梅州市高中期末考試試卷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：本試卷共6頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校，班級(jí)，考生號(hào)，姓名和座號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.作答必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.如圖，在平行六面體中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量相等及線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】由向量相等可知:，故A正確；，故B正確；，,則，所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：C.2.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為45°，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可求得.【詳解】由題意知，直線的斜率為1，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故直線的方程為，即.故選：D.3.在等差數(shù)列中，，，則（）A. B.0 C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)建立方程組，可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.故選：B.4.已知橢圓的離心率為，則其短軸長(zhǎng)為（）A.4 B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】由條件列出離心率得到方程，求解得，即得其短軸長(zhǎng).【詳解】由知，離心率為，解得，，故短軸長(zhǎng)為.故選：B.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】不妨設(shè)點(diǎn)，其中，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：A.6.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算得解.【詳解】在四棱錐中，平面，且四邊形為正方形，則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，的中點(diǎn)，，，所以.故選：C7.線段的長(zhǎng)度為，其兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng)，則線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)、，設(shè)線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，根據(jù)結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出，再代入化簡(jiǎn)即可得出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，設(shè)線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，由題意可得，則，所以，，所以，，則，化簡(jiǎn)得，故線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.8.已知曲線的方程為，則曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知關(guān)于x的方程有根，利用判別式運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，即，可知關(guān)于x的方程有根，則，解得，所以曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.圓與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BD【解析】【分析】圓與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓相切，從而得到方程，求出答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓：的圓心為，半徑為3，圓與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓相切，所以或，即或，所以或，不滿足要求，滿足要求.故選：BD.10.已知，關(guān)于數(shù)列，下列命題中正確的是（）A. B.C.恒成立 D.數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】由通項(xiàng)公式通過(guò)賦值，作差逐個(gè)判斷即可；【詳解】，可得：，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，又，，所以恒成立，所以ACD正確，B錯(cuò)誤，故選：ACD11.已知正三棱柱中，，點(diǎn)為側(cè)面上的一點(diǎn)，，（，），則下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的最大值為60°B.當(dāng)時(shí)，的最小值為2C.當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為D.當(dāng)直線與所成角為45°時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，取、、中點(diǎn)分別為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，要使直線與平面所成角最大，點(diǎn)為中點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形即可求出；對(duì)于B、C、D選項(xiàng)，可建立直角坐標(biāo)系，將選項(xiàng)中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取、、中點(diǎn)分別為，連接，如圖當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，且面，即，在中，，要使直線與平面所成角最大，即最大，則最短，即點(diǎn)為中點(diǎn)，此時(shí)，故直線與平面所成角的最大值為60°，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向?yàn)檩S、軸建立直角坐標(biāo)系如圖：則，,所以，,則故因，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，結(jié)合B選項(xiàng)坐標(biāo)系得，，而,因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，因?yàn)?，，所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，為半徑的圓在矩形內(nèi)的部分弧長(zhǎng)，圓心角為，因此點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，設(shè)直線與所成角為，則，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，，所以，即點(diǎn)為定點(diǎn)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】##0.5【解析】【分析】利用兩直線平行的判定方法列方程，求解即得.【詳解】由可得，解得.此時(shí)直線為，即，兩直線不重合，符合題意，故答案為：.13.已知，滿足，則的最小值是______.【答案】##【解析】【分析】由題意可將已知方程理解為以為圓心，半徑為1的圓的軌跡方程，而將理解為原點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的直線的斜率，結(jié)合圖形，求出直線與圓相切時(shí)的斜率即可.詳解】由可得：，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，而可理解為原點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的直線的斜率，如圖.由圖知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，易得此時(shí)直線的方程可設(shè)為，由圓心到直線的距離為，解得或，故的最小值是.故答案為：.14.將自然數(shù)0，1，2，3，4，…，按照如圖排列，我們將1，3，6，10，…稱(chēng)為“拐彎數(shù)”，則第50個(gè)“拐彎數(shù)”是______.【答案】1275【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)列，寫(xiě)出數(shù)列遞推關(guān)系，利用累加法求出數(shù)列通項(xiàng)，代值計(jì)算即得.【詳解】設(shè)數(shù)列1,3,6,10,…,為，則易得：，于是，，則.故答案為：1275.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.新能源汽車(chē)的發(fā)展有著諸多的作用，不僅能夠幫助國(guó)家減少對(duì)石油的依賴(lài)，同時(shí)還能夠減輕環(huán)境的污染.為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計(jì)劃用若干時(shí)間更換2000輛燃油型公交車(chē)，每更換一輛新車(chē)，則淘汰一輛舊車(chē)，替換車(chē)為電力型和混合動(dòng)力型車(chē).今年投入了電力型公交車(chē)64輛，混合動(dòng)力型公交車(chē)100輛；計(jì)劃以后電力型車(chē)每年的投入量比上一年增加50%，混合動(dòng)力型車(chē)每年比上一年多投入輛.（1）求第3年該市投入的電力型公交車(chē)，混合動(dòng)力型車(chē)分別是多少輛（注：3年后該市燃油型公交車(chē)未被全部更換）；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)年后，該市燃油型公交車(chē)未被全部更換，求該市年后被更換的公交車(chē)總數(shù)；（3）若該市計(jì)劃5年內(nèi)完成全部更換，求的最小值.【答案】（1）144，（2）（3）66【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件可得每年投入的電力型公交車(chē)、混合動(dòng)力型公交車(chē)的數(shù)量依次排成一列分別構(gòu)成等比數(shù)列、等差數(shù)列，求出它們的通項(xiàng)公式即可；（2）利用（1）的結(jié)論求出它們的前項(xiàng)和即可；（3）利用（1）的結(jié)論列出不等式，解此不等式并求出最小值即可作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，分別為第年投入的電力型公交車(chē)，混合動(dòng)力型公交車(chē)的數(shù)量，依題意，數(shù)列是首項(xiàng)為64，公比為的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為100，公差為的等差數(shù)列，于是第3年投入的電力型公交車(chē)的數(shù)量，第3年投入的混合動(dòng)力型公交車(chē)的數(shù)量.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，的前項(xiàng)和，的前項(xiàng)和，所以經(jīng)過(guò)年后，該市被更換的公交車(chē)總數(shù)為【小問(wèn)3詳解】若計(jì)劃5年內(nèi)完成全部更換，則，于是得，即，解得，而，于是得的最小值為66.16.已知圓的圓心在直線上，分別求滿足下列條件的圓的方程：（1）若圓與軸相切于點(diǎn)；（2）若圓的半徑為2，且被軸截得的弦長(zhǎng)等于.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得圓心坐標(biāo)，再求出相應(yīng)半徑即可得出圓方程；（2）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算可求得圓心和半徑，可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為因?yàn)閳A與軸相切于點(diǎn)，圓心在直線上，所以，而圓心在直線上，即有，從而，且圓的半徑，故所求圓的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)所求圓的圓心為因?yàn)閳A的半徑為2，且被軸截得的弦長(zhǎng)等于，可得，解得或，且，可得或，故所求圓的方程為或.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)為棱上的一點(diǎn).（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值；（2）若平面平面，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，、、分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和平面的法向量，結(jié)合向量夾角余弦值公式計(jì)算即可；（2）設(shè)，表示出，再求出平面的法向量和平面的法向量，根據(jù)平面平面，構(gòu)造方程解得即可.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，、、分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)，如圖所示則，，，，，若點(diǎn)為上的中點(diǎn)，則，，，設(shè)平面的法向量為，由得，令，則，又，則，所以與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，設(shè)平面法向量為，由得，令，則，又，設(shè)平面的法向量為，由得，令，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，即有，解得，所?18.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線與直線相交于點(diǎn).（1）求交點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，點(diǎn)為軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)中垂線與圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程，可得答案；（2）由題意設(shè)出直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，求得斜率范圍以及韋達(dá)定理，根據(jù)向量點(diǎn)乘的坐標(biāo)表示，可得答案；（3）利用分類(lèi)討論思想分直線斜率存在與不存在兩個(gè)情況，利用等腰直角三角形以及正切函數(shù)的二倍角公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】依題可得：，而，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線，從而，，進(jìn)而，于是得到軌跡的方程：.【小問(wèn)2詳解】由題意易知直線斜率存在，設(shè)，，，聯(lián)立方程，消元得：，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，需于是得到：，，由韋達(dá)定理，得：，，，令，，，于是，因此.【小問(wèn)3詳解】存在且.證明如下：設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，且，易知等腰直角三角形，，，.于是猜想：.當(dāng)時(shí)，直線，的斜率分別為：，，，因此，得證.19.對(duì)于無(wú)窮正項(xiàng)數(shù)列和如下的兩條性質(zhì)：：存在實(shí)數(shù)，使得且，都有；：且，都存在，使得.（1）若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)無(wú)窮正項(xiàng)數(shù)列同時(shí)滿足性質(zhì)和性質(zhì).①若，，求的取值范圍；②若（，），且數(shù)列滿足任意，，則稱(chēng)為數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列.求證：存在的子數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】（1）滿足，理由見(jiàn)解析（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義，可知存在，使得且，都有，可得結(jié)論；（2）①由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，得出對(duì)應(yīng)不等式，即可解得的取值范圍；②易知，記，再結(jié)合等比數(shù)列定義即可證明得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列滿足性質(zhì).且，，因?yàn)?，所以，?/p>