【例44】若橢圓的離心率為直線與橢圓交于，點(diǎn)在橢圓上求橢圓的方程.【解析】因?yàn)樗韵旅嬖谝话闱樾蜗陆?如圖3,設(shè)直線方程為代入橢圓方程得.即代入橢圓圓方程得，即得再把直線方程代入上式,得.化簡(jiǎn)得故故即.【變式訓(xùn)練】已知橢圓及其上兩點(diǎn)A.B.（1）若且，求證：點(diǎn)在橢圓上；(2)若求的取值范圍.【拓展提升】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，是橢圓上的三點(diǎn)，若求證：線段的中點(diǎn)在橢圓上?！窘馕觥吭O(shè)，則由得因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn),所以,即得故又線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以從而線段的中點(diǎn)在橢圓上.【例45】已知橢圓：的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O相切。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為.右焦點(diǎn)為.直線過點(diǎn)，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于，垂足為點(diǎn)P，線段的垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡的方程；（3）設(shè)與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R.S在上，且滿足.求的取值范圍.【解析】(1)由得由直線與圓相切.得所以.（2）由已知條件，得，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離等于它到直線：的距離.由拋物線的第二定義得點(diǎn)M的軌跡的方程是(3)由(2),知.設(shè)所由得因?yàn)榛?jiǎn)得.所以(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立).因?yàn)樗援?dāng),即時(shí)，故的取值范圍.【例46】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.設(shè)應(yīng)，求實(shí)數(shù)t的值.【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程為。由題意知，解得因此橢圓C的方程為(2)設(shè),由得.整理得解得因?yàn)?所以.故即即得,得所以【例47】已知直線與橢圓W:-相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),且四邊形為菱形時(shí),求的長(zhǎng);(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上但不是W的頂點(diǎn)時(shí),求證:四邊形OABC不可能為菱形.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅螢榱庑?所以與相互垂直平分.可設(shè)，代入橢圓方程得，即。所以。(2)假設(shè)四邊形為菱形.因?yàn)辄c(diǎn)不是的頂點(diǎn),且所以由消去并整理得:.設(shè)則所以的中點(diǎn)為.因?yàn)闉楹偷慕稽c(diǎn),且,所以直線的斜率為.因?yàn)樗c不垂直所以四邊形不是菱形與假設(shè)矛盾。所以當(dāng)點(diǎn)B不是的頂點(diǎn)時(shí),四邊形不可能是菱形.【例48】?jī)褐獎(jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn).若是的中點(diǎn),求直線的斜率.【解析】(1)由于點(diǎn)到直線的距離是到點(diǎn)的距離的2倍,則整理得所以,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓,方程為.(2)已知,設(shè),由題知.橢圓的上、下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是和,經(jīng)檢驗(yàn)直線不經(jīng)過這兩點(diǎn),即直線的斜率存在.設(shè)直線方程為.聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得:，故由得即得.所以，直線的斜率.【例49】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為離心率為過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若求的值.【解析】(1)設(shè)早知過點(diǎn)且與軸垂直的直線為代入橢圓方程有,解得.于是解得又從而所以橢圓的方程為(2)設(shè),點(diǎn),切由,得直線的方程為.由方程組消去,整理得.求解可得.因?yàn)樗杂梢阎?解得.【例50】如圖4，已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸均為MN且在x軸上，短軸長(zhǎng)分別為過原點(diǎn)且不與軸重合的直線與的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為記和的面積分別為和。（1)當(dāng)直線與軸重合時(shí),若求的值；（2)當(dāng)變化吋,是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線，使得請(qǐng)說明理由。解析依題意可設(shè)橢圓和方程分別為。其中（1）解法1如圖5,若直線與軸重合,即直線的方程為,則所以.在和的方程中，分別令可得.于是若則化簡(jiǎn)得由可解得故當(dāng)直線與軸重合時(shí)，若，則。解法2如圖5,若直線與軸重合，則所以若則化簡(jiǎn)得由可解得故當(dāng)直線與軸重合時(shí)，若，則。(2)解法1如圖6,假設(shè)存在與坐標(biāo)軸不重合的直線,使得.根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)直線點(diǎn)到直線的距離分別為.因?yàn)樗?又所以即.由對(duì)稱性可知所以.所以,于是（1）將的方程分別與的方程聯(lián)立,可求得.根據(jù)對(duì)稱性可知，于是（2）從而由信和@式可得(3)令則由可得于是由(3)可解得.因?yàn)?，所以。于是?）式關(guān)于有解，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)葍r(jià)于由可解得即由解得,所以當(dāng)時(shí),不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線,使得;當(dāng)時(shí)，存在與坐標(biāo)軸不重合的直線，使得.解法2如圖6,若存在與坐標(biāo)軸不重含的直線，使得因?yàn)樗?又所以因?yàn)樗杂牲c(diǎn)分別在上,可得，兩式相減可得依題意所以所以由上式解得因?yàn)樗杂煽山獾?從而解得，所以當(dāng)時(shí)，不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線，使得;當(dāng)時(shí)，存在與坐標(biāo)軸不埋合的直線，使得.例51已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn).(1)求圓的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長(zhǎng)分別為a，b.當(dāng)a，b最大時(shí),求直線的方程.解析(1)先求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓D.由題知圓的直徑為所以圓的圓心坐標(biāo)為半徑.圓心與圓心關(guān)于直線對(duì)稱,可得,故圓方程為.（2）由（1）知，可設(shè)直線的方程為：。這時(shí)直線可被圓和橢圓截得兩條弦，符合題意.圓到直線的距離.在圓中，由勾股定理得.設(shè)直線與橢圓相交于,點(diǎn).聯(lián)立直線和橢圓方程,整理得:.從而由橢圓的焦半徑公式得:，所以令得在[0,3]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.令，當(dāng)時(shí)，取最大值。這時(shí)直線方程為。所以，當(dāng)取最大值，直線方程為。例52已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn)。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)。過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為。取點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)作AE的垂線交軸于點(diǎn)D.點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線QG.問:這樣作出的直線QG是否與橢圓一定有唯一的公共點(diǎn)？請(qǐng)說明理由。解析（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，且所以。故橢圓的方程是.（2)由題意，各點(diǎn)的坐標(biāo)如圖7所示,,則直線QG的方程化簡(jiǎn)得又，所以代入。最后求得所以直線QG與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn).例53已知橢圓的離心率。（1）求橢圓的方程；（2）如圖8，是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)直線DP交軸于點(diǎn),直線AD交BP于點(diǎn)M.設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為.求證為定值.解析（1）因?yàn)椋?，所以。再由，得。所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)?，不為橢圓頂點(diǎn)，則方程為。（1）將（1）代入解得。又直線AD的方程為(2)(1)與（2）聯(lián)立解得.由三點(diǎn)共線可求得.所以MN的斜率則定值).例54如圖9，在平面直線坐標(biāo)系中，橢圓的方程為分別為橄圓的左、右頂點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上不同于和的任意一點(diǎn),若平面中兩個(gè)點(diǎn)Q,R滿足,試確定線段QR的長(zhǎng)度余的大小關(guān)系,并給出證明.解析令則設(shè)其中。由可知將（1）-（2）,得,即.將其代入（1），得故于是根據(jù)同理可得因此.由于,故其中等號(hào)成立的充分必要條件是即點(diǎn)的坐標(biāo)為.例55如圖10,已知橢圓的離心率為的面積為1。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)P是橢圓上一點(diǎn),直線PA與軸交于點(diǎn),直線PB與軸交于點(diǎn),求證為定值.解析(1)由題意得解得，所以橢圓的方程為(2)由(1)知設(shè)則.當(dāng)時(shí)，直線PA的方程為.令得從而.直線PB的方程為.令得從而.所以當(dāng)時(shí)所以.綜上,為定值4.