P第二十六章綜合素質(zhì)評價一、選擇題(1～10題每題3分，11～16題每題2分，共42分)1．【母題：教材P107做一做】cos45°的值為()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\f(\r(2),2)D．eq\r(2)2．【母題：教材P106練習(xí)T2】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，則∠A的正切值為()A．3B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(10),10)D．eq\f(3\r(10),10)3．【母題：教材P123復(fù)習(xí)題A組T1(3)】如圖，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，則∠1＝()A．30°B．45°C．60°D．75°4．【2023·邯鄲二十五中月考】如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值為()A．eq\f(3,5)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(10),5)D．15．在△ABC中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝0，則∠C的度數(shù)是()A．45°B．60°C．90°D．105°6．【2022·錦州】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于eq\f(1,2)AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則AE的長為()A.eq\f(7,4)B.eq\f(9,4)C.eq\f(15,4)D.eq\f(25,4)7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，BC＝8，AC＝15，設(shè)∠BCD＝α，則cosα的值為()A.eq\f(8,7)B.eq\f(7,8)C.eq\f(8,17)D.eq\f(15,17)8．如圖，某時刻海上點(diǎn)P處有一客輪，測得燈塔A位于P的北偏東30°方向，且相距20nmile.客輪以60nmile/h的速度沿北偏西60°方向航行eq\f(2,3)h到達(dá)B處，那么tan∠ABP的值等于()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)9．如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處．已知AB＝4，BC＝5，則cos∠EFC的值為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)10．【2023·衡水三中模擬】如圖，設(shè)∠DAO＝α，AD∥BC，且與BC的距離為60cm，若AO＝100cm，則點(diǎn)O到BC的距離OE是()A．(60＋100sinα)cmB．(60＋100cosα)cmC．(60＋100tanα)cmD．以上選項(xiàng)都不對11．【母題：教材P118例2】如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10m，壩高12m，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，則壩底AD的長度為()A．26mB．28mC．30mD．46m12．如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，則CD的長為()A.eq\f(8\r(6),3)B．4eq\r(3)C.eq\f(8\r(2),3)D．4eq\r(2)13．如圖①是一個小區(qū)入口的雙翼閘機(jī)，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為8cm(如圖②)，邊緣AC＝BD＝60cm，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°.當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為()A．(60eq\r(3)＋8)cmB．(60eq\r(2)＋8)cmC．64cmD．68cm14．如圖，菱形ABCD的周長為20cm，DE⊥AB，垂足為E，sinA＝eq\f(3,5)，則下列結(jié)論中正確的有()①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面積為15cm2；④BD＝2eq\r(10)cm.A．1個B．2個C．3個D．4個15．【2023·石家莊外國語學(xué)校月考】等腰三角形一腰上的高與腰長之比是1：2，則等腰三角形頂角的度數(shù)為()A．30°B．150°C．60°或120°D．30°或150°16．【2022·荊州】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長線于P.若P(1，1)，則tan∠OAP的值是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3)D．3二、填空題(17，19題每題3分，18題4分，共10分)17．【母題：教材P123復(fù)習(xí)題A組T1(1)】cos60°＋eq\f(\r(2),2)sin45°＋eq\r(3)tan30°＝________．18．如圖，在△ABC中，sinB＝eq\f(1,3)，tanC＝eq\f(\r(2),2)，AB＝3，則AC的長為________，△ABC的面積為________．19．【2022·湖南】我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，這個圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的成就．如圖，已知大正方形ABCD的面積是100，小正方形EFGH的面積是4，那么tan∠ADF＝________．三、解答題(20，21題每題8分，22～25題每題10分，26題12分，共68分)20．計算：(1)tan30°cos60°＋tan45°cos30°；(2)【2022·齊齊哈爾】(eq\r(3)－1)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－2)＋|eq\r(3)－2|＋tan60°.21．在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝2eq\r(3)，∠A＝30°，求∠B，a，b；(2)已知a＝5eq\r(6)，∠A＝45°，求∠B，b，c.22．如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)E.(1)若∠A＝60°，求BC的長；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求AD的長．23．如圖①，“南天一柱”是張家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遺產(chǎn)武陵源風(fēng)景名勝區(qū)袁家界景區(qū)南端．如圖②，航拍無人機(jī)以9m/s的速度在空中向正東方向飛行，拍攝云海中的“南天一柱”美景．在A處測得“南天一柱”底部C的俯角為37°，繼續(xù)飛行6s到達(dá)B處，這時測得“南天一柱”底部C的俯角為45°，已知“南天一柱”的高為150m，則這架航拍無人機(jī)繼續(xù)向正東飛行是否安全？(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)24．【2022·淮安】如圖，湖邊A，B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計算A，B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A，B兩點(diǎn)之間的距離．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)25．如圖是由6個形狀、大小完全相同的小矩形組成的，小矩形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知小矩形較短的邊長為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)用無刻度的直尺作圖：找出格點(diǎn)D，連接CD，使∠ACD＝90°；(2)在(1)的條件下，連接AD，求tan∠BAD的值．26．【2022·徐州】如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN＝30°.在陽光下，小明觀察到AB在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180cm.同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm(其影子完全落在地面上)．求立柱AB的高度．

答案一、1.C2．A【點(diǎn)撥】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，∴∠A的正切值為eq\f(BC,AC)＝eq\f(3,1)＝3.3．C【點(diǎn)撥】過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為M.∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，∴OM＝1，AM＝eq\r(3).∵tan∠1＝eq\f(AM,OM)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，∴∠1＝60°.4．B【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D.在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝4，則tan∠ABC＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(3,4).5．C【點(diǎn)撥】∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝0，∴sinA＝eq\f(1,2)，cosB＝eq\f(1,2)，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－30°－60°＝90°.6．D【點(diǎn)撥】設(shè)MN與AC的交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8,∴AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(82＋62)＝10,∴cos∠CAD＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).又由作圖知MN為AC的垂直平分線，∴∠MOA＝90°，AO＝eq\f(1,2)AC＝5，∴在Rt△AOE中，cos∠EAO＝eq\f(AO,AE).∵cos∠CAD＝cos∠EAO,∴eq\f(5,AE)＝eq\f(4,5)，∴AE＝eq\f(25,4).7．D【點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理可知，AB＝eq\r(82＋152)＝17.由題易知∠BCD＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A＝α.在Rt△ACB中，cosα＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(15,17).8．A【點(diǎn)撥】∵燈塔A位于P的北偏東30°方向，且相距20nmile，∴AP＝20nmile.∵客輪以60nmile/h的速度沿北偏西60°方向航行eq\f(2,3)h到達(dá)B處，∴∠APB＝90°，BP＝60×eq\f(2,3)＝40(nmile)，∴tan∠ABP＝eq\f(AP,BP)＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).9．D【點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得，AB＝4，AF＝AD＝BC＝5，∠AFE＝∠D＝∠B＝90°，∴∠BAF＋∠AFB＝∠EFC＋∠AFB?！唷螧AF＝∠EFC.∴cos∠EFC＝cos∠BAF＝eq\f(AB,AF)＝eq\f(4,5).故選D.10．A【點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得，O到AD的距離＝100sinαcm.∵AD與BC的距離為60cm，∴OE＝(60＋100sinα)cm.故選A.11．D【點(diǎn)撥】過點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為E.∵壩高12m，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，∴AE＝1.5BE＝18m.∵BC＝10m，∴易得AD＝2AE＋BC＝2×18＋10＝46(m).12．D點(diǎn)撥：過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥QD于點(diǎn)F，如圖．∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)AC＝30cm.同理可得BF＝30cm，∴通過閘機(jī)的物體的最大寬度為30＋8＋30＝68(cm)．故選D.13．A【點(diǎn)撥】如圖，分別作AE⊥BC于E點(diǎn)，DF⊥BC，交BC的延長線于F點(diǎn)，則有AE＝DF，sinB＝sin45°＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(\r(2),2)，∴DF＝AE＝eq\f(\r(2),2)AB＝4eq\r(2).∵∠DCF＝180°－∠BCD＝60°，∴sin∠DCF＝sin60°＝eq\f(DF,DC)＝eq\f(\r(3),2)，∴CD＝eq\f(DF,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(2),\f(\r(3),2))＝eq\f(8\r(6),3)，故選A.14．C【點(diǎn)撥】∵菱形ABCD的周長為20cm，∴菱形的邊長AB＝AD＝20÷4＝5(cm)．∵DE⊥AB，sinA＝eq\f(3,5)，∴DE＝5×eq\f(3,5)＝3(cm)，故①正確；∵AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(52－32)＝4(cm)，∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)，故②正確；菱形的面積＝AB·DE＝5×3＝15(cm2)，故③正確；在Rt△BDE中，BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)(cm)，故④錯誤，綜上所述，正確的有①②③共3個．15．D【點(diǎn)撥】有兩種情況：當(dāng)頂角為銳角時，如圖①，sinA＝eq\f(1,2)，則∠A＝30°；當(dāng)頂角為鈍角時，如圖②，sin(180°－∠BAC)＝eq\f(1,2)，則180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.16．C【點(diǎn)撥】∵P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，∴OP與x軸正方向的夾角為45°.又∵OP∥AB，∴∠BAO＝45°.∴△OAB為等腰直角三角形，∴OA＝OB.設(shè)OC＝x，則BC＝2OC＝2x，∴OB＝OA＝3x，∴tan∠OAP＝eq\f(OC,OA)＝eq\f(x,3x)＝eq\f(1,3).二、17.2【點(diǎn)撥】原式＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝2.18.eq\r(3)；eq\f(3\r(2),2)【點(diǎn)撥】如圖，過A作AD⊥BC.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(1,3)，AB＝3，∴AD＝AB·sinB＝1，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2).在Rt△ACD中，tanC＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(\r(2),2)，即CD＝eq\r(2).∴BC＝BD＋CD＝3eq\r(2)，AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(12＋(\r(2))2)＝eq\r(3).∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(3\r(2),2).19.eq\f(3,4)【點(diǎn)撥】∵大正方形ABCD的面積是100，∴AD＝10.∵小正方形EFGH的面積是4，∴小正方形EFGH的邊長為2，∴易得DF－AF＝2.設(shè)AF＝x，則DF＝x＋2.由勾股定理得，x2＋(x＋2)2＝102，解得x＝6或－8(負(fù)值舍去)，∴AF＝6，DF＝8，∴tan∠ADF＝eq\f(AF,DF)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4).三、20.【解】(1)原式＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(1,2)＋1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),3).(2)原式＝1＋9＋2－eq\r(3)＋eq\r(3)＝12.21．【解】(1)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵sinA＝eq\f(a,c)，sinB＝eq\f(b,c)，∴a＝c·sinA＝2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，b＝c·sinB＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.(2)∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°.∴b＝a＝5eq\r(6).∴c＝eq\r(a2＋b2)＝10eq\r(3).22．【解】(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝eq\f(BE,AB)，∴∠E＝30°，BE＝AB·tanA＝6×tan60°＝6eq\r(3).在Rt△CDE中，∵CD＝4，sinE＝eq\f(CD,CE)，∠E＝30°，∴CE＝eq\f(CD,sinE)＝eq\f(4,\f(1,2))＝8.∴BC＝BE－CE＝6eq\r(3)－8.(2)∵在Rt△ABE中，sinA＝eq\f(4,5)＝eq\f(BE,AE)，∴可設(shè)BE＝4x(x＞0)，則AE＝5x.由勾股定理可得AB＝3x，又∵AB＝6，∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.∴tanE＝eq\f(AB,BE)＝eq\f(6,8)＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(4,DE)，解得DE＝eq\f(16,3).∴AD＝AE－DE＝10－eq\f(16,3)＝eq\f(14,3).23．【解】設(shè)直線AB與“南天一柱”所在直線相交于點(diǎn)D，如圖．由題意得∠CAD＝37°，∠CBD＝45°.設(shè)CD＝xm.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(x,AD)≈0.75，∴AD≈eq\f(4,3)xm.在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(x,BD)＝1，∴BD＝xm.∵AD－BD＝AB，∴eq\f(4,3)x－x≈9×6，∴x≈162.∵162＞150，∴這架航拍無人機(jī)繼續(xù)向正東飛行安全．24．【解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，sin∠DAC＝eq\f(CD,AC)，cos∠DAC＝eq\f(AD