質(zhì)得

ZDAB=ZEAC=60°,則ND4E=150°,由SAS證得得AC=DF=4E=4,同理

△ABCgAEFC(SAS),得48=EF=4D=3,得出四邊形八EFD是平行四邊形，則②正確；由

平行四邊形的性質(zhì)得NDFE=ND4E=150。，則③正確；ZFDA=180°-ZDFE=30°,過點A作

7

AMJ.。/于點M,SAEFD=-DFAD—=4x3x—=6,則④不正確；即

AUD22

可得出結(jié)果.

【詳解】

解：V32+42=52>

???AB2-^-AC2=BC2^

，NBAC=90°,

AAB1AC,故①正確；

:△ABD,4ACE都是等邊三角形，

AZDAB=ZEAC=60o,

又.??NBAC=90°,

/.ZDAE=150°,

VAABD和4FBC都是等邊三角形，

/.BD=BA,BF=BC,ZDBF+ZFBA=ZABC+ZABF=60%

AZDBF=ZABC,

在4ABC與△DBF中，

BD=BA

<NDBF=ZABC,

BF=BC

.,.△ABC^ADBF(SAS),

AAC=DF=AE=4,

同理可證：△ABC^^EFC(SAS),

,\AB=EF=AD=3,

???四邊形AEFD是平行四邊形，故②正確；

/.ZDFE=ZDAE=150<,,故③正確；

/.ZFDA=1800-ZDFE=180°-150°=30°,

過點4作AM_LOF于點M,

：.SAFFD=DFT=DFAD-=4X3X-=6,

i\r.riJ22

故④不正確；

???正確的個數(shù)是3個，

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等

邊三角形的性質(zhì)、平角、周角、平行是四邊形面積的計算等知識；熟練掌握平行四邊形的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.B

解析：B

【分析】

由等腰三角形“三線合一”得ED_LCA,根據(jù)三角形中位線定理可得EF=1AB：由直角三角

形斜邊上中線等于斜邊一半可得EG=gCD,即可得EF=EG；連接FG,可證四邊形DEFG是

平行四邊形，即可得FH=《FD,由三角形中位線定理可證得S&JEFMGSZXAOB，進而可得

24

311z

SAEFD=SAOEF+SAODE=~S,，ABCD?而SAACD=-S：；ABCD?推出SAEFD工-SAACD，即可得出結(jié)論.

1622

【詳解】

連接FG,如圖所示：

???四邊形ABCD是平行四邊形,

.\OA=OC,OB=OD,AD=BC,AD4BC,AB=CD,AB〃CD,

VBD=2AD,

AOD=AD,

,?,點E為OA中點,

AED±CA,故①正確；

TE、F、G分別是OA、OB、CD的中點，

1

/.EF/7AB,EF=-AB,

2

VZCED=90°,G是CD的中點，

1

AEG=-CD,

2

AEF=EG,故②正確；

VEF/7AB,AB//CD,

??.EF〃CD,EF=EG=DG,

???四邊形DEFG是平行四邊形.

???FH=DH,

BPFH=-FD>故③正確；

2

/△OEF^AOAB,

.1

?S/\OEF=_S.A,AOB*

4

.11

?SAAOB=SAAOD=~SOABCD，SAACD=~SOABCD，

.1

,?SAOEF="SoABCD，

16

/AE=OE,

.11

,?S/\CDE=-SAAOD=-Sr-ARCD,

?11_3

?SAEFD=S/XOEF+SAODE=-S，ABCD+TS.ABCD--S.ABCD>

16816

:.SAEFD工-SAACD?故④錯誤；

綜上，①@③正確；

故選：B.

【點睛】

本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，三角形面積，直角三角形斜邊上

中線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識；熟練運用三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

10.D

解析：D

【分析】

①由矩形的性質(zhì)得到ZOBC=90°,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OB=OD,

?PDO?OBP90?,NBOP=/DOP,推出四邊形O曲是矩形，根據(jù)正方形的判定

定理即可得到四邊形O爾步為正方形；故①正確：

②過。作J_OA于“，得到。A=10,08=6,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

DH=^OD=3,根據(jù)三角形的面積公式得到AOAO的面積為g倉B10=15,

故②正確；

③連接OC,于是得到OQ+CD.0C,即當(dāng)OO+CO=OC時，CO取最小值，根據(jù)勾

股定理得到CO的最小值為2后-6;故③正確；

④根據(jù)已知條件推出P,D,A三點共線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到？。PB2POA,等量

代換得到？OPA?POA,求得AP=OA=10,根據(jù)勾股定理得到

BP=BC-CP=10-8=2,故④正確.

【詳解】

解：①四邊形04cB是矩形，

ZOBC=90°,

將bOBP沿OP折疊得到\OPD,

:.OB=OD,?PDO?OBP90?,/BOP=/DOP,

Q?BOP45?,

\?DOP?BOP45?,

NBOO=90。，

\?BOD?OBP?ODP90?,

二.四邊形OB即是矩形，

OB=OD,

二.四邊形O8PD為正方形；故①正確；

②過。作。HJ_OA于"，

點410,0),點3(0,6),

.-.04=10,08=6,

\OD=OB=6,?BOP?DOP30?,

\?DOA30?,

\DH=-OD=3,

2

.?.AOA。的面積為;倉由10=15,故②正確；

③連接OC,

則OO+CD..OC,

即當(dāng)oo+co=oc時，co取最小值,

QAC=OB=6,OA=10,

\OC=ylOA2+AC2=71O2+62=2取，

\CD=OC-OD=2x/34-6，

即CD的最小值為2后-6;故③正確;

（4）OD1ADt

NAOO=90。，

Q?ODP?OBP90?,

\?ADP180?,

..P,D,力三點共線，

QOA//CB,

\?OPB?POA,

Q?OPB?OPD,

\?OPA?POA,

\AP=OA=10,

AC=6,

\CP=V102-62=8，

\BP=BC-CP=10-8=2,故④正確;

故選：D.

【點睛】

本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形的

面積的計算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.(-10,3)

【解析】

試題分析：根據(jù)題意可知△CEFSAOFA,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例，可求得

0F=2CE,設(shè)CE=x,則BE=8-x,然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得EF=8-x,根據(jù)勾股定理可得

222

X+4=(8-X),解得X=3,則OF=6,所以O(shè)C=10,由此可得點E的坐標(biāo)為(-10,3).

故答案為：(-10,3)

12

12.-cm2

8

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可以證明△AEOWCF。，就可以得出SMEO=SACF。，就可以求出AAOD面積

等于正方形面積的!，根據(jù)正方形的面積就可以求出結(jié)論.

4

【詳解】

解：如圖：

???正方形ABCD的對角線相交于點0,

/.△AEO與△CFO關(guān)于0點成中心對稱，

/.△AEO^CFO,

***S/iAEO=SA.CFO?

S,AAOD=SADEO+S^CFO，

???對角線長為1cm,

1一12

，S正方形ABCD=2X1X1=qcm'

?_12

??SAAOD=丁cm,

o

???陰影部分的面積為Jcm?.

o

故答案為：1cm2.

o

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用正方形的面枳及三角形

的面積公式的運用,在解答時證明AAEOgCF。是關(guān)鍵.

13.18

【分析】

由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形AQFE周長的最小，AE+DF的和應(yīng)是最小的，運

用“將軍飲馬〃模型作點E關(guān)于AD的對稱點同時作DF〃AFi，此時AE+DF的和即為

EiFi，再求四邊形AOFE周長的最小值.

【詳解】

在RtZXCOD中，0C=3,0D=4,

CD=VOC2+OD2=5,

???ABC。是菱形，

，AD=CD=5,

VF坐標(biāo)為(8,6),點E在y軸上,

/.EF=8,

作點E關(guān)于AD的對稱點Ei，同時作DF〃AF「

則Ei(0,2),Fi(3,6),

則EiF】即為所求線段和的最小值，

在RtZ\AEFi中，EiF[=屜；+閉2=J62)2+(8_5)2=5,

???四邊形AOFE周長的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EiF1=5+8+5=18.

本題考查菱形的性質(zhì)、“將軍飲馬”作對稱點求線段和的最小值，比較綜合，難度較大.

14.8個

【分析】

作點F關(guān)于BC的對稱點M,連接FM交BC于點N,連接EM,交BC于點H,可得點H到

點E和點F的距離之和最小，可求最小值，即可求解.

【詳解】

如圖，作點F關(guān)于BC的對稱點M,連接FM交BC于點N,連接EM,交BC于點H,

丁點E,F將對角線AC三等分，且AC=6,

，EC=4,FC=2=AE,

丁點M與點F關(guān)于BC對稱，

/.CF=CM=2,ZACB=ZBCM=45°,

/.ZACM=90°,

???EM=VEC2+CM2=V42+22=2>/5，

則在線段BC存在點H到點E和點F的距離之和最小為2石<5,

在點H右側(cè)，當(dāng)點P與點C重合時，則PE+PF=4+2=6,

工點P在CH上時，2石VPE+PFW6,

在點H左側(cè)，當(dāng)點P與點B重合時，

VFN1BC,ZABC=90°,

，F(xiàn)N〃AB,

AACFN^ACAB,

?FN—CN—CF—1

**AB-CB-CA-i,

;AB=BC=三AC=3板,

1

AFN=—AB=y/2，

CN=-BC=^,

，BN=BC—CN=2近,

BF=>/FN2+BN2=>/2+8=x/i0，

VAB=BC,CF=AE,ZBAE=ZBCF,

/.△ABE^ACBF(SAS),

??.BE=BF=JI3，

/.PE+PF=2V10，

，點P在BH上時，2石VPE+PFV2JIU，

工在線段BC上點H的左右兩邊各有一個點P使PE+PF=5,

同理在線段AB,AD,CD上都存在兩個點使PE+PF=5.

即共有8個點P滿足PE+PF=5,

故答案為8.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，最短路徑問題，在BC上找到點H,使點H到點E和點F的距

離之和最小是本題的關(guān)鍵.

15.4

【分析】

根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形4日平是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，

得￡F=4P,則EF的最小值即為4P的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：4P的最小值即等于

直角三角形ABC斜邊上的高.

【詳解】

解：連接4P，

???在AA8c中，AB=3,AC=4,BC=5,

，八鏟+驍二十，

即N8AC=90°.

又?.?P￡J_A8于E,PFLAC于F,

???四邊形4EPF是矩形,

，EF=4P,

?：AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，

設(shè)斜邊上的高為h,

則SAABc=g5C/=gABAC

—x5/i=—x3x4

22

，h=2.4,

JEF的最小值為2.4,

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，要能夠把

要求的線段的最小值轉(zhuǎn)化為便于求的最小值得線段是解此題的關(guān)鍵.

16.—5/2或一5/W

22

【分析】

根據(jù)點尸在直線上，點。在直線C。上，分兩種情況：LP、Q點位于線段上；2.P、Q

點位于線段的延長上，再通過三角形全等得出相應(yīng)的邊長，最后根據(jù)勾股即可求解.

【詳解】

解：當(dāng)P點位于線段BC上，Q點位于線段CD上時：

???四邊形ABCD是矩形

AP±PQ,

ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

VAP=PQ

???ABP=PCQ

333

/.PC=AB=—,BP=BC-PC=3--=—

222

??.AP=J(3)2+(3)2=g

V222

當(dāng)P點位于線段BC的延長線上，Q點位于線段CD的延長線上時:

APLPQ,

AZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

VAP=PQ

：.ABP=PCQ

339

/.PC=AB=-,BP=BC+PC=3+-=-

222

??.AP=J(3)2+(2)2=］加

V222

故答案為：或

【點睹】

此題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)、勾股定理，熟練運用判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

17.?或4-±有

33

【分析】

連接AC交BD于。由菱形的性質(zhì)可得AB=BC=4,ZABD=30°,AC±BD,BO=DO,

AO=CO,可證四邊形BEGF是菱形，可得NABG=30°,可得點B,點G,點D三點共線，由

直角三角形性質(zhì)可求BD=4g,AC=4,分兩種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

如圖，連接AC交BD于0,

???菱形ABCD的邊長是4,ZABC=60°,

/.AB=BC=4,ZABD=30°,AC1BD,BO=DO,AO=CO,

VEG/7BC,FG〃AB,

???四邊形BEGF是平行四邊形，

又?.?BE=BF,

???四邊形BEGF是菱形，

/.ZABG=30°,

???點B,點G,點D三點共線，

VAC±BD,ZABD=30\

?*,A0=_AB=2,B0=y/—ACf=\/42-22=2-\/3,

，BD=45AC=4,

4LBG

同理可求BG=J^BE,即BE=一廣，

若AD=DG'=4時，

/.BG'=BD-DG'=4>/3-4，

46-4.4G

■?BE=---=—=4------------;

63

若AG“=G“D時，過點G”作G“HJLAD于H,

AAH=HD=2,

VZADB=30°,G"H±AD,

工DG"=2HG",

VHD2+HGM2=DG,2，

解得：怔”=冬叵，DG”=2HG”=勺叵，

33

:.BG"=BD-DG"=4G--，

33

8

/.BE"=-,

3

綜上所述：BE為！或4一生叵.

33

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用分類討論

思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

18.26-V2

【分析】

連接AF,CF,AC,利用勾股定理求出AC、AF,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到當(dāng)點A,

F,C在同一直線上時，C尸的長最小，最小值為2石-友.

【詳解】

解：如圖，連接4F,CF,AC,

???長方形A8CD中A8=2,8c=4,正方形AEFG的邊長為1,

:.AC=ZBAF=B

*：AF+CF>AC,

：.CF>AC~AF,

J當(dāng)點4F,C在同一直線上時，CF的長最小，最小值為2逐-五,

故答案為：26y份.

【點睛】

此題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系.

19.【分析】

作48的中點E,連接EM、CE,根據(jù)百角三角形斜邊上的中線等干斜邊的一半以及三角形

的中位線定理求得CE和EM的長，然后確定CM的范圍.

【詳解】

解：作48的中點M,連接EM、CM.

在RtA48c中，AB=VAC2+BC2=782+62=10，

???M是直角△48C斜邊AB上的中點，

1

：.CM=-AB=5,

2

TE是8。的中點，M是48的中點，

1

：.ME=-AD=2.

2

工5-2WCEW5+2,即3WCEW7.

工最大值為7,

故答案為：7.

【點睛】

本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，掌握基

本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

20.2或3.5

【分析】

分別從當(dāng)Q運動到E和B之間、當(dāng)Q運動到E和C之間去分析求解即可求得答案.

【詳解】

IE是BC的中點,

1

ABE=CE=-BC=9,

2

①當(dāng)Q運動到E和B之間，則得：

3t-9=5-t,

解得：t=3.5；

②當(dāng)Q運動到E和C之間，則得：

9-3t=5-t,

解得：t=2,

，當(dāng)運動時間t為2秒或3.5秒時，以點P,Q,E,D為頂點的四邊形是平行四邊形.

【點睛】

“點睛”此題考查了梯形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì).解題時注意掌握輔助線的

作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用.

三、解答題

21.(1)AE=t；AD=12—2i；DF=t；(2)證明見解析；(3)/=3；理由見解

析.

【分析】

(1)根據(jù)題意用含t的式子表示AE、CD,結(jié)合圖形表示出AD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)表

示出DF；

(2)根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；

(3)根據(jù)矩形的定義列出方程，解方程即可.

【詳解】

解：(1)由題意得，AE=t,CD=2tt

則40=AC-CO=12-2z,

VDFIBC,ZC=30°,：.DF=-CD=t

2

(2)VZABC=90°,DF工BC,；.ABDF,

VAE=t,DF=i,AE=DF,

???四邊形AEFD是平行四邊形；

(3)當(dāng)方=3時，四邊形E8FO是矩形，

理由如下：VZA^C=90°,ZC=30°,

BC——AC—6cm,

2

VBE//DF,

IBE=D尸時,四邊形石8/。是平行四邊形，

即6T=I,解得，t=3,

VZABC=90°，,四邊形EBFD是矩形，

???/=3時，四邊形E8尸。是矩形.

【點睛】

本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定，掌握平行四邊形、矩

形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

n3

22.(1)(―,-)；(2)存在，點D的坐標(biāo)為(0,3)或(2萬，1)或(0,-

22

1)；(3)OM=3或H

22

【分析】

(1)過點B作BD_Ly軸于D,利用30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理求出OB,

再利用30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理求出BD和OD即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意和等邊三角形的性質(zhì)分別求出點A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)菱形的頂點順

序分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)菱形的對角線互相平分即可分別求出結(jié)論；

(3)利用30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理求出OP和BP,然后根據(jù)直角三角

形的直角頂點分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半、平行四邊形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)求解即可.

【詳解】

由圖1中，點A的坐標(biāo)為（一1,0）,ZABO=30°fNAOB=90°

/.OA=1,AB=2OA=2

2

由勾股定理可得OB=JAB-OA^=>/3

?.?將此直角三角板繞點0順時針旋轉(zhuǎn)30°

/.ZBOD=30°

：.BD=-OB=—

22

I2

：.QD=4oB2-BD2=-

2

???點B的坐標(biāo)為（巫，g）

22

故答案為：（正，?）；

22

（2）在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)將直角三角板繞點0順時針60。，此時點A落在y軸上，點B

落在x軸上

???點A的坐標(biāo)為（0,1）,點B的坐標(biāo)為（0）

VAABC為等邊三角形

/.ZABC=60°,AB=BC=AC=2

/.ZOBC=90°

，點C的坐標(biāo)為（JL2）

設(shè)點D的坐標(biāo)為（a,b）

如圖所示，若四邊形ABCD為菱形，連接BD,與AC交于點。

???點。既是AC的中點，也是BD的中點

0+5/3ci+5/3

-----=------

22

1+2b+0

22

a=0

解得：，r

b=3

???此時點D的坐標(biāo)為（0,3）；

當(dāng)四邊形ABDC為菱形時，連接AD,與BC交于點0

圖3

??.點O既是AD的中點，也是BC的中點

0+〃_6+6

22

\+b2+0

=25/3

解得：

???此時點D的坐標(biāo)為（2月，1）；

當(dāng)四邊形ADBC為菱形時，連接8,與AB交于點0

圖3

???點。既是AB的中點，也是CD的中點

0+>/3a