高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)分類討論押題針對(duì)訓(xùn)練

例L解關(guān)于X的不等式：/+/<(〃+〃2A(a^R)

2

例2.解關(guān)于x的不等式ax+2ax+l>0(a€R)

例3.解關(guān)于x的不等式ax2-222x-ax(a￡R)(西城2003'一模理科)

例4.已知函數(shù)f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5.有最大值2,求實(shí)數(shù)a的取值.

例5.設(shè)｛a｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，&是其前n項(xiàng)和，證

明￥°片+產(chǎn)。5s〃+2>臉5s用.

例6.設(shè)一雙曲線的兩條漸近線方程為2x-y+l=0,2x+y-5=0,求此雙曲線的離心率.

3+1

例7.解關(guān)于x的不等式5*-2<1.

課后練習(xí)：

2

1.解不等式logx(5x-8x+3)>2

2.解不等式Hog】x|+|log|(3—x)區(qū)1

23

3.已知關(guān)于xa的x不—5等式竿上■<()的解集為M.

x-a

(1)當(dāng)a=4時(shí),求集合M:

(2)若30L求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.在xOy平面上給定曲線y?=2x,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,0),aeR,求曲線上點(diǎn)到點(diǎn)A距離的

最小值d,并寫成d=f(a)的函數(shù)表達(dá)式.

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)函數(shù)押題針對(duì)訓(xùn)練

例：由)，=石圖象，經(jīng)過如何變換可得下列函數(shù)圖象?

<1>y=Jl“I-1<2>y=y/\x-\\

例：y=f(x+3)的反函數(shù)與y=廣(x+3)是否相同？

Y

例1.判斷函數(shù)/(%)=(1+小「爾5)?《111的奇偶性及周期性。

例2.<1>設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+3)=-——,又當(dāng)*￡[-3,-2]時(shí)，

f(x)

f(x)=2x,求f(113.5)的值。

<2〉已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)xW(0,1)時(shí)，f(x)=x+l.求f(x)在(1,2)

上的解析式。

例3.<1>若x￡(1,2)時(shí)，不等式(xT)2<log”x恒成立，求a的取值范圍。

<2>己知二次函數(shù)f(x)=x，ax+5對(duì)任意t都有f(t)=f(-4-1),且在閉區(qū)間Z[m,0]上有

最大值5,最小值1,求m的取值范圍。

例4.已知函數(shù)/")=log“—^,(。>0且。。1).

A+5

⑴判定f(x)在一(-8,-5)上的單調(diào)性,并證明。

(ID設(shè)g(x)=l+log.、(x-3),若方程f(x)=g(x)有實(shí)根，求a的取值范圍。

練習(xí)：

已知f(x)是定義在[-1,1]I?的奇函數(shù).且若m,n￡[-1,1],m+nWO時(shí)，有

/(m)+f(n)、八

17Uo

m+n

<1>用定義證明f(x)在[T,1]上是增函數(shù)。

〈2〉若f(x)Wt?-2at+l對(duì)所有x￡[T,1],a￡[T,1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

參考答案：

⑵|t|22或t=O.

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)排列與組合押題針對(duì)訓(xùn)練

例1.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書。

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法。

例2.已知兩個(gè)集合A={L2,3},B={a,b,c,d),從A到B建立映射，問可建立多少個(gè)

不同的映射？

例3.求證：P/'+mPn^^Pn."

例4?解方程g+1=14()P；.

例5.7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。

(1)甲排中間；(2)甲不排兩端；(3)甲，乙相鄰；

(4)甲在乙的左邊(不要求相鄰)；(5)甲，乙，丙連排；

(6)甲，乙，丙兩兩不相鄰。

解：(1)甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故

共

例6.用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)

的個(gè)數(shù)：

(1)奇數(shù)；(2)5的倍數(shù)；(3)比20300大的數(shù);

(4)不含數(shù)字0,且1,2不相鄰的數(shù)。

例7.直線與圓相離，直線上六點(diǎn)8,A2,A3,AOA5,A6,圓上四點(diǎn)B”B2,Ba,B,，任

兩點(diǎn)連成直線，問所得直線最多幾條？最少幾條？

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義與三角變換押題針對(duì)訓(xùn)練

例1.(1)己知-工3<。<工,求a+。與a-p的范圍。

22

(2)已知a的終邊在第二象限，確定九-a所在象限。

例2.若八二代N二絲，keZ},B={x|x=—+-,keZ),則AB。

424

例3.設(shè)0<0<2兀，問5。與角吸邊相同，求0。

例4.若—"2=ctg&csc9,求9取值范圍。

V1+8S。

例5.已知sin(兀-a)-cos(7u+ot)=W2,—<a<n.

32

求：(1)sina-cosa的值(2)sin'(X+a)+cos'(X+a)的值

22

例6.已知sin(a-n)=2cos(a-2n),求下列三角函數(shù)的值：

sin(^+a)+5cos(2^-a),C15.

(1)-------------------(2)l+coso2a--sin2a.

”.，3萬、,萬、2

3sin(-a)-cos(+a)

22

例7.求函數(shù)y=J^^7+logsin,(2sinx-l)的定義域。

seca+tga+1_1+sina

例8.求證:

seca-tga+1cosa

i.如果e是第二象限角，則8所在的象限是()

2

A、第一象限B、第一或第三象限C、第二象限D(zhuǎn)、第二或笫四象

限

2.在下列表示中正確的是()

A、終邊在y軸上的角的集合是｛ala=2k"工、keZ)

2

B、終邊在y二x的直線上的角的集合是｛aa=k兀+軍，keZ｝

4

C、與(-2)的終邊相同的角的集合是｛ah二kkC,keZ)

33

D、終邊在y=-x的直線上的角的集合是｛a|a=2k江-2，keZ)

4

3.若水僅3兀，則2M2同4等于()

2

A、sin(0-n)B、-sinOC、cos(n-0)D、-csc0

4.函數(shù)y=2sin(±+K)在［加2元］上的最小值是()

26

A、2B、1C、-1D、-2

5.已知函數(shù)y=cos(sinx),下列結(jié)論中正確的是()

A、它的定義域是［T,1］B、它是奇函數(shù)；

C、它的值域是［0,1］D、它是周期為冗的函數(shù)

6.設(shè)0<x〈工，下列關(guān)系中正確的是()

4

A、sin(sinx)<sinx<sin(tgx)B、sin(sinx)<sin(tgx)<sinx

C>sin(tgx)<sinx<sin(sinx)D、sinx<sin(tgx)<sin(sinx)

nonA

7.若sin—二一，cos—,M0e［0,2兀］,終邊在()

2525

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限

8.如果一弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()

9.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式tg(等\+豹(keZ),結(jié)果是()

,7T1、九八6乃，、7t

A、tg—Ikctg-C、ctg——【)、-tg—

7777

10.設(shè)aw(0,—),A=(cosa)~ana,8=(seca產(chǎn)的大小是()

A,A>BB,A>BC.A<BD,A<B

答案：BBDCDADCBC

正、余弦函數(shù)的有界性在解題中的作用

例1.若實(shí)數(shù)x滿足log2x+2sin6=3,求|%—2|+,一32|的值。

例2.在A43C中，coqA—8)+sin(A+8)=2,試判定三角形的形狀。

A+CAC3

例3.已知四邊形A3CD中的角A、C滿足cos?--+sin2-+sin2-=-

3324

求證：B+D=冗

例4.已知函數(shù)f(x)=ax+b,2a2+6b2=3,求證：對(duì)于任意xG[-1,1],有

|/(小&。

__________3

例5.證明：1KJsina|+J|cosa|?24。

例6.復(fù)數(shù)z”z2,Z3的幅角分別為a、4、/,|zj=l,\z2\=k,\z3\=2-k,

且Z[+Z2+Z3=0,問女為何值時(shí)，cos(/-y)分別取得最大值和最小值，并求出最大值

和最小值。

例7.設(shè)4為無理數(shù).求證：函數(shù)，(丫)=6。6丫+6。*〃*不可能是周期函數(shù)八

證明：假設(shè)/(X)是周期函數(shù)，則存在常數(shù)Two,使對(duì)于任意的x,

cos(x+7)+cosa(x+7)=-cosx+cosax都成立。

令x=0得，cosT+cosi/T=-cos0+cos0=2

因?yàn)閨cosT|Kl,|cosa刀VI,所以8sT=8s"=l

從而T=2K兀，aT=2L%(K,￡為整數(shù))

b-aTL

所以a=—=—o

TK

此時(shí)K,L為整數(shù)，則《為有理數(shù)，但。為無理數(shù)，這是不可能的，故命題成立。

K

1.（2002年全國(guó)）在（0,2n）內(nèi)，使sinx>ccsx成立的x取值范圍為（上

K71、.5〃._.7V.

A、B、（―,7T）

4244

八,乃5乃、n，刀、力43冗、

C、（~7,二T）0、（T，4）

44442

解：在（￡,￡）內(nèi),sinx>cosx,在［巴,乃］內(nèi)sinx>cosx；在（乃,」■）內(nèi)，sinx>cosx；綜

4224

上，:,應(yīng)選C。

2.（2001年全國(guó)）火30。+cfg40H的值為（）。

A、1+V3B、1—>/3C、-1-V3D、—1+V3

解：fg30CP+c吆40十

=吆(36)-60°)+。吆(36個(gè)+45°)

=一fg60°+cfg45°

=-V3+1

:.應(yīng)選B。

3.（1998年全國(guó)）已知點(diǎn)P（sina-cosa,tga）在第一象限，則在［0,2捫內(nèi)a的取值范圍是

（）

K3n、/5萬、c/71冗、,54、

A、(―,—)5》,一)B、(-,-)uU,-)

244

〃,冗31、，5乃3萬、D、（彳,￡）5學(xué),乃）

c、）

2442423

sina-cosa>0sina>cosa

解：由題設(shè)，有Tga>0n〈7i

a￡(0,萬)5肛

0<a<2^5

在［0,2江）的范圍內(nèi)，在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx和y=cosx的圖像，可在

ae（芻芬）時(shí),sina>cosao

44

?U（H）5可圣

424

應(yīng)選B°

4.（1998年全國(guó)）sin600。的值是（）。

D、

解：sin6000=sin(360°+240°)=sin2400

=sin(180°+60°)=-sin600

2

???應(yīng)選D。

2006年考前必練數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題數(shù)列經(jīng)典題選析

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，乂是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占

有重要的地位.

一、等差數(shù)列與等比數(shù)列

例LA={遞增等比數(shù)列的公比},B={遞減等比數(shù)列的公比},求APB.

解：設(shè)q￡A,則可知q>0(否則數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列).

nn-,n-l

由a<i+i—an=ai,q-ai,q=ai?q(q—1)>0,得

當(dāng)a>0時(shí)，那么q>l；當(dāng)aV0時(shí)，則OVqVl.

從而可知A={q|0<q<l或q〉l}.

若q￡A,同樣可知q>0.由a,+L&.=ai?q"-ai?qi=a】?q"'(q—1)VO,得

當(dāng)a1>0時(shí)，那么OVqVl；當(dāng)由<0時(shí)，則q>l.

亦可知B={q|0<q<l或q〉l}.

故知APB={q|O〈q<l或q>l}.

說明：貌似無法求解的問題，通過數(shù)列的基本量，很快就找到了問題的突破口！

例2.求數(shù)列1,(1+2),(1+2+2?),……，(1+2+2?+……4-2n~'),……前n項(xiàng)的

和.

分析：要求得數(shù)列的和，當(dāng)務(wù)之急是要求得數(shù)列的通項(xiàng)，并從中發(fā)現(xiàn)一定規(guī)律.而通項(xiàng)

n

又是一等比數(shù)列的和.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為小，則an=l+2+2?+……+2e=—=2

-1.從而該數(shù)列前n項(xiàng)的和

Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)

=(2+22-|-234--+2n)-2)-=2n+,-n-2.

二?，二n

1—Z

說明：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.

1、等差數(shù)列求和公式：5“二幽詈)=叼+嗎辿4

22

(q=1)

n

2、等比數(shù)列求和公式：Sn=\ax(\-g)a.-a,^

1—q\-q)

3、5“二為2=](〃+1)

A=I2

〃1

4、=Z—=E〃+1)(2〃+1)

*=i6

5、S”=力③心(〃+])]2

k=\2

常用的數(shù)列求和方法有：利用常用求和公式求和：錯(cuò)位相減法求和；反序相加法求和；

分組法求和；裂項(xiàng)法求和；合并法求和；利用數(shù)列的通項(xiàng)求和等等。

例3.已知等差數(shù)列｛aj的公差d=J,Sioo=145.設(shè)S^=ai+aj+as+.......+a<.9,S'

=a3-l-a6十鈾十...十a(chǎn)的，求S奇、S'.

解：依題意，可得S奇+S偶=145,

即S毋+(S奇+50d)=145,即2s母+25=145,解得，S奇=120.

又由S】oo=145,得⑶+：,>100=M5,故得ai+aioo=2.9

S'=a：s+a6+a9+.......+aw

(aa+agg)33(aa+aioo)33(0.5+ai+a1oo)33(0.5+2.9)33_

2222i.1oo

56.1.

說明：整體思想是求解數(shù)列問題的有效手段！

例4.在數(shù)列⑸｝中，ai=b(b#O),前n項(xiàng)和S”構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列。

(1)求證：數(shù)列｛aj不是等比數(shù)列；

(2)設(shè)bn=aS+a2s2+…+a5n,|q|<1,求limbn。

解：(1)證明：由已知Si=ai=b

???￡?｝成等比數(shù)列,且公比為q。

-1

Sn=bq",.\Sn-i=b?q"T(n22)。

-n-1n-22

當(dāng)n22時(shí)，an=SnSn-i=bq—bq=b?(q—1)

品止乂113nb(q-1)*q'-

_n2

故當(dāng)q"i時(shí)'Tb(q-i)-q--q'

而絲=b(q71)=4一1丹，???｛加｝不是等比數(shù)列。

aib

當(dāng)q=l,n22時(shí)，an=0,所以｛aj也不是等比數(shù)列。

綜上所述，｛aj不是等比數(shù)列。

(2)V|q|<l,由(1)知n22,a2,灰，a」，…，構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，，a2s2,

a3s3,…，aS是公比為q2的等比數(shù)列。

2n

.*.bn=b4-a2S2-(l+q2+q'H----hq2-4)

VS2=bq?82=82—Si=bq—b

2

/.a2S2—bq(q—1)

,_2n-2

/.bn=b"4-b~q(q—1)?.?

1—q

V|q|<l

Alimq2n-2=0

1L2

/.limb=b2+b'q(q—1)?_.

n1—q211Q

說明：l+q2+q，+…+q2i的最后一項(xiàng)及這個(gè)式子的項(xiàng)數(shù)很容易求錯(cuò)，故解此類題時(shí)

要細(xì)心檢驗(yàn)。數(shù)列的極限與數(shù)列前n項(xiàng)和以及其他任何有限多個(gè)項(xiàng)無關(guān)，它取決于n—8時(shí),

數(shù)列變化的趨勢(shì)。

二、數(shù)列應(yīng)用題

例5.(2001年全國(guó)理)從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),

并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少2.本

O

年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游

業(yè)收入每年會(huì)比上年增加!。(I)設(shè)〃年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為品萬元，旅游業(yè)總

收入為4萬元.寫出4的表達(dá)式(II)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

15

解：第1年投入800萬元，第2年投入800X(1—工)萬元……，-

04

第〃年投入800X(1一：)”7萬元

D

114

所以總投入a=800+800(1—§)+……+800X(1--)fl-*=4000[1-(-/]

同理：第1年收入400萬元，第2年收入400X(1+")萬元，...，

第〃年收入400X(1+；)i萬元

115

4=400+400X(1+-)4-...+400X(1+-)i=i600X[(j)0-1]

54

(2)???兒一金>0,1600[(--4000X[1-(-)"]>0

45

化簡(jiǎn)得，5X(-)"+2X(])"—7>0

□4

4942

設(shè)x=(E)",5x—7x+2>0,E>1(舍)即(三)n<7,/?25.

說明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知

識(shí)解決實(shí)際問題的能力。解數(shù)學(xué)問題應(yīng)用題重點(diǎn)在過好三關(guān)：(1)事理關(guān)：閱讀理解，知道

命題所表達(dá)的內(nèi)容；(2)文理關(guān)：將“問題情景”中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，用數(shù)學(xué)關(guān)

系式表述事件；(3)數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，并解答這一

數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答。

例6.某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到2001年底全縣的綠化率已

達(dá)30%。從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面根的16%將被綠化，與

此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。

(D設(shè)全縣面積為1,2001年底綠化面積為a尸而，經(jīng)過n年綠化總面積為務(wù)+1

、44

求證a+i="+7a

nzbon

(2)至少需要多少年(年取整數(shù)，lg2=0.3010)的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%?

(1)證明:由己知可得a”確定后，&+i表示如下：a?+i=a?(l—4%)+(1—a?)16%

44

即an+i=80%an+16%=^an

44

(2)解：由①+yan■區(qū)可得：

i442144al4

故有^+1=--(-)"+c，若an+i》E,則有一5(7)n+z2與即5)L’

zoooZboozb

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得一lg22：(n—1)(21g2—lg5)=(n—1)(31g2—1)

故問寫“+1>4,故使得上式成立的最小n￡N+為5,

1—31g2

故最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到6(洪.

三、歸納、猜想與證明

例7.已知數(shù)列｛aj滿足Sn+an=g(n24-3n—2),數(shù)列｛bj滿足bi=ai,

且bn=an-an-i—1(n^2).

(D試猜想數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

2

解：(1)VSn+an=-(n+3n—2),S1=a】，/.2a)=^(1+3X1—2)=1,

2

.,.a)=1=1—I.當(dāng)n=2時(shí)，有:+2a2=1(2+3X2—2)=4,.*.a2=7=2—i

猜想，得數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a°=n一±

⑵若Cn=b】+b2H----hbn,求lime“的值.

“TOO

17231

當(dāng)n=3時(shí)，有彳+T+3的=8,a=—=3—.T?

L43OZ

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n=l時(shí)，ai=l—1,等式成立.

乙乙

②假設(shè)n=k時(shí)，等式ak=k一/成立，那么

(k-l)?+3(k+l)-2k十3k—2

n=k+l時(shí)，3k+l=Sk+l—Sk=[,

./.2ak+i=k+24-ak,2&+i=k+2+(k—不)，

...ak+i=(k+1)一/TT,即當(dāng)n=k+l時(shí)，等式也成立.

綜上①、②知，對(duì)一切自然數(shù)n都有a0=n—要成立.

，Cn=bi+b2T---Fbn=l—fe)n,/.limc=lim[1—(-)n]=l.

N/1T8nW->00，

例8.已知數(shù)列｛aj滿足也=2,對(duì)于任意的〃￡N,都有土＞0,且(n+1)a：

n-l

+a?an+i—n&什丁=o.又知數(shù)列｛bj滿足:bn=2+l..

(I)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)8以及它的前〃項(xiàng)和Sn；

(H)求數(shù)列｛bj的前〃項(xiàng)和L；

(III)猜想也和「的大小關(guān)系，并說明理由.

2

解：(n+1)屋+“%+i-nan+l=0.是關(guān)于a”和2田的二次齊次式，故可利

用求根公式得到烝與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出爾.

22

(1)00(nGN),且(n+1)an+anan+l—nan+1=0,

/.(n+1)(-^)2+(-^-)—n=0.

an+i&i+in+1

-

.anan%-1%-2a3a2nn—1n2?????3—2

**aian-ian-2an_3a2a】n—1n—2n-321

n.

又a=2,所以,an=2n.

2

ASn=a14-a2+a3+........+/=2(1+2+3........+n)=n+n.

n-1

(II)Vbn=2+1,

l2n-ln

/.Tn=bI+b2+b3+.......-Fbn=20+2+2+.......+2+n=2+n-1

n

(III)T?—SfI=2—n~—1.

當(dāng)"=1時(shí)，T.-S.=0,?,?「=Si；

當(dāng)"=2時(shí)，T2-S2=-l,???T2Vs2；

當(dāng)〃=3時(shí),T3-S3=-2,???T3Vs3；

當(dāng)〃=4時(shí)，T.-S4=-l,???T4Vs4；

當(dāng)〃=5時(shí)，T5-S5=6,.,.T5>S5；

當(dāng)〃=6時(shí)，T6-S6=27,,.\T6>S6；

猜想：當(dāng)n》5時(shí),Tn＞a.即7＞。+1,下用數(shù)學(xué)歸納法證明:

1°當(dāng)〃=5時(shí)，前面已驗(yàn)證成立；

2°假設(shè)n=k(k>5)時(shí)命題成立，即2k成立，

那么當(dāng)〃=4+1時(shí)，

2k+l=2-2k>2(k24-l)=k2+k2+2^k2+5k+2>k2+2k+2=(k+l)2+l.

即〃=4+1(425)時(shí)命題也成立.

由以上1°、2°可知，當(dāng)〃25時(shí)，有Tn>Sn.；

綜上可知：當(dāng)〃=1時(shí)，T1=S］；當(dāng)2WnV5時(shí)，Tn<Sn.,當(dāng)?shù)?5時(shí)，有L

>S?..

說明：注意到2n的增長(zhǎng)速度大于的增長(zhǎng)速度，所以，在觀察與歸納的

過程中，不能因?yàn)閺膎=l到n=4都有TnWSn.就得出TnWSn.的結(jié)論，而應(yīng)該堅(jiān)

信：必存在〃，使得2">n2+l,從而使得觀察的過程繼續(xù)下去.

例9.己知函數(shù)f(x)=，三z，(xW—3)

(1)求求x)的反函數(shù)fix);

⑵記a.=l,a?=一fT(an-D(n22),請(qǐng)寫出a%期,加的值并猜測(cè)想跖的表達(dá)式.再用數(shù)

學(xué)歸納法證明.

解：(1)設(shè)y=f(x)=4x?—3,(xW—小),由y2=x2—3(xW—3),x=-7y2+3

即fT(x)=-^/X2+3(X20).

⑵由ai=l且8=—fT(a1)(n22的整數(shù))，a2=-f-l(ai)=—(—y/ai~+3=心，

a3=、3+4=4,a4=、3+7=、10.

依不完全歸納可以猜想到：an=V3^2(n自然數(shù))

下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：

當(dāng)n=l時(shí),a】=d3X1—2=1命題成立

假設(shè)n=k(lWkWn)時(shí)，命題成立：即

那么當(dāng)n=k+l時(shí),&+尸一ff(ak)

=、a:+3=7(3k—2)+3=、3(k+l)—2

綜上所述，可知對(duì)一切自然數(shù)n均有&=啊三成立.

例10.已知數(shù)列｛aj中，a；=4,加+I=等出一

7—an

(I)是否存在自然數(shù)m,使得當(dāng)nem時(shí)，an<2；當(dāng)n<m時(shí)，a.>2?

a”：+①?i

(II)是否存在自然數(shù)P，使得當(dāng)n，p時(shí)，總有

2

解：(I)首先考慮能否化簡(jiǎn)已知條件'但事實(shí)上這一條路走不通,于是,

我們轉(zhuǎn)而考慮通過計(jì)算一些3k的值來尋找規(guī)律.不難得到:

16c4八4

a8=—,@9=12,aio=-8,an=--,ai2=0,ai3=y

可以看出：秘，ag均大于2,從a1。到小3均小于2,但能否由此斷定當(dāng)n>13時(shí)，也有

an<2?這就引導(dǎo)我們?nèi)ニ伎歼@樣一個(gè)問題：若a<2,能否得出aeV2?

為此，我們考查3n+l-2與an—2的關(guān)系，易得

c3an+4-5(a”-2)

an+i-2=—-2=--.

/-an7-an

可以看Hl：當(dāng)&V2時(shí)，必有a.4V2.干是，我們可以確定：當(dāng)10時(shí),必有a“V2.

為了解決問題(I),我們還需驗(yàn)證當(dāng)n=l,2,……,9時(shí)，是否均有a0>2.

方法之一是一一驗(yàn)證.即通過已知條件解出：a?=/a：l，1-4.由此，我們可以從a?出發(fā),

an+i+3

計(jì)算出這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)到第1項(xiàng)，從而得出結(jié)論.

另外，得益于上述解法，我們也可以考慮這樣的問題：“若須.》2,能否得出a?>2M?

由2=在叱4_2=5(^.-2)不難得知：上述結(jié)論是正確的.

an+i+oa)+i+o

所以，存在m=10,使得當(dāng)n》m時(shí)，a?<2；當(dāng)nVm時(shí)，an>2.

(II)問題等價(jià)于：是否存在自然數(shù)p,使得當(dāng)n2P時(shí)，總有a--&+1-2an<0.

/丁、Fznc2(a+i_2)J

由(])可得：2'7—ane)(3+al

我們已經(jīng)知道：當(dāng)n210時(shí),a?<2,于是(即<2尸<0,(7-an)<0,所以，我們只需

考慮：是否存在不小于10的自然數(shù)P，使得當(dāng)n2P時(shí)，總有距>一3?

觀察前面計(jì)算的結(jié)果，可以看出：a.o<-3,au,a12,均大于一3,可以猜想：p=

11即可滿足條件.

這樣的猜想是否正確？我們只需考查M+I+3與a0+3的關(guān)系：

由3n+|+3=今工+3=廣可知：上述結(jié)論正確.

7—an7—an

另外，如果我們注意到從a”到an,數(shù)列的項(xiàng)呈遞增的趨勢(shì)，則也可以考慮為+1一8.

由&+i-a”等±1一+=(廠)>0,從而得出結(jié)論.

7—an7-R

說明：(1)歸納、猜想是建立在細(xì)致的觀察和縝密的分析基礎(chǔ)上的，并非

無源之水、無木之木.(2)上述分析的過程如果用數(shù)學(xué)歸納法寫出，則相當(dāng)簡(jiǎn)

潔，但同時(shí)也掩蓋了思維的過程.

四、由遞推公式探求數(shù)列問題

例11.設(shè)An為數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)的和，An=,(an-1),數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為bn=4n+3。

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)把數(shù)列｛aj與｛b0｝的公共項(xiàng)按從小到大先后順序排成一個(gè)新的數(shù)列｛&｝,證明數(shù)列

｛&｝的通項(xiàng)公式為d^S2-+1;

(3)設(shè)數(shù)列｛&｝的第n項(xiàng)是數(shù)列｛bj中的第r項(xiàng)，B.為數(shù)列｛bj的前r項(xiàng)的和，以為數(shù)

T

列｛&｝的前n項(xiàng)和，Tn=Br—D,求MmT。

n3n

33

解：(1)由An=5(a,—1),可知An+】=5(a?+i—1)

3,?

/?An+l—An=](Sn+l—3n)=an+l,即~~=3

3

而ai=Ai=5(a]-1),得a1=3

所以數(shù)列{吟是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{須}的通項(xiàng)公式為既=3\.

(2)??-3加+1=3?32n=3?(『I產(chǎn)

=3X(4"+&?42n7(—1)+…+C2?T?4?(-D+(T)2n)

=4m+3

A32n+,e{b?)

而數(shù)3方=(4-1)2n

2n，2n-

=4+C2n?4加7?(—1)+-4-C2?'?4?(-1)+(一〔產(chǎn)

=(4k+l)

???3%{bn}

而數(shù)列瓜}=0叫up211}

.??d?=32n+l

q2n田一3

由田=?可知一

(3)324r+3,r=~4~

r(7+4r+3)32n+,-33加+1+7

VB==r(2r+5)=

r242

9727

以=力?(l-9n)=y(9n-l)

92n+,+4?32n+,-2197

==

??TnBi—Dn8-T(9一)

_924n15?2n_i_3

-8?3,3+4

又???(an)4=3"

.Tn9

..hrm-i=-

HuO

例12.已知函數(shù)f（x）=x+4x2—a-（a〉0）

（1）求f（x）的反函數(shù)fT（x）及其定義域；

⑵數(shù)列風(fēng)｝滿足仁普飛）

設(shè),數(shù)列加的前n項(xiàng)和為S2試比較S思的大小'并證明你的結(jié)論。

2.:

解：（1）給y-x=，7=孩兩邊平方，整理得

??y2+a2y2—a2(y+a)(y—a)

?y—x=y一k=-=—法—20

?，y2a或一a〈y〈0

故f7(x)=-T—，其定域?yàn)閇—a,0)U[a,+8)

4X

(2),??即+尸「凡)=空±

?F+尸田”.=（襦）（可兩邊取對(duì)數(shù)求解）

,ai—a3a—a_1_

又a】=3a.

b尸"3a+a2

=2=

***bn(bn-l)(bn-2)=(bn-3)"

,,、2"-1/I\2"-1

=-=(b1)-=(-)

乙

:.Sn=b1+bz+…+bn

111,11I|[l-(1)n][

=9+(5)2+q)2~+[q)2,4-(-)2"H-----F(-)2"1]=-------:-=1—)n

乙乙乙乙乙乙1乙

1-2

由此可知，當(dāng)nV3時(shí)，S<^7,當(dāng)n=3時(shí)，S=7~>當(dāng)n>3時(shí)，S>7-.

nOnOnO

n,nl

XV2"=(l+l)-=H-cJ_14-c2_1+C^_1+……+%二｝

則當(dāng)n24時(shí)，2i>l+C；i+、T

(n-1)(n―2)

=1+(n-1)4>n+l

2

??.(方飛)

/n

11\(J

-23+24?+-

2+?(21

-2-

由此可知，當(dāng)n24時(shí)，.

O

當(dāng)n=3時(shí)，Sn=1+g）2+（|產(chǎn)=）+1=77V..

ZL乙24io10o

7

故知當(dāng)n/3時(shí)，Sn<Q.

O

說明：本題是一道數(shù)列與函數(shù)的綜合題。首先應(yīng)準(zhǔn)確地求出廠'（X）及其定義域。搞清

定義域是解題成功的一半。根據(jù)函數(shù)f（x）解析式的特點(diǎn)，也可以利用三角代換x=asec。，

?！闧0，+）1）[“，與），求函數(shù)f（x）的值域，即「T（X）的定義域。

例13.已知數(shù)列｛a｝中，a.=4,3產(chǎn)絲廠，是否存在這樣的數(shù)列｛b3鼠=駟苫，

an+1an+A

其中A、B、C為實(shí)常數(shù)，使得｛bn｝是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列？證明你的結(jié)論，并求（a｝的

取值范圍。

解：假設(shè)這樣的出“｝存在，則應(yīng)有

4aL24B+CC~2B

Ban+i+C_____a“+14+Aa"4+A

bea?+i4-A4a<,-2A—2

---+Aan+T-rr

a“+l4+A

又b十整

an+A

存在qWO,q#Lq為常數(shù)，使b>=qb"，對(duì)n￡N都成立，于是比較兩邊的分子和分

母,有

rA-2

4+A=A⑴

4B+C

<TiT=Bq⑵

C-2B

=Cq

、4+A⑶

由（1）可解得A=-l或一2,由（2）、（3）可解得B=-C或C=-2B。

1A=—1

1°若口__「代入（2）知q=l（B、C不能為0,否則b“=0,不合題意要求）舍去。

2°若二;R代入（2）得q=￡

3。當(dāng)仁時(shí),。='

（A=—9

4°當(dāng)|「=一加時(shí)，q=l（舍去）

23

故現(xiàn)只取A=-1,B=l,C=-2,q=~（不必考慮q=$時(shí)的情況，因?yàn)橹蛔C存在性）。

O/

a“一2

得bn=

an—1

所以滿足題設(shè)條件的數(shù)列存在。

對(duì)于｛aj的取值范圍，我們可以這樣解.

..4an-2

?a+i-a,t=r~r—a

nan+1n

(an—2)(an—1)

，a1=4〉2,故a2〈ai。

(an+l)

如果能證明所有的都大于2,便可用數(shù)學(xué)歸納法證明｛a｝是單調(diào)遞減的。事實(shí)上