牛頓第二定律研究概述牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律（Newton'ssecondlawofmotion）表明，物體所受到的外力等于動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)(一次微分值)。當(dāng)物體在運(yùn)動(dòng)中質(zhì)量不變時(shí)，牛頓第二定律也可以用質(zhì)量與加速度的乘積表示[1]。1687年，英國物理泰斗艾薩克?牛頓在鉅著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》里，提出了牛頓運(yùn)動(dòng)定律，其中有三條定律，分別為牛頓第一定律、牛頓第二定律與牛頓第三定律。牛頓第二定律又稱為“加速度定律”。牛頓第二定律被譽(yù)為經(jīng)典力學(xué)的靈魂。在經(jīng)典力學(xué)里，它能夠主導(dǎo)千變?nèi)f化的物體運(yùn)動(dòng)與精彩有序的物理現(xiàn)象。牛頓第二定律的用途極為廣泛，它可以用來設(shè)計(jì)平穩(wěn)地聳立于云端的臺(tái)北101摩天大廈，也可以用來計(jì)算從地球發(fā)射火箭登陸月球的運(yùn)動(dòng)軌道。牛頓第二定律是一個(gè)涉及到物體運(yùn)動(dòng)的理論，根據(jù)這定律，任意物體的運(yùn)動(dòng)所出現(xiàn)的改變，都是源自于外力的施加于這物體。這理論導(dǎo)致了經(jīng)典力學(xué)的誕生，是科學(xué)史的一個(gè)里程碑，先前只是描述自然現(xiàn)象的理論不再被采納，取而代之的是這個(gè)創(chuàng)立了一種理性的因果關(guān)系架構(gòu)的新理論。實(shí)際而言，經(jīng)典力學(xué)的嚴(yán)格的因果屬性，對(duì)于西方思想與文明的發(fā)展，產(chǎn)生了很大的影響[2]。牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律定律方程式牛頓第二定律表明，施加于物體的外力等于此物體動(dòng)量的時(shí)變率：其中，P是動(dòng)量，t是時(shí)間。由于動(dòng)量等于質(zhì)量乘以速度，所以，假若質(zhì)量不變，則可得到加速度形式的牛頓第二定律，假若質(zhì)量隨著時(shí)間流易而改變，則該系統(tǒng)為可變質(zhì)量系統(tǒng)，必須將時(shí)變質(zhì)量納入考量，更多內(nèi)容，請(qǐng)參閱可變質(zhì)量系統(tǒng)[3]。加速度形式的牛頓第二定律當(dāng)運(yùn)動(dòng)中的物體質(zhì)量不變時(shí)，牛頓第二定律可以表述為：物體所受到的外力等于質(zhì)量與加速度的乘積，而加速度與外力同方向。以方程表達(dá)，F(xiàn)=Ma其中，F(xiàn)是外力，m是質(zhì)量，a是加速度。按照第二定律，設(shè)定物體的質(zhì)量不變，則物體的加速度與所受到的外力成正比，設(shè)定物體所受到的外力不變，則物體的加速度與質(zhì)量成反比。假設(shè)施加外力于某物體，則由于該物體的加速度只與外力、質(zhì)量有關(guān)，在任何狀況下，質(zhì)量不變的物體都會(huì)表現(xiàn)出同樣的加速度：F=am慣性參考系：若要知道物體在某一時(shí)刻的加速度，則必須從某個(gè)靜止物體（或呈勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體）測量物體隨著時(shí)間的流易而改變的位移，而在外力為零的前提下，這個(gè)靜止物體（或呈勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體）必須保持運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，這意味著必須從慣性參考系來測量整個(gè)物理系統(tǒng)。因此，牛頓第二定律已事先假設(shè)，物體的加速度是從慣性參考系測量到的數(shù)值。質(zhì)量守恒：經(jīng)典力學(xué)有一個(gè)隱藏的假定，即質(zhì)量守恒，這又被稱為“牛頓第零運(yùn)動(dòng)定律”。牛頓并沒有直接地提出這定律。第零運(yùn)動(dòng)定律表明，物體的質(zhì)量守恒，與速度無關(guān)，與物體的受力無關(guān)．當(dāng)幾個(gè)物體相互作用時(shí)，或許會(huì)有質(zhì)量從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，但總質(zhì)量不變。決定性：牛頓第二定律是一種決定性定律。假定物體的質(zhì)量、初始位置與初始速度為已知量，則從施加于物體的外力，可以應(yīng)用牛頓第二定律來計(jì)算出物體在其運(yùn)動(dòng)軌跡的任意時(shí)間的位置與速度[4]。理論論述牛頓論述牛頓[5]對(duì)于動(dòng)量與沖量彼此之間的關(guān)系的作解釋：“假設(shè)施加于物體的沖量造成了物體的動(dòng)量改變，則雙倍的沖量會(huì)造成雙倍的動(dòng)量改變，三倍的沖量會(huì)造成三倍的動(dòng)量改變，不論沖量是全部同時(shí)施加，還是一部分一部分慢慢地施加，所造成的動(dòng)量改變都一樣。動(dòng)量改變與原先動(dòng)量之間的關(guān)系：這動(dòng)量改變必定與施加的沖量同方向。假設(shè)在沖量施加之前，物體已具有某動(dòng)量，則這動(dòng)量改變會(huì)與原先動(dòng)量相加或相減，依它們是同方向還是反方向而定，假設(shè)動(dòng)量改變與原先動(dòng)量呈某角度，則最終動(dòng)量是兩者按著角度合成的結(jié)果?！迸ｎD所使用的術(shù)語的涵意、他對(duì)于第二定律的認(rèn)知、他想要第二定律如何被眾學(xué)者認(rèn)知、以及牛頓表述與現(xiàn)代表述之間的關(guān)系，科學(xué)歷史學(xué)者對(duì)于這些論題都已經(jīng)做過廣泛地研究與討論。進(jìn)階論述任何物理定律都必須具有可證偽性，即必須能夠?qū)τ谖锢矶勺鰧?shí)驗(yàn)證實(shí)是否正確。為了要明確牛頓第二定律是否具有可證偽性，必須對(duì)于加速度、力與質(zhì)量做測量。測量加速度很簡單，加速度是速度的時(shí)間變率，只要能測得速度改變與時(shí)間間隔，則可計(jì)算出加速度。在對(duì)于質(zhì)量與力給出定義后，按照這些定義里的定量描述來測量物體的質(zhì)量與物體的受力，再加上從觀測物體的運(yùn)動(dòng)得到的加速度，就可以很容易地檢試牛頓第二定律的正確性。力的定義很多常用教科書對(duì)于力的定義不盡人意。在大衛(wèi)·哈勒代與羅伯特·瑞思尼克著作的教科書《基礎(chǔ)物理》里，力被定義為造成物體加速的作用。類似地，在《大學(xué)物理》教科書里，力也被定義為兩個(gè)物體之間或物體與環(huán)境之間的作用。但是，它們都沒有對(duì)于“作用”給出解釋。古斯塔夫·基爾霍夫首先提議，將力定義為質(zhì)量與加速度的乘積。按照這提議，第二定律只是一個(gè)數(shù)學(xué)定義式，而不是自然定律。假若第二定律只是一個(gè)數(shù)學(xué)定義式，則它在物理學(xué)里毫無用處，因?yàn)闊o法從數(shù)學(xué)定義式對(duì)于大自然給出任何預(yù)測。整個(gè)經(jīng)典力學(xué)會(huì)變成一種公理化理論，所有結(jié)論都是源自于這個(gè)定義，而不是源自于從做實(shí)驗(yàn)推斷出的“自然定律”。實(shí)際而言，這提議沒有將在大自然里各種各樣的力，像彈力、引力、電磁力等，納入考量，它忽略了每一種力的獨(dú)特性質(zhì)。質(zhì)量定義雖然質(zhì)量在物理學(xué)教育里占有中心地位，人們并不很清楚質(zhì)量的概念，很多教科書對(duì)于質(zhì)量的定義也不甚令人滿意，它們都有一些重大瑕疵。這些定義所涉及到的困難，大部分出現(xiàn)于將經(jīng)典描述融入現(xiàn)代描述的后果之中，而且清楚地在相對(duì)論、量子色動(dòng)力學(xué)、強(qiáng)相互作用理論等等現(xiàn)代理論里顯現(xiàn)出來。物質(zhì)數(shù)量有一種可以追溯到中世紀(jì)的定義將質(zhì)量設(shè)定為物體內(nèi)部所含有的物質(zhì)數(shù)量。這也是牛頓在他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》里對(duì)于質(zhì)量給出的定義，按照這定義，質(zhì)量可以從物體的密度與體積乘積求得。德國物理學(xué)者恩斯特·馬赫對(duì)這定義給出嚴(yán)厲批評(píng)，他認(rèn)為這定義觸犯了循環(huán)推理，因?yàn)槊芏鹊亩x是每單位體積的質(zhì)量。從測量的角度來看，牛頓并沒有給出任何測量密度的方法，所以，也沒有給出測量質(zhì)量的方法。牛頓不能對(duì)于質(zhì)量與密度同時(shí)給出定義，因此，質(zhì)量并未被嚴(yán)格定義。但是，牛頓的想法并不是這樣，他把物體視為由很多微小的基本粒子均勻組成的聚集體，他認(rèn)為這聚集體的結(jié)構(gòu)是更為基礎(chǔ)的概念，在計(jì)算物體的質(zhì)量時(shí)，他會(huì)數(shù)算物體的小粒子數(shù)量，這數(shù)量乘以每個(gè)基本粒子的質(zhì)量就是物體的質(zhì)量。因此，只要設(shè)定某參考物體S的質(zhì)量為標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，這參考物體S可以是石頭、金塊或鐵塊．那么，n個(gè)物體S的質(zhì)量必定是這標(biāo)準(zhǔn)單位質(zhì)量的n倍。慣性質(zhì)量另一種定義是基于慣性的概念。在這定義里，質(zhì)量被用來量度物體對(duì)于改變它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的抗拒能力。因此被稱為“慣性質(zhì)量”。然而，不管這定義是如何真確，它并沒有給出量度質(zhì)量的方法，人們無法直接估算物體的質(zhì)量數(shù)值，因此，這定義似乎更像是一種形而上學(xué)定義?；厮菰诮?jīng)典力學(xué)里，假設(shè)使用一條先前論述的標(biāo)準(zhǔn)彈簧，施加一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位力于某物體，則可從測量這物體隨著時(shí)間流易而呈現(xiàn)出的速度，估算出這物體的加速度，標(biāo)記其為。繼續(xù)做實(shí)驗(yàn)，假設(shè)施加兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位力于這物體，則可從測得這物體的加速度為。類似地做實(shí)驗(yàn)，施加彈力于這物體，然后測量這物體的加速度，可以得到力與加速度彼此之間的關(guān)系式：其中，K是比例常數(shù)。辨識(shí)這比例常數(shù)為慣性質(zhì)量，則可察覺這關(guān)系式就是牛頓第二定律的方程。馬赫質(zhì)量定義由于上述兩種概念性定義的種種缺點(diǎn)，學(xué)者們常會(huì)使用操作性定義來給出定量描述，這種定義追溯至恩斯特·馬赫對(duì)于質(zhì)量定義的原創(chuàng)研究。馬赫的定義只使用到運(yùn)動(dòng)學(xué)概念，完全不需涉及到力的概念。假設(shè)在宇宙里的兩個(gè)物體A、B離其它物體非常遙遠(yuǎn)，因此這兩個(gè)物體可以被視為處于一個(gè)孤立系統(tǒng)。從某個(gè)慣性系統(tǒng)觀察，這兩個(gè)物體因相互影響而使得他們各自呈現(xiàn)的加速度分別為、。從所有完成的關(guān)于這類系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)總結(jié)，它們的加速度的方向相反，而比率可以用“加速度比率公式”來表達(dá)為：其中，kba是標(biāo)量常數(shù)。標(biāo)量常數(shù)kba的恒定不變可以被視為力學(xué)的一條基礎(chǔ)定律，其為從做實(shí)驗(yàn)獲得的結(jié)果。馬赫特別為此提出“實(shí)驗(yàn)命題”：在實(shí)驗(yàn)物理學(xué)設(shè)定的狀況下，兩個(gè)物體引發(fā)對(duì)方沿著彼此連線各自呈現(xiàn)相反的加速度方向，而加速度的比率為常數(shù)，并且與物體的物理狀態(tài)無關(guān)。設(shè)想另一個(gè)物體C，由于物體C與A、C與B彼此之間的相互作用，按照第一實(shí)驗(yàn)命題，從做多個(gè)實(shí)驗(yàn)獲得的另一個(gè)重要結(jié)果可以用“標(biāo)量常數(shù)公式”來表達(dá)為因此，可以得到關(guān)系式：這關(guān)系式顯示出，選擇物體A為標(biāo)準(zhǔn)物體，那么，每一個(gè)其它物體都會(huì)伴隨著一個(gè)常數(shù)，任何與該物體相互作用的物體都無法改變這常數(shù)。常數(shù)kba可以被稱為物體B的質(zhì)量，相對(duì)于物體A。由于物體A是參考物體，常數(shù)kba可以被簡稱為物體B的質(zhì)量mb。這樣，關(guān)系式可以被改寫為“質(zhì)量-加速度關(guān)系式”這質(zhì)量定義的適用范圍很廣泛，例如，當(dāng)兩個(gè)物體A、B被連結(jié)于一條理想彈簧的兩端時(shí)，它們彼此之間的相互作用為彈力，先將彈簧壓縮，然后放松，從測量它們因此動(dòng)作而出現(xiàn)的加速度，可以按照加速度比率公式計(jì)算出標(biāo)量常數(shù)。再舉一個(gè)例子，當(dāng)兩個(gè)物體A、B在進(jìn)行開普勒二體運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們彼此之間的相互作用為引力，從測量它們進(jìn)行軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，可以計(jì)算出標(biāo)量常數(shù)。對(duì)于這些案例，前面列出的加速度比率公式與標(biāo)量常數(shù)公式都成立。這質(zhì)量定義能夠給出一種用來比較質(zhì)量的方法，其為這樣做質(zhì)量定義的重要目的。注意到質(zhì)量-加速度關(guān)系式展示出，當(dāng)兩個(gè)物體相互作用時(shí)，兩個(gè)粒子的質(zhì)量與加速度大小的乘積相等，并且這乘積與兩個(gè)物體的相對(duì)位置、相對(duì)速度或時(shí)間有關(guān)。將力定義為質(zhì)量與加速度大小的乘積：這就是牛頓第二定律。將力的定義式代入質(zhì)量-加速度關(guān)系式，就可以得到牛頓第三定律：當(dāng)兩個(gè)物體相互作用時(shí)，彼此施加于對(duì)方的力，其大小相等、方向相反，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1983年，莫德采·米爾格若姆提出的修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論表明，由于星系自轉(zhuǎn)問題，即被觀測到的在星系里恒星的速度大于牛頓力學(xué)的預(yù)測速度，牛頓萬有引力定律或牛頓第二定律可能需要修正。除了暗物質(zhì)理論以外，修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論也可以用來解釋星系自轉(zhuǎn)問題。這理論的適用區(qū)域大約在加速度為：的數(shù)量級(jí)。為了符合天文物理學(xué)數(shù)據(jù)，這理論將牛頓第二定律修改為：其中，

(a/ao）是個(gè)函數(shù)，其符合以下兩個(gè)條件：一般而言，在各種物理案例中，很少會(huì)遇到這么微小的加速度，然而，假若修正牛頓動(dòng)力學(xué)理論確實(shí)被證實(shí)，則整個(gè)經(jīng)典力學(xué)與廣義相對(duì)論都需要被修改。因此，驗(yàn)證修正牛