第05講拓展一：分離變量法解決導(dǎo)數(shù)恒成立，能成立問題(精練）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．已知函數(shù)，對都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：函數(shù),對都有,當(dāng)時,即,即為可化為令,則當(dāng)時,,單調(diào)遞減.因此所以故實數(shù)的取值范圍是故選B2．已知函數(shù)，，若至少存在一個，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知至少存在一個，使得成立，即在上有解，滿足即可，設(shè)，，∵，∴，∴在上恒為增函數(shù)，∴，∴，故選：B.3．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立，則實數(shù)m的最小值是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域為，.令，得或（舍）.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以當(dāng)時，取得極小值，也是最小值，且最小值為1.因為存在，使得不等式成立，所以，所以實數(shù)m的最小值為1.故選：C4．若函數(shù)，滿足恒成立，則的最大值為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【詳解】解：因為，滿足恒成立，所以，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的最大值為，故選：C.5．已知函數(shù)，若對任意兩個不等的正數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對任意都有恒成立，則時，，當(dāng)時恒成立，

，當(dāng)時恒成立，，故選：A6．已知函數(shù)．若的最小值為，且對任意的恒成立，則實數(shù)m的取值圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】∵函數(shù)的對稱軸方程為，∴，令，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；∴，又對任意的恒成立，即，∴.故選：C7．已知函數(shù)，實數(shù)，滿足，若，，使得成立，則的最大值為A．4 B．C． D．【答案】A【分析】試題分析：，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴.，作函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時，方程兩根分別為和，則的最大值為.故選A.8．已知若對于任意兩個不等的正實數(shù)、，都有恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】不妨設(shè)，可得，可得，令，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，對任意的恒成立，所以，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.故選：B.二、多選題9．若關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值可以是（

）．A． B．1 C． D．【答案】ABC【詳解】解：依題意，問題等價于關(guān)于的不等式在上有解．令，，則．令，，則，易知單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增，故，故，則在上單調(diào)遞增，故，即實數(shù)的取值范圍為．故選：ABC10．已知函數(shù)，滿足對任意的，恒成立，則實數(shù)a的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】因為函數(shù)，滿足對任意的，恒成立，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以.當(dāng)時，恒成立.當(dāng)時，恒成立，即恒成立，設(shè)，，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以，所以，綜上所述：.故選：ABC三、填空題11．當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，分離參數(shù)，得恒成立．令，∴時，恒成立．令，則，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上是減函數(shù)．則，∴．∴實數(shù)的取值范圍是．故答案為：12．已知函數(shù)在上存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是_____________.【答案】或【詳解】由題可知：，因為函數(shù)在上存在極值點，所以有解所以，則或當(dāng)或時，函數(shù)與軸只有一個交點，即所以函數(shù)在單調(diào)遞增，沒有極值點，故舍去所以或，即或故答案為：或四、解答題13．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，恒成立，求的最大值.【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)3(1)由題意得，則，當(dāng)時，當(dāng)時恒成立，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得，令，得.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得，令，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)設(shè)函數(shù)，則，令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；則，要使恒成立，只要恒成立，即令，則當(dāng)時恒成立∴在上單調(diào)遞減，又∵，所以滿足條件的的最大值為3.14．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值(2)(1)當(dāng)時，，所以當(dāng)時；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時函數(shù)有極小值，無極大值.(2)因為在上有解，所以在上有解，當(dāng)時，不等式成立，此時，當(dāng)時在上有解，令，則由（1）知時，即，當(dāng)時；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.B能力提升1．已知函數(shù).（1）若，求曲線在處切線的方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）.【詳解】（1）由已知，，曲線在處切線方程為，即.（2）.①當(dāng)時，由于，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.②當(dāng)時，由，得.在區(qū)間上，，在區(qū)間上，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由已知，轉(zhuǎn)化為，由（2）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，值域為，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值，，所以，解得.2．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當(dāng)，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時，在