第四章三角形第14講線段、角、相交線與平行線eq\o(\s\up7(),\s\do5(知識點1))直線與線段兩個基本事實(1)直線的基本事實：經(jīng)過兩點有且只有一條直線，即兩點確定一條直線；(2)線段的基本事實：兩點之間的所有連線中，線段最短兩點間的距離連接兩點的線段的長度線段的中點如圖，M為AC的中點，則AM＝MC＝eq\f(1,2)AC或AC＝2AM＝2MC線段的和與差如圖，在線段AC上取一點B，則AB＋BC＝AC；AB＝AC－BC；BC＝AC－ABeq\o(\s\up7(),\s\do5(知識點2))角及角平分線1．角的度量及計算角的分類按大小分：周角(360°)>平角(180°)>鈍角>直角(90°)>銳角角的大小比較(1)疊合法；(2)度量法度、分、秒把1°的角分成60等份，每一等份叫做1分，記作1′；再把1′的角分成60等份，每一等份叫做1秒，記作1″，即1°＝60′，1′＝60″，1′＝(eq\f(1,60))°，1″＝(eq\f(1,60))′2.余角、補角、角平分線余角(1)概念：如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角；(2)性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等補角(1)概念：如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角；(2)性質(zhì)：同角(或等角)的補角相等角平分線(1)性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；(2)逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上eq\o(\s\up7(),\s\do5(知識點3))相交線1．三線八角對頂角性質(zhì)：對頂角相等．如圖，∠1與∠3，∠2與∠4，∠5與∠7，∠6與∠8鄰補角性質(zhì)：鄰補角之和等于180°.如圖，∠1與∠4，∠2與∠3，∠5與∠8，∠6與∠7同位角如圖，∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8內(nèi)錯角如圖，∠2與∠8，∠3與∠5同旁內(nèi)角如圖，∠2與∠5，∠3與∠82.垂線點到直線的距離從直線外一點到這條直線的垂線段的長度垂線的性質(zhì)(1)在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短線段的垂直平分線(1)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；(2)逆定理：到線段兩端點距離相等的點在該線段的垂直平分線上eq\o(\s\up7(),\s\do5(知識點4))平行線的性質(zhì)與判定平行公理及推論(1)公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；(2)推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行平行線的性質(zhì)與判定兩直線平行eq\o(?,\s\up7(性質(zhì)),\s\do5(判定))同位角相等兩直線平行eq\o(?,\s\up7(性質(zhì)),\s\do5(判定))內(nèi)錯角相等兩直線平行eq\o(?,\s\up7(性質(zhì)),\s\do5(判定))同旁內(nèi)角互補【溫馨提示】1.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行；2．兩條平行線之間的距離處處相等．eq\o(\s\up7(),\s\do5(知識點5))定義、命題、定理及證明1．定義對名稱和術(shù)語的含義加以描述，并作出明確規(guī)定，也就是給出它們的定義．2．命題命題判斷一件事情的語句叫做命題，命題有題設(shè)和結(jié)論兩部分真命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題假命題如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立的命題互逆命題在兩個命題中，如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題是另一個命題的逆命題3.定理與證明正確性經(jīng)過推理證實得到的真命題叫做定理，推理過程叫做證明．4．反證法首先假設(shè)原命題不成立，然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而推出假設(shè)不成立，原命題得證．命題點1線段、直線與角的相關(guān)概念及性質(zhì)1．(2022·十堰)如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是(B)A．兩點之間，線段最短B．兩點確定一條直線C．垂線段最短D．三角形兩邊之和大于第三邊eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1題圖))2．(2020·孝感)如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD，垂足為O.若∠BOE＝40°，則∠AOC的度數(shù)為(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))A．40°B．50°C．60°D．140°3．(2020·十堰)如圖，將一副三角板重疊放在一起，使直角頂點重合于點O.若∠AOC＝130°，則∠BOD的度數(shù)為(C)A．30°B．40°C．50°D．60°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))命題點2平行線的判定與性質(zhì)4．(2024·湖北)如圖，一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了AB，CD兩條平行管道，并有縱向管道AC連通．若∠1＝120°，則∠2的度數(shù)是(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))A．50°B．60°C．70°D．80°5．(2023·襄陽)將含有45°角的三角板和直尺按如圖所示疊放在一起，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為(C)A．30° B．20°C．15° D．10°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))6．(2022·仙桃、潛江、天門聯(lián)考)如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，∠BEF的平分線交CD于點G.若∠EFG＝52°，則∠EGF的度數(shù)為(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))A．128°B．64°C．52°D．26°7．(2023·鄂州)如圖，AB∥CD，GE⊥EF于點E.若∠BGE＝60°，則∠EFD的度數(shù)是(B)A．60° B．30°C．40° D．70°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))8．(2020·咸寧)如圖，請?zhí)顚懸粋€條件，使結(jié)論成立：∵∠1＝∠4(或∠2＝∠4或∠3＋∠4＝180°)，∴a∥b.eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))9．(2022·武漢)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°.(1)求∠BAD的度數(shù)；(2)AE平分∠BAD，交BC于點E，∠BCD＝50°.求證：AE∥DC.(1)解：∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°.∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°.(2)證明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝eq\f(1,2)∠BAD＝50°.∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°.∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD，∴AE∥DC.命題點3命題和證明10．(2020·宜昌)能說明“銳角α，銳角β的和是銳角”是假命題的例證圖是(C)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))第四章三角形(解析版）第14講線段、角、相交線與平行線eq\o(\s\up7(),\s\do5(知識點1))直線與線段兩個基本事實(1)直線的基本事實：經(jīng)過兩點有且只有一條直線，即兩點確定一條直線；(2)線段的基本事實：兩點之間的所有連線中，線段最短兩點間的距離連接兩點的線段的長度線段的中點如圖，M為AC的中點，則AM＝MC＝eq\f(1,2)AC或AC＝2AM＝2MC線段的和與差如圖，在線段AC上取一點B，則AB＋BC＝AC；AB＝AC－BC；BC＝AC－ABeq\o(\s\up7(),\s\do5(知識點2))角及角平分線1．角的度量及計算角的分類按大小分：周角(360°)>平角(180°)>鈍角>直角(90°)>銳角角的大小比較(1)疊合法；(2)度量法度、分、秒把1°的角分成60等份，每一等份叫做1分，記作1′；再把1′的角分成60等份，每一等份叫做1秒，記作1″，即1°＝60′，1′＝60″，1′＝(eq\f(1,60))°，1″＝(eq\f(1,60))′2.余角、補角、角平分線余角(1)概念：如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角；(2)性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等補角(1)概念：如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角；(2)性質(zhì)：同角(或等角)的補角相等角平分線(1)性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；(2)逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上eq\o(\s\up7(),\s\do5(知識點3))相交線1．三線八角對頂角性質(zhì)：對頂角相等．如圖，∠1與∠3，∠2與∠4，∠5與∠7，∠6與∠8鄰補角性質(zhì)：鄰補角之和等于180°.如圖，∠1與∠4，∠2與∠3，∠5與∠8，∠6與∠7同位角如圖，∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8內(nèi)錯角如圖，∠2與∠8，∠3與∠5同旁內(nèi)角如圖，∠2與∠5，∠3與∠82.垂線點到直線的距離從直線外一點到這條直線的垂線段的長度垂線的性質(zhì)(1)在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短線段的垂直平分線(1)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；(2)逆定理：到線段兩端點距離相等的點在該線段的垂直平分線上eq\o(\s\up7(),\s\do5(知識點4))平行線的性質(zhì)與判定平行公理及推論(1)公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；(2)推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行平行線的性質(zhì)與判定兩直線平行eq\o(?,\s\up7(性質(zhì)),\s\do5(判定))同位角相等兩直線平行eq\o(?,\s\up7(性質(zhì)),\s\do5(判定))內(nèi)錯角相等兩直線平行eq\o(?,\s\up7(性質(zhì)),\s\do5(判定))同旁內(nèi)角互補【溫馨提示】1.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行；2．兩條平行線之間的距離處處相等．eq\o(\s\up7(),\s\do5(知識點5))定義、命題、定理及證明1．定義對名稱和術(shù)語的含義加以描述，并作出明確規(guī)定，也就是給出它們的定義．2．命題命題判斷一件事情的語句叫做命題，命題有題設(shè)和結(jié)論兩部分真命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題假命題如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立的命題互逆命題在兩個命題中，如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題是另一個命題的逆命題3.定理與證明正確性經(jīng)過推理證實得到的真命題叫做定理，推理過程叫做證明．4．反證法首先假設(shè)原命題不成立，然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而推出假設(shè)不成立，原命題得證．命題點1線段、直線與角的相關(guān)概念及性質(zhì)1．(2022·十堰)如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是(B)A．兩點之間，線段最短B．兩點確定一條直線C．垂線段最短D．三角形兩邊之和大于第三邊eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1題圖))2．(2020·孝感)如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD，垂足為O.若∠BOE＝40°，則∠AOC的度數(shù)為(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))A．40°B．50°C．60°D．140°3．(2020·十堰)如圖，將一副三角板重疊放在一起，使直角頂點重合于點O.若∠AOC＝130°，則∠BOD的度數(shù)為(C)A．30°B．40°C．50°D．60°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))命題點2平行線的判定與性質(zhì)4．(2024·湖北)如圖，一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了AB，CD兩條平行管道，并有縱向管道AC連通．若∠1＝120°，則∠2的度數(shù)是(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))A．50°B．60°C．70°D．80°5．(2023·襄陽)將含有45°角的三角板和直尺按如圖所示疊放在一起，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為(C)A．30° B．20°C．15° D．10°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))6．(2022·仙桃、潛江、天門聯(lián)考)如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，∠BEF的平分線交CD于點G.若∠EFG＝52°，則∠EGF的度數(shù)為(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))A．128°B．64°C．52°D