第5課時相似三角形的判定（5）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．經(jīng)歷直角三角形相似的判定定理的探索及證明．2．直角三角形相似的判定定理的應(yīng)用．【學(xué)習(xí)重點】三角形相似的判定定理及應(yīng)用．【學(xué)習(xí)難點】直角三角形相似的判定定理的推導(dǎo)．舊知回顧：1．全等三角形的判定方法有哪些？答：SSS，SAS，ASA，AAS，(HL)．2．我們學(xué)過的相似三角形的判定有哪些？答：(1)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或延長線)相交，所得三角形與原三角形相似；(2)三邊對應(yīng)成比例兩三角形相似；(3)兩邊對應(yīng)成比例并且夾角相等，兩三角形相似；(4)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．基礎(chǔ)知識梳理eq\a\vs4\al(知識模塊一直角三角形相似的判定定理的證明)閱讀教材P83頁的內(nèi)容，回答以下問題：1．除前面的判定方法外直角三角形相似還有哪種特殊的判定方法？如何證明？如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．2．如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′).求證：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.證明：設(shè)eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.由勾股定理，得：BC＝eq\r(AB2－AC2)，B′C′＝eq\r(A′B′2－A′C′2)，∴eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(\r(AB2－AC2),B′C′)＝eq\f(\r(k2A′B′2－k2A′C′2),B′C′)＝eq\f(kB′C′,B′C′)＝k.∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′).∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三邊成比例的兩個三角形相似)．例：判定△ABC∽△DEF，已知∠C＝∠F＝90°，則還應(yīng)有條件(D)A．∠B＝∠EB.eq\f(AB,DE)＝eq\f(AC,DF)C.eq\f(BC,EF)＝eq\f(AC,DF)D．以上都對eq\a\vs4\al(知識模塊二直角三角形相似的判定定理的應(yīng)用)例1：如圖，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝eq\r(6)，AD＝2.問當(dāng)AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似？解：由勾股定理得：CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(（\r(6)）2－22)＝eq\r(2)，分eq\f(BC,AC)＝eq\f(AD,DC)或eq\f(BC,AC)＝eq\f(DC,AD)兩種情況均能得到△ABC和△ACD相似.eq\f(BC,\r(6))＝eq\f(2,\r(2))或eq\f(BC,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，解得BC＝2eq\r(3)或eq\r(3)，∴AB＝3eq\r(2)或3.例2：已知：如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于點D.(1)求證：BC2＝BD·BA；(2)若AD＝eq\f(9,5)，BC＝4，求AC、BD.證明：(1)∵CD⊥BA，∴∠BDC＝90°＝∠BCA，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴eq\f(BC,BA)＝eq\f(BD,BC)，∴BC2＝BD·BA.(2)由(1)BC2＝BD·BA，設(shè)BD＝x，則42＝x(x＋eq\f(9,5))，解得x1＝eq\f(16,5)，x2＝－5(舍)，∴AB＝eq\f(9,5)＋eq\f(16,5)＝5，由勾股定理AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(52－42)＝3，∴AC＝3，BD＝eq\f(16,5).例3：如圖，△ABC中，∠CAB＝90°，CB的中垂線交BC于點E，交CA的延長線于點D，交AB于點F.求證：AE2＝EF·ED.證明：∵E是BC中點，AE是Rt△CAB斜邊上的中線，∴AE＝eq\f(1,2)BC＝EC，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC＋∠EAF＝90°，∴∠C＋∠D＝90°，∴∠D＝∠EAF.∵∠AEF＝∠DEA.∴△AEF∽△DEA，∴eq\f(AE,EF)＝eq\f(DE,AE)，∴AE2＝EF·ED.基礎(chǔ)知識訓(xùn)練1．如圖，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，則AD＝eq\f(10,3)．(第1題圖)(第2題圖)2．如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝4．3．如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D.下列條件中，能證明△ABC是直角三角形的有①②④．①∠A＋∠B＝90°；②AB2＝AC2＋BC2；③eq\f(AC,AB)＝eq\f(CD,BD)；④CD2＝AD·BD.本課內(nèi)容反思1．收獲：__________________________________________