【變式訓(xùn)緣】1.已知,點(diǎn)在內(nèi),設(shè),則等于（）.A.B.3C.D.2.平面內(nèi)有三個(gè)向量,其中與的夾角為與的夾角為,若,則3.如圖,兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起,若,則x=，y=【例9】給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，他們的夾角為。如圖，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng).若,其中,則的最大值是【答案】2【解析】用等值線法求解.如圖,連結(jié)AB交OC于點(diǎn)D.設(shè)則由得由于,故,所以所求最大值為2.【評(píng)注】另外4種解法見“第八章長度面積,巧妙運(yùn)算”例2.【例10】已知外接圓的圓心為,兩條邊上的高的交點(diǎn)為,則實(shí)數(shù)【答案】1【解析】解法1:歐拉定理由得為的重心，又（歐拉定理),故解法2:取特殊值如圖,在等腰中,可得,又,故【評(píng)注】歐拉定理：若外接圓的圓心為,重心為,兩條邊上的高的交點(diǎn)為,則有【例11】設(shè)是的外心,若,則【答案】【解析】設(shè),則,可得,故.【例12】已知在中,,若G,O分別是的重心和外心,且,則的形狀是【答案】見直角三角形【解析】如圖,為的垂心,由圖可知,則,即所以即,即整理得,即,故為直角三角形.【例13】設(shè)A,B,C是單位圓上三個(gè)互不相同的點(diǎn),若,則的最小值是【答案】【解析】作圖，由圖可知，【例14】如圖,已知的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為切點(diǎn),那么的最小值為A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè),則;因?yàn)槭菍?shí)數(shù),所以,整理得,解得或,故,此時(shí)故選D。【例15】過單位圓外一點(diǎn)向圓作切線,切點(diǎn)為A,B,直線AB上有一動(dòng)點(diǎn),則【答案】1【解析】如圖，有切線性質(zhì)知，AB交CP于點(diǎn)E，在方向上的投影始終為。于是,因?yàn)橥?所以在中,根據(jù)射影定理得【例16】如圖,OM//AB,點(diǎn)在由射線OM、線段OB及AB延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且,則的取值范圍是;當(dāng)時(shí),的取值范圍是【答案】【解析】易知點(diǎn)在線段FG上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),,如圖1;當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),,如圖2.故【例17】如圖,在中,是線段OB,AB的延長線和AO的延長線所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)，且,則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),實(shí)數(shù)對(duì)所表示的區(qū)域在直線右下側(cè)部分的面積是().A.B.2D.不能求【答案】【解析】建立坐標(biāo)系,過點(diǎn)作,設(shè),則有,從而作出可行域(圖略)，可知選【例18】如圖,已知A,B,C是上的三點(diǎn),CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn),若,則A.B.C.D.【答案】C【解析】解法1:如圖,可知,則,其中,.由得,故選C解法2:設(shè),如圖，則所以A,D,B三點(diǎn)共線,即,得,從而,故選C.【例19】已知是的外心,若,則=【答案】或【解析】如圖1,M為AC的中點(diǎn),,因?yàn)?所以O(shè),B,M三點(diǎn)共線，又是外心,故.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合,如圖2,此時(shí).所以或.【例20】如圖,為的外心為鈍角,是邊BC的中點(diǎn),則.【答案】5【解析】解法解法2:特例法當(dāng)BC為直徑時(shí)，如圖，點(diǎn)與點(diǎn)重合,易知【例21】已知在中，是邊BC上任意一點(diǎn)(與B,C不重合),且,則【答案】【解析】所以【例22】已知在中,,且,則在上的投影的取值范圍是【答案】【解析】由得,由圖可知在OP的投影的取值范圍是【變式訓(xùn)練】已知,則在上的投影（）。A.既有最大值，又有最小值B.有最大值,無最小值C.有最小值,無最大值D.既無最大值，又無最小值【例23】設(shè)為的內(nèi)心,,則【答案】【解析】以BC所在直線為軸、BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則設(shè),那么.因?yàn)槭莾?nèi)心,所以可設(shè),則,,則即所以,從而,解得【評(píng)注】根據(jù)圖形建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,再把向量用坐標(biāo)形式表示出來,關(guān)鍵是抓住“是的內(nèi)心”這一條件.【例24】已知A,B,C是上三點(diǎn),射線CO與AB的延長線(不包括點(diǎn))交于點(diǎn),若,則A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖,設(shè)因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以,所以,故選【例25】如圖,已知扇形AOB的弧的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)C,D分別在線段OA,OB上,且若,則的取值范圍是【答案】【解析】設(shè),插入分點(diǎn),則有:【例26】如圖,在中,設(shè)的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)為,若,則【答案】【解析】,則,故得，所以.【例27】已知,若,則的最大值是【答案】【解析】由題意知,則因?yàn)?所以三點(diǎn)共線.作圖可知，若,則存在一個(gè),如圖1若,則存在兩個(gè),如圖（只畫;若,則不存在,如圖3所以,故.【例28】設(shè)向量a,b不共線,則關(guān)于的方程解的情況是().A.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解B.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解C.至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)解D.可能有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】【解析】將方程變形為因?yàn)橄蛄縜,b不共線,所以由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使成立,因此故選.【評(píng)注】這個(gè)關(guān)于的方程與以往接觸過的實(shí)系數(shù)一元二次方程有很大區(qū)別，不能用判別式來判斷.本題很有創(chuàng)意,它的“題眼”是兩個(gè)向量不共線”,此類問題常常要運(yùn)用平面向量基本定理加以解決.【例29】已知在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為，為線段AB上的點(diǎn),且,則xy的最大值為【答案)】3【解析】,得解得則,因?yàn)锳,B,P三點(diǎn)共線.所以,等號(hào)能取到，所以,故所求最大值為3.【例30】已知是邊長為2的等邊三角形,為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】以BC為軸,BC的垂直平分線AD為軸為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則設(shè),則,所以,點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),所求的最小值為,故選.【評(píng)注】平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路:一是“形化”,即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題,然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷;二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集,方程有解等問題,然后利用函數(shù)、不等式,方程的有關(guān)知識(shí)來解決.【例31】已知平面四邊形與BD交于點(diǎn),記,則A.B.C.D.【答案】【解析】因?yàn)?由,可得,所以,所以,故選【例32】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量的模分別為與的夾角為,且與的夾角為若,則 【答案】3【解析】由可得,根據(jù)向量的分解，易得,即即解得所以【評(píng)注】（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，為向量和函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合提供了條件，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問題.（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.（3）向量的兩個(gè)作用:①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義脫去問題的“外衣”，轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題;②工具作用，利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.【例33】已知在中,是BC的中點(diǎn),過點(diǎn)的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn),N，若,則【答案】解法1:由MN的任意性,可用特殊位置法求解.當(dāng)MN與BC重合時(shí)，易知,故解法2：設(shè),由,得即得。