PAGEPAGE1第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1.(2015·湖北卷)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交，則()A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件C.p是q的充分必要條件D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件解析直線l1，l2是異面直線，肯定有l(wèi)1與l2不相交，因此p是q的充分條件；若l1與l2不相交，那么l1與l2可能平行，也可能是異面直線，所以p不是q的必要條件.故選A.答案A2.(2024·鄭州聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A.相交或平行 B.相交或異面C.平行或異面 D.相交、平行或異面解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D.答案D3.給出下列說法：①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面；②三條平行直線共面；③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定1個(gè)或3個(gè)平面.其中正確的序號(hào)是()A.① B.①④ C.②③ D.③④解析明顯命題①正確.由于三棱柱的三條平行棱不共面，②錯(cuò).命題③中，兩個(gè)平面重合或相交，③錯(cuò).三條直線兩兩相交，可確定1個(gè)或3個(gè)平面，則命題④正確.答案B4.(2024·濟(jì)南模擬)a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是()A.若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B.若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C.若a∥b，則a，b與c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，則a∥c解析若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.答案C5.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,7)解析連接DF，則AE∥DF，∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則D1D＝a，DF＝eq\f(\r(5),2)a，D1F＝eq\f(\r(5),2)a，∴cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))\s\up12(2)－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).答案B二、填空題6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線MN與AC所成的角為60°.其中正確的結(jié)論為________(填序號(hào)).解析A，M，C1三點(diǎn)共面，且在平面AD1C1B中，但C?平面AD1C1B，C1?AM，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，①②錯(cuò)；M，B，B1三點(diǎn)共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，B?MB1，因此直線BN與MB1是異面直線，③正確；連接D1C，因?yàn)镈1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60°.答案③④7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.解析取CD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H.在正四面體CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，則平面EFH與正方體的左右兩側(cè)面平行，則EF也與之平行，與其余四個(gè)平面相交.答案48.(2014·全國(guó)Ⅱ卷改編)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為________.解析如圖所示，取BC中點(diǎn)D，連接MN，ND，AD.∵M(jìn)，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴MN綉eq\f(1,2)B1C1.又BD綉eq\f(1,2)B1C1，∴MN綉B(tài)D，則四邊形BDNM為平行四邊形，因此ND∥BM，∴∠AND為異面直線BM與AN所成的角(或其補(bǔ)角).設(shè)BC＝2，則BM＝ND＝eq\r(6)，AN＝eq\r(5)，AD＝eq\r(5)，在△ADN中，由余弦定理得cos∠AND＝eq\f(ND2＋AN2－AD2,2ND·AN)＝eq\f(\r(30),10).故異面直線BM與AN所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).答案eq\f(\r(30),10)三、解答題9.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn).問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由.解(1)AM，CN不是異面直線.理由：連接MN，A1C1，AC.因?yàn)镸，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1.又因?yàn)锳1A綉C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.(2)直線D1B和CC1是異面直線.理由：因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面.假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，這與B，C，C1，D1不共面沖突.所以假設(shè)不成立，即D1B和CC1是異面直線.10.(2024·成都月考)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn).已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角).在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).11.以下四個(gè)命題中，①不共面的四點(diǎn)中，其中隨意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這與四點(diǎn)不共面沖突，故其中隨意三點(diǎn)不共線，所以①正確.②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形.答案B12.若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論肯定正確的是()A.l1⊥l4 B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定解析如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，滿意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時(shí)l1∥l4，可以解除選項(xiàng)A和C.若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直.因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定.答案D13.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面相互垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為________.解析取DE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.由題設(shè)，HF綉eq\f(1,2)AD.∴∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角).在△GHF中，可求HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，∴cos∠HFG＝eq\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).答案eq\f(\r(3),6)14.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn).(1)求四棱錐O－ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，所以四棱錐O－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，DE.又M為OA中點(diǎn)，∴ME∥OC