第八章二重積分第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)二重積分的計算第三節(jié)二重積分的應(yīng)用

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)

一、二重積分的概念1.曲頂柱體的體積設(shè)有一空間立體Ω,它的底是xOy面上的有界區(qū)域D,它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線,而母線平行于z軸的柱面,它的頂是曲面z=f(x,y),稱這種立體為曲頂柱體.與求曲邊梯形的面積的方法類似,我們可以這樣來求曲頂柱體的體積V.

(1)用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域D分成n個小區(qū)域Δσ1,Δσ2,…,Δσn,以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于z軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體Ω劃分成n個小曲頂柱體Δσ1,Δσ2,…,Δσn.(假設(shè)Δσi所對應(yīng)的小曲頂柱體為ΔΩi,這里Δσi既代表第i個小區(qū)域,又表示它的面積值,ΔΩi既代表第i個小曲頂柱體,又代表它的體積值.)從而,如圖8.1所示.圖8.1曲頂柱體圖

(2)由于f(x,y)連續(xù),對于同一個小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大.因此,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是

(3)整個曲頂柱體的體積近似值為

(4)為得到V的精確值,只需讓這n個小區(qū)域越來越小,即讓每個小區(qū)域向某點收縮.為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:

閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點距離的最大值.所謂讓區(qū)域向一點收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零.設(shè)n個小區(qū)域直徑中的最大者為λ,則

2.二重積分的定義

二、二重積分的性質(zhì)

比較定積分與二重積分的概念,定積分與二重積分有相似的性質(zhì).

性質(zhì)1(線性性)設(shè)α,β為常數(shù),則

性質(zhì)2(區(qū)域可加性)如果閉區(qū)域D分為兩個不相交閉區(qū)域D1與D2,則

性質(zhì)3若在閉區(qū)域D上f(x,y)=1,σ為區(qū)域D的面積,則

性質(zhì)4若在閉區(qū)域D上,f(x,y)≤g(x,y),則有不等式

特別地,由于-f(x,y)≤f

x(,y)≤f(x,y),有

性質(zhì)5(估值不等式)設(shè)M與m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上最大值和最小值,σ是M的面積,則

性質(zhì)6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),σ是D的面積,則在D上至少存在一點(ξ,η),使得

第二節(jié)二重積分的計算

一、直角坐標(biāo)系下的二重積分計算如果積分區(qū)域D是由兩條直線x=a,x=b及兩條連續(xù)曲線y=φ1(x)和y=φ2(x)所圍成,該區(qū)域D用不等式表示為圖8.3X型積分區(qū)域圖圖8.4Y型積分區(qū)域圖

當(dāng)積分區(qū)域既不是X型區(qū)域也不是Y型區(qū)域時,將其分割成X型與Y型小區(qū)域.如圖8.5所示,把D分成D1、D2、D3部分,他們都是X型區(qū)域.圖8.5復(fù)合積分區(qū)域圖

例2計算,其中D是由拋物線y=x2及直線y=x+2所圍的閉區(qū)域(見圖8.7).圖8.7兩曲線圍成的區(qū)域圖

例3計算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y及x+y=3所圍的三角形區(qū)域(見圖8.8).圖8.8三直線圍成的三角區(qū)域圖

二、極坐標(biāo)系下的計算

前面介紹了二重積分在直角坐標(biāo)系中的計算方法,但有些函數(shù)和積分區(qū)域在直角坐標(biāo)系中計算二重積分非常復(fù)雜,甚至無法計算,而用極坐標(biāo)計算簡單,下面介紹二重積分在極坐標(biāo)系中的二次積分.

第三節(jié)二重積分的應(yīng)用

一、曲頂柱體的體積

例1求由平面x=0,x=1,y=1和y=2所圍成的柱體被平面z=6-3x-2y和z=0截得的立體的體積V.圖8.11柱體投影xOy面的積分區(qū)域圖

例2求兩個底圓半徑都為R的直交圓柱面所圍成的立體的體積V(見圖8.12).圖8.12兩圓柱體相交投影xOy面的積分區(qū)域圖

二、曲面的面積

設(shè)