教4±L案+

2010—2011年度第2學(xué)期

教研室生物數(shù)學(xué)

教師楊磊

職稱講師

課程線性代數(shù)

哈爾濱醫(yī)科大學(xué)生物信息學(xué)院

學(xué)期授課計(jì)劃

清華大學(xué)

線性2010

教材名稱出版單住出版時(shí)間

代數(shù)年

出版社

入

共

公

衛(wèi)

業(yè)

事

學(xué)院

理

號(hào)

授課對(duì)象管學(xué)時(shí)48授課地點(diǎn)

業(yè)

室

專

26教

授課時(shí)間課序?qū)W時(shí)章節(jié)內(nèi)容摘要備注

第一章線性方程組

2012年2月27日12

消元法

第一章線性方程組

2012年2月29日22

矩陣及其初等變換

第一章線性方程組

2012年3月5日32線性方程組有解判別定理

齊次線性方程組

第二章向量空間

2012年3月7日42

n維向量空間

第二章向量空間

2012年3月12日52

線性相關(guān)性

第二章向量空間

2012年3月14日62

向量組的秩

第二章向量空間

2012年3月19日72

線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

第三章行列式

2012年3月21日82

二階和三階行列式

n階排列

第三章行列式

2012年3月26日92

n階行列式的定義

第三章行列式

2012年3月28日102

行列式的性質(zhì)與計(jì)算

第三章行列式

2012年4月2日112行列式按一行（列）展開公式

矩陣的秩與行列式

第三章行列式

2012年4月9日122

克拉默法則

第四章矩陣

2012年4月11日132

矩陣的運(yùn)算

第四章矩陣

2012年4月16日142

逆矩陣

第四章矩陣

2012年4月180152

矩陣的分塊

第四章矩陣

2012年4月23日162

初等矩陣

第四章矩陣

2012年4月25日172

幾種常用的特殊矩陣

第五章特征值與特征向量

2012年4月30日182

特征值與特征向量

第五章特征值與特征向量

2012年5月2日192

相似矩陣和矩陣對(duì)角化的條件

第五章特征值與特征向量

2012年5月7日202

實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

第五章特征值與特征向量

2012年5月9日212

非負(fù)矩陣

第五章特征值與特征向量

2012年5月14日222

二次型

第五幸特征值與特征向量

2012年5月160232

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

第五章特征值與特征向量

2012年5月21日242

正定二次型

主任簽字:

年月日

教案（課時(shí)計(jì)劃）

課程名稱線性代數(shù)教材名稱級(jí)性代數(shù)

計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容消元法

授課時(shí)間2012年2月27日授課地點(diǎn)公衛(wèi)學(xué)院26號(hào)教室

授課節(jié)次3、4節(jié)授課對(duì)象公共管理學(xué)本科

掌握線性方程組的概念及其應(yīng)用

教學(xué)

大綱熟悉如何求解一般的線性方程組

要求

了解線性方程組解的三種情況

重點(diǎn)初等變換解線性方程組

教材

分析

難點(diǎn)消無法求解線性方程組

啟發(fā)式、互動(dòng)式教學(xué)，以求解線性方程組為出發(fā)點(diǎn)，將此內(nèi)容作為容易接受

教學(xué)方法

和容易使用的工具（PBL）

教學(xué)手段多媒體、圖片等

新內(nèi)容新知識(shí)（注

線性方程組在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的英語20%

明來源及所占比例）

LinearEquations;LinearAlgebra;Linearsystem;solutionset;

equivalent;matrix;consistent;inconsistent;Replacement;Scaling;

外語關(guān)鍵詞

Interchange

參考資料高等代數(shù)，LinearAlgebraAndItsApplication

課堂時(shí)間設(shè)計(jì)

主要內(nèi)容題目擬用時(shí)間表達(dá)方式各注

導(dǎo)課5分鐘講述、多媒體

消元法求解線性方程組35分鐘講述、多媒體

初等變換求解線性方程組35分鐘講述、多媒體

總結(jié)5分鐘講述

標(biāo)明提何、演示、重點(diǎn)、難點(diǎn)、

教學(xué)進(jìn)程教具、教法、時(shí)間分配、互動(dòng)

等

一.導(dǎo)課

5分鐘多媒體

解二元、三元線性方程組時(shí)曾用過加減消元法，實(shí)際上這個(gè)方法比用行列式求解

更具有普遍性，是解一般〃元線性方程組的最有效的方法.下面通過例子介紹如何用

消元法解一般的線性方程組.

二.消元法求解線性方程組

35分鐘多媒體，

3$一%+5/=2習(xí)題

求解線性方程組（司-占+2%=1

例1.▲難點(diǎn)

一提問：線性方程組

X|2X2-x3=5

消元法的條件

（1）

解：交換第一、三兩個(gè)方程的位置：

X]-2X2-x3=5

V）

X-x2+2xy=1

3%1-x2+5X3=2

第一個(gè)方,呈乘以（-1）加于第二個(gè)方程，第一個(gè)方程乘以（-3）加于第三個(gè)方程，得：

X]-2X2—3xy=5

x24-3X3=-4

5X24-8X3=-13

第二個(gè)方矛呈乘以（?5）加于第三個(gè)方程，得

占-2/=5

-巧

x2+3=-4(2)

-7x3=7

呈乘以（-'），求得再代入第二個(gè)方程，求出最后求出

第三個(gè)方手X3=-l,X2=-l,

笛=2.這樣就得到了方程組（1）的解：

Xi=2

x2=-1

F=T

方程,且（2）稱為階梯形方程組.

如果在本例中，把原方程組中的第一個(gè)方程改為2XL3M+X3=6,得到一個(gè)新的

方程組

2--3x,+巧=6

X)-x24-2X3-1⑶

X)-2X2-x3=5

用類似的方法，可以把方程組化為

(4)

即

顯然，此方程組有無窮多個(gè)解.

如果在本例中，把原方程組的第一個(gè)方程改為2r=3M+4=5,作出新的方程組

2Xj-3X2+=5

?$一々+2%3=1

X1-2X2-x3=5

用類似的方法，可得到

X|-2X2-x3=5

x2+3X3=-4

0=-l

顯然方程組無解.

上面的方法具有一般性，即無論方程組只有一個(gè)解或有無窮個(gè)解還是沒有解，都

可用消元法將其化為一個(gè)階梯形方程組，從而判斷出它是否有解.

分析一下消元法，不難看出，它實(shí)際上是反復(fù)地對(duì)方程組進(jìn)行變換，而所作的變

提問：方程組的初

換，也只是由以下三種基本的變換所構(gòu)成：

等變換有哪幾種？

1.交換方程組中某兩個(gè)方程的位置;

2.用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程:

3.用一個(gè)數(shù)乘某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程上.

這三種變換稱為線性方程組的初等變換.

用消元法解線性方程組的過程就是對(duì)線性方程組反復(fù)地實(shí)行初等變換的過程.

方程組⑴的全部解稱為(I)的解集合.如果兩個(gè)方程組有相同的解集合，就稱它們

是同解的或等價(jià)的方程組.

現(xiàn)在證明：初等變換把方程組變成與它同解的方程組.

考慮線性方程組

6711x1+fl12x2+---+a1?xn=Z>I

。2內(nèi)+a22X2+…+^2nXn=打

⑴

+aX++aX

。川內(nèi)m22--'mnn=bm

我們只對(duì)第三種變換來證明.為簡(jiǎn)便起見，不妨設(shè)把第二個(gè)方程乘以數(shù)2后加到

第一個(gè)方程上，這樣，得到新方程組

(axx+k?)X]+(an+ka23)x2+???+(?lw+ka2n)xn=，+kb2

?21x1+a22x2+---+a2?xn=/?2

*(I)

???????????????

內(nèi)+為2>2+…+3”=心

設(shè)為=G(i=l,2,…，〃)是⑴的任意一個(gè)解.因⑴與(「)的后機(jī)-1個(gè)方程是一樣

的，所以，K產(chǎn)q(i=l,2,…，〃)滿足(T)的后m-1個(gè)方程.又Xj=c*i=l,2,,,,,n)

滿足⑴的前兩個(gè)方程，所以有

^M+ai2c2x2+--+a]ncnxn=R

a21GM+a22c2%+…+a2ncnxn=b2

把第二式的兩邊乘以A,再與第一式相加，即為

(au+ka2l)cl+(an+2%)c?+…+(即+ka2n)cn=:+kb2

這說明Xi=o"=l,2,,,,,〃)又滿足(1)的第一個(gè)方程，故2,???,n)

是(F)的解.類似地可以證明(I)的任意一個(gè)解也是⑴的解，這就證明了⑴與(I。是同解

的.容易證明另外兩種初等變換，也把方程組變成與它同解的方程組.

三.初等變換求解線性方程組※重點(diǎn)

下面來說明，如何利用初等變換來解一般的線性方程組.35分鐘，多媒體

提問：如何利用初

對(duì)于方程組⑴，首先檢查汨的系數(shù).如果由的系數(shù)。21，…，。向全為

等變換求解線性方

零，那么方程組⑴對(duì)Ai沒有任何限制,汨就可以任意取值，而方程組⑴可看作X2，…，

程組

X”的方程組來解.如果為的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)auWO不等于零，否則可利用初

等變換1,交換第一個(gè)方程與另一個(gè)方程的位置，使得第一個(gè)方程中為的系數(shù)不為

零.然后利用初等變換3,分別把第一個(gè)方程的(_氏)倍加到第i個(gè)(i=2,3,

方程，于是方程組⑴變成

q內(nèi)+62工2+…=瓦

a22x2+???+ci2nxn=b2

”(11)

????????????

白，“212+一?+4"，"工"

其中=%—紐。力i=2,…,m,/=2,…,〃

卬

顯然方程組(H)與(I)是同解的.

對(duì)方程組(II)再按上面的考慮進(jìn)行變換，并且這樣一步一步做下去，必要時(shí)改變未知

量的次序，最后就得到一個(gè)階梯形方程組.為了討論方便，不妨設(shè)所得到的階梯形方

程組為

G/i+G2工2+…+GrZ+…+=4

C++

22^2--+???+C2?X?=d2

??????????????????

c…XH----FCmXn=dr(皿

0=dr.i

0=0

0=0

其中GiWO,i=l,2,r.方程組(HI)中“0=0”是一些恒等式，可以去掉，并不

影響方程組的解.

我們知道，(I)與(IH)是同解的，根據(jù)上面的分析，方程組(HI)是否有解就取決于

第共1個(gè)方程

0=加

是否矛盾，于是方程組⑴有解的充分必要條件為必+|二0.在方程組有解時(shí)，分兩種情

形：

1)當(dāng)右〃時(shí)，階梯形方程組為

。|耳+。2工2+…+G“瑞=4

C……+。2區(qū)=4(W)

????????????

其中GiWO,i=l,2,…，n.由克萊姆法則(N)有唯一解，從而(I)有唯一解.

例如前面討論過的方程組(1)

3.—.+5%3=2

?X)-x2+2X3=1

$-2X2-x3=5

經(jīng)過一系列的初等變換后，變?yōu)殡A梯形方程組

芭-2X2-X3=5

?x24-3x3=-4

-7X3=7

這時(shí)方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，方程組的唯一解是

$=2

.x=-1

［巧2=-1

2)當(dāng)r<〃時(shí)，這時(shí)階梯形方程組為

c1IxI+c12x2+---+clfxr+clr+1xr+1+???+=4

C5+?.?+c2rxr+c2r+1xr+1+■?-+c2nx?=d2

f+J+Mr+]+…+=4

其中Cu^O,i=\,2,■,,?r,寫成如下形式

+ci2x2+--+cirxrn=dl-cir+lxr+l-------

C*+■■■+CM,=d2-c2r+ixr+l---------C2rtxn

由克萊姆法則，當(dāng)JCr+l，…，4任意取定?組值，就唯?確定出X”…，心值，也就提問：什么是克萊

是定出方程組(V)的一個(gè)解，一般地，由(V)可以把為，X2…，居的值由Xr+l，…，X”姆法則？

表示出來.這樣表示出來的解稱為方程組⑴的一般解，因…，％可以任意取值，

故稱它們?yōu)樽杂晌粗?顯然，(V)有無窮多個(gè)解，即⑴有無窮多個(gè)解.

如上面討論過的方程組(3)

2x)-3X2+5=6

?X)-x24-2X3=1

X]-2X2-x3=5

經(jīng)過一系列的變換后，得到階梯形方程組

X]-x24-2X3=1

x2+3X3=Y

將X|，X2用X3表示出來即有

芭=-3-5X

V3

%2=~4—3x^

這就是方程組(3)的一般解，而冷是自由未知量.

用消元法解線性方程組的過程，歸納起來就是，首先用初等變換把方程組化為階

梯形方程組，若最后出現(xiàn)一些等式“0=0”，則將其去掉.如果剩下的方程當(dāng)中最后

一個(gè)方程是零等于一個(gè)非零的數(shù)，那么方程組無解，否則有解.方程組有解時(shí)，如果

階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組有唯一解；如果階梯形方程

組中方程個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組有無窮多個(gè)解.

當(dāng)線性方程組(1)中的常數(shù)項(xiàng)b戶岳h??=bm=0時(shí)，即

4臼+42W+…+即/=°

a2i^+a22x2+-+a2nxn=0

,(VI)

???????????????

?川西+。，”2&+...+4，””工”=0

稱為齊次線性方程組.顯然，齊次線性方程組是一定有解的.因?yàn)閄尸X2=-=Xn=0

就是它的一個(gè)解?.這個(gè)解稱為齊次方程組的零解.我們所關(guān)心的是它除了零解之外，

提問：線性方程

還有沒有非零解？把上述對(duì)非齊次線性方程組討論的結(jié)果應(yīng)用到齊次線性方程組，就

有如下定理.組解的情況？

定理在齊次線性方程組(VI)中，如果切＜〃，則它必有非零解.

證明：因?yàn)?VI)一定有解，又所以它有無窮多個(gè)解，因而有非零解

課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了消元法求解線性方程組，歸納起來就是，首先用初等變換把方程組化為階梯形方程組，

若最后出現(xiàn)一些等式“0=0”，則將其去掉.如果剩下的方程當(dāng)中最后一個(gè)方程是零等于一個(gè)非零的數(shù)，

那么方程組無解，否則有解.方程組有解時(shí)，如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，則方程

組有唯?解；如果階梯形方程組中方程個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組有無窮多個(gè)解.

主板書設(shè)計(jì)

一.導(dǎo)課

▲二.消元法求解線性方程組

※三.初等變換求解線性方程組

教案（課時(shí)計(jì)劃）

課程名稱線性代數(shù)教材名稱線性代數(shù)

計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí).教學(xué)內(nèi)容矩陣及其初等變換

授課時(shí)間2012年2月29日授課地點(diǎn)公衛(wèi)學(xué)院26號(hào)教室

授課節(jié)次3、4節(jié)授課對(duì)象公共管理學(xué)本科

掌握線性方程組的系數(shù)矩陣

教學(xué)

大綱熟悉增廣矩陣化為階梯形矩陣

要求

了解初等變換求線性方程組

重點(diǎn)線性方程組的系數(shù)矩陣

教材

分析

難點(diǎn)增廣矩陣化為階梯形矩陣

教學(xué)方法講授新課

教學(xué)手段多媒體

新內(nèi)容新知識(shí)

（注明來源及所占比線性方程組在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的英語20%

例）

elementarymatrix;elementaryrowoperations;lineartransformation;standardmatrix;

外語關(guān)鍵詞Linearmodels

參考資料高等代數(shù)，LinearAlgebraAndItsApplication

課堂時(shí)間設(shè)計(jì)

主要內(nèi)容題目擬用時(shí)間表達(dá)方式備注

導(dǎo)課5分鐘講述、多媒體

線性方程組的矩陣表示25分鐘講述、多媒體

增廣矩陣化階梯型矩陣45分鐘講述、多媒體

總結(jié)5分鐘講述

標(biāo)明提何、演示、重點(diǎn)、難點(diǎn)、

教學(xué)進(jìn)程教具、教法、時(shí)間分配、互動(dòng)

等

一.導(dǎo)課

5分鐘多媒體

從消元法解線性方程組的過程中可看到，在對(duì)方程組作初等變換時(shí)，只是對(duì)方程

組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，而未知量并沒有參加運(yùn)算，也就是說，線性方程組的解

僅僅依賴于方程組中未知量的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng).因此，在用消元法解線性方程組時(shí)，為

了書寫簡(jiǎn)便起見，可以只寫出方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

二.線性方程組的矩陣表示

25分鐘，多媒體

通常把方程組⑴的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)寫成下列表格的形式※重點(diǎn)

提問：什么是線性

仇、

a\\a\2…a\>方程組的常數(shù)項(xiàng)？

aaa

2\22.,一2nb2

b〃“

表中的第i行代表方程組⑴的第j個(gè)方程，第j列表示芍的系數(shù)，最后一列表示常數(shù)

項(xiàng).這個(gè)表稱為線性方程組⑴的增廣矩陣.去掉最后一列，得到另一個(gè)表

%”為2…卬〃、

?21?22…%”

提問：什么是線性

am2…a,nn,方程組的系數(shù)？

它稱為線性方程組的系數(shù)矩陣.

定義1由數(shù)域P中打X"個(gè)數(shù)的（/=1,2?...?mt7=1?2,…排成m行

〃列的長方形表

442…4“

?21122巴〃

am2.…amn>

稱為數(shù)域P上的一個(gè)mXn矩陣.的稱為矩陣的元素，mXn矩陣記為4,””或A*”，

有時(shí)還記作A=（劭）

45分鐘，多媒體

三.增廣矩陣化階梯型矩陣

▲難點(diǎn)

已知用消元法解線性方程組就是對(duì)方程組反復(fù)地施行初等變換，反映在矩陣上，

提問：線性方程組

就是

的增廣矩陣指的是

1）交換矩陣的某兩行的位置；

什么？

2）用一個(gè)非零的數(shù)去乘矩陣的某一行：

3）用一個(gè)數(shù)乘某一行后加到另一行上.

這三種變換稱為矩陣的初等行變換.類似地，有

1，）交換矩陣的某兩列的位置：

2，）用一個(gè)非零的數(shù)去乘矩陣的某一列；

3，）用一個(gè)數(shù)乘某一列后加到另一列上.

1，），2，），3，）稱為矩陣的初等列變換.矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變

換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.

提問：什么是階梯

利用方程組的初等變換把線性方程組化為階梯形方程組，相當(dāng)于用矩陣的初等行

矩陣？

變換至多利用第一種列變換，把方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣.

例2求解線性方程組

X,+X2+X34-X4=I

3Xj+2X2+xy+x4=-3

x2+3X3+2X4=5

5x,+4X2+3X3+3X4=-1

對(duì)它的增廣矩陣作初等行變換

1111"I（\111np?11i、

3211-3-0-1-2-2-60-1-2-2-6

01325013250010-1

、5433-Jto-1-2-2-6；100000,

最后一個(gè)矩陣就是一個(gè)階梯形矩陣.對(duì)這個(gè)階梯形矩陣，還可進(jìn)一步化簡(jiǎn).把第二行

乘1加到第一行上，第三行乘1加到第一行上，第三行乘2加到第二行上，得

f\00-1-6、

0—10—2—8

0010-1

、00000,

它所表示的方程組為

X]-x4=-6

?一々—2匕=—8

七=T

這樣，就得到方程組的一般解：

$=-6+x4

,x2——8—2X4

其中x?為自由未知量.

思考題；

當(dāng)。與人取什么值時(shí)，線性方程組

X(+x24-x3+x4+xs=1

3X1+2X2+X3+X4-3X5=a

XX

x2+23+24+6&=3

XXX

54[+42+33+34-x5=b

有解'在有解的情況下，求它的一般解.

課堂小結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了消元法解線性方程組，在對(duì)方程組作初等變換時(shí)，只是對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)

算，而未知量并沒有參加運(yùn)算，也就是說，線性方程組的解僅僅依賴于方程組中未知量的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng).

用消元法解線性方程組就是對(duì)方程組反復(fù)地施行初等變換，反映在矩陣上，就是

1）交換矩陣的某兩行的位置；

2）用一個(gè)非零的數(shù)去乘矩陣的某一行：

3）用一個(gè)數(shù)乘某一行后加到另一行上

利用方程組的初等變換把線性方程組化為階梯形方程組，相當(dāng)于用矩陣的初等行變換至多利用第一種列變

換，把方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣.

主板書設(shè)計(jì)

一.導(dǎo)課

※二.線性方程組的矩陣表示

▲三.增廣矩陣化階梯型矩陣

教案（課時(shí)計(jì)劃）

課程名稱線性代數(shù)教材名稱線性代數(shù)

線性方程組有解判別定理

計(jì)劃學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容

齊次線性方程組

授課時(shí)間2012年3月5日授課地點(diǎn)公衛(wèi)學(xué)院26號(hào)教室

授課節(jié)次3、4節(jié)授課對(duì)象公共管理學(xué)本科

線性方程組無解,有唯一解或有無限多個(gè)解的充分必要條件（包括非齊次線性

掌握

方程組有解的充分必要條件及齊次線性方程組有非零解的充要條件）

教學(xué)

大綱熟悉用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法

要求

了解矩陣方程AX=8有解的充要條件

重點(diǎn)線性方程組有解判別定理

教材

分析

難點(diǎn)齊次線性方程組

教學(xué)方法啟發(fā)式、互動(dòng)式教學(xué)

教學(xué)手段多媒體等

新內(nèi)容新知識(shí)（注

線性方程組在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的英語20%

明來源及所占比例）

外語關(guān)鍵詞Basicvariables;freevariable;linearcombination;weight;subset

參考資料高等代數(shù)，LinearAlgebraAndItsApplication

課堂時(shí)間設(shè)計(jì)

主要內(nèi)容題目擬用時(shí)間表達(dá)方式備注

導(dǎo)課5分鐘講述、多媒體

線性方程組有解判別定理30分鐘講述、多媒體

齊次線性方程組有解判別定理40分鐘講述、多媒體

總結(jié)5分鐘講述

標(biāo)明提問、演示、重點(diǎn)、難點(diǎn)、

教學(xué)進(jìn)程教具、效法、時(shí)間分配、互動(dòng)

一.導(dǎo)課

5分鐘多媒體

這一節(jié)我們利用〃維向量和矩陣秩的概念來討論線性方程組解的情況.提問：什么是系數(shù)

設(shè)線性方程組矩陣和增廣矩陣？

4丙+%2工2+..?+%,%

a2Ml+^2+---+d!2wxM=b[

?(1)

???????????????

—+…+H”=%

的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別為4和1,

則有下面的定理

二.線性方程組有解判別定理30分鐘多媒體，

定理1線性方程組(1)有解的充分必要條件是：系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的習(xí)題

※重點(diǎn)

秩相等，即呼4)=?彳)提問：如何用消元

法求解線性方程

證：必要性

組？

如果方程組(1)有解，則阿由的，3，…，如線性表出，從而向量組的，。2，…，

On，月可由a1，s，…，a”線性表出.

又顯然為，心，…，斯可由四，俏，…，an,一線性表出，

于是{a"w,…，an]={a\,s,…，a”￡}.

所以r{a\,ai，?,,,an}=r{a\,az，…，an,/3\,

因此r(A)=r(A)

充分性若r(A)=r(A),

則有r{ai，ai，…，a?}=r{a1,3an,0),

又向量組a\>az，…，a”可由ai，汲，…，a〃，尸線性表出，于是由§4的定理4

知{%,%「-。”}邕{弓。2「、巴,圖，因此夕可由a”線性表出，這就表明

線性方程組(1)有解.

此定理與前面§1介紹的消元法所得的結(jié)果是一致的.用消元法解線性方程組就

是用初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣，這個(gè)階梯形矩陣在適當(dāng)調(diào)動(dòng)前幾列的順

序之后可能有兩種情形：

/

C11%?d???小4]G11,G?44)

0

C22"%?d?()%,,Gr,C2nd2

或者

00?Gr,?Gnd.00??.G?Jd.

000??-04rH()0??0■00

00-?0?0000?-0-00

<00-?0?-?00，()0?-0-00>

其中/HO,i=l,2,…，r,d,+irO.在前一種情形，我們說原方程組無解，而后

一種情形方程組有解.實(shí)際上，把階梯形矩陣中最后一列去掉，就是系數(shù)矩陣經(jīng)過初

等變換所變成的階梯形矩陣.所以，當(dāng)辦廿0時(shí)，耳4)工可了)，方程無解；當(dāng)乩+i=0

時(shí)，r(A)=r(A)t方程組有解.

例1判斷方程組有解還是無解.提問：如何判斷方

程組有解無解？

$-3X2—6當(dāng)+5X4=0

?2x)+x+X=1

243-2X4

5再-x24-2X3+x4=7

'13-650、1-3-650、‘1-3-65O'

解：A=214-21T0716-121T0716-121

\5-1217/01432-24700005,

顯然，k3)=3,而44)=2,所以方程組無解.

下面討論線性組在有解的條件下解的情況.

設(shè)線性方程組(1)有解，則兒4)="不尸r,因而A必有一個(gè)/■階子式OWO(當(dāng)然它

也是不的不為零的廠階子式).為方便敘述起見，不妨設(shè)。位于A的左上角.顯然這

時(shí)。所在的行是彳的一個(gè)極大無關(guān)組，第H1,什2,…，〃?行都可由它們線性表

出.因此方程組(1)與

《內(nèi)+32尤2+=仄

ax+ax+--+ax=b

-2l}2222nn2(2)

arXx^ar2x2+-^amxn=br

同解.

當(dāng)片"時(shí)，由克萊姆法則，方程組(2)有唯一解，即線性方程組有唯一解.

當(dāng)x〃時(shí)，把方程組Q)改寫為

4內(nèi)+。1232+…+即％=4-4"川-----即占

出內(nèi)+a22x2+…+a2rxr=b2-a2r+2xr+l-------a2nxn

,(3)

???????????????

aXaX+，，，+aXaaX

r\\+r22rrr=br~rr+l^r+l------mn

此方程組作為即，血，…，方的方程組時(shí)，其系數(shù)行列式正是。，而。W0,由克萊

姆法則，對(duì)于為+1，必+2,…，%的任意一組值，方程組(3)都有唯一解，也就是方程

組(1)都有唯一解.心+2,…，&就是方程組(1)的一組自由未知量.對(duì)于(3)用克

萊姆法則，可解出不，也，…，石

寸刈+小加+…+外”

+《，+/』+???+6”與

?(4)

????????????

.5=4+4+B川+~+*%

這就是線性方程組(1)的一般解.

從上面的討論可得：

定理2當(dāng)線性方程組有解時(shí)，

(1)若r(A)=尸〃，則方程組有唯一解.

(2)若*A)寸<明則方程組有無窮多解.

例2求解方程組

M-2X2+3X3-x4=\

<3X]-5X2+5X3-3X4=2

2x{-3X2+2jcy-2X4=1

解：對(duì)增廣矩陣才作初等行變換化為階梯形矩陣

門-23-1r(\-23-11、

A=3-55-32T01-40-1

3-32-2101-4。-1

1-23-1r40-5-