年高考真題分類匯編九空間向量與立體幾何一、選擇題1．若a，b為兩條直線，m為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若a//m，b?m，則a//b C．若a//m,b⊥m，則a⊥b D．若a//2．空間中有兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不同的直線m，n，則下列說法中正確的是（）A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥nB．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，則n⊥βC．若α∥β，m∥α，n∥β，則m∥nD．若α∥β，m∥α，m∥n，則n∥β3．已知α、β是兩個(gè)平面，m、n是兩條直線，α∩β＝m．下列四個(gè)命題：①若m∥n，則n∥α或n∥β②若m⊥n，則n⊥α，n⊥β③若n∥α，且n∥β，則m∥n④若n與α和β所成的角相等，則m⊥n其中，所有真命題的編號(hào)是（）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④4．已知以邊長(zhǎng)為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為4，4，22，2A．22 B．32 C．235．已知正三棱臺(tái)ABC?A1B1CA．12 B．1 C．2 6．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為（）A．23π B．33π C．7．一個(gè)五面體ABC?DEF.已知AD//BE//A．36 B．334+128．定義一個(gè)集合?Ω?，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取P1,P2,P3∈Ω，存在不全為0的實(shí)數(shù)λ1，λA．(0,0,0) B．(二、填空題9．已知三個(gè)圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個(gè)圓柱的直徑為65mm，第二、三個(gè)圓柱的直徑為325mm，第三個(gè)圓柱的高為230mm，求前兩個(gè)圓柱的高度分別為．10．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD為平行四邊形，AA1＝3，BD＝4且AB1?BC?AD111．已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為r2和r1，母線長(zhǎng)分別為2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比V甲V乙三、解答題12．已知四棱錐P-ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一點(diǎn)，PE⊥AD．（1）若F是PE中點(diǎn)，證明：BF//平面PCD．（2）若AB⊥平面PED，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．13．已知四棱錐ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1．N是B1C1的中點(diǎn)，M是DD1的中點(diǎn)．（1）求證D1N//（2）求平面CB1M（3）求點(diǎn)B到平面CB14．如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=53,∠ADC=90°（1）證明：EF⊥PD．（2）求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值.15．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4，AB=BC=EF=2，ED=10，F(xiàn)B=2（1）證明：BM∥平面CDE；（2）求二面角F?BM?E的正弦值．16．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC∥AD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD=BC=10，AE=23，M為（1）證明：EM∥平面BCF；（2）求點(diǎn)M到ADE的距離．17．如圖，PA、PB、PC為圓錐三條母線，AB＝AC．（1）證明：PA⊥BC；（2）若圓錐側(cè)面積為3π，BC為底面直徑，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝3．（1）若AD⊥PB，證明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值為427，求AD19．如圖為正四棱錐P?ABCD，O為底面ABCD的中心.（1）若AP=5，AD=32，求△POA繞PO（2）若AP=AD，E為PB的中點(diǎn)，求直線BD與平面AEC所成角的大小.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、若a//m，b?m，則a與B、若a//m，b//C、若a//m，b⊥m，則D、若a//m,b⊥m，則故答案為：C.【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷AB；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可判斷CD.2．【答案】A【解析】【解答】解：A、若α⊥β，m⊥α，則m∥β，或m?β，又因?yàn)閚⊥β，所以m⊥n，故A選項(xiàng)正確；

B、若α⊥β，m⊥α，m⊥n，則n⊥β或n?β或n與β斜交都有可能，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、若α∥β，m∥α，n∥β，則m∥n或m，n異面和相交都有可能，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、若α∥β，m∥α，m∥n，則n∥β或n?β都可能，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故答案為：A.【分析】利用空間點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，

對(duì)①，當(dāng)n?α，因?yàn)閙//n，m?β，則n當(dāng)n?β，因?yàn)閙//n，m?α，則當(dāng)n既不在α也不在β內(nèi)，

因?yàn)閙//n，m?α,m?β，

則n//α且n//β，故①正確；

對(duì)②，若m⊥n，則n與α,β不一定垂直，n可以在β面內(nèi)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)③，如圖，過直線n分別作兩平面與α、β分別相交于直線l1和直線I2，

由n//α，

得n//l1，同理n//l2，

根據(jù)基本事實(shí)四，則l1//l2，

所以l2?β.l1?β，

所以l1//β故答案為：A.【分析】借助正方體與直線，平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可得到結(jié)果.4．【答案】D【解析】【解答】解：如圖，分別取AB,CD的中點(diǎn)E,由題意可知：ABCD為正方形，且PA=PB=AB=4,可知PE⊥AB,因?yàn)镻E∩EF=E，PE,EF?平面PEF，所以AB⊥平面由AB?平面ABCD，所以平面PEF⊥平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)可知：四棱錐的高PO?平面PEF，且PO⊥EF，則PE=23,PF=2,EF=4，可知PE2+PF故答案為：D.

【分析】分別取AB,CD的中點(diǎn)E,F，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系結(jié)合勾股定理可證AB⊥平面PEF，平面PEF⊥平面ABCD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)分析可知四棱錐的高PO?平面5．【答案】B【解析】【解答】解：分別取BC,B1C1的中點(diǎn)分別為D，D1，

因?yàn)樵谡馀_(tái)則S△ABC設(shè)正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的為h，分別過A1,D設(shè)AM=x，則AA1=可得DD因?yàn)锽CC1B即x2+16則A1A與平面ABC所成角的正切值為故答案為：B.【分析】設(shè)正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的為6．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)圓錐與圓柱的底面半徑為R，又∵其高均為3，

故圓錐的母線長(zhǎng)為：l=R2+3，圓錐的側(cè)面積為：S側(cè)=πRl=πRR2+3，

則圓柱的側(cè)面積為：S側(cè)=2πRh=23

【分析】根據(jù)題意將圓錐與圓柱的側(cè)面積表示并建立等量關(guān)系解出半徑，從而代入公式得出圓錐的體積.7．【答案】C【解析】【解答】解：將五面體ABC?DEF補(bǔ)成三棱柱，如圖所示：因?yàn)锳D∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，所以△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

因?yàn)锳D=1，BE=2，CF=3，所以側(cè)棱長(zhǎng)為1+3=2+2=3+1=4，故VABC?DEF故答案為：C.【分析】由題意，將五面體ABC?DEF補(bǔ)成三棱柱，再利用三棱柱體積公式求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)榇嬖诓蝗珵?的實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得λ1OA、由空間直角坐標(biāo)系易知(0,0,0),(B、由空間直角坐標(biāo)系易知(?1,0,0),(C、由空間直角坐標(biāo)系易知(1,則由(1,0,D、由空間直角坐標(biāo)系易知(1,0,0),故答案為：C．【分析】根據(jù)已知條件，得向量OP1,O9．【答案】1152【解析】【解答】解：設(shè)第一個(gè)圓柱的高為h1mm，半徑為r1mm，第二個(gè)圓柱的高為h2mm，半徑為可知r1=65由題意可得：πr22h2故答案為：1152

【分析】設(shè)相應(yīng)的半徑和高，根據(jù)等比數(shù)列的定義以及柱體的體積公式列式求解即可.10．【答案】arccos5【解析】【解答】解：已知如圖所示：已知AB1→=AB→+BB1→，BC→=AD→,AD1→=AD→【分析】由題意可得AA11．【答案】64【解析】【解答】解：據(jù)題意，甲乙兩個(gè)圓臺(tái)的軸截面都是等腰梯形，

可以利用構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理的計(jì)算得到圓臺(tái)的高，

即甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為r2和r1，

母線長(zhǎng)分別為2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），

所以甲圓臺(tái)構(gòu)造的直角三角形斜邊長(zhǎng)為：2（r1﹣r2），而其中一條直角邊為r1?r2，

則甲圓臺(tái)的高為：h甲=[2(r1?r2)]2?(故答案為：64【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出直角三角形分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，直接代入計(jì)算即可得解.12．【答案】（1）證明：取PD的中點(diǎn)為S，接SF,因?yàn)镾,F分別為PE,又因?yàn)镋D//BC,ED=2BC，則可知四邊形SFBC為平行四邊形，則BF//SC，且BF?平面PCD，SC?平面PCD，所以BF//平面PCD.（2）解：由題意可知：AE//BC,可知四邊形AECB為平行四邊形，則CE//AB，且AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，且PE⊥AD，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC,ED,則A(0,可得PA設(shè)平面PAB的法向量為m=(x,y令z=1，則取x=0,y=?2，可得設(shè)平面PCD的法向量為n=(a,b令a=2，則b=c=1，可得n=(2則cos?所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為3030【解析】【分析】(1)取PD的中點(diǎn)為S，分析可得BF//SC，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；

(2)建系，分別求平面PAB與平面PCD夾角的法向量，利用空間向量的求面面夾角.13．【答案】（1）證明：取CB1中點(diǎn)P，連接NP，MP，如圖所示：因?yàn)镹是B1C1的中點(diǎn)，所以NP//C又因?yàn)镸是DD1的中點(diǎn)，所以D1M=12D故四邊形D1MPN是平行四邊形，故又因?yàn)镸P?平面CB1M，D故D1N//平面（2）解：以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則A(0,0,0)、B(2,0,0)、則CB1=(1,?1設(shè)平面CB1M與平面BB1則m?CB分別取x1=x2=1，則y1=3、z1=1則cosm故平面CB1M與平面B（3）解：由（2）可得BB1=(0,0則|BB1?m||【解析】【分析】（1）取CB1中點(diǎn)P，連接NP，MP，根據(jù)中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得（2）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可；（3）利用（2）的空間坐標(biāo)，根據(jù)空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.14．【答案】（1）證明：由AB=8,得AE=23,AF=4，又∠BAD=3由余弦定理得EF=A所以AE2+EF2所以EF⊥PE,EF⊥DE，又PE∩DE=E,所以EF⊥平面PDE，又PD?平面PDE，故EF⊥PD.（2）解：連接CE，

由∠ADC=90°,ED=3在△PEC中，PC=43,PE=23,EC=6，得EC2+PE2=PC2，所以PE⊥EC，

由（1）知PE⊥EF，又因?yàn)樗訮E⊥ED，則PE,EF,ED兩兩垂直，以則E(因?yàn)镕是AB的中點(diǎn)，所以B(所以PC=設(shè)平面PCD和平面PBF的法向量分別為n→=(則n?PC=3令y1=2,所以n=(0設(shè)平面PCD和平面PBF所成角為θ，則sinθ=即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值為865?????【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得EF=2，再利用勾股定理的逆定理可證得EF⊥AD，則EF⊥PE,（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)證得PE⊥ED，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E?xyz，利用空間向量法求解面面角即可.15．【答案】（1）證明：根據(jù)題意，因?yàn)锽C//AD,EF=2,所以BC//MD,四邊形BCDM為平行四邊形，所以BM//CD，又因?yàn)锽M?平面CDE，CD?平面CDE，所以BM//平面CDE；（2）過B作BO⊥AD交AD于O，連接OF，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，BC//AD,所以CD=2，由（1）可知BCDM為平行四邊形，則BM=CD=2，又AM=2，所以△ABM為等邊三角形，O為AM中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形OBA，所以O(shè)B=3又因?yàn)樗倪呅蜛DEF為等腰梯形，M為AD中點(diǎn)，所以EF=MD,四邊形EFMD為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF，所以△AFM為等腰三角形，△ABM與△AFM底邊上中點(diǎn)O重合，OF⊥AM，OF=A利用勾股定理得OB所以O(shè)B⊥OF，所以O(shè)B,所以以O(shè)B方向?yàn)閤軸，OD方向?yàn)閥軸，OF方向?yàn)閦軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，F(xiàn)(0,0,BM=(?BE=(?設(shè)平面BFM的法向量為m=(平面EMB的法向量為n=(則m?BM=0則m=(又n?BM=0則n=(所以cosm則sinm故二面角F?BM?E的正弦值為43【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由BC//MD,BC=MD得到四邊形BCDM為平行四邊形，進(jìn)而證明（2）作BO⊥AD交AD于O，連接OF，易證OB,16．【答案】（1）證明：根據(jù)題意，因?yàn)锽C//AD,EF=2,AD=4,M為AD的中點(diǎn)，

所以BC//MD,BC=MD，四邊形BCDM為平行四邊形，

所以BM//CD，又因?yàn)锽M?平面CDE，CD?平面（2）解：如圖所示，過B作BO⊥AD交AD于O，連接OF，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，且BC//AD,AD=4,由（1）可知：BCDM為平行四邊形，所以BM=CD=2，又AM=2，

所以△ABM為等邊三角形，又O為AM中點(diǎn)，所以O(shè)B=3又因?yàn)樗倪呅蜛DEF為等腰梯形，M為AD中點(diǎn)，所以EF=MD,四邊形EFMD為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF，所以△AFM為等腰三角形，△ABM與△AFM底邊上中點(diǎn)O重合，OF⊥AM，OF=A因?yàn)镺B2+OF2利用等體積法可得VM?ABF=VF?ABM，cos∠FAB=FA設(shè)點(diǎn)M到FAB的距離為h，

則VM?FAB解得h=61313，

即點(diǎn)M到ABF?????【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由BC//MD,BC=MD得到四邊形BCDM為平行四邊形，進(jìn)而證明BM//CD，結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可得到結(jié)果；

（2）過B作BO⊥AD交AD于O，連接OF，易證17．【答案】（1）證明：取BC中點(diǎn)O，接AO，連PO如圖所示：

因?yàn)锳B＝AC，所以AO⊥BC，

同理PB＝PC，則PO⊥BC，又因?yàn)镻O，AO?面PAO，PO∩AO＝點(diǎn)O，所以BC⊥面PAO，又PA?面PAO，所以PA⊥BC；（2）解：因?yàn)閳A錐側(cè)面積為3π且BC＝2，所以r=1，S側(cè)=πrl=3π，所以l=PA=3，

由（1）可得PO⊥BC，所以PO=PB2-OB2=2

又因?yàn)镻O2+OA2=PA2，所以PO⊥OA，所以PO⊥面ABC，

所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OA為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則P0，0，2，A0，1，0，B1，0，0【解析】【分析】(1)取BC中點(diǎn)O，接AO，連PO，利用線面垂直的判定定理可得BC⊥面PAO，即可得證；（2）由題意可得PA=3，結(jié)合（1）可得PO⊥面ABC18．【答案】（1）證明：∵AC＝2，BC＝1，AB＝3，即AC2=BC2+AB2，

∴AB⊥BC，

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AD，

又∵AD⊥PB，PA∩PB=B，

∴AD⊥平面PAB，

∴AD⊥AB，

∴AD∥BC，

（2）解：過點(diǎn)A作AE⊥CP，AF⊥DP，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，

∵AD⊥DC，AP⊥底面ABCD，

∴PA⊥CD，PA⊥AC，

又∵PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

又∵AF?平面PAD，

∴CD⊥AF，

又∵CD∩DP=D，

∴AF⊥平面CDP，

同理AF⊥EF，∠AEF即為二面角A﹣CP﹣D的夾角，

∵PA=PC=2，

∴AE=12CP=2，

sin∠AEF=AFAE=AF2=42