又所以.【例24】已知試用表示的值.【解析】因為所以,從而?！咀兪接?xùn)練】已知則的值為__________?！纠?5】函數(shù)的值域為__________?！敬鸢浮?。【解析】令則,所以?！咀兪接?xùn)練】設(shè)為第二象限角,若則__________。五、二角值域，多管齊下求由三角函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域,要思維靈活、方法多樣、多管齊下.若函數(shù)式中只出現(xiàn)同名函數(shù)，一般考慮換元破招：若函數(shù)式中出現(xiàn)異名函數(shù),且又是齊次整式型,可考慮用柯西不等式放縮;若函數(shù)式中出現(xiàn)異名函數(shù),且又是齊次分式型,可考慮用分子、分母同時除以一個代數(shù)式,轉(zhuǎn)化為只含一元的二次分式函數(shù)來解決.(一)一次整式型【例26】已知函數(shù),求函數(shù)的值域.【解析】因為,所以用端點代入,得.而端點值取不到,所以.(二)一次分式同名型【例27】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】由于分母令則,易知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)，從而只要代入端點值、取中間即可,所以【例28】已知函數(shù)，求函數(shù)的值域.【解析】由于分母，令則,易知函數(shù)在內(nèi)有漸近線，從而只要代入端點值、取兩邊即可,所以.【例29】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】由于分母，令則,易知函數(shù)在的左端點處有漸近線，從而只要代入右端點值、取一邊即可,所以【例30】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】由于分母，令則,易知函數(shù)在的右端點處有漸近線，從而只要代入左端點值、取一邊即可,所以.(三)一次分式異名型【例31】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】用柯西不等式求解。由題意得,即解得所以【例32】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】用柯西不等式法求解.由題意得,即解得【例33】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】用柯西不等式法求解.由題意得,即解得.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【例34】已知函數(shù),求函數(shù)的最小值,并求取得最小值時的值.【解析】用柯西不等式法求解.由題意得,所以解得即故函數(shù)的最小值為.由得所以取得最小值時.【例35】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】。令因為所以，則當且僅當時取等號,經(jīng)驗證等號能取到，所以。【例36】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】令則其中由題意得,由直線斜率的定義即可得.【評注】本題也可用以下方法求解：由,知.【例37】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】用上例的方法，要注意自變量的取值范圍。由知【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.(四)二次分式和積型【例38】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】令則所以.再令則,故【例39】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】令則所以再令則故.【例40】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】。令則。(五)二次整式和積型【例41】已知函數(shù)，求函數(shù)的值域.【解析】令則又所以【例42】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】令則因為所以【例43】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】令,則?！纠?4】已知函數(shù),求函數(shù)的值域.【解析】。經(jīng)驗證等號能取到,所以(六)二次分式復(fù)合型【例45】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】。當時,令則。又從而當時，。所以(七)二次分式對勾型【例46】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【解析】令則從而,所以,即(八)二次整式型【例47】已知函數(shù)，求函數(shù)的值域.【解析】令則第二章圖像特征模式轉(zhuǎn)化三角函數(shù)的圖象直觀地體現(xiàn)了三角函數(shù)的性質(zhì),其主要特征是圖象的對稱性、值域和單調(diào)性.解決問題時,一般都應(yīng)把三角函數(shù)的綜合表達式轉(zhuǎn)化為標準型,然后再進行處理,故模式轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.一、對稱相關(guān)問題【例1】已知的一條對稱軸為求的值.【解析】因為的一條對稱軸為直線所以從而得【評注】充分利用題設(shè)的必要條件可大大簡化運算.1.已知的一條對稱軸為直線則________.2.已知函數(shù)是偶函數(shù),則________.3.已知函數(shù)是偶函數(shù),則________.4.已知為偶函數(shù),則可以取的一個值為( )A. B. C. D.【例2】已知函數(shù)為常數(shù)在處取得最小值,則函數(shù)是( ).A.偶函數(shù),且它的圖象關(guān)于點對稱 B.偶函數(shù),且它的圖象關(guān)于點對稱C.奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于口對稱 D.奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于點對稱【答案】D【解析】易知函數(shù)是奇函數(shù).與關(guān)于直線即對稱.由于函數(shù)在處取得最小值,則在處取得最小值，因為的周期也是故選【評注】與關(guān)于直線對稱.錯覺：則關(guān)于直線對稱.【變式訓(xùn)練】1.設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,它的周期是,則.A.的圖象過點 B.在區(qū)間上是減函數(shù)C.的圖象的一個對稱中心是 D.的最大值是2.若函數(shù)對任意實數(shù)都有且則實數(shù)的值等于().A.±1 C.-3或1 D.-1或3【例3】下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)中說法正確的是().A.最大值為，圖象關(guān)于直線對稱 B.最大值為1,圖象關(guān)于直線對稱C.最大值為,圖象關(guān)于點對秒 D.最大值為1,圖象關(guān)于點對稱【答案】10【解析】記則故排除驗證排除故選?！咀兪接?xùn)練】若函數(shù)在處有最小值一2,則常數(shù)的值是A. B. C. D.【例4】已知對任意實數(shù)t,都有記則_________?！敬鸢浮俊窘馕觥拷夥?：由題意知其中，則.解法2：由知圖像的一條對稱軸為，所以的此值為此時因為所以即【評注】關(guān)注函數(shù)的對稱性。【例5】已知且.在區(qū)間上有最小值,無最大值,則__________?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗?，所以。由得從而。因為在區(qū)間上有最小值,無最大值，所以有解得。【例6】設(shè)為函數(shù)的零點,且滿足則這樣的零點有().A.18個 B.19個 C.20個 D.21個【解析】由題設(shè)可知，所以。又故。當取奇數(shù)時則共12個。當取偶數(shù)時,則共9個.所以這樣的零點共有21個,故選D.【例7】已知函數(shù),若存在滿足,則的最小值為().A.3 В.4 C.5 D.6【答案】D【解析】因為函數(shù)對任意都有所以要使取得最小值,應(yīng)盡可能多地讓在處取得最大值.考慮到,按下圖取值即可滿足條件，易知有，則的最小值為，故選D?！纠?】已知函數(shù).若是的一個零點,直線是函數(shù)的對稱軸,在區(qū)間上單調(diào),則的最大值是().A.14 B.18 C.20 D.22 【答案】A【解析】因為是的一個零點,直線是函數(shù)的對稱軸，所以即故為正偶數(shù).因為在區(qū)間上單調(diào),則即所以當時，得即,又