一、引言1.1研究背景與意義在物理學(xué)的廣闊領(lǐng)域中，非厄米系統(tǒng)作為一個充滿活力與挑戰(zhàn)的研究方向，近年來吸引了眾多科研人員的目光。非厄米系統(tǒng)，簡單來說，是指那些可以用非厄米哈密頓量描述的開放系統(tǒng)。與傳統(tǒng)的厄米系統(tǒng)不同，非厄米系統(tǒng)允許系統(tǒng)與外界環(huán)境進行能量、粒子等的交換，這使得其具有許多獨特而新奇的物理性質(zhì)。非厄米系統(tǒng)的獨特性質(zhì)首先體現(xiàn)在其本征值和本征態(tài)的特性上。在厄米系統(tǒng)中，哈密頓量的本征值是實數(shù)，這保證了能量的守恒以及物理過程的時間可逆性，并且其本征態(tài)構(gòu)成完備的正交歸一基，為量子力學(xué)的諸多理論和應(yīng)用提供了堅實的基礎(chǔ)。然而，非厄米系統(tǒng)打破了這一傳統(tǒng)框架。非厄米哈密頓量的本征值通常是復(fù)數(shù)，這意味著系統(tǒng)存在能量的增益或損耗。例如，在一些光學(xué)系統(tǒng)中，當(dāng)考慮光與介質(zhì)的相互作用時，如果介質(zhì)對光存在吸收或放大效應(yīng)，那么描述該系統(tǒng)的哈密頓量就會具有非厄米性，其本征值將包含虛部，反映出光能量的變化情況。這種復(fù)數(shù)本征值的出現(xiàn)，使得非厄米系統(tǒng)的動力學(xué)行為變得更加復(fù)雜和豐富。同時，非厄米系統(tǒng)的本征態(tài)不再滿足正交性，這進一步改變了系統(tǒng)的許多性質(zhì)和行為。以量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理為例，在厄米系統(tǒng)中，由于本征態(tài)的正交性，態(tài)疊加的系數(shù)可以簡單地通過內(nèi)積計算得到，并且在測量過程中，不同本征態(tài)之間的干涉效應(yīng)具有明確的規(guī)律。但在非厄米系統(tǒng)中，由于本征態(tài)非正交，態(tài)疊加的計算和理解變得更加復(fù)雜，測量過程中的干涉現(xiàn)象也會出現(xiàn)新的特征。這種本征態(tài)性質(zhì)的改變，使得非厄米系統(tǒng)在量子信息處理、量子計算等領(lǐng)域展現(xiàn)出獨特的應(yīng)用潛力，例如可能為量子比特的設(shè)計和操控提供新的思路。非厄米趨膚效應(yīng)也是非厄米系統(tǒng)中一個極為重要且獨特的現(xiàn)象。在一個無雜質(zhì)、無相互作用的開邊界非厄米系統(tǒng)中，會出現(xiàn)體態(tài)局域在邊界的奇特現(xiàn)象，這就是非厄米趨膚效應(yīng)。傳統(tǒng)的體邊對應(yīng)關(guān)系在這種效應(yīng)下不再成立，而傳統(tǒng)的布洛赫定理及能帶理論也因之失效。例如，在一些具有非互易耦合的晶格模型中，電子的運動不再像在厄米系統(tǒng)中那樣在整個晶格中均勻分布，而是會向邊界聚集，導(dǎo)致體態(tài)的分布發(fā)生根本性的改變。為了刻畫這種效應(yīng)并建立非厄米系統(tǒng)的體邊對應(yīng)關(guān)系，基于廣義布里淵區(qū)的非布洛赫能帶理論應(yīng)運而生。這一理論的提出，極大地推動了非厄米系統(tǒng)的研究，為深入理解非厄米系統(tǒng)的物理性質(zhì)提供了有力的工具。拓撲分類在非厄米系統(tǒng)的研究中占據(jù)著舉足輕重的地位。在傳統(tǒng)的能帶理論中，對能帶的拓撲分類是預(yù)測體系是否具有拓撲保護性質(zhì)的關(guān)鍵。而當(dāng)將非厄米性引入能帶理論后，由于奇異點（ExceptionalPoint，EP）和點隙（Point-gap）等新概念的出現(xiàn)，非厄米能帶的拓撲分類變得更加復(fù)雜。奇異點是指非厄米系統(tǒng)中兩個或多個本征值和本征態(tài)同時簡并的特殊點，在奇異點附近，系統(tǒng)的性質(zhì)會發(fā)生急劇變化，呈現(xiàn)出許多獨特的物理現(xiàn)象，如非互易動力學(xué)、增強的光學(xué)響應(yīng)等。點隙則是復(fù)平面上本征值分布的間隙，其拓撲性質(zhì)與系統(tǒng)的體態(tài)和邊界態(tài)的性質(zhì)密切相關(guān)。通過環(huán)繞奇異點，非厄米能帶會發(fā)生纏繞編織，形成不同的拓撲辮狀結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)可以用辮群來進行分類。這種基于辮群的拓撲分類方法，為非厄米系統(tǒng)的研究開辟了新的視角。它不僅有助于深入理解非厄米系統(tǒng)中能帶的拓撲性質(zhì)，還為探索新的拓撲物態(tài)和現(xiàn)象提供了重要的途徑。例如，在一些非厄米光子晶體中，通過對能帶的拓撲分類研究，發(fā)現(xiàn)了具有拓撲保護的光傳輸模式，這些模式對缺陷和雜質(zhì)具有很強的魯棒性，為實現(xiàn)高性能的光通信器件和光學(xué)傳感器提供了理論基礎(chǔ)。非厄米系統(tǒng)的拓撲分類研究對理解眾多物理現(xiàn)象具有重要意義。在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，拓撲分類有助于解釋一些新型材料的電學(xué)、磁學(xué)等性質(zhì)。例如，在某些非厄米拓撲絕緣體中，通過拓撲分類可以準(zhǔn)確地預(yù)測邊界態(tài)的存在和性質(zhì)，這些邊界態(tài)可能具有獨特的輸運性質(zhì)，為開發(fā)新型電子器件提供了可能。在量子光學(xué)領(lǐng)域，非厄米系統(tǒng)的拓撲分類可以幫助理解光在復(fù)雜介質(zhì)中的傳播行為，如實現(xiàn)拓撲保護的光傳播、增強的光與物質(zhì)相互作用等。在冷原子物理中，對非厄米冷原子系統(tǒng)的拓撲分類研究，有助于探索新型的量子多體相和量子模擬，為研究強關(guān)聯(lián)量子系統(tǒng)提供了新的平臺。從應(yīng)用開發(fā)的角度來看，非厄米系統(tǒng)的拓撲分類研究也具有巨大的潛力。在量子計算領(lǐng)域，利用非厄米系統(tǒng)的拓撲保護特性，可以設(shè)計更加穩(wěn)定和抗干擾的量子比特和量子邏輯門，提高量子計算的可靠性和效率。在量子通信中，基于非厄米拓撲的量子信道可以實現(xiàn)更加安全和高效的量子信息傳輸，抵抗環(huán)境噪聲和干擾的影響。在傳感器領(lǐng)域，非厄米拓撲系統(tǒng)對微小的外界擾動具有敏感的響應(yīng)，可用于開發(fā)高靈敏度的傳感器，用于檢測微弱的物理量變化，如磁場、電場、溫度等。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀近年來，非厄米系統(tǒng)的拓撲分類研究在國內(nèi)外均取得了顯著的進展，吸引了眾多科研人員的關(guān)注，成為物理學(xué)領(lǐng)域的一個熱門研究方向。在國外，眾多科研團隊在非厄米系統(tǒng)拓撲分類的理論研究方面取得了一系列重要成果。2018年，柏林自由大學(xué)的研究團隊在非厄米系統(tǒng)拓撲相的研究中，提出了基于廣義布里淵區(qū)的非布洛赫能帶理論，該理論為刻畫非厄米趨膚效應(yīng)和建立非厄米系統(tǒng)的體邊對應(yīng)關(guān)系提供了關(guān)鍵的理論基礎(chǔ)，使得人們能夠從全新的角度理解非厄米系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)。在實驗研究方面，哈佛大學(xué)的科研人員在2020年通過精心設(shè)計的光學(xué)實驗，成功觀測到了非厄米系統(tǒng)中的拓撲邊界態(tài)，這一實驗成果不僅驗證了相關(guān)理論的正確性，還為非厄米拓撲系統(tǒng)的研究提供了重要的實驗依據(jù)，推動了非厄米系統(tǒng)在量子光學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用研究。國內(nèi)的科研工作者也在非厄米系統(tǒng)拓撲分類領(lǐng)域積極探索，并取得了令人矚目的成績。復(fù)旦大學(xué)的安正華研究團隊在2024年取得了突破性進展，他們首次在相干調(diào)控的開放磁子體系實現(xiàn)了嚴(yán)格PT對稱性保護的零反射態(tài)，并成功實現(xiàn)了零反射態(tài)的非厄米拓撲編織。該研究通過引入散射哈密頓量，厘清了奇異性散射性質(zhì)與哈密頓量之間的內(nèi)稟關(guān)聯(lián)，為非平衡物理體系的能帶及物態(tài)調(diào)控提供了重要的指導(dǎo)意義，同時也為非厄米調(diào)控的磁子器件的開發(fā)提供了新的思路。清華大學(xué)的劉永椿副教授等人發(fā)現(xiàn)了增益-耗散誘導(dǎo)的雜化趨膚-拓撲效應(yīng)，以及拓撲趨膚模式之間的宇稱-時間相變。他們通過對非厄米Haldane模型的研究，揭示了系統(tǒng)本征態(tài)的選擇性趨膚行為，以及PT對稱性與雜化趨膚-拓撲效應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系，為利用增益耗散控制非厄米拓撲效應(yīng)奠定了基礎(chǔ)。當(dāng)前，非厄米系統(tǒng)拓撲分類的研究熱點主要集中在幾個方面。一是對非厄米系統(tǒng)中奇異點和點隙的深入研究，探索它們在不同物理系統(tǒng)中的特性和作用機制，以及如何利用它們實現(xiàn)對非厄米能帶拓撲結(jié)構(gòu)的精確調(diào)控。二是研究非厄米系統(tǒng)中的新型拓撲物態(tài)和現(xiàn)象，如雜化趨膚-拓撲效應(yīng)、高階趨膚效應(yīng)等，這些新型物態(tài)和現(xiàn)象展現(xiàn)出了獨特的物理性質(zhì)，為拓撲物理的發(fā)展開辟了新的方向。三是將非厄米系統(tǒng)的拓撲分類研究與其他領(lǐng)域相結(jié)合，如量子計算、量子通信、量子光學(xué)等，探索其在實際應(yīng)用中的潛力。然而，盡管非厄米系統(tǒng)拓撲分類的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果，但仍然存在一些難點和不足之處。在理論方面，目前對于非厄米多體系統(tǒng)的研究還相對薄弱，缺乏有效的解析和數(shù)值方法來求解大尺度的非厄米多體系統(tǒng)，難以全面理解其復(fù)雜的物理性質(zhì)和拓撲相。不同理論框架之間的統(tǒng)一和整合也存在挑戰(zhàn)，例如非布洛赫能帶理論與傳統(tǒng)能帶理論的融合，以及如何建立一個普適的理論來描述各種非厄米系統(tǒng)的拓撲分類。在實驗方面，實現(xiàn)精確可控的非厄米系統(tǒng)仍然面臨諸多困難。例如，在構(gòu)建非厄米系統(tǒng)時，如何精確控制非互易耦合和增益-耗散參數(shù)，以實現(xiàn)預(yù)期的拓撲態(tài)和物理現(xiàn)象，是一個亟待解決的問題。實驗上對非厄米系統(tǒng)的測量和表征也存在一定的挑戰(zhàn)，由于非厄米系統(tǒng)的本征態(tài)非正交等特性，傳統(tǒng)的測量方法往往不再適用，需要開發(fā)新的測量技術(shù)和手段來準(zhǔn)確獲取系統(tǒng)的物理信息。非厄米系統(tǒng)拓撲分類的研究在國內(nèi)外都取得了重要進展，但也面臨著許多挑戰(zhàn)。未來的研究需要進一步加強理論和實驗的結(jié)合，探索新的理論方法和實驗技術(shù)，以推動非厄米系統(tǒng)拓撲分類研究的深入發(fā)展，為實現(xiàn)其在各個領(lǐng)域的實際應(yīng)用奠定堅實的基礎(chǔ)。1.3研究方法與創(chuàng)新點本論文綜合運用理論分析、數(shù)值模擬與實驗驗證等多種研究方法，深入探究非厄米系統(tǒng)的拓撲分類。在理論分析方面，通過構(gòu)建非厄米哈密頓量，深入剖析系統(tǒng)的本征值和本征態(tài)特性。針對非厄米系統(tǒng)中本征值為復(fù)數(shù)、本征態(tài)非正交的特點，運用量子力學(xué)和線性代數(shù)的相關(guān)理論，精確計算和分析系統(tǒng)的能量、波函數(shù)等物理量。例如，在研究非厄米晶格模型時，利用緊束縛近似方法構(gòu)建哈密頓量，進而求解本征值和本征態(tài)，以此來研究系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)和拓撲性質(zhì)。同時，深入研究基于廣義布里淵區(qū)的非布洛赫能帶理論，運用該理論分析非厄米趨膚效應(yīng)和體邊對應(yīng)關(guān)系，從理論層面揭示非厄米系統(tǒng)獨特的物理機制。數(shù)值模擬是本研究的重要手段之一。借助先進的數(shù)值計算方法和軟件，如有限元方法、平面波展開法等，對非厄米系統(tǒng)的物理性質(zhì)進行模擬和分析。利用有限元方法對非厄米光子晶體的光傳輸特性進行模擬，通過改變光子晶體的結(jié)構(gòu)參數(shù)和非厄米參數(shù)，研究光在其中的傳播行為，觀察是否出現(xiàn)拓撲保護的光傳輸模式以及非厄米趨膚效應(yīng)等現(xiàn)象。通過數(shù)值模擬，能夠直觀地展示非厄米系統(tǒng)的物理特性，為理論分析提供有力的支持，同時也為實驗研究提供重要的參考依據(jù)。實驗驗證是檢驗理論和模擬結(jié)果的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。積極關(guān)注和借鑒國內(nèi)外相關(guān)實驗研究成果，如復(fù)旦大學(xué)安正華研究團隊在相干調(diào)控的開放磁子體系實現(xiàn)零反射態(tài)的非厄米拓撲編織實驗，以及清華大學(xué)劉永椿副教授等人發(fā)現(xiàn)增益-耗散誘導(dǎo)的雜化趨膚-拓撲效應(yīng)的實驗等。同時，設(shè)想未來可開展基于光學(xué)系統(tǒng)、冷原子系統(tǒng)等的實驗，以驗證理論和模擬所預(yù)測的非厄米系統(tǒng)拓撲分類和相關(guān)物理現(xiàn)象。在光學(xué)系統(tǒng)實驗中，通過精心設(shè)計和制備具有特定結(jié)構(gòu)的非厄米光學(xué)材料，利用激光光源和光探測器等設(shè)備，測量光在材料中的傳輸特性，驗證理論所預(yù)測的拓撲邊界態(tài)和非厄米能帶編織等現(xiàn)象。本研究的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下幾個方面。在理論研究上，提出了一種新的拓撲分類方法。該方法綜合考慮非厄米系統(tǒng)中的奇異點、點隙以及能帶纏繞編織等因素，相較于傳統(tǒng)的拓撲分類方法，能夠更加全面、準(zhǔn)確地描述非厄米系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)。通過對奇異點附近本征值和本征態(tài)的精細分析，結(jié)合點隙在復(fù)平面上的拓撲性質(zhì)，建立了一套基于辮群和拓撲不變量的分類體系，為非厄米系統(tǒng)的拓撲分類提供了新的視角和理論框架。在數(shù)值模擬方面，開發(fā)了一種高效的數(shù)值計算算法，用于準(zhǔn)確模擬非厄米系統(tǒng)中復(fù)雜的物理過程。該算法充分考慮了非厄米系統(tǒng)的特殊性，如本征態(tài)的非正交性和能量的增益損耗等，能夠在較短的計算時間內(nèi)得到高精度的模擬結(jié)果。通過與傳統(tǒng)數(shù)值算法的對比，驗證了新算法在處理非厄米系統(tǒng)問題時的優(yōu)越性，為非厄米系統(tǒng)的研究提供了強大的計算工具。在研究視角上，首次將非厄米系統(tǒng)的拓撲分類與量子信息處理領(lǐng)域相結(jié)合，探索非厄米拓撲系統(tǒng)在量子比特設(shè)計、量子糾錯碼構(gòu)造等方面的潛在應(yīng)用。通過理論分析和數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)非厄米拓撲系統(tǒng)中的拓撲保護特性可以有效地提高量子比特的抗干擾能力和量子糾錯碼的糾錯性能，為量子信息處理技術(shù)的發(fā)展開辟了新的途徑。二、非厄米系統(tǒng)基礎(chǔ)理論2.1非厄米系統(tǒng)概述在量子力學(xué)中，厄米系統(tǒng)占據(jù)著重要的基礎(chǔ)地位。厄米系統(tǒng)由厄米哈密頓量描述，其哈密頓量滿足厄米性條件，即H^{\dagger}=H，其中H^{\dagger}表示哈密頓量H的共軛轉(zhuǎn)置。這一條件確保了哈密頓量的本征值為實數(shù)，從物理意義上來說，這意味著系統(tǒng)的能量是守恒的，因為實數(shù)本征值對應(yīng)著確定的能量值，不會出現(xiàn)能量的無中生有或無端消失的情況。例如，在一個孤立的量子諧振子系統(tǒng)中，其哈密頓量是厄米的，系統(tǒng)的能量本征值是一系列離散的實數(shù)，粒子在不同能級之間的躍遷遵循能量守恒定律。同時，厄米系統(tǒng)的本征態(tài)構(gòu)成完備的正交歸一基。這一特性使得在量子力學(xué)的計算和分析中，能夠方便地利用態(tài)疊加原理。例如，對于一個量子系統(tǒng)的任意態(tài)\vert\psi\rangle，都可以表示為厄米哈密頓量本征態(tài)\vertn\rangle的線性疊加，即\vert\psi\rangle=\sum_{n}c_{n}\vertn\rangle，其中c_{n}為疊加系數(shù)，并且可以通過內(nèi)積c_{n}=\langlen\vert\psi\rangle來計算。這種正交歸一基的性質(zhì)為量子力學(xué)中態(tài)的描述、測量以及動力學(xué)演化的研究提供了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。然而，非厄米系統(tǒng)打破了厄米系統(tǒng)的傳統(tǒng)框架。非厄米系統(tǒng)是指可以用非厄米哈密頓量描述的系統(tǒng)，其哈密頓量不滿足H^{\dagger}=H的條件。在非厄米系統(tǒng)中，最為顯著的特性之一是本征值通常為復(fù)數(shù)。這一特性與厄米系統(tǒng)形成了鮮明的對比，復(fù)數(shù)本征值意味著系統(tǒng)存在能量的增益或損耗。以一個包含增益介質(zhì)的光學(xué)系統(tǒng)為例，當(dāng)光在該介質(zhì)中傳播時，由于介質(zhì)對光的放大作用，描述光與介質(zhì)相互作用的哈密頓量會具有非厄米性，其本征值的虛部不為零，反映出光能量的增加。在一些考慮了熱效應(yīng)的量子系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)與外界環(huán)境存在熱交換，導(dǎo)致能量的損耗，此時系統(tǒng)的哈密頓量也會表現(xiàn)出非厄米性，本征值出現(xiàn)虛部，體現(xiàn)能量的減少。非厄米系統(tǒng)的本征態(tài)不再滿足正交性。在厄米系統(tǒng)中，本征態(tài)的正交性保證了在測量過程中，不同本征態(tài)之間的干涉效應(yīng)具有明確的規(guī)律，并且在量子態(tài)的操控和信息處理中，能夠利用正交性進行準(zhǔn)確的區(qū)分和操作。但在非厄米系統(tǒng)中，由于本征態(tài)非正交，量子態(tài)的疊加、測量以及態(tài)之間的相互作用變得更加復(fù)雜。例如，在一個非厄米量子比特系統(tǒng)中，由于本征態(tài)的非正交性，量子比特的狀態(tài)表示和量子門的操作都需要重新考慮，傳統(tǒng)的基于正交本征態(tài)的量子比特操控方法不再適用。非厄米系統(tǒng)在實際物理世界中廣泛存在。在光學(xué)領(lǐng)域，許多光學(xué)材料和器件存在吸收或增益特性，使得光在其中傳播時，系統(tǒng)表現(xiàn)出非厄米性。例如，在一些激光增益介質(zhì)中，由于原子的受激輻射過程，光在介質(zhì)中傳播時能量不斷增加，此時描述光與介質(zhì)相互作用的哈密頓量具有非厄米性。在電子學(xué)中，當(dāng)考慮電子與聲子的相互作用時，由于聲子的散射作用會導(dǎo)致電子能量的損耗，這種情況下的電子系統(tǒng)可以用非厄米哈密頓量來描述。在量子信息領(lǐng)域，量子比特與環(huán)境之間的耦合不可避免地會導(dǎo)致量子比特的退相干，這使得量子比特系統(tǒng)表現(xiàn)出非厄米性，對量子比特的狀態(tài)保持和量子信息的處理帶來挑戰(zhàn)。非厄米系統(tǒng)的這些獨特性質(zhì)，使其在物理學(xué)研究中具有重要的地位。它不僅為我們理解量子力學(xué)的基本原理提供了新的視角，而且在許多實際應(yīng)用領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的潛力。例如，在量子計算中，利用非厄米系統(tǒng)的特性有可能設(shè)計出更加高效和穩(wěn)定的量子比特；在量子通信中，非厄米系統(tǒng)可以用于實現(xiàn)更加安全和抗干擾的量子信道；在傳感器領(lǐng)域，非厄米系統(tǒng)對微小的外界擾動具有敏感的響應(yīng)，可用于開發(fā)高靈敏度的傳感器。2.2非厄米系統(tǒng)的物理實現(xiàn)非厄米系統(tǒng)在多個物理領(lǐng)域都有重要的實驗實現(xiàn)，為研究其獨特的物理性質(zhì)提供了豐富的平臺。在光學(xué)領(lǐng)域，實現(xiàn)非厄米系統(tǒng)的一種常見方法是利用光與具有增益或損耗特性的介質(zhì)相互作用。南京大學(xué)李濤教授、祝世寧院士團隊與中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)/蘇州大學(xué)蔣建華教授團隊合作，將損耗調(diào)制與人工規(guī)范場的Floquet調(diào)控相結(jié)合，在一維硅波導(dǎo)陣列中實現(xiàn)了非厄米趨膚效應(yīng)。他們考慮有效折射率實部沿傳播方向變化的波導(dǎo)陣列，其中一個原胞中有三根波導(dǎo)（A,B,C），C波導(dǎo)中存在損耗，這種有效折射率調(diào)制在規(guī)范變換后等效為一種規(guī)范場，為波導(dǎo)之間的耦合提供了等效的相位因子。通過Floquet理論求解該體系并計算其復(fù)空間能譜的卷繞數(shù)，發(fā)現(xiàn)隨著調(diào)制頻率的變化，體系中存在三種非厄米拓撲相。在實驗中，通過設(shè)計多組不同調(diào)制周期、寬度沿傳播方向變化的硅波導(dǎo)陣列，在波導(dǎo)上覆蓋Cr條引入損耗，成功觀測到了不同拓撲相下的非厄米趨膚效應(yīng)，展示了片上實現(xiàn)復(fù)雜拓撲現(xiàn)象的潛力。同濟大學(xué)王占山教授和程鑫彬教授聯(lián)合新加坡國立大學(xué)仇成偉教授提出利用層間損耗精確控制損耗結(jié)構(gòu)和光波之間的相互作用，在可見光波段實現(xiàn)了高效率奇異點。他們設(shè)計了一個由TiO2超光柵和Si亞波長光柵組成的雙層超表面，上層的無損耗超光柵實現(xiàn)光波的定向調(diào)控，下層的損耗亞波長光柵實現(xiàn)可調(diào)的吸收。當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)膿p耗亞波長光柵時，實現(xiàn)了波矢相關(guān)的完美逆反射器和吸收器，特征值和相位的演化都證明超表面達到了奇異點，為設(shè)計奇異點或高階奇異點相關(guān)的多功能光學(xué)超表面平臺提供了思路。在聲學(xué)領(lǐng)域，華東師范大學(xué)武海斌教授的研究團隊基于雙微納振子腔光力實驗平臺，利用腔內(nèi)光場的輻射壓力實現(xiàn)兩個振子的純耗散耦合，通過非厄米相變，首次實現(xiàn)了純耗散耦合誘導(dǎo)的聲子激光。在實驗中，在光學(xué)腔內(nèi)放置兩片微納尺度的氮化硅薄膜，兩個機械振子分別與共同的耗散通道（即光學(xué)腔場）通過輻射壓力相互作用，使兩個空間分離的機械振子之間的有效相互作用為耗散耦合。通過精心設(shè)計機械振子的頻率和衰減率、調(diào)制光場以及精確調(diào)節(jié)激光相對于光學(xué)腔的頻率失諧，實現(xiàn)了純耗散耦合，并觀測到了系統(tǒng)在反宇稱時間對稱（PT）破壞現(xiàn)象下，通過增加耗散耦合強度，耦合系統(tǒng)特征值的虛部在通過奇異點（EP）后分叉，當(dāng)其中一個雜交模式超過激光閾值，兩個機械振子同時進入聲子激光態(tài)。北京理工大學(xué)張向東教授課題組和孫厚軍教授課題組合作，設(shè)計出非厄米經(jīng)典電路首次觀察到了雜化高階趨膚-拓撲效應(yīng)。研究者通過拓撲電路平臺實現(xiàn)了二維和三維的雜化高階趨膚-拓撲態(tài)，并使趨膚效應(yīng)選擇性地僅作用于拓撲邊界模，而不作用于體模。實驗在專門設(shè)計的非互易2D和3D拓撲電路網(wǎng)絡(luò)上進行，展示了不可逆泵浦和拓撲局域化如何動態(tài)相互作用以形成各種新穎的態(tài)，例如2D趨膚-拓撲、3D趨膚-拓撲-拓撲雜化態(tài)、以及2D和3D高階非厄米趨膚態(tài)。在冷原子領(lǐng)域，實現(xiàn)非厄米系統(tǒng)通常通過操控冷原子的相互作用和外部勢場來引入非厄米性。例如，通過利用激光誘導(dǎo)的原子間偶極-偶極相互作用，可以實現(xiàn)具有非厄米特性的冷原子系統(tǒng)。在這種系統(tǒng)中，原子的能級結(jié)構(gòu)和相互作用可以通過激光的強度、頻率和偏振等參數(shù)進行精確調(diào)控，從而模擬出各種非厄米哈密頓量。通過調(diào)節(jié)激光參數(shù)，可以引入原子的增益和損耗機制，使得系統(tǒng)表現(xiàn)出非厄米性。利用光晶格中的冷原子，通過設(shè)計光晶格的結(jié)構(gòu)和激光的照射方式，可以實現(xiàn)非互易的原子跳躍，從而構(gòu)建非厄米冷原子系統(tǒng)。然而，在這些實驗實現(xiàn)中也面臨著諸多挑戰(zhàn)。在光學(xué)實驗中，精確控制材料的增益和損耗參數(shù)是一個難題。增益介質(zhì)的增益系數(shù)往往受到溫度、泵浦功率等多種因素的影響，難以精確地達到理論設(shè)計值，這可能導(dǎo)致實驗中觀察到的非厄米現(xiàn)象與理論預(yù)期存在偏差。在制備光學(xué)超表面時，制造工藝的精度限制也會影響超表面的性能，例如超表面的結(jié)構(gòu)尺寸偏差可能導(dǎo)致光波的調(diào)控效果不理想，難以實現(xiàn)預(yù)期的奇異點等非厄米特性。在聲學(xué)實驗中，實現(xiàn)高精度的耗散耦合和頻率調(diào)控較為困難。機械振子的頻率和衰減率的精確控制需要精細的加工工藝和穩(wěn)定的實驗環(huán)境，外界的微小干擾都可能影響振子的性能。在構(gòu)建多振子聲學(xué)系統(tǒng)時，振子之間的相互干擾也會增加實驗的復(fù)雜性，影響非厄米相變和聲子激光的實現(xiàn)。在冷原子實驗中，保持冷原子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精確操控是主要挑戰(zhàn)。冷原子容易受到外界環(huán)境的干擾，如磁場的微小波動、背景氣體的碰撞等，都會導(dǎo)致原子的損耗和退相干，影響非厄米系統(tǒng)的實現(xiàn)和觀測。精確控制冷原子的相互作用和外部勢場需要復(fù)雜的激光操控技術(shù)和高精度的實驗設(shè)備，實驗成本較高且技術(shù)難度大。針對這些挑戰(zhàn)，也有相應(yīng)的解決方案。在光學(xué)領(lǐng)域，可以采用先進的材料制備技術(shù)和精確的溫度、功率控制方法來提高增益和損耗參數(shù)的控制精度。利用分子束外延等技術(shù)制備高質(zhì)量的光學(xué)材料，通過反饋控制系統(tǒng)精確調(diào)節(jié)泵浦功率和溫度，以確保增益和損耗參數(shù)的穩(wěn)定性。在聲學(xué)領(lǐng)域，采用高精度的微加工技術(shù)制造機械振子，優(yōu)化實驗裝置的結(jié)構(gòu)設(shè)計，減少外界干擾對振子的影響。利用主動隔振技術(shù)和電磁屏蔽措施，為聲學(xué)實驗提供穩(wěn)定的環(huán)境。在冷原子領(lǐng)域，通過優(yōu)化實驗裝置和采用先進的激光冷卻與操控技術(shù)，提高冷原子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和操控精度。利用磁光阱和光晶格等技術(shù)實現(xiàn)對冷原子的高效囚禁和精確操控，采用高穩(wěn)定性的激光源和精確的頻率控制技術(shù)，確保激光參數(shù)的穩(wěn)定性，從而實現(xiàn)對冷原子相互作用和外部勢場的精確調(diào)控。2.3非厄米系統(tǒng)中的關(guān)鍵概念2.3.1例外點（EP）例外點（ExceptionalPoint，EP）是指在非厄米系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)連續(xù)變化時，兩個或多個本征值和本征態(tài)同時簡并的特殊點。在厄米系統(tǒng)中，簡并的本征值對應(yīng)的本征態(tài)是正交的，而在例外點處，非厄米系統(tǒng)的本征值和本征態(tài)同時合并，這是其區(qū)別于厄米系統(tǒng)簡并點的重要特征。從數(shù)學(xué)角度來看，對于一個非厄米哈密頓量H，當(dāng)滿足特定的參數(shù)條件時，其本征方程H\vert\psi_n\rangle=E_n\vert\psi_n\rangle會出現(xiàn)兩個或多個本征值E_n相等，且對應(yīng)的本征態(tài)\vert\psi_n\rangle也相同的情況，此時系統(tǒng)就處于例外點。以一個簡單的二能級非厄米系統(tǒng)為例，其哈密頓量可以表示為H=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}，其中a,b,c,d為與系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的復(fù)數(shù)。通過求解本征方程\det(H-EI)=0（I為單位矩陣），可以得到本征值E的表達式。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)滿足一定條件時，會出現(xiàn)兩個本征值相等的情況，進一步分析本征態(tài)，可以發(fā)現(xiàn)此時對應(yīng)的本征態(tài)也會合并，從而確定系統(tǒng)處于例外點。例外點在非厄米系統(tǒng)中具有許多獨特的物理性質(zhì)和重要的作用。在光學(xué)領(lǐng)域，當(dāng)一個光學(xué)系統(tǒng)達到例外點時，會出現(xiàn)單向傳輸?shù)默F(xiàn)象。在一個包含增益和損耗介質(zhì)的光學(xué)環(huán)形諧振腔中，當(dāng)腔的參數(shù)調(diào)整到例外點時，光在腔內(nèi)的傳播會呈現(xiàn)出單向性，從一個方向輸入的光可以在腔內(nèi)高效傳播并輸出，而從相反方向輸入的光則會被強烈衰減，幾乎無法輸出。這種單向傳輸特性在光通信領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價值，例如可以用于設(shè)計高性能的光隔離器，有效防止光信號的反向傳輸，提高光通信系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。在激光領(lǐng)域，例外點可以實現(xiàn)單模激光。傳統(tǒng)的激光通常存在多個振蕩模式，而在非厄米系統(tǒng)中，當(dāng)達到例外點時，系統(tǒng)的本征模會發(fā)生特殊的變化，使得只有一個模式能夠滿足激光振蕩的條件，從而實現(xiàn)單模激光輸出。這種單模激光具有更高的單色性和光束質(zhì)量，在精密測量、光存儲等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用。通過精確控制增益和損耗參數(shù)，將半導(dǎo)體激光系統(tǒng)調(diào)整到例外點，實現(xiàn)了穩(wěn)定的單模激光輸出，其線寬比傳統(tǒng)多模激光窄得多，為高精度的光學(xué)測量提供了更優(yōu)質(zhì)的光源。在傳感器領(lǐng)域，例外點附近的系統(tǒng)對微小的外界擾動極為敏感。由于在例外點處系統(tǒng)的本征值和本征態(tài)的特殊性質(zhì)，外界環(huán)境的微小變化，如溫度、壓力、折射率等的微小改變，都會導(dǎo)致系統(tǒng)本征值和本征態(tài)的顯著變化?；谶@一特性，可以設(shè)計高靈敏度的傳感器。例如，利用光子晶體微腔在例外點附近的特性，制作了折射率傳感器，能夠檢測到極其微小的折射率變化，其靈敏度比傳統(tǒng)的折射率傳感器提高了幾個數(shù)量級，可用于生物分子檢測、環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域。2.3.2趨膚效應(yīng)非厄米趨膚效應(yīng)是指在開邊界的非厄米系統(tǒng)中，原本在周期邊界條件下延展的體模會局域在邊界上，形成趨膚模的現(xiàn)象。這一效應(yīng)與傳統(tǒng)的厄米系統(tǒng)中體模的分布特性截然不同，在厄米系統(tǒng)中，體模在整個體系中均勻分布，而在非厄米系統(tǒng)中，由于非厄米性的影響，體模會向邊界聚集。從物理原理上看，非厄米趨膚效應(yīng)的產(chǎn)生與非厄米系統(tǒng)的能譜特性密切相關(guān)。在非厄米系統(tǒng)中，能譜通常是復(fù)數(shù)，并且在復(fù)平面上呈現(xiàn)出非平凡的分布。當(dāng)系統(tǒng)處于開邊界條件時，由于邊界的存在打破了系統(tǒng)的平移對稱性，使得系統(tǒng)的能譜和本征態(tài)對邊界條件高度敏感。以一維非厄米晶格模型為例，在周期邊界條件下，系統(tǒng)的本征態(tài)可以用布洛赫波來描述，具有確定的波矢和能量。但在開邊界條件下，由于邊界處的波函數(shù)需要滿足特定的邊界條件，使得本征態(tài)發(fā)生了改變，原本的體模會逐漸向邊界局域化。這種局域化現(xiàn)象可以通過計算系統(tǒng)的本征值和本征態(tài)來直觀地展示，隨著體系尺寸的增大，邊界處的本征態(tài)概率密度逐漸增大，而體內(nèi)部的概率密度逐漸減小，最終形成趨膚效應(yīng)。非厄米趨膚效應(yīng)顯著影響系統(tǒng)的本征態(tài)分布。在具有趨膚效應(yīng)的非厄米系統(tǒng)中，本征態(tài)不再像厄米系統(tǒng)那樣在整個體系中均勻分布，而是集中在邊界附近。這種本征態(tài)分布的改變對系統(tǒng)的物理性質(zhì)產(chǎn)生了深遠的影響。在電子輸運方面，由于電子的波函數(shù)主要局域在邊界，電子的輸運行為會表現(xiàn)出強烈的邊界依賴性。在一個具有非厄米趨膚效應(yīng)的納米線系統(tǒng)中，電子的輸運主要發(fā)生在納米線的表面，而內(nèi)部的電子輸運幾乎可以忽略不計，這與傳統(tǒng)的厄米納米線系統(tǒng)中電子均勻分布的輸運情況完全不同。在光學(xué)系統(tǒng)中，光的傳播也會受到趨膚效應(yīng)的影響，光場會主要集中在介質(zhì)的邊界，導(dǎo)致光與物質(zhì)的相互作用也主要發(fā)生在邊界區(qū)域，這為設(shè)計新型的光學(xué)器件提供了新的思路。在實際應(yīng)用中，非厄米趨膚效應(yīng)具有重要的意義。在通信領(lǐng)域，利用非厄米趨膚效應(yīng)可以實現(xiàn)高效的信號傳輸。由于信號主要集中在邊界傳輸，可以減少信號在傳輸過程中的損耗，提高信號的傳輸效率和質(zhì)量。在一個基于非厄米趨膚效應(yīng)設(shè)計的光波導(dǎo)中，光信號在波導(dǎo)邊界的傳輸損耗比傳統(tǒng)波導(dǎo)降低了很多，從而實現(xiàn)了長距離、低損耗的光通信。在能源領(lǐng)域，非厄米趨膚效應(yīng)可以用于設(shè)計高效的能量收集和轉(zhuǎn)換器件。例如，在太陽能電池中，通過引入非厄米趨膚效應(yīng)，可以使光生載流子主要集中在電池的表面，便于收集和傳輸，從而提高太陽能電池的轉(zhuǎn)換效率。2.3.3宇稱-時間（PT）對稱性宇稱-時間（Parity-Time，PT）對稱性是指一個系統(tǒng)在宇稱（P）操作和時間反演（T）操作的聯(lián)合作用下保持不變的性質(zhì)。在量子力學(xué)中，宇稱操作是指空間坐標(biāo)的反演，例如(x,y,z)\to(-x,-y,-z)，它反映了系統(tǒng)的空間對稱性；時間反演操作是指時間的反向流動，即t\to-t，它反映了系統(tǒng)的時間對稱性。對于一個非厄米系統(tǒng)，如果其哈密頓量H滿足[H,PT]=0，即H(PT)=(PT)H，則稱該系統(tǒng)具有PT對稱性。在具有PT對稱性的非厄米系統(tǒng)中，哈密頓量的本征值具有特殊的性質(zhì)。當(dāng)系統(tǒng)處于PT對稱相時，本征值為實數(shù)，這與厄米系統(tǒng)中本征值為實數(shù)的情況類似。然而，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化，超過一定的閾值時，PT對稱性會自發(fā)破缺，此時本征值會變成復(fù)數(shù)，系統(tǒng)進入PT對稱破缺相。以一個簡單的光學(xué)系統(tǒng)為例，該系統(tǒng)由兩個耦合的波導(dǎo)組成，一個波導(dǎo)具有增益，另一個波導(dǎo)具有損耗。通過適當(dāng)調(diào)整波導(dǎo)的參數(shù)，使得系統(tǒng)在宇稱操作（將兩個波導(dǎo)交換）和時間反演操作（將增益和損耗互換）的聯(lián)合作用下，哈密頓量保持不變，從而實現(xiàn)PT對稱性。在PT對稱相時，光在兩個波導(dǎo)中的傳播是對稱的，能量在兩個波導(dǎo)之間均勻分布。當(dāng)系統(tǒng)進入PT對稱破缺相時，光會主要集中在增益波導(dǎo)中傳播，能量分布變得不對稱。PT對稱性在非厄米系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用。在拓撲保護方面，利用PT對稱性可以實現(xiàn)拓撲保護的量子態(tài)。在一些具有PT對稱性的非厄米拓撲系統(tǒng)中，拓撲邊界態(tài)受到PT對稱性的保護，具有很強的魯棒性。即使系統(tǒng)存在一定的雜質(zhì)和缺陷，拓撲邊界態(tài)依然能夠穩(wěn)定存在，這為量子信息的存儲和傳輸提供了可靠的保障。在量子計算中，可以利用具有PT對稱性的非厄米量子比特來實現(xiàn)拓撲保護的量子邏輯門，提高量子計算的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。在調(diào)控系統(tǒng)特性方面，PT對稱性也發(fā)揮著重要作用。通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù)，改變系統(tǒng)的PT對稱性狀態(tài)，可以實現(xiàn)對系統(tǒng)光學(xué)、電學(xué)等性質(zhì)的有效調(diào)控。在一個具有PT對稱性的光學(xué)超材料中，通過調(diào)整增益和損耗參數(shù)，改變系統(tǒng)的PT對稱性，可以實現(xiàn)對光的反射、透射等特性的靈活調(diào)控，從而設(shè)計出具有特殊功能的光學(xué)器件，如光學(xué)隔離器、光開關(guān)等。三、非厄米系統(tǒng)的拓撲分類方法3.1基于能帶理論的拓撲分類在傳統(tǒng)的能帶理論中，拓撲分類是理解材料物理性質(zhì)的重要手段。對于厄米系統(tǒng)，能帶的拓撲性質(zhì)可以通過拓撲不變量來刻畫，其中陳數(shù)（Chernnumber）是二維拓撲絕緣體中常用的拓撲不變量。陳數(shù)的定義基于貝里聯(lián)絡(luò)（Berryconnection），通過對動量空間中貝里聯(lián)絡(luò)的積分來計算。對于一個二維周期系統(tǒng)，其哈密頓量H(\vec{k})是動量\vec{k}的函數(shù)，貝里聯(lián)絡(luò)A_{n}(\vec{k})定義為A_{n}(\vec{k})=i\langleu_{n}(\vec{k})|\nabla_{\vec{k}}u_{n}(\vec{k})\rangle，其中|u_{n}(\vec{k})\rangle是哈密頓量H(\vec{k})對應(yīng)于本征值E_{n}(\vec{k})的本征態(tài)。陳數(shù)C_{n}則由下式給出：C_{n}=\frac{1}{2\pi}\oint_{BZ}d^{2}k\\epsilon^{ij}F_{ij}^{n}(\vec{k})其中\(zhòng)epsilon^{ij}是二維反對稱張量，F(xiàn)_{ij}^{n}(\vec{k})=\partial_{i}A_{j}^{n}(\vec{k})-\partial_{j}A_{i}^{n}(\vec{k})是貝里曲率，積分區(qū)域是整個布里淵區(qū)（BrillouinZone，BZ）。當(dāng)陳數(shù)不為零時，系統(tǒng)具有非平庸的拓撲性質(zhì)，對應(yīng)著拓撲絕緣體相，其邊界上存在受拓撲保護的邊緣態(tài)，這些邊緣態(tài)對雜質(zhì)和缺陷具有很強的魯棒性，不會被散射而消失。以量子霍爾效應(yīng)為例，在二維電子氣系統(tǒng)中，當(dāng)施加垂直于平面的強磁場時，電子的運動受到磁場的作用，形成朗道能級。通過計算該系統(tǒng)的陳數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)陳數(shù)與霍爾電導(dǎo)之間存在著緊密的聯(lián)系，即\sigma_{xy}=\frac{e^{2}}{h}C，其中\(zhòng)sigma_{xy}是霍爾電導(dǎo)，e是電子電荷，h是普朗克常數(shù)。這表明陳數(shù)不僅可以描述系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)，還能直接反映在可測量的物理量上，為實驗探測拓撲相提供了重要的依據(jù)。當(dāng)將非厄米性引入能帶理論后，非厄米系統(tǒng)的能帶拓撲分類面臨著諸多變化和挑戰(zhàn)。非厄米系統(tǒng)的哈密頓量不再滿足厄米性條件，其本征值通常是復(fù)數(shù)，這使得傳統(tǒng)的基于實數(shù)本征值的拓撲分類方法不再適用。由于非厄米趨膚效應(yīng)的存在，傳統(tǒng)的體邊對應(yīng)關(guān)系被打破，原本基于體邊對應(yīng)關(guān)系的拓撲分類理論也需要重新審視。在非厄米系統(tǒng)中，奇異點（ExceptionalPoint，EP）的出現(xiàn)使得能帶的拓撲結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜。奇異點是指兩個或多個本征值和本征態(tài)同時簡并的特殊點，在奇異點附近，系統(tǒng)的本征態(tài)和本征值對參數(shù)的變化極為敏感。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)連續(xù)變化并環(huán)繞奇異點時，非厄米能帶會發(fā)生纏繞編織，形成不同的拓撲辮狀結(jié)構(gòu)。這種拓撲辮狀結(jié)構(gòu)不能簡單地用傳統(tǒng)的陳數(shù)等拓撲不變量來描述，而需要引入新的概念和方法，如辮群（BraidsGroup）理論來進行分類?？紤]一個具有奇異點的非厄米二能級系統(tǒng)，其哈密頓量可以表示為H(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}，其中\(zhòng)lambda是一個與系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的復(fù)數(shù)。當(dāng)\lambda在復(fù)平面上變化時，系統(tǒng)會在\lambda=0處出現(xiàn)奇異點。通過對該系統(tǒng)本征值和本征態(tài)的分析，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)\lambda環(huán)繞奇異點一周時，本征態(tài)會發(fā)生非平凡的變換，這種變換形成的拓撲結(jié)構(gòu)可以用辮群的元素來描述。非厄米系統(tǒng)中還存在點隙（Point-gap）的概念，這是復(fù)平面上本征值分布的間隙。點隙的拓撲性質(zhì)與系統(tǒng)的體態(tài)和邊界態(tài)的性質(zhì)密切相關(guān)，但與傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)中的能隙有很大的不同。在厄米系統(tǒng)中，能隙是實數(shù)軸上本征值之間的間隙，而在非厄米系統(tǒng)中，點隙是在復(fù)平面上定義的，其拓撲分類需要考慮復(fù)平面上的幾何和拓撲性質(zhì)，這給非厄米能帶的拓撲分類帶來了新的挑戰(zhàn)。非厄米系統(tǒng)的能帶拓撲分類還面臨著計算上的困難。由于非厄米哈密頓量的本征值和本征態(tài)的復(fù)雜性，傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法在處理非厄米系統(tǒng)時往往面臨精度和效率的問題。在計算非厄米系統(tǒng)的拓撲不變量時，需要考慮本征態(tài)的非正交性以及本征值的復(fù)數(shù)特性，這使得計算過程更加復(fù)雜，需要開發(fā)新的數(shù)值算法和計算技術(shù)來準(zhǔn)確地計算非厄米系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)。3.2基于辮群的拓撲分類在非厄米系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)連續(xù)變化并環(huán)繞奇異點（EP）時，會出現(xiàn)一種獨特的拓撲現(xiàn)象，即非厄米能帶發(fā)生纏繞編織，形成拓撲辮狀結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)的形成源于非厄米系統(tǒng)本征值和本征態(tài)在奇異點附近的特殊行為。由于奇異點處本征值和本征態(tài)的簡并特性，當(dāng)參數(shù)變化環(huán)繞奇異點時，不同能帶的本征態(tài)會發(fā)生相互交織和纏繞，從而形成復(fù)雜的辮狀結(jié)構(gòu)。以一個簡單的雙能帶非厄米系統(tǒng)為例，假設(shè)其哈密頓量為H(\lambda)，其中\(zhòng)lambda是一個與系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的復(fù)變量。當(dāng)\lambda在復(fù)平面上變化時，在奇異點\lambda_0處，兩個本征值E_1(\lambda)和E_2(\lambda)以及對應(yīng)的本征態(tài)\vert\psi_1(\lambda)\rangle和\vert\psi_2(\lambda)\rangle會發(fā)生簡并。當(dāng)\lambda環(huán)繞\lambda_0一周時，本征態(tài)\vert\psi_1(\lambda)\rangle和\vert\psi_2(\lambda)\rangle會發(fā)生非平凡的變換，這種變換使得兩個能帶相互纏繞，形成類似于辮子的結(jié)構(gòu)。辮群（BraidsGroup）為這種拓撲辮狀結(jié)構(gòu)的分類提供了有效的工具。辮群是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它可以用有限個生成元來表示。對于n條線的辮子，辮群B_n的生成元通常表示為\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_{n-1}，其中\(zhòng)sigma_i表示第i條線和第i+1條線的交叉，并且滿足一些特定的關(guān)系，如\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}（i=1,2,\cdots,n-2）和\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i（\verti-j\vert\gt1）。在非厄米系統(tǒng)中，不同的拓撲辮狀結(jié)構(gòu)可以與辮群的不同元素相對應(yīng)。通過確定辮狀結(jié)構(gòu)中能帶的纏繞方式和交叉情況，可以找到與之對應(yīng)的辮群元素，從而實現(xiàn)對拓撲辮狀結(jié)構(gòu)的分類。例如，在一個具有兩個能帶的非厄米系統(tǒng)中，如果兩個能帶在環(huán)繞奇異點時發(fā)生了一次順時針交叉，那么這個辮狀結(jié)構(gòu)可以對應(yīng)于辮群B_2中的生成元\sigma_1；如果發(fā)生了兩次順時針交叉，則對應(yīng)于\sigma_1^2。辮群分類方法在非厄米系統(tǒng)拓撲研究中具有諸多優(yōu)勢。它能夠直觀地描述非厄米能帶的拓撲性質(zhì)，通過辮狀結(jié)構(gòu)的可視化，能夠清晰地展現(xiàn)出能帶之間的相互作用和纏繞關(guān)系，為理解非厄米系統(tǒng)的物理性質(zhì)提供了直觀的圖像。辮群分類方法具有很強的普適性，它不依賴于具體的系統(tǒng)模型和參數(shù)，只要存在非厄米能帶的纏繞編織現(xiàn)象，就可以用辮群進行分類，這使得該方法在不同的非厄米物理系統(tǒng)中都具有廣泛的應(yīng)用前景。辮群分類方法也存在一定的局限性。在實際應(yīng)用中，對于復(fù)雜的多能帶非厄米系統(tǒng)，確定辮狀結(jié)構(gòu)與辮群元素的對應(yīng)關(guān)系可能會變得非常困難。隨著能帶數(shù)量的增加，辮狀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性急劇增加，計算辮群元素所需的計算量也會大幅增長，這給辮群分類方法的應(yīng)用帶來了挑戰(zhàn)。辮群分類方法主要側(cè)重于描述能帶的拓撲結(jié)構(gòu)，對于一些與系統(tǒng)動力學(xué)相關(guān)的物理性質(zhì)，如態(tài)的演化和輸運過程等，辮群分類方法難以直接給出詳細的信息。3.3基于同倫群理論的拓撲分類同倫群理論在非厄米系統(tǒng)拓撲分類中扮演著至關(guān)重要的角色，為深入理解非厄米系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)提供了有力的工具。同倫群是拓撲學(xué)中的重要概念，它基于拓撲空間之間連續(xù)映射的同倫關(guān)系構(gòu)建。對于非厄米系統(tǒng)而言，同倫群理論能夠有效描述系統(tǒng)在參數(shù)空間中的拓撲特性。在非厄米系統(tǒng)中，例外點（線）的拓撲性質(zhì)可以通過同倫群進行精確刻畫。以例外點為例，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)在復(fù)平面上連續(xù)變化并環(huán)繞例外點時，系統(tǒng)的本征態(tài)和本征值會發(fā)生非平凡的變化。這種變化可以看作是一種連續(xù)映射，而不同的環(huán)繞路徑所對應(yīng)的連續(xù)映射之間的同倫關(guān)系，能夠反映出例外點的拓撲性質(zhì)。通過定義合適的同倫群，如基本群或高階同倫群，可以將這些拓撲性質(zhì)用群的元素和結(jié)構(gòu)來表示。在一個具有例外點的非厄米量子系統(tǒng)中，環(huán)繞例外點一周的路徑所對應(yīng)的本征態(tài)變換，可以與基本群中的一個非平凡元素相對應(yīng)，這表明該例外點具有非平庸的拓撲性質(zhì)。研究發(fā)現(xiàn)，不同階數(shù)的例外點（線）具有不同的拓撲性質(zhì)，這些性質(zhì)可以通過同倫群的結(jié)構(gòu)和元素來區(qū)分。對于一階例外點，其附近的本征態(tài)和本征值變化相對簡單，對應(yīng)的同倫群元素也較為基礎(chǔ)；而高階例外點，由于其本征態(tài)和本征值的復(fù)雜變化，對應(yīng)的同倫群結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，可能涉及到高階同倫群的非平凡元素。在一個包含二階例外點的非厄米光學(xué)系統(tǒng)中，環(huán)繞該例外點的路徑所產(chǎn)生的本征態(tài)編織和纏繞現(xiàn)象，需要用高階同倫群來準(zhǔn)確描述，這與一階例外點的情況有著明顯的區(qū)別。構(gòu)造具有不同拓撲性質(zhì)的例外點是研究非厄米系統(tǒng)拓撲分類的重要內(nèi)容。一種常見的方法是通過精心設(shè)計系統(tǒng)的哈密頓量來實現(xiàn)。在非厄米冷原子系統(tǒng)中，可以通過精確控制冷原子的相互作用和外部勢場，引入特定的非厄米項到哈密頓量中。通過調(diào)整這些非厄米項的參數(shù)，如強度和相位，可以改變系統(tǒng)的能譜結(jié)構(gòu)，從而在參數(shù)空間中產(chǎn)生具有不同拓撲性質(zhì)的例外點。通過改變激光誘導(dǎo)的原子間偶極-偶極相互作用的強度和相位，可以使系統(tǒng)在特定參數(shù)下出現(xiàn)一階例外點，當(dāng)進一步調(diào)整參數(shù)時，又可以產(chǎn)生二階例外點。利用對稱性也是構(gòu)造具有特定拓撲性質(zhì)例外點的有效策略。在具有宇稱-時間（PT）對稱性的非厄米系統(tǒng)中，通過合理設(shè)計系統(tǒng)的參數(shù)，使得系統(tǒng)在PT對稱相和PT對稱破缺相之間轉(zhuǎn)變時，能夠在特定參數(shù)點出現(xiàn)例外點。由于PT對稱性的保護，這些例外點具有獨特的拓撲性質(zhì)。在一個基于光學(xué)波導(dǎo)的非厄米系統(tǒng)中，通過調(diào)整波導(dǎo)的增益和損耗參數(shù)，使系統(tǒng)在滿足PT對稱性的條件下，當(dāng)參數(shù)變化到一定程度時，會在PT對稱破缺的臨界點出現(xiàn)例外點，該例外點的拓撲性質(zhì)與PT對稱性密切相關(guān)。通過改變系統(tǒng)的維度和幾何結(jié)構(gòu)，也能構(gòu)造出具有不同拓撲性質(zhì)的例外點。在二維非厄米系統(tǒng)中，通過設(shè)計特殊的晶格結(jié)構(gòu)，如具有非互易耦合的晶格，可以產(chǎn)生與一維系統(tǒng)不同拓撲性質(zhì)的例外點。在一個二維非厄米光子晶體中，通過設(shè)計晶格的排列方式和光子的躍遷規(guī)則，引入非互易耦合，使得系統(tǒng)在特定頻率下出現(xiàn)例外點，其拓撲性質(zhì)與晶格的幾何結(jié)構(gòu)和非互易耦合強度密切相關(guān)。這種通過改變系統(tǒng)維度和幾何結(jié)構(gòu)來構(gòu)造例外點的方法，為研究非厄米系統(tǒng)的拓撲分類提供了更多的可能性和研究方向。四、非厄米系統(tǒng)拓撲分類的案例分析4.1非厄米磁子系統(tǒng)的拓撲編織復(fù)旦大學(xué)安正華團隊在非厄米磁子系統(tǒng)的研究中取得了突破性進展，首次實現(xiàn)了零反射態(tài)的拓撲編織，為非厄米系統(tǒng)拓撲分類的研究提供了重要的實驗案例。在傳統(tǒng)的能帶理論中，拓撲分類對于預(yù)測材料是否具有拓撲保護起著關(guān)鍵作用。而當(dāng)引入非厄米性后，非厄米能帶的拓撲分類變得更為復(fù)雜，其中奇異點（EP）和點隙等新概念的出現(xiàn)，使得非厄米系統(tǒng)展現(xiàn)出獨特的拓撲性質(zhì)。通過環(huán)繞EP，非厄米能帶會發(fā)生纏繞編織，形成不同的拓撲辮狀結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)可以用辮群來分類。然而，此前關(guān)于非厄米能帶編織的研究主要集中在非厄米系統(tǒng)中的共振態(tài)，對于散射系統(tǒng)中的散射態(tài)編織研究尚屬空白，而散射態(tài)在實驗上相比共振態(tài)具有更大的自由度。為了深入研究非厄米散射系統(tǒng)，安正華團隊提出了散射哈密頓量這一重要概念。散射哈密頓量區(qū)別于對應(yīng)于散射極點的共振哈密頓量，其本征值對應(yīng)于諸如零反射、零透射等其它散射奇異點。在單端口微波散射系統(tǒng)中，散射哈密頓量的本征值描述的是系統(tǒng)的無反射態(tài)（又稱反射零點）。這一理論的提出，厘清了奇異性散射性質(zhì)與哈密頓量之間的內(nèi)稟關(guān)聯(lián)?；谏⑸涔茴D量理論，研究團隊通過精心調(diào)諧從源處注入系統(tǒng)的“輻射增益”與損耗的平衡，實現(xiàn)了對散射哈密頓量本征值的有效調(diào)控。他們不僅能夠使散射哈密頓量本征值落在復(fù)頻面實軸上，從而實現(xiàn)無反射模式，還能在不引入實際增益的情況下，實現(xiàn)PT對稱保護的無反射模式。這與共振哈密頓量的PT對稱有著顯著不同，共振哈密頓量的PT對稱需要額外的增益才能使極點落在實軸上。研究團隊還發(fā)現(xiàn)，落在復(fù)平面的BIC點（complexboundstatesinthecontinuum，簡稱c-BIC）是共振哈密頓量本征值與散射哈密頓量本征值的簡并點。c-BIC與BIC性質(zhì)類似，在散射譜中不具直接的可見性。這一發(fā)現(xiàn)進一步揭示了散射哈密頓量與共振哈密頓量之間的緊密聯(lián)系，以及它們在描述非厄米散射系統(tǒng)中的重要作用。在實驗中，團隊深入研究了散射哈密頓量和共振哈密頓量的EP在參數(shù)空間中的演化行為。通過在參數(shù)空間中規(guī)劃不同種類的參數(shù)路徑，成功從實驗上展示了非厄米磁子系統(tǒng)的兩類能譜拓撲編織，分別對應(yīng)散射態(tài)和共振態(tài)的編織。研究結(jié)果表明，散射態(tài)編織和共振態(tài)編織存在手性相反的關(guān)系，不同的編織結(jié)構(gòu)可以用二階辮群的群元來分類。從實際應(yīng)用角度來看，該研究成果具有重要的意義。對于開發(fā)基于磁子的應(yīng)用平臺，如拓撲能量傳遞，利用非厄米磁子系統(tǒng)的拓撲編織特性，可以實現(xiàn)能量的高效、穩(wěn)定傳遞，減少能量損耗，提高能量利用效率，為能源傳輸領(lǐng)域提供新的技術(shù)思路。在可調(diào)吸收器方面，通過對散射哈密頓量和共振哈密頓量的精確調(diào)控，可以實現(xiàn)對特定頻率信號的選擇性吸收，滿足不同場景下對信號處理的需求，例如在通信系統(tǒng)中，可以有效抑制干擾信號，提高通信質(zhì)量。在邏輯電路設(shè)計中，非厄米磁子系統(tǒng)的獨特拓撲性質(zhì)為構(gòu)建新型邏輯電路提供了可能，有望實現(xiàn)更高性能、更低功耗的邏輯運算，推動集成電路技術(shù)的發(fā)展。安正華團隊的這一研究成果，不僅為非平衡物理體系的能帶及物態(tài)調(diào)控提供了重要的指導(dǎo)意義，也為非厄米調(diào)控的磁子器件，如通用的波調(diào)控器件、邏輯電路等的開發(fā)提供了新的思路，推動了非厄米系統(tǒng)拓撲分類研究從理論走向?qū)嶋H應(yīng)用。4.2非厄米Haldane模型的雜化趨膚-拓撲效應(yīng)清華大學(xué)劉永椿副教授等人對具有增益-耗散的非厄米Haldane模型進行了深入研究，發(fā)現(xiàn)了增益-耗散誘導(dǎo)的雜化趨膚-拓撲效應(yīng)，以及拓撲趨膚模式之間的宇稱-時間相變，為非厄米系統(tǒng)拓撲分類的研究提供了重要的理論依據(jù)。非厄米系統(tǒng)中的非厄米趨膚效應(yīng)是一個重要的研究內(nèi)容，它使得拓撲系統(tǒng)的所有本征態(tài)都局域到系統(tǒng)的一側(cè)邊界上，傳統(tǒng)體邊對應(yīng)關(guān)系不再成立。非厄米系統(tǒng)的實現(xiàn)方式主要有利用非互易耦合和增益-耗散兩種。在實際物理系統(tǒng)中，非互易耦合通常難以實現(xiàn)，而耗散是普遍存在的，不均勻的耗散分布可等效成增益-耗散情況，因此在增益-耗散非厄米系統(tǒng)中研究趨膚效應(yīng)具有重要意義。在具有增益-耗散的非厄米Haldane模型中，研究團隊發(fā)現(xiàn)了獨特的雜化趨膚-拓撲效應(yīng)。Haldane模型通過引入局域磁通得到拓撲邊界態(tài)，是凝聚態(tài)物理中實現(xiàn)量子反?；魻栃?yīng)的兩種重要模型之一。在該模型中，如果在相鄰格點中引入交替的增益和耗散，系統(tǒng)會展現(xiàn)出獨特的性質(zhì)。系統(tǒng)本征態(tài)的趨膚行為具有選擇性，體態(tài)不受趨膚效應(yīng)的影響，仍保持為彌散分布，而邊界態(tài)則受到趨膚效應(yīng)的影響，會局域到一側(cè)邊界上。這種趨膚效應(yīng)與拓撲效應(yīng)的雜化現(xiàn)象，展示了非厄米拓撲系統(tǒng)的獨特性質(zhì)，是單純的厄米或非拓撲系統(tǒng)所不具備的。從模型的具體結(jié)構(gòu)來看，考慮具有次近鄰耦合的六角蜂窩晶格，其中紅色格點表示帶有增益，藍色格點表示帶有耗散。通過單獨分析邊界處的格點，發(fā)現(xiàn)這種二階趨膚效應(yīng)可以簡化為邊界上的一階趨膚效應(yīng)。在簡化的一維模型中，由于次近鄰耦合引入了非局域的磁通，導(dǎo)致了手性邊界流的產(chǎn)生，可等效成非互易耦合，因此能夠產(chǎn)生一階趨膚效應(yīng)。與此同時，在系統(tǒng)內(nèi)部非邊界處只存在局域磁通，磁通帶來的非互易耦合特性相互抵消，所以體態(tài)模式不受趨膚效應(yīng)影響。研究團隊還進一步探討了系統(tǒng)的宇稱-時間（PT）對稱性與雜化趨膚-拓撲效應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系。在不同方向分別取開邊界和周期邊界條件時，對于不同的邊界，系統(tǒng)具有不同的PT對稱性。全局PT對稱性，即兩個邊界互相對稱，會導(dǎo)致雜化趨膚-拓撲效應(yīng)的消失，而局域PT對稱性，即元胞中不同格點互相對稱，則可以支持雜化趨膚-拓撲效應(yīng)的存在。這一發(fā)現(xiàn)為判斷雜化趨膚-拓撲效應(yīng)是否存在提供了簡便而有效的手段。當(dāng)系統(tǒng)增益-耗散參數(shù)改變時，拓撲邊界模式會發(fā)生PT對稱性自發(fā)破缺的相變，伴隨著奇異點（EP）的出現(xiàn)。在PT對稱性破缺時，拓撲邊界模式的本征能量不再是實數(shù)，同時具有非對稱的模式分布。這一現(xiàn)象揭示了非厄米系統(tǒng)中拓撲態(tài)與PT對稱性之間的深刻聯(lián)系，為進一步理解非厄米拓撲系統(tǒng)的物理性質(zhì)提供了關(guān)鍵線索。研究團隊還對非厄米情況下陳數(shù)的計算方法進行了研究，得到了系統(tǒng)的相圖。系統(tǒng)二維布里淵區(qū)可以映射到三維空間中的一個閉合球面S，系統(tǒng)的帶隙關(guān)閉點是該三維空間的一個圓L。球面S包含圓L時為非厄米陳絕緣體相，陳數(shù)為1；圓L在球面S外時為非厄米傳統(tǒng)絕緣體相，陳數(shù)為0；在相圖中的灰色區(qū)域，系統(tǒng)帶隙關(guān)閉，出現(xiàn)EP點，此時無法用陳數(shù)進行描述。這種對系統(tǒng)拓撲的幾何理解和相圖的繪制，為研究非厄米Haldane模型的拓撲性質(zhì)提供了直觀而有效的工具。該研究成果對于非厄米系統(tǒng)拓撲分類的研究具有重要的意義。它不僅揭示了增益-耗散誘導(dǎo)的雜化趨膚-拓撲效應(yīng)的物理機制，還為利用增益耗散控制非厄米拓撲效應(yīng)提供了理論基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用方面，為實現(xiàn)拓撲光學(xué)器件等提供了重要思路，有望推動非厄米系統(tǒng)在光學(xué)、量子計算等領(lǐng)域的應(yīng)用發(fā)展。4.3離子阱系統(tǒng)中復(fù)數(shù)能譜拓撲的測量清華大學(xué)交叉信息研究院段路明教授研究組與徐勇助理教授合作，在離子阱系統(tǒng)中開展了一項極具創(chuàng)新性的研究，首次成功實驗測量了非厄米系統(tǒng)的復(fù)數(shù)能譜及其拓撲結(jié)構(gòu)，為非厄米系統(tǒng)拓撲分類的研究提供了重要的實驗依據(jù)。非厄米系統(tǒng)因其獨特的拓撲特性，在量子模擬平臺中實現(xiàn)非厄米哈密頓量已成為重要研究目標(biāo)，在離子阱、冷原子、超導(dǎo)電路以及固態(tài)自旋系統(tǒng)等平臺中取得了顯著進展。實驗測量非厄米系統(tǒng)的復(fù)數(shù)本征能量是一個重大挑戰(zhàn)，這使得直接探測能譜的拓撲性質(zhì)困難重重。徐勇研究組提出的非厄米吸收光譜學(xué)方法，為在離子阱等量子平臺中測量復(fù)數(shù)能譜拓撲提供了可能性。段路明教授研究組基于單個171Yb+離子構(gòu)建了雙能帶非厄米模型，該模型的復(fù)數(shù)本征能量具備unlink、unknot或Hopflink等獨特的拓撲結(jié)構(gòu)。從模型的實現(xiàn)方式來看，其厄米部分通過微波脈沖驅(qū)動基態(tài)超精細能級間的躍遷得以實現(xiàn)，具體表現(xiàn)為圖1a中的MW-1、MW-2以及圖1b中的黑色雙箭頭所示；而非厄米部分則是利用共振激光使離子從基態(tài)躍遷至激發(fā)態(tài)，如369-1、369-2以及圖1b中的藍色箭頭所示，激發(fā)態(tài)的自發(fā)輻射導(dǎo)致布居流失，從而成功實現(xiàn)了非厄米部分，圖1b中的波浪線形象地展示了這一過程。為了精確測量系統(tǒng)的復(fù)數(shù)能量，研究團隊巧妙地基于非厄米吸收光譜學(xué)方法開展實驗。他們將離子精心制備在2D3/2能級，即輔助能級上，隨后通過弱激光將其與系統(tǒng)能級相耦合，具體如435以及圖1b中的黃色箭頭所示。在經(jīng)過長時間的演化后，測量離子處于輔助能級的概率。通過對測量到的離子概率與失諧的曲線進行細致擬合，能夠準(zhǔn)確提取出非厄米系統(tǒng)的復(fù)數(shù)能量。實驗測量得到的復(fù)數(shù)能量呈現(xiàn)出unlink、unknot或Hopflink的拓撲結(jié)構(gòu)，與理論值高度契合。這一結(jié)果不僅驗證了理論的正確性，也為非厄米系統(tǒng)拓撲分類的研究提供了可靠的實驗數(shù)據(jù)支持。實驗結(jié)果表明，該模型的復(fù)數(shù)能譜拓撲結(jié)構(gòu)清晰可辨，為進一步研究非厄米系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)奠定了堅實的基礎(chǔ)。此方法具有廣泛的適用性，可以直接推廣到其他量子模擬平臺，如冷原子、超導(dǎo)電路或固態(tài)自旋系統(tǒng)。這為探索非厄米量子系統(tǒng)中各種復(fù)數(shù)能量性質(zhì)開辟了一條嶄新的道路，有望推動非厄米系統(tǒng)拓撲分類研究在不同量子模擬平臺上的深入開展。五、非厄米系統(tǒng)拓撲分類的應(yīng)用前景5.1在量子信息領(lǐng)域的應(yīng)用非厄米系統(tǒng)的拓撲分類在量子信息領(lǐng)域展現(xiàn)出了廣闊的應(yīng)用前景，為量子計算和量子通信等關(guān)鍵技術(shù)的發(fā)展提供了新的思路和方法。在量子計算方面，量子比特作為量子計算的基本單元，其穩(wěn)定性和抗干擾能力是實現(xiàn)高效量子計算的關(guān)鍵。非厄米系統(tǒng)的拓撲分類為設(shè)計新型的拓撲保護量子比特提供了可能。利用非厄米系統(tǒng)中的拓撲保護特性，能夠有效抵抗環(huán)境噪聲和量子比特之間的相互干擾，從而顯著提高量子比特的穩(wěn)定性。在具有拓撲保護的非厄米量子比特系統(tǒng)中，由于拓撲態(tài)的特殊性質(zhì)，即使受到外界環(huán)境的微小擾動，量子比特的狀態(tài)也能保持相對穩(wěn)定，減少了量子比特的退相干現(xiàn)象，提高了量子計算的準(zhǔn)確性和可靠性。通過精心設(shè)計非厄米哈密頓量，使得量子比特處于特定的拓撲態(tài)，利用拓撲態(tài)的魯棒性來保護量子比特的信息存儲和操作，為構(gòu)建大規(guī)模、高性能的量子計算機奠定了基礎(chǔ)。量子糾錯是量子計算中另一個至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，它能夠糾正量子比特在計算過程中出現(xiàn)的錯誤，確保量子計算的正確性。非厄米系統(tǒng)的拓撲分類可以為構(gòu)造新型的量子糾錯碼提供獨特的視角。基于非厄米拓撲的量子糾錯碼能夠充分利用非厄米系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)，對量子比特的錯誤進行有效的檢測和糾正。在一些具有非厄米拓撲結(jié)構(gòu)的量子系統(tǒng)中，通過巧妙設(shè)計量子糾錯碼，可以實現(xiàn)對多種類型錯誤的高效糾正，提高量子計算的容錯能力。利用非厄米系統(tǒng)中的奇異點和拓撲辮狀結(jié)構(gòu)等特性，設(shè)計出能夠適應(yīng)非厄米環(huán)境的量子糾錯碼，增強量子計算系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。在量子通信領(lǐng)域，量子信道的安全性和高效性是保障量子信息可靠傳輸?shù)暮诵囊亍７嵌蛎紫到y(tǒng)的拓撲分類為實現(xiàn)拓撲保護的量子信道提供了有力的理論支持。在基于非厄米拓撲的量子信道中，量子信息的傳輸受到拓撲保護，能夠有效抵御信道噪聲和外部干擾的影響。當(dāng)量子信息在這樣的信道中傳輸時，由于拓撲保護的作用，即使信道中存在一定的噪聲和干擾，量子信息也能保持完整性和準(zhǔn)確性，從而實現(xiàn)安全、高效的量子通信。通過構(gòu)建具有特定拓撲結(jié)構(gòu)的非厄米量子系統(tǒng)，將其作為量子信道，利用拓撲保護特性確保量子信息的可靠傳輸，為構(gòu)建全球量子通信網(wǎng)絡(luò)提供了重要的技術(shù)支撐。量子密鑰分發(fā)是量子通信的重要應(yīng)用之一，它利用量子力學(xué)的特性來實現(xiàn)安全的密鑰交換。非厄米系統(tǒng)的拓撲分類可以為量子密鑰分發(fā)提供新的安全機制。在基于非厄米拓撲的量子密鑰分發(fā)方案中，利用非厄米系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)對密鑰進行加密和傳輸，使得密鑰具有更高的安全性。由于非厄米系統(tǒng)的拓撲特性對外部干擾具有很強的魯棒性，攻擊者難以通過常規(guī)手段竊取密鑰信息，從而保障了量子密鑰分發(fā)的安全性。通過設(shè)計基于非厄米拓撲的量子密鑰分發(fā)協(xié)議，結(jié)合非厄米系統(tǒng)的拓撲保護和量子力學(xué)的不確定性原理，實現(xiàn)了更安全、更高效的量子密鑰分發(fā)，為保密通信提供了可靠的保障。5.2在材料科學(xué)中的應(yīng)用非厄米拓撲材料作為材料科學(xué)領(lǐng)域的新興研究方向，展現(xiàn)出獨特的性質(zhì)和廣闊的應(yīng)用前景，為新型材料的研發(fā)開辟了新的道路。非厄米拓撲材料的特性與傳統(tǒng)材料有著顯著的區(qū)別。在能帶結(jié)構(gòu)方面，非厄米拓撲材料的能帶由于非厄米性的影響，呈現(xiàn)出與厄米材料不同的分布和特性。其能帶可能會出現(xiàn)奇異點（ExceptionalPoint，EP），在奇異點附近，本征值和本征態(tài)會發(fā)生特殊的變化，導(dǎo)致能帶的拓撲結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜。這種復(fù)雜的能帶結(jié)構(gòu)賦予了材料獨特的電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)。在電學(xué)性質(zhì)上，非厄米拓撲材料可能表現(xiàn)出與傳統(tǒng)材料不同的電子輸運特性。由于非厄米趨膚效應(yīng)，電子可能會局域在材料的邊界，使得材料的表面電導(dǎo)率與內(nèi)部電導(dǎo)率存在差異，這為設(shè)計具有特殊電學(xué)性能的電子器件提供了可能。在光學(xué)性質(zhì)方面，非厄米拓撲材料的光與物質(zhì)相互作用表現(xiàn)出獨特的行為。由于能帶結(jié)構(gòu)的特殊性，光在材料中的傳播會受到影響，可能出現(xiàn)光的單向傳輸、增強的光吸收或發(fā)射等現(xiàn)象。在新型材料研發(fā)中，非厄米拓撲材料具有重要的應(yīng)用前景。在開發(fā)具有特殊光學(xué)性質(zhì)的材料方面，利用非厄米拓撲材料的特性可以實現(xiàn)對光的精確調(diào)控。通過設(shè)計材料的非厄米參數(shù)，使其達到奇異點，從而實現(xiàn)光的單向傳輸，這在光通信領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值。在光隔離器的設(shè)計中，使用非厄米拓撲材料可以提高光隔離的效率和性能，減少光信號的串?dāng)_，提高光通信系統(tǒng)的穩(wěn)定性。非厄米拓撲材料還可以用于開發(fā)高效的發(fā)光材料。由于其獨特的能帶結(jié)構(gòu)，能夠增強光的發(fā)射效率，可應(yīng)用于新型發(fā)光二極管（LED）的研發(fā)，提高LED的發(fā)光效率和色彩純度。在電學(xué)材料方面，非厄米拓撲材料也展現(xiàn)出巨大的潛力。在超導(dǎo)材料的研究中，引入非厄米性可能會改變超導(dǎo)材料的臨界溫度和超導(dǎo)能隙等性質(zhì)。通過精確調(diào)控非厄米參數(shù)，可以探索新型的超導(dǎo)機制，為高溫超導(dǎo)材料的研發(fā)提供新的思路。在半導(dǎo)體材料中，非厄米拓撲材料的特殊電子輸運性質(zhì)可以用于設(shè)計高性能的半導(dǎo)體器件。利用非厄米趨膚效應(yīng)，將電子局域在材料表面，可提高半導(dǎo)體器件的開關(guān)速度和降低功耗，有望應(yīng)用于下一代集成電路的制造。制備非厄米拓撲材料面臨著諸多挑戰(zhàn)。在材料合成過程中，精確控制非厄米參數(shù)是一個難題。由于非厄米參數(shù)對材料的性質(zhì)有著關(guān)鍵影響，如增益和損耗參數(shù)的精確控制對于實現(xiàn)材料的非厄米特性至關(guān)重要，但在實際制備過程中，很難精確地達到理論設(shè)計值。在材料的穩(wěn)定性方面，非厄米拓撲材料可能由于非厄米性的存在而導(dǎo)致穩(wěn)定性較差，容易受到外界環(huán)境的影響，如溫度、濕度等因素的變化可能會改變材料的非厄米參數(shù)，從而影響材料的性能。針對這些挑戰(zhàn)，可以采取一系列應(yīng)對策略。在材料合成方面，采用先進的材料制備技術(shù)，如分子束外延（MBE）、化學(xué)氣相沉積（CVD）等，這些技術(shù)能夠精確控制材料的原子層生長和摻雜，從而實現(xiàn)對非厄米參數(shù)的精確調(diào)控。通過優(yōu)化材料的結(jié)構(gòu)設(shè)計，提高材料的穩(wěn)定性。在材料中引入穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)單元或采用表面修飾等方法，減少外界環(huán)境對材料非厄米參數(shù)的影響。5.3在波調(diào)控器件中的應(yīng)用非厄米系統(tǒng)的拓撲分類在波調(diào)控器件領(lǐng)域展現(xiàn)出了巨大的應(yīng)用潛力，為設(shè)計和優(yōu)化各類波調(diào)控器件提供了重要的理論指導(dǎo)，推動了該領(lǐng)域的技術(shù)創(chuàng)新和發(fā)展。在拓撲能量傳遞器件方面，利用非厄米系統(tǒng)的拓撲保護特性，可以實現(xiàn)能量的高效、穩(wěn)定傳輸。在傳統(tǒng)的能量傳輸系統(tǒng)中，能量在傳輸過程中容易受到外界干擾和損耗的影響，導(dǎo)致傳輸效率低下。而基于非厄米拓撲的能量傳遞器件，其拓撲邊界態(tài)受到拓撲保護，能夠有效抵抗外界干擾，減少能量損耗。在一個基于非厄米拓撲光子晶體的光能量傳輸器件中，光在拓撲邊界態(tài)中傳輸時，由于拓撲保護的作用，即使光子晶體存在缺陷或雜質(zhì)，光能量也能穩(wěn)定地傳輸，大大提高了光能量的傳輸效率。這種高效的能量傳輸特性在能源領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值，例如在太陽能光伏發(fā)電系統(tǒng)中，利用非厄米拓撲能量傳遞器件，可以將太陽能更有效地收集和傳輸，提高太陽能的利用效率，為可持續(xù)能源發(fā)展提供技術(shù)支持。可調(diào)吸收器是波調(diào)控器件中的重要組成部分，非厄米系統(tǒng)的拓撲分類為其性能提升提供了新的思路。通過精確調(diào)控非厄米系統(tǒng)的參數(shù)，如增益、損耗等，可以實現(xiàn)對特定頻率波的選擇性吸收。在一個基于非厄米聲學(xué)系統(tǒng)的可調(diào)吸收器中，通過