第4章過剩載流子4.1載流子的產(chǎn)生和復合4.2過剩載流子的性質(zhì)4.3雙極輸運及其輸運方程4.4準費米能級習題

半導體存在兩種狀態(tài)，一種是熱平衡狀態(tài)，一種是非熱平衡狀態(tài)。熱平衡狀態(tài)是半導體沒有受到外界(電場、磁場、光照等)作用的狀態(tài)，非熱平衡狀態(tài)是半導體受到外界作用的狀態(tài)。當半導體處于熱平衡狀態(tài)時，半導體中的載流子濃度只有熱平衡載流子濃度，它不隨時間發(fā)生變化;而在非熱平衡狀態(tài)下，半導體中的載流子濃度包括熱平衡載流子濃度和過剩載流子濃度。在非熱平衡狀態(tài)下，半導體中出現(xiàn)了過剩載流子，那么過剩載流子是怎么來的?過剩載流子有多少?過剩載流子的漂移和擴散是怎樣進行的?解決了這些問題，就掌握了過剩載流子的性質(zhì)和運動變化規(guī)律，運用這些規(guī)律，可以討論它們對電流的貢獻，確定半導體器件的工作原理。

4.1載流子的產(chǎn)生和復合

在非熱平衡狀態(tài)下半導體中既有熱平衡載流子，又有過剩載流子。載流子濃度的變化與載流子的產(chǎn)生和復合有關。4.1.1產(chǎn)生和復合的概念

半導體中的載流子包括導帶的電子和價帶的空穴。當T=0K時，電子和空穴的濃度為零，當T>0K時，電子和空穴的濃度不為零。通常把載流子的生成稱為載流子的產(chǎn)生，把載流子的消失稱為復合。

4.1.2產(chǎn)生率和復合率

載流子生成的快慢程度用產(chǎn)生率來描述，定義為單位體積、單位時間內(nèi)載流子增加的數(shù)目，即單位時間內(nèi)載流子濃度增加的數(shù)值。通常用Gn

和Gp分別表示電子和空穴的產(chǎn)生率。當僅有載流子產(chǎn)生存在時，載流子濃度與產(chǎn)生率的關系為

產(chǎn)生率的單位為cm-3s-1

。

載流子消失的快慢程度用復合率來描述，定義為單位體積、單位時間內(nèi)載流子減少的數(shù)目，即單位時間內(nèi)載流子濃度減少的數(shù)值。通常用Rn

和Rp

分別表示電子和空穴的復合率。當僅有載流子復合存在時，載流子濃度與復合率的關系為

復合率的單位為cm-3s-1。

4.1.3載流子的產(chǎn)生源

載流子是怎么產(chǎn)生的?當T=0K時，半導體價帶為滿帶，導帶為空帶，所以半導體中的載流子濃度等于零。當T>0K時，導帶有電子，價帶有空穴，載流子濃度不為零。當把一塊T=0K的半導體放置在T>0K的環(huán)境中時，半導體中的載流子就會從無到有?？梢?，溫度是產(chǎn)生載流子的一種源。事實上，載流子產(chǎn)生是需要能量的，對溫度來說，這種能量就是熱能。

除了溫度這種載流子的產(chǎn)生源外，還有其他的載流子產(chǎn)生源，如光照，價帶的電子吸收光能后躍遷到導帶，就會產(chǎn)生電子和空穴，因此光也是載流子的產(chǎn)生源。

當有這些產(chǎn)生源時，它們就會按照其產(chǎn)生率生成載流子。當產(chǎn)生源撤離時，載流子隨即停止產(chǎn)生。

4.1.4影響載流子復合的因素

載流子的復合是載流子消失的過程。對于直接復合，一個電子從導帶躍遷到價帶，導帶的一個電子消失，同時，價帶的一個空穴也消失了。由于導帶電子到價帶的躍遷是能量減小的過程，所以，電子與空穴的復合就不需要其他外部的力量來激勵。它是一個自然的過程，在同一位置，只要有電子和空穴，它們就必然會發(fā)生復合。復合率與電子和空穴濃度成正比，即

式中：

n、p分別代表電子濃度和空穴濃度；

α

是比例系數(shù)，與材料有關。由于是直接復合，因此電子的復合率和空穴的復合率是相等的。如果只有復合，載流子的濃度隨時間是在減少的，則復合率也隨時間減小。

對于其他復合，由于有其他復合因素參與，復合不再只與載流子濃度有關，電子和空穴的復合率也不再始終相同。

4.1.5熱平衡狀態(tài)下載流子的產(chǎn)生和復合

影響熱平衡狀態(tài)下半導體載流子濃度變化的因素包括熱平衡載流子產(chǎn)生率和熱平衡載流子復合率。若熱平衡狀態(tài)下載流子的濃度分別為n0

、p0

，則電子和空穴的熱平衡復合率Rn0

、Rp0為

電子和空穴的熱平衡產(chǎn)生率Gn0

、Gp0取決于溫度，但可以通過熱平衡狀態(tài)下載流子的濃度不變來確定其大小，即有

所以，在熱平衡狀態(tài)下，電子和空穴的產(chǎn)生率和復合率有如下關系：

在熱平衡狀態(tài)下，電子和空穴濃度保持不變，但電子和空穴的產(chǎn)生和復合的過程依然存在，只不過是產(chǎn)生的載流子和復合的載流子相等而已。

4.1.6非熱平衡狀態(tài)下載流子的復合

通常，把熱平衡狀態(tài)下的載流子稱為熱平衡載流子，而把非熱平衡狀態(tài)下比熱平衡狀態(tài)下多出的那部分載流子稱為過剩載流子，包括過剩電子和過?？昭?。

1.非熱平衡狀態(tài)下載流子的復合率

假設當t=0時在半導體中存在過剩載流子，過剩電子和過?？昭ǖ臐舛确謩e為δn和δp，同時也存在熱平衡電子濃度n0

和熱平衡空穴濃度p0

。此時電子的總濃度和空穴的總濃度分別為

并且有

此時，半導體中的產(chǎn)生源只有熱產(chǎn)生源，而總的復合卻包括熱平衡載流子復合和過剩載流子復合兩部分。

在非熱平衡狀態(tài)下，載流子的復合率可表示為

其中電子和空穴的熱平衡復合率為

過剩電子和空穴的復合率為

2.非熱平衡狀態(tài)下載流子的復合規(guī)律

由于熱平衡載流子的產(chǎn)生率和復合率相等，即單位時間增加的熱平衡載流子濃度等于復合的熱平衡載流子濃度，熱平衡載流子的產(chǎn)生率和復合率同時存在的作用效果是熱平衡載流子濃度不隨時間變化。對于過剩載流子，當產(chǎn)生源消失時，過剩載流子停止增加，而只要過剩載流子存在，其復合就存在，當只有復合存在時，過剩載流子濃度就會隨時間減少。

對過剩載流子，當僅有復合存在時，過剩電子復合率和過?？昭◤秃下士梢苑謩e表示成

由式(4.12)和式(4.13)得到過剩電子濃度隨時間變化的方程為

同理，由式(4.12)和式(4.14)得到過?？昭舛入S時間變化的方程為

顯然，式(4.15)和式(4.16)是等效的。因為δp=δn，所以式(4.15)和式(4.16)還可寫成

或者

[例4.1]設某N型半導體在t=0時，半導體中過剩載流子的濃度δp=δn=105

cm-3，過剩載流子的壽命δτn=δτp=10-6

s。試求過剩載流子濃度隨時間的變化規(guī)律，并求過剩載流子的復合率。

解:N型半導體中的過剩載流子空穴隨時間的變化規(guī)律為

代入t=0時的過剩載流子濃度和過剩載流子壽命，可得

過剩電子的濃度為

過剩載流子電子和空穴的復合率為

對于過剩載流子，過剩多子和過剩少子濃度相等、復合率相等、壽命也相等，即同時產(chǎn)生也同時消失。過剩載流子的壽命取決于材料和熱平衡多子濃度，即熱平衡多子濃度越高，過剩載流子壽命越短。

3.載流子的復合與壽命

過剩載流子的復合率可以用其濃度和壽命的比值來表示，如式(4.20)和式(4.21)。

對于熱平衡載流子，如果只有復合存在，而不考慮熱平衡產(chǎn)生率時，載流子也會按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢程度也與其壽命有關。所以，其復合率也可比照式(4.20)或式(4.21)來表示。

熱平衡載流子電子的復合率可用其壽命表示為

式中，

τn0

=(αp0)-1為熱平衡電子的壽命。

關于載流子濃度可用六個量來表示，它們分別是熱平衡電子濃度n0、熱平衡空穴濃度p0

、過剩電子濃度δn、過?？昭舛圈膒、非熱平衡電子總濃度n和非熱平衡空穴總濃度p。它們之間的關系用式(4.9)來表示。相應地，載流子的復合率也可用六個量來表示，它們分別是熱平衡電子復合率Rn0、熱平衡空穴復合率Rp0、過剩電子復合率δRn

、過?？昭◤秃下师腞p、非熱平衡電子總復合率Rn和非熱平衡空穴總復合率Rp。載流子的復合率可表示為其濃度和壽命之比。對每一部分載流子，都可以單獨來考慮其復合和壽命問題。表4.1列出部分符號和其代表的意義，并給出部分物理量之間的關系。

4.熱平衡載流子壽命、總載流子壽命和過剩載流子壽命之間的關系

由式(4.22)和式(4.23)可知

和

通常n0≠p0

，所以τn0≠τp0。

由式(4.22)和式(4.23)及式(4.11)可知

和

同樣n≠p，所以τn≠τp

。

由式(4.20)和式(4.21)及式(4.12)，并利用δn=δp

可得

和

顯然δτn=δτp

。

對P型半導體，若p0?n0

，則在小注入(δp0

=δn0?p0

)條件下，式(4.28)可近似為

式(4.30)和式(4.31)近似為

從式(4.32)和式(4.33)可以看出，對P型半導體，在小注入情況下，少子電子的熱平衡壽命、總壽命和過剩載流子壽命相等。所以，在P型半導體中，少子電子的壽命都可用τn0

表示，過剩多子空穴的壽命也用τn0

表示。

對N型半導體，若n0?p0

，則在小注入(δp0

=δn0?n0)條件下，式(4.29)可近似為

式(4.30)和式(4.31)近似為

從式(4.34)和式(4.35)可以看出，對N型半導體，在小注入情況下，少子空穴的熱平衡壽命、總壽命和過剩載流子壽命相等。所以，在N型半導體中，少子空穴的壽命都可用

τp0表示，過剩多子電子的壽命也用τp0

表示。

將P型和N型半導體的多子和少子壽命列于表4.2中，以方便對比。

4.2過剩載流子的性質(zhì)

載流子在電場作用下形成漂移電流，載流子濃度不均勻時會擴散形成擴散電流。漂移和擴散都改變了載流子的空間位置。對于確定位置而言，其載流子的濃度變化有三個因素：一個是該處的產(chǎn)生源，另一個是復合，最后一個就是漂移和擴散運動導致的載流子的流入和流出。

4.2.1載流子的連續(xù)性方程

圖4.1為x處的體積元，一束一維空穴流在x處流入微分體積元，從x+dx處流出。單位時間穿過單位橫截面的空穴個數(shù)用Fp(x)來表示，單位為個/(cm2

·s)。單位時間內(nèi)x處微分體積元的空穴流入流出凈增量為

若凈增量大于零，則代表流入微分體積元中的空穴數(shù)目大于流出微分體積元中空穴的數(shù)目，否則反之。圖4.1空穴粒子x處的體積元

微分體積元中空穴數(shù)目的變化還與產(chǎn)生源和復合有關，產(chǎn)生使載流子數(shù)目增加，而復合使載流子數(shù)目減少。單位時間內(nèi)產(chǎn)生和復合導致的微分體積元中的空穴凈增量為

單位時間內(nèi)微分體積元中空穴的凈增量可表示為

它應該是流入流出凈增量與產(chǎn)生復合凈增量之和，即

式(4.39)即空穴的連續(xù)性方程

同理，可得電子的連續(xù)性方程為

式中，

Fn為電子的流量，單位為個/(cm2·s)。

4.2.2與時間有關的擴散方程

電子和空穴的流動形成電流，每一個電子所帶電量為-e，而每一空穴所帶電量為+e，所以，流量為Fn

的電子和流量為Fp

的空穴形成的電流分別為

和

與時間有關的過剩載流子的擴散方程，反映了過剩載流子濃度隨時間和空間的變化規(guī)律。式(4.49)和式(4.50)中右邊第一項、第二項、第三項和第四項分別反映了載流子漂移、擴散、產(chǎn)生和復合導致的載流子濃度隨時間的變化。式(4.49)和式(4.50)看似是兩個獨立的方程，可以分別確定過剩電子濃度和過剩空穴濃度隨時間和空間變化的函數(shù)，但其中的電場E并不是簡單的外場，而是包括過剩電子和過?？昭ㄆ贫纬傻膬?nèi)場。顯然，式(4.49)和式(4.50)并不獨立，而是有內(nèi)在聯(lián)系的。

4.3雙極輸運及其輸運方程

本節(jié)將討論如何將有內(nèi)在聯(lián)系的式(4.49)和式(4.50)合并成為一個方程，這個方程稱為雙極輸運方程，并利用該方程解決具體問題。

4.3.1雙極輸運的概念

式(4.49)和式(4.50)兩等式右邊的第一項中包含電場強度E，它是總的電場強度。某處的過剩電子和過?？昭ㄔ谕怆妶鯡外作用下，其漂移運動會使過剩電子和過?？昭ㄓ邢蛳喾捶较蜻\動的趨勢，一旦二者產(chǎn)生間距，就會感應出內(nèi)建電場E內(nèi)，如圖4.2所示。這樣式(4.49)和式(4.50)中電場強度E就為外場與內(nèi)建電場的矢量和，即圖4.2內(nèi)建電場產(chǎn)生示意圖

內(nèi)建電場會使過剩電子和過?？昭óa(chǎn)生吸引力，從而阻止二者間距的擴大。這樣，過剩電子和過?？昭ň蜁o密地聯(lián)系在一起以單一的遷移率或擴散系數(shù)共同漂移或共同擴散，這種現(xiàn)象稱為雙極輸運。

即使沒有外場，若過剩電子和過?？昭ㄒ愿髯缘臄U散系數(shù)擴散，也會因擴散能力不同而具有空間分離趨勢，從而形成內(nèi)建電場。內(nèi)建電場使過剩電子和過?？昭óa(chǎn)生吸引力而一起擴散。所以，無論有無外場，過剩電子和過剩空穴都會共同漂移或共同擴散。共同漂移或共同擴散是內(nèi)建電場的作用。過剩電子和過?？昭ǖ姆蛛x形成內(nèi)建電場，內(nèi)建電場阻礙過剩電子和過?？昭ǖ倪M一步分離。因此，即使過剩電子和過?？昭ㄓ蟹蛛x的趨勢也會自然形成內(nèi)在的相互吸引力，而不是分離了才有相互的吸引力產(chǎn)生。所以，過剩電子和過剩空穴的雙極輸運使它們一起運動并保持電中性。

過剩電子和過剩空穴的相互吸引力體現(xiàn)在內(nèi)建電場的空間變化率?E內(nèi)

/?x上，即使E內(nèi)很小甚至趨于零，

?E內(nèi)

/?x依然存在，且不能被忽略。這很容易從數(shù)學上理解:一個函數(shù)在某處的函數(shù)值為零，但在該處的導數(shù)并不一定為零。過剩電子和過?？昭ǖ臄U散方程中共同包含著?E內(nèi)

/?x這一因子，所以式(4.49)和式(4.50)有內(nèi)在聯(lián)系。

4.3.2雙極輸運方程

由前面的分析可知，過剩電子和過剩空穴的產(chǎn)生率和復合率分別相等，即有

利用式(4.51)，將式(4.49)和式(4.50)右邊第一項展開，重寫為

和

這樣，在式(4.56)中雙極遷移率用電子和空穴的遷移率來表示，在式(4.61)中雙極擴散系數(shù)用電子和空穴的擴散系數(shù)來表示。雙極遷移率和雙極擴散系數(shù)還與電子濃度和空穴濃度有關，所以，雙極輸運方程式(4.58)或式(4.59)是非線性微分方程。

4.3.3小注入條件下的雙極輸運方程

1.P型半導體小注入條件下的雙極輸運方程

對P型半導體，假設p0?n0，小注入條件就意味著過剩載流子濃度遠小于熱平衡多數(shù)載流子空穴濃度，即p0?δn=δp。這樣，式(4.61)給出的雙極擴散系數(shù)可以簡化為

若電子的擴散系數(shù)近似等于空穴的擴散系數(shù)，則式(4.62)可進一步簡化為

若對式(4.56)給出的雙極遷移率應用P型半導體的小注入條件，則式(4.56)可簡化為

2.N型半導體小注入條件下的雙極輸運方程

式(4.67)和式(4.73)分別是P型半導體和N型半導體中過剩載流子的雙極輸運方程。其中的參數(shù)均為少子參數(shù)，描述的是過剩少子的行為(漂移、擴散、產(chǎn)生、復合)。過剩多子的行為和過剩少子的行為相同，過剩多子的行為由過剩少子來決定。

4.3.4雙極輸運方程應用

過剩載流子的輸運方程求解，首先要根據(jù)過剩載流子是在P型半導體還是N型半導體中存在，從而確定過剩少子類型，以便確定選用式(4.67)還是式(4.73);其次根據(jù)是否存在漂移、擴散、產(chǎn)生、復合等簡化雙極輸運方程;最后求解方程，得到過剩少子分布和過剩多子分布。

雙極輸運方程是描述過剩載流子行為的方程，通過求解該方程，可以揭示過剩載流子的漂移、擴散、產(chǎn)生、復合等規(guī)律，進而了解和認識過剩載流子的特性。

表4.3給出了一些雙極輸運方程的簡化條件和簡化內(nèi)容，以方便應用。圖4.3過剩載流子濃度隨時間的變化曲線(例4.2)

[例4.3]在x=0處，

N型半導體中有穩(wěn)定的過剩載流子濃度δn(0)=δp(0)，其余空間沒有過剩載流子產(chǎn)生源，也無外場。試求穩(wěn)態(tài)時過剩載流子濃度在空間的分布。

解:N型半導體中少子為空穴，雙極輸運方程為式(4.73)，即

從例4.3可以看出，過剩載流子邊擴散邊復合，在遠離產(chǎn)生源處，過剩載流子濃度指數(shù)衰減如圖4.4所示。可以認為，在擴散長度以外，過剩載流子濃度很小。所以，擴散長度代表了過剩載流子的擴散能力。若半導體的實際長度大于擴散長度，則過剩載流子的分布函數(shù)基本不變;若實際半導體的長度小于擴散長度，即過剩載流子還沒有到達擴散長度處就已經(jīng)到達半導體的邊界，過剩載流子分布在實際半導體中，則過剩載流子的實際擴散長度就是半導體的實際長度，此時過剩載流子的濃度分布中只需把擴散長度換成際擴散長度即可。顯然，在半導體表面處，過剩載流子壽命要小得多，因為在表面處必須完成復合。圖4.4過剩載流子濃度隨時間的變化曲線(例4.3)

4.4準費米能級

在熱平衡狀態(tài)下，電子濃度和空穴濃度表達式中的費米能級是同一個費米能級，即

式(4.74)和式(4.75)說明費米能級EF

的變化既會改變電子濃度，又會改變空穴濃度，而電子濃度只與導帶的量子態(tài)密度和電子占據(jù)導帶量子態(tài)的概率相關，空穴濃度只與價帶的量子態(tài)密度和空穴占據(jù)價帶量子態(tài)的概率相關。衡量電子和空穴占據(jù)量子態(tài)概率是用費米狄拉克分布函數(shù)，分布函數(shù)中的EF

決定了具體的概率。所以，在熱平衡狀態(tài)下，該費米能級可以看做是導帶電子占據(jù)量子態(tài)概率為1/2的能級，電子占據(jù)該能級以上量子態(tài)的概率小于1/2，電

子占據(jù)該能級以下量子態(tài)的概率大于1/2，但計算電子濃度時，這種概率分布只在導帶有意義。

同樣，在熱平衡狀態(tài)下，該費米能級可以看做是價帶空穴占據(jù)量子態(tài)概率為1/2的能級，空穴占據(jù)該能級以上量子態(tài)的概率大于1/2，空穴占據(jù)該能級以下量子態(tài)的概率小于1/2，但計算空穴濃度時，這種概率分布只在價帶有意義。這樣，導帶電子濃度是導帶電子費米能級EF的函數(shù)；價帶空穴濃度是價帶空穴費米能級EF的函數(shù)。對電子濃度而言，導帶電子費米能級越高，電子濃度越大，導帶電子費米能級越低，電子濃度越低;對空穴濃度而言，價帶空穴費米能級越低，空穴濃度越大，價帶空穴費米能級越高，空穴濃度越低。在熱平衡狀態(tài)下，描述導帶電子占有率的費米能級和描述價帶空穴占有率的費米能級是同一個費米能級，這也是熱平衡狀態(tài)的一個標志。

在非熱平衡狀態(tài)下，電子濃度和空穴濃度分別比熱平衡電子濃度和空穴濃度高，即

若沿用式(4.74)表示非熱平衡狀態(tài)的電子濃度，比較式(4.74)和式(4.76)可知，此時的導帶電子費米能級EFn一定高于熱平衡費米能級EF，把此導帶電子費米能級EFn定義為電子準費米能級，以區(qū)別熱平衡狀態(tài)下的費米能級EF，顯然EFn

>EF。

若沿用式(4.75)表示非熱平衡狀態(tài)的空穴濃度，比較式(4.75)和式(4.77)可知，此時的價帶空穴費米能級EFp一定低于熱平衡費米能級EF，把此價帶空穴費米能級EFp定義為空穴準費米能級，以區(qū)別熱平衡狀態(tài)下的費米能級EF，顯然EFp<EF。盡管EFn

、EFp分別為電子和空穴的準費米能級，但其費米能級的意義沒變，即EFn

、EFp分別是導帶電子和價帶空穴占據(jù)概率為1/2的能級，并且，其分布函數(shù)分別在導帶和價帶有意義。

在非熱平衡狀態(tài)下，電子濃度和空穴濃度可分別表示為

[例4.4]當T=300K時，

N型半導體的載流子濃度為n0

=1015

cm-3，ni=1010cm-3，Nv

=1012

cm-3。在非熱平衡狀態(tài)下，假設過剩載流子的濃度為δn=δp=1012cm-3，試計算準費米能級，并計算電子占據(jù)價帶頂量子態(tài)概率的變化。

解：熱平衡狀態(tài)下的費米能級可由式(4.74)計算，則有

在非熱平衡狀態(tài)下，電子占據(jù)價帶頂?shù)母怕蕿?/p>