第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年重慶一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在等差數(shù)列{an}中，?n∈N+，a1=2A.18 B.20 C.22 D.242.函數(shù)f(x)=xex+ax的極值點(diǎn)為x=1，則a=A.?2e B.?e C.e D.2e3.與橢圓x212+y23A.x25?y24=1 B.4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1>0，S4A.2 B.3 C.4 D.55.過點(diǎn)(0,?e)作函數(shù)f(x)=xlnx的切線方程為(

)A.x?y?e=0 B.x+y+e=0 C.2x?y?e=0 D.x+2y+2e=06.已知橢圓C：x2a2+y2a2?9=1(a>3)，圓x2+y2=9A.2(3+1) B.23 7.已知函數(shù)f(x)=(?x2+2x+2)ex+mA.(?2e2,0) B.(?6e28.已知數(shù)列{an}滿足a1=32A.1920 B.2920 C.341380二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2對?n∈N+成立，{anA.{Sn}為等比數(shù)列 B.{lnan}為等差數(shù)列

C.Tn10.已知橢圓x28+y24=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)M(2,1)的直線與橢圓交于A，A.|PF2|最小值為22?2

B.若直線AB經(jīng)過點(diǎn)F2，則S△OAB=22

C.存在點(diǎn)11.已知函數(shù)f(x)=lnx?a(x?1)ex(a∈R)，則下列結(jié)論正確的是A.當(dāng)a=?3時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)f(x)可能有極大值，也可能有極小值

C.若函數(shù)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)x0，且x0>1，則a∈(0,1e)

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知F是拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，|PF|=8，則PF的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為______．13.無人機(jī)表演美輪美奐，為了精確的控制每一臺(tái)參演的無人機(jī)，程序員需要為每一臺(tái)無人機(jī)編寫控制代碼.已知一位程序員每天最多可以編寫110行該類代碼，從第二臺(tái)無人機(jī)開始，后一臺(tái)無人機(jī)需要的控制代碼數(shù)量是前一臺(tái)的a倍(a>0)，已知控制1000臺(tái)無人機(jī)需要24300行代碼，控制2000臺(tái)無人機(jī)需要32400行代碼.某無人機(jī)表演公司接到客戶臨時(shí)通知，將表演規(guī)模從3000臺(tái)增加到5000臺(tái)，僅有2天的時(shí)間準(zhǔn)備，則該公司最少需要組織______名程序員編寫新增的控制代碼．14.已知f(x)=lnx?1ex+ax+4,x∈[1e2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知f(x)=13x3?(a+1)x2+4ax+23．

(1)若a=2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>0且f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長度為4，

(i)求a16.(本小題15分)

已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，過F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為H，若△HF1F2的面積為2．

(1)求雙曲線E17.(本小題15分)

已知公差為d的等差數(shù)列{an}和公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{bn}滿足：a3?b3=a5?b4=a9?b518.(本小題17分)

已知點(diǎn)F(?1,0)，動(dòng)點(diǎn)M在以點(diǎn)F2(1,0)為圓心，4為半徑的圓上，若線段MF1的中垂線交線段MF2于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(2)若軌跡E交x軸正半軸于點(diǎn)G，過線段OG(不含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)H，作斜率分別為1和?1的兩條直線l1，l2，若l1交軌跡E于A，B兩點(diǎn)，l2交拋物線19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)?ax?1x+1．

(1)若a=1，求y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)≥ln2恒成立，求a的取值范圍；

(3)試比較101e+199參考答案1.B

2.A

3.B

4.A

5.C

6.C

7.C

8.D

9.BCD

10.AB

11.ACD

12.4

13.6

14.e315.解：(1)若a=2，則f(x)=13x3?3x2+8x+23，則f′(x)=x2?6x+8=(x?2)(x?4)，

當(dāng)x∈(?∞,2)∪(4,+∞)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，f′(x)<0，

所以f(x)的遞增區(qū)間為(?∞,2)，(4,+∞)，遞減區(qū)間為(2,4)．

(2)由f′(x)=x2?2(a+1)x+4a=(x?2)(x?2a)，

(i)當(dāng)0<a<1時(shí)，在(2a,2)上f′(x)<0，f(x)在(2a,2)上單調(diào)遞減，區(qū)間的長度小于4，不符合題意；

當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)≥0，f(x)在定義域上單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)a>1時(shí)，則在(2,2a)上f′(x)<0，f(x)在(2,2a)上單調(diào)遞減，此時(shí)2a?2=4?a=3，滿足題意；

綜上，a=3．

(ii)由上知f(x)=13x3?4x2+12x+2316.解：(1)由題意可知c=2，漸近線方程為y=±bax，

則雙曲線一條漸近線的垂線方程為：y=?ab(x?2)，

聯(lián)立方程組得y=baxy=?ab(x?2)，解得x=2a2b2+a2y=2abb2+a2，

即H(2a2b2+a2,2abb2+a2)，

所以S△HF1F2=12×2c×|yH|=4abb2+a2=2，

即b2+a2=2ab，解得a=b，

又因?yàn)閎2+a2=c2=4，所以a2=b2=2，

所以雙曲線E的方程為：x22?y22=1；

(2)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，l：x=2，則A(2,2),A(2,?2)，

此時(shí)cos∠AF1B=2×(32)2?(22)22×(32)2=7917.解：(1)已知公差為d的等差數(shù)列{an}和公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{bn}滿足：a3?b3=a5?b4=a9?b5．

則a3?b3=a3+2d?b3q=a3+6d?b3q2，

即(q?1)b3=2d(q2?1)b3=6d，

因?yàn)閎3≠0，q≠1，

即q2?1=3(q?1)，

則q+1=3，

則q=2．

(2)將d=4，q=2代入(1)18.解：(1)因?yàn)榫€段MF1的中垂線交線段MF2于點(diǎn)P，

所以|PM|=|PF1|，

因?yàn)閨MF2|=|MP|+|PF2|=4，

所以|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2，

由橢圓定義可知點(diǎn)P的軌跡為橢圓，

設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其中c為半焦距，

此時(shí)2a=4，c=1，

解得a=2，

則b2=a2?c2=4?1=3，

故點(diǎn)P的軌跡方程E為x24+y23=1．

(2)由(1)知G(2,0)，

設(shè)直線l1的方程為x=y+t，H(t,0)(0<t<2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立方程x=y+t3x2+4y2?12=0，消去x并整理得7y2+6ty+(3t2?12)=0，

此時(shí)Δ1=48(7?t2)>0y1+y2=?6t7y1?y219.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ln(x+1)?x?1x+1，

則f(0)=1，故切點(diǎn)為(0,1)，

f′(x)=1x+1?2(x+1)2，

則切線斜率k=f′(0)=?1，

所以切線方程為y?1=?(x?0)，即y=?x+1，

(2)f(x)=aln(x+1)?ax?1x+1，定義域?yàn)閤∈(?1,+∞)，

則f′(x)=ax+1?a(x+1)?(ax?1)(x+1)2=ax?1(x+1)2，

當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=?1(x+1)2<0，f(x)=1x+1，

故f(x)在(?1,+∞)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→0，與f(x)≥ln2矛盾，故排除，

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)x→+∞時(shí)，aln(x+1)→?∞，

ax?1x+1→a，故f(x)→?∞，與f(x)≥ln2矛盾，故排除，

當(dāng)a>0時(shí)，1a>0>?1，令f′(x)>0，解得x∈(1a,+∞)，

令f′(x)<0，解得x