專題10.三角形中的重要模型-垂美四邊形與378、578模型模型1、垂美四邊形模型規(guī)定：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形圖1圖2圖3條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD；結(jié)論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半?！咀冃?】條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2【變形2】條件：如圖3，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AP、BP，CP，DP；結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2用處：①對(duì)角線垂直的四邊形對(duì)邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。例1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD=3，BC=5，則____________．【答案】34【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，進(jìn)一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根據(jù)AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案為：34．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．例2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形的對(duì)角線，互相垂直，若，，則的長為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】在中，，在中，，再根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：在中，，在中，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正確利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，AC、BD是方程的兩個(gè)解，則四邊形的面積是（

）A．60 B．30 C．16 D．32【答案】B【分析】對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，二次方程的兩根乘積可以利用韋達(dá)定理快速求解即可．【詳解】由題意可知：四邊形的面積∵AC、BD是方程的兩個(gè)解，∴，四邊形的面積，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積計(jì)算及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，知道利用對(duì)角線的成績計(jì)算面積是解題關(guān)鍵．例4．（2023·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結(jié)論的證明不難，同學(xué)們通過勾股定理即可證明．應(yīng)用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為_____．【答案】4﹣2【分析】以AD、BD為邊作矩形ADBE，連接CE、DE，根據(jù)題意可得，即可求出CE的長度，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，AB的值最小，且為CE與CD長度之差，故AB最小值可求．【詳解】解：以AD、BD為邊作矩形ADBE，連接CE、DE，如圖所示：則AB＝DE，由題意得：，即，解得：CE＝，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝-2，故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了以幾何為背景的推理與論證、兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵在于通過題目中已給的新知推斷CD、CE、CA、CB之間的長度關(guān)系，并應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短的定理，求出對(duì)應(yīng)的最值．例5．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．(1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱________，________．(2)如圖（1），已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），，，請你直接寫出一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，，為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為________；(3)如圖（2），將繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接，，．求證：，即四邊形是勾股四邊形；(4)若將圖（2）中繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度，得到，連接，，則________°，四邊形是勾股四邊形．【答案】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)見解析(4)【分析】（1）根據(jù)勾股四邊形的定義，可知矩形和正方形都是勾股四邊形；（2）如圖（1）中，以O(shè)A、OB為勾股邊且有對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，4）或（4，3）；（3）如圖（2），連接CE，只要證明△DCE是直角三角形即可解決問題；（4）如圖（3），當(dāng)°，四邊形ABCD是勾股四邊形．連接CE，只要證明△DCE是直角三角形即可解決問題．【詳解】（1）解：∵矩形和正方形的四個(gè)角都是直角，∴相鄰兩邊的平方和等于對(duì)角線的平方，∴矩形、正方形都是勾股四邊形；故答案為矩形、正方形；（2）解：如圖（1）所示，∴M的坐標(biāo)為：（3，4）或（4，3）；故答案為（3，4）或（4，3）；（3）證明：如圖（2），連接CE，由旋轉(zhuǎn)得：≌，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是勾股四邊形；（4）解：如圖（3），°，四邊形是勾股四邊形．理由如下：連接CE，由旋轉(zhuǎn)得：≌，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是勾股四邊形；故答案為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．例6．（2022秋·江西撫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）(1)【知識(shí)感知】如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______；（只填序號(hào)）

(2)【概念理解】如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．(3)【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形的兩對(duì)角線交于點(diǎn)，試探究，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；(4)【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求．【答案】(1)③④(2)四邊形ABCD是垂美四邊形；理由見解析(3)；理由見解析(4)【分析】（1）根據(jù)菱形和正方形的對(duì)角線互相垂直、垂美四邊形的概念判斷即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、垂美四邊形的概念判斷即可；（3）根據(jù)垂美四邊形的概念、勾股定理計(jì)算，得到答案；（4）證明△GAB≌△CAE，進(jìn)而得出CE⊥BG，根據(jù)（3）的結(jié)論計(jì)算即可．（1）解：∵在①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形中，兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四邊形，故答案為：③④；（2）解：四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：如圖2，∵AB＝AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（3）解：，證明如下：如圖①，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，，，∴；（4）解：如圖3，連接BE、CG，設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴，∵AB＝10，AC＝8，∴，，，∴，則GE＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．模型2、378和578模型當(dāng)我們遇到兩個(gè)三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時(shí)候，通常不會(huì)對(duì)它們進(jìn)行處理，實(shí)際是因?yàn)槲覀儗?duì)于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長為8的等邊三角形。條件：當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時(shí)；結(jié)論：①這兩個(gè)三角形的面積分別為63、103；②3、8與5、8夾角都是60°。例1．（2023·浙江溫州·九年級(jí)?？计谀┻呴L為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°【答案】D【分析】法1：拼成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：設(shè)△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD=x，分別在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，從而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為5，7，8，∴其可以和邊長為3，7，8的三角形拼成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，又由三角形中大邊對(duì)大角，可知邊長為7的邊所對(duì)的角為60°，所以最大角和最小角的和是120°.故選D.法2：設(shè)△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖設(shè)BD=x，則CD=8-x在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：則得方程：解得：即∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角與最小角的和為120゜故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解一元一次方程，大角對(duì)大邊等知識(shí)，關(guān)鍵是作最大邊上的高，從而為勾股定理的使用創(chuàng)造了條件．例2．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點(diǎn)A作交BC延長線于點(diǎn)D，設(shè)CD=x，則BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出，可求出CD的長，從而得到BD的長，然后利用直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為3，7，8，∴其可以和邊長為5，7，8的三角形拼成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，如圖，觀察圖形可知∠B為等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角，所以∠B=60°.故選C.法2：如圖，過點(diǎn)A作交BC延長線于點(diǎn)D，∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可設(shè)CD=x，則BC=3+x，在中，，在中，，∴，解得：，∴BC=3+x=4，∴在中，，∴，∴．故選C．【定睛】本題主要考查了勾股定理及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中若一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對(duì)的銳角等于是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7，試過A作AD垂直BC于點(diǎn)D并求出CD的長度．解：如圖所示，作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)CD＝x，則BD＝BC﹣CD＝5﹣x，則在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2+CD2，即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，解得：x＝1．故CD長度為1．另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，從而求解。例4．（2023·成都市·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，則△ABC的面積為（

）A．24 B．56 C．48 D．112【答案】A【分析】如圖，過作于，設(shè)，則，根據(jù)中，利用勾股定理建立方程，求得，繼而用勾股定理求得，從而求得面積．【詳解】法1：∵該三角形的三邊長的比為3∶7∶8，∴其可以和三邊長的比為5∶7∶8的三角形（邊長為10，14，16）拼成一個(gè)邊長為16的等邊三角形，∴拼成的等邊三角形的高為83，∴△ABC的面積為12×6×83=243法2：如圖，過作于，設(shè)，則，在中解得故選A【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·廣西柳州·?？家荒＃┮阎鰽BC的三邊長分別為5，7，8，△DEF的三邊分別為5，2x，3x﹣5，若兩個(gè)三角形全等，則x=__．【答案】4【詳解】∵兩個(gè)三角形全等，∴或，解得：無解或x=4.故答案為4.另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，從而求解。例6．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，則△ABC的面積為．解：如圖所示：作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，則∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．設(shè)BD為x，則CD為（8﹣x），AB為2x．∵∠BAD＝30°∴＝，AC＝7，∴AD＝x．∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝．∴當(dāng)x1＝時(shí)，△ABC的面積為S＝BC?AD＝×8××＝6；當(dāng)x2＝時(shí)，△ABC的面積為S＝BC?AD＝×8××＝10．故答案為6或10．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接AE、CE．若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于(

)A．7 B．9 C．16 D．25【答案】C【分析】連接AC，與BD交于點(diǎn)O，根據(jù)題意可得，在與中，利用勾股定理可得，在與中，繼續(xù)利用勾股定理可得，求解即可得．【詳解】解：如圖所示：連接AC，與BD交于點(diǎn)O，∵對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，∴，在中，，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．2．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E是矩形內(nèi)任意一點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】過點(diǎn)E作EF⊥BC，延長FE交AD于點(diǎn)M，由題意可證四邊形ABFM，四邊形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根據(jù)勾股定理可得：．【詳解】如圖：過點(diǎn)E作EF⊥BC，延長FE交AD于點(diǎn)M．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°又∵EF⊥BC∴四邊形ABFM，四邊形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD∵，，，∴故：選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造矩形是本題的關(guān)鍵．3．（2023·河南信陽·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，，則四邊形的面積最大值是（

）A．16 B．32 C．36 D．64【答案】B【分析】利用對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半求解即可．【詳解】解：設(shè)，四邊形面積為S，則，則：當(dāng)時(shí)，S最大為：32﹔故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查配方求最大值，能夠正確利用面積計(jì)算公式結(jié)合方程思想是解題關(guān)鍵．3．（2023·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，由勾股定理得72?（5?x）2＝82?x2，得出CD＝4，則CD＝AC，再證∠CAD＝30°．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為5，7，8，∴其可以和邊長為3，7，8的三角形拼成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，如圖，觀察圖形可知∠C為等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角，所以∠C=60°.故選C.法2：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，如圖所示：設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2?BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2?CD2，∴AB2?BD2＝AC2?CD2，即：72?（5?x）2＝82?x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°?30°＝60°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握勾股定理，證出∠CAD＝30°是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC的邊長分別為5，7，8，則△ABC的面積是（）A．20 B．10 C．10 D．28【答案】C【分析】過A作AD⊥BC于D，根據(jù)勾股定理列方程得到BD，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，∵AB=5，AC=7，BC=8，過A作AD⊥BC于D，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，∴52-BD2=72-（8-BD）2，解得：BD=，∴AD=，∴△ABC的面積=10，故選C．另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，從而求解?！军c(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇南通·九年級(jí)?？计谥校┒x：對(duì)角線互相垂直的四邊形為垂美四邊形．已知垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足AC＋BD＝12，則當(dāng)AC＝時(shí)，四邊形ABCD的面積最大．【答案】6【分析】根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)列出函數(shù)解析式，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則∵四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，∴，則：．∴AC=6時(shí)，面積有最大值；故答案是6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方求最大值，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·上海·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知四邊形的對(duì)角線、互相垂直于點(diǎn)，，，，那么．【答案】/【分析】過點(diǎn)作于，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知，在中，由勾股定理可得，然后借助的面積求出，再在中，由勾股定理可得；證明，由相似三角形的性質(zhì)計(jì)算的長即可．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)作于，∵，，∴，∴在中，，又∵，∴，∴，∴，∴在中，，∵，又∵，∴，∴，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，熟練運(yùn)用勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·山東·?？既＃┤绻?，在中，，，斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂真的射線，上滑動(dòng)，下列結(jié)論：①若C，O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則②C，O兩點(diǎn)距離的最大值為4：③四邊形的面積為；④斜邊的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長度是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______________【答案】①②##②①【分析】①先根據(jù)含角的直角三角形性質(zhì)分別求出和，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：是的垂直平分線，所以；②根據(jù)，當(dāng)經(jīng)過的中點(diǎn)E時(shí)，最大，推出C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；③如圖2，根據(jù)四邊形的面積等于面積與面積的和，其中的面積為，的面積為，且、的取值都是大于等于0小于等于4，由勾股定理得到，推出，推出，得到，得到；④如圖3，半徑為2，圓心角為的扇形的圓弧是點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑，根據(jù)弧長公式計(jì)算得到π．【詳解】解：在，，，∴，，若C、O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，如圖1，則是的垂直平分線，∴，

∴①正確；②如圖1，取的中點(diǎn)E，連接、，∵，∴，∵，∴當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，最大，C、O兩點(diǎn)間的距離最大值為4；∴②正確；③如圖2，，其中，，且，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；∴③不正確；④如圖3，斜邊的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑是：以點(diǎn)O為圓心，以2為半徑的圓周的，其弧長為：．∴④不正確．綜上所述，本題正確的有：①②．故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題主要考查含角的直角三角形，軸對(duì)稱，三角形面積，二次函數(shù)，圓弧等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握含角的直角三角形的邊角性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，三角形面積公式，二次函數(shù)性質(zhì)，圓弧長公式．9．（2023春·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：對(duì)角線垂直的四邊形叫做“對(duì)垂四邊形”．如圖，在“對(duì)垂四邊形”中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，．若點(diǎn)E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)，且四邊形是“對(duì)垂四邊形”，則四邊形的面積是．【答案】2【分析】連接，，交于點(diǎn)M，根據(jù)三角形中位線定理得到，，，可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)“對(duì)垂四邊形”的性質(zhì)得到垂直線段，從而逐步證明四邊形是正方形，最后計(jì)算面積即可．【詳解】解：連接，，交于點(diǎn)M，∵在四邊形中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)，∴，，，∴，同理：，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是“對(duì)垂四邊形”，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵四邊形是“對(duì)垂四邊形”，∴，∴四邊形是正方形，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，三角形中位線定理，特殊四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是利用“對(duì)垂四邊形”，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的判定方法．10、當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時(shí)，則這兩個(gè)三角形的面積之和是．解：∵邊長為3，7，8的三角形，可以和邊長為5，7，8的三角形拼成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，如圖，∴拼成的等邊三角形的高為43，∴這兩個(gè)三角形的面積之和為12×8×43=16311．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E點(diǎn)在BC上，若CE＝2，則AE的長等于．解：過A作AD⊥BC，交BC于D，△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4，則CD＝1，ED＝1．∴AE＝＝＝7．故答案為：7．12．（2023春·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線、交于點(diǎn)．若，，則．【答案】169【分析】根據(jù)“垂美”四邊形，得到AC⊥BD，由勾股定理得，由此求出答案．【詳解】解：∵四邊形是“垂美”四邊形，∴AC⊥BD，∴，∴∵，∴169，故答案為：169．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，正確理解“垂美”四邊形的定義構(gòu)建勾股定理的等式是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．（1）若，，，則；（2）若，，則；（3）若，，，，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，進(jìn)行等量代換，可以得到的值．（3）由（2）得求解過程可以得到，進(jìn)行替換即可．【詳解】（1），，，．故答案為．（2）由（1）得：，，，，，，，．故答案為．（3）由（2）得：，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關(guān)鍵．14．（2023·山西太原·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）認(rèn)識(shí)新知：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知OB＝OD，AB＝AD，判斷：四邊形ABCD____垂美四邊形（填“是”或“否”）；(2)性質(zhì)探究：如圖2，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，則AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．②猜想AB、BC、CD、AD這四條邊的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．(3)解決問題：如圖3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，連結(jié)CE、BG、GE，則GE＝____．【答案】(1)是(2)①79，79；②，理由見解析(3)【分析】（1）連接AC、BD，根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）證△GAB≌△CAE（SAS），得∠ABG＝∠AEC，再證四邊形CGEB是垂直四邊形，然后由垂直四邊形的性質(zhì)，勾股定理，結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算即可．（1）解：結(jié)論：四邊形ABCD是垂美四邊形．理由：如圖，連接AC和BD，∵AD＝AB，∴A在BD的垂直平分線上，∵CD＝CB，∴C在BD的垂直平分線上，∴AC垂直平分BD，∴四邊形ABCD為垂美四邊形；故答案為：是；（2）①解：∵AC⊥BD，∴＝1+25+49+4＝79，＝1+25+49+4＝79，故答案為：79，79；②結(jié)論：．理由：∵，∴，，∴；（3）如圖，設(shè)AC與BG的交點(diǎn)為N，AB與CE的交點(diǎn)為M，∵，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∵，∴，由（2）得，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)尺規(guī)作圖：以已知線段為對(duì)角線作一個(gè)垂美四邊形，使其對(duì)角線交于點(diǎn)O；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知四邊形是垂美四邊形，且，則它的面積為________；(3)如圖，四邊形是垂美四邊形，，探究a、b、c、d的數(shù)量關(guān)系；(4)如圖，已知D、E分別是中邊的中點(diǎn)，，請運(yùn)用上題的結(jié)論，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)(4)【分析】（1）分別以點(diǎn)E、點(diǎn)G為圓心畫弧，交于EG上方于點(diǎn)F，交EG下方于點(diǎn)G，連接EF、EH、GF、GH，四邊形EFGH即為所求；（2）將四邊形ABCD分為上下兩個(gè)三角形，分別求出兩個(gè)三角形的面積再相加即可；（3）將四邊形ABCD分為四個(gè)小的直角三角形，再根據(jù)勾股定理分別用OA、OB、OC、OD表示出、、、即可知道a、b、c、d之間的數(shù)量關(guān)系；（4）連接DE，根據(jù)題意可得四邊形AEDB是垂美四邊形，結(jié)合（3）的結(jié)論即可求出AB長度．【詳解】（1）解：如圖1：（2）解：如圖2，Rt△ACD中，，Rt△ABC中，，．（3）∵，∴中，；中，，中，，中，，∴，；∴；（4）解：連接，如圖3，∵D、E分別是中邊的中點(diǎn)，∴；∵，∴四邊形是垂美四邊形；∴；即，得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理，讀懂題目的新定義，巧妙地運(yùn)用等量代換得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．(1)如圖1，已知四邊形是垂美四邊形．①若，則它的面積為_____________；②若，探究的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，已知分別是中邊的中點(diǎn)，，，請運(yùn)用②中的結(jié)論，直接寫出的長為___________________．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①由面積和差關(guān)系可求解；②由勾股定理列出方程組，可求解；（2）由三角形的中位線定理可得，，，由②的結(jié)論，列出方程可求解．【詳解】（1）解：①如圖1，四邊形是垂美四邊形，，，；②如圖1，四邊形是垂美四邊形，，在中，，在中，，在中，，在中，，，，，即：；（2）解：如圖，連接，、分別是中邊、的中點(diǎn)，，，，，，四邊形是垂美四邊形，，，．故答案為【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了勾股定理，三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)，理解垂美四邊形17．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測）若四邊形對(duì)角線互相垂直，那么我們定義這種四邊形為“對(duì)垂”四邊形．特征辨析(1)下列4個(gè)圖中，四邊形不是“對(duì)垂”四邊形的是（）歸納探究(2)如圖1，于O，動(dòng)點(diǎn)P，Q都從O點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿運(yùn)動(dòng)到B，點(diǎn)Q沿運(yùn)動(dòng)到C．①當(dāng)，，，時(shí)，則___________，___________，據(jù)此結(jié)合（1）中相關(guān)圖形試猜想“對(duì)垂”四邊形兩組對(duì)邊與之間的數(shù)量關(guān)系：___________（用等式表示）；②在“對(duì)垂”四邊形中，當(dāng)①中的條件都不存在時(shí)，①中所猜想的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．拓展應(yīng)用(3)如圖2，四邊形和四邊形均為正方形，點(diǎn)B恰好在的延長線上，且已知，，求的長．【答案】(1)D(2)①，，；②成立，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和線段垂直平分線的判定結(jié)合“對(duì)垂”四邊形的定義逐一判斷即可；（2）①先解，求出的長，再利用勾股定理求出的長即可得到答案；②利用勾股定理進(jìn)行證明即可；（3）如圖2，連接，先證明，得到，進(jìn)而證明，推出四邊形是“對(duì)垂”四邊形．由（2）得，，求出，，，即可求出．【詳解】（1）解：A、∵，∴四邊形是菱形，∴四邊形的對(duì)角線互相垂直，∴四邊形是“對(duì)垂”四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴線段在線段的垂直平分線上，∴四邊形的對(duì)角線互相垂直，∴四邊形是“對(duì)垂”四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、如圖同A選項(xiàng)可證明四邊形是菱形，∴，∴四邊形的對(duì)角線互相垂直，∴四邊形是“對(duì)垂”四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明四邊形的對(duì)角線互相垂直，故此選項(xiàng)符合題意；故選D；（2）解：①∵，∴，在中，，，∴，，∴，，在中，由勾股定理得，∴；在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴；∴；由（1）可知A、B、C三個(gè)選項(xiàng)的四邊形是“對(duì)垂”四邊形，都滿足，∴可以猜想；②猜想仍然成立，證明如下：∵于O，∴，由勾股定理得，，，∴．（3）解：如圖2，連接，∵四邊形和四邊形均為正方形，∴，∴，即，在和中，∴，∴，又∵，∴，即，∴四邊形是“對(duì)垂”四邊形．由（2）得，，∵，，∴，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·天津·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，四邊形兩條對(duì)角線互相垂直，且．設(shè)，(1)用含的式子表示：_____________；(2)當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求的長；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）所求，代入進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)O，∵，，∴，∵四邊形兩條對(duì)角線互相垂直，∴，故答案為；；（2）解：由題意得，∴，解得或（舍去）∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積，一元二次方程的應(yīng)用，正確列出四邊形的面積關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．19．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，我把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)M、N分別是AC、AP中點(diǎn)連接MN．若MN＝，則S△ABC＝．【答案】（1）詳見解析；（2）①，②【分析】（1）利用勾股定理即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)SAS可證明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的長；②連接PC、AQ交于點(diǎn)D，同①可證△PBC≌△ABQ，則AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2，可知AQ＝PC＝4．延長QB作AE⊥QE，求出BE的長，則答案可求出．【詳解】解：（1）證明：如圖中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）①如圖，連接PC、AQ交于點(diǎn)D，∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，∴∠PBC＝∠ABQ，∴△PBC≌△ABQ（SAS），∴∠BPC＝∠BAQ，又∵∠BP