【例2】求函數(shù)的最小值.【解析】令則原函數(shù)等價(jià)于函數(shù)，其中，.問題等價(jià)于求，兩點(diǎn)間距離的最小值問題.由圖知，距離最小為，即.【評注】本解法通過換元使問題轉(zhuǎn)化為等軸雙曲線上動點(diǎn)與圓上動點(diǎn)的距離問題，直觀明了.【例3】求以實(shí)數(shù)，為自變量的函數(shù)的最小值.【解析】原式配方得.考慮平面上的點(diǎn)，，當(dāng)，時(shí)，的軌跡是以兩條坐標(biāo)軸為漸近線的雙曲線，當(dāng)，時(shí)，的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的下半圓.由圖知的最小值為，由此可得.【例4】已知對任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】（，]【解析】，令則.令則.問題等價(jià)于求，兩點(diǎn)間距離的最小值問題.由圖易得.拓展提升1.對于實(shí)數(shù)、定義運(yùn)算“”：.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.2.已知，，則的最小值為.【例5】求，的最值.【解析】，令，，，，，，則為圓上的點(diǎn)，為直線上的點(diǎn).如圖，當(dāng)點(diǎn)?。?，1）時(shí)，，即，則，，當(dāng)點(diǎn)?。?，-1）時(shí)，，即，則，故，即，.【例6】若，求的最大值.【解析】，此題實(shí)質(zhì)上是求在約束條件下的最值.其幾何意義為，在直線上有一點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)（4，l）與點(diǎn)（0，4）的距離之差的最大值.通過數(shù)形結(jié)合知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為（3，3），則由平面幾何知識可知.【例7】若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是.【答案】【解析】令，（，），此時(shí)，且條件中等式化為，從而，滿足方程（，）.如圖所示，在平面內(nèi)，點(diǎn)（，）的軌跡是以點(diǎn)（1，2）為圓心，為半徑的圓在，的部分，即點(diǎn)與的并集.因此，從而.變式訓(xùn)練1.已知的內(nèi)切圓的半徑為，如圖.（1）求面積的最小值；（2）求周長的最小值.2.若面積為定值，求：（1）周長的最小值；（2）內(nèi)切圓半徑的最大值.3.若周長為定值，求：（1）面積的最大值；（2）內(nèi)切圓半徑的最大值.柘展提升1.已知，，，求證：.2.已知，，，若恒成立，求的取值范圍.【例8】已知，滿足，則的最小值是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥拷夥?：由得：.這里出現(xiàn)了兩數(shù)之積與兩數(shù)之和.要得到兩數(shù)的平方和.可以用基本不等式.由和得，解得.解法2：這里介紹一種好方法，當(dāng)，系數(shù)相等且出現(xiàn)乘積項(xiàng)時(shí)，可以用雙元換元法.設(shè)：，（旋轉(zhuǎn)變換）.則.即，即為雙曲線，則可視為雙曲線上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線長度的平方的2倍.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最小值為.解法3：由得，解得或.所以.解法4：設(shè)點(diǎn)，由于，即，所以點(diǎn)的軌跡是以（l，l）為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，離心率為的雙曲線，焦準(zhǔn)距，離心率，，得，，，，.【例9】已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是.【答案】【解析】，則，要求的目標(biāo)式可以視為上半個(gè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)（0，1）和到（1，0）的距離之和.注意到點(diǎn)（1，0）恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為（-1，0），則，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得等號，此時(shí)點(diǎn)是直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).【評注】本題中出現(xiàn)平方加平方形式的代數(shù)式，所以要聯(lián)想到幾何中的兩點(diǎn)間距離公式.解析幾何中遇到曲線上的一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離時(shí)，不妨馬上連結(jié).求雙變量代數(shù)式的最值問題，常見的轉(zhuǎn)化方式有：通過代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值；轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值；轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求最值；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求最值.十、二元最值，先定主元【例1】求函數(shù)的最值.【解析】解法1：配完全平方式.解法2：主元思想設(shè)為主元，則.【評注】上述兩種解法中，解法2較好，它不受系數(shù)限制，易操作.變式訓(xùn)練求函數(shù)的最大值.拓展提升已知，是空間單位向量，，若空間向量滿足，且對于任意：，，，則=，=，.【例2】若函數(shù)有零點(diǎn)，且恒成立，求的最大值.【解析】由有零點(diǎn)知，則，，則，令，，則，，令，當(dāng)時(shí)，，時(shí)取等號，與矛盾；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，令，得為極小值點(diǎn)，故，的最大值為.【例3】已知在三棱錐中，，，，，60，求三棱錐的體積.【解析】設(shè)射線，B方向上的單位向量分別為，則點(diǎn)到平面的距離為|故.【評注】向量在解決點(diǎn)面距離時(shí)有神奇的效果.十一、多重?fù)Q元，化歸求之【例1】已知，，求的最大值.【解析】解法1：設(shè)，令，則，求的最大值即可.令，再令，則，故.解法2：令，則.【評注】解法2的分母換元將多項(xiàng)式化為了單項(xiàng)式，為后繼步驟中部分分式開辟了道路.【例2】求的最值.【解析】令，則，，，故，即，.解法2：由于且，設(shè)點(diǎn)（，）與點(diǎn)（0，0）的距離為，復(fù)數(shù)與軸正方向所成的角為，則，，.于是原問題就變成了一元函數(shù)的問題，整理變形得，當(dāng)即時(shí)，取到最大值，.當(dāng)時(shí)，.【例3】已知，，，求的最大值.【解析】令，，則有，由，得，得，即的最大值為.柘展提升若不等式對于任意正實(shí)數(shù)，成立，求的取值范圍.【例4】設(shè)實(shí)數(shù)，且滿足，則使不等式的最大值為.【答案】【解析】不妨設(shè)，，，，則原不等式化為即，可知恒成立所以，.【評注】本題使用了均值換元法，即取，的中間值.【例5】已知三個(gè)實(shí)數(shù)，，，當(dāng)時(shí)滿足且，則的取值范圍是.【答案】【解析】解法1：齊次化思想由知，又因?yàn)?，所?令，,則j：y>0，，即或，令得.解法2：由得，即，令，.【例6】已知正數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是.【解析】由得得（時(shí)取等號），故.【例7】已知正數(shù)，，滿足，則的取值范圍是.【答案】[-4，3]【解析】由得，令，，則，從而有作出可行域如圖所示.，設(shè)切點(diǎn)為，則，，得，所以，所以.【例8】已知正數(shù)滿足，則的取值范圍是.【答案】【解析】,,由題意知?jiǎng)t作出可行域如圖所示，易知，所以.【例9】已知，，，求的最大值.【解析】令，，由題意知轉(zhuǎn)化為求的最大值.所以，即的最大值為.【評注】本題用柯西不等式法不行，等號成立時(shí)存在矛盾；三角法也不行，等號成立時(shí)同樣存在矛盾.【例10】已