量子力學(xué)基礎(chǔ)

FundamentalsofQuantumMechanics

既然具有波動特性的光同時具有粒子的性質(zhì)，那么在習(xí)慣上當(dāng)作經(jīng)典微粒處理的實物粒子，如電子、質(zhì)子等等靜止質(zhì)量不為零的粒子，是否同時也具有波動的性質(zhì)呢？第1節(jié)微觀粒子的波粒二象性

Wave-ParticleDuality一、微觀粒子的波粒二象性二、德布羅意波——物質(zhì)波德布羅意方程德布羅意假設(shè):

微觀粒子與光子一樣，既具有粒子性，也具有波動性，即都是波粒二象性粒子。1

微觀粒子對應(yīng)的物質(zhì)波的頻率和波長由動量和能量確定。它們之間的關(guān)系是：德布羅意方程例如電子經(jīng)電場加速,其德布羅意波長

:電子的德布羅意波長很短三、自由粒子的德布羅意波長

以速度v運動，靜止質(zhì)量為m0的自由粒子，德布羅意波波長

為：2GANi晶體實驗原理四、戴維遜—革末實驗

電子束垂直投射到鎳單晶表面，用探測器在不同方向上測量散射電子束的強度。實驗結(jié)果：當(dāng)加速電壓U=54V，在

=50o處，射線強度有一極大

由德布羅意公式和布喇格X射線衍射公式分別計算電子束的波長，兩者十分吻合。3

電子不僅在反射時有衍射現(xiàn)象，英國的湯姆遜實驗證明了電子在穿過金屬片后也象X

射線一樣產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。X射線衍射圖樣電子束衍射圖樣戴維遜和湯姆遜因驗證電子的波動性分享1937年的物理學(xué)諾貝爾獎金4第2節(jié)不確定關(guān)系

UncertaintyRelation經(jīng)典粒子：微觀粒子：一、不確定關(guān)系坐標(biāo)和動量可以同時被準(zhǔn)確測定在微觀尺度，其坐標(biāo)和動量不能同時被準(zhǔn)確測定。（微觀粒子的波粒二象性）量子力學(xué)理論證明：

在某確定方向上(如x方向)粒子的位置有不確定量

x,對應(yīng)動量的不確定量

p,可證明兩者的關(guān)系：5上式具有普遍意義。在三維運動中應(yīng)有：海森伯“不確定關(guān)系”的數(shù)學(xué)表達(dá)式即：我們在確定粒子坐標(biāo)越準(zhǔn)確的同時（

x越?。┐_定粒子在這坐標(biāo)方向上動量分量的準(zhǔn)確度就越差（

p越大）,反之亦然。

不確定關(guān)系是自然界的客觀規(guī)律,不是測量技術(shù)和主觀能力的問題,是量子理論中的一個重要概念。6例1.試比較電子和質(zhì)量為10g的子彈的位置的不確定量。假定都在x方向以v=200m/s的速度運動，速度的測量誤差在0.01%以內(nèi)。根據(jù)不確定關(guān)系子彈的波動性可忽略

對子彈解：電子線度約10

15無法確定！令對電子7

電子在空間的位置是不確定的，但有一定的幾率分布。電子在空間某處出現(xiàn)的幾率，正比于電子的波函數(shù)的強度。電子干涉實驗表明：電子呈現(xiàn)出的波動性只是反映電子運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性。一、非經(jīng)典波的波函數(shù)第3節(jié)波函數(shù)

WaveFunctions

一個具有動能E和動量p微觀粒子，對應(yīng)的德布羅意波的頻率和波長：由微觀粒子的波粒二象性：8

由經(jīng)典物理知,頻率為

、波長為

、沿x方向傳播的波可表示為：其復(fù)數(shù)形式為對于與自由粒子對應(yīng)的平面波,還具有微粒性：德布羅意關(guān)系代入上式——自由粒子德布羅意波的波函數(shù)得9

用波函數(shù)完全描述微觀粒子的量子狀態(tài)是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。波函數(shù)模的平方代表

t時刻，在處粒子出現(xiàn)的幾率密度。t時刻粒子出現(xiàn)在附近dV體積內(nèi)的幾率為：

波函數(shù)不僅把粒子與波統(tǒng)一起來,同時以幾率波的形式描述粒子的量子運動狀態(tài)。電子衍射表明的波粒二象性,可用波函數(shù)解釋。二、

波函數(shù)的統(tǒng)計解釋10三、

波函數(shù)滿足的條件（標(biāo)準(zhǔn)化條件）——波函數(shù)的歸一化

粒子在某區(qū)域出現(xiàn)的幾率正比于該區(qū)域的大小,粒子在整個空間出現(xiàn)的幾率為:此外波函數(shù)還必須滿足：單值、有限和連續(xù)

——波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件11由波函數(shù)對自由運動粒子有代入上式可得——低速微觀粒子的波函數(shù)所遵循的方程

第4節(jié)

薛定諤波動方程

Schr?dinger’s

Equation

一、薛定諤波動方程一維自由運動粒子的波函數(shù)滿足的方程12波函數(shù)滿足的方程為上式擴展到三維空間，即為薛定諤波動方程：粒子在勢場V中運動，則粒子能量為式中符號：13二、定態(tài)薛定諤方程

當(dāng)粒子所在的力場不隨時間變化時，V(r)與時間無關(guān)。薛定諤方程可化簡,設(shè)波函數(shù)為帶入方程得14滿足上式方程組的解定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程可寫成式中H為哈密頓算符15

第5節(jié)一維無限深勢阱中的粒子運動

ParticlesinOne-DimensionalInfinitePotentialWell設(shè)電子處在勢阱V(x)中(定態(tài)問題)在勢阱外的區(qū)域中在阱內(nèi)粒子的定態(tài)薛定諤方程為0其他16一、一維無限深勢阱中粒子的波函數(shù)則由邊界條件得由(1)式可得由(2)式可得則方程的解為17通解式中的A可由歸一化條件確定：即勢阱中電子的波函數(shù)為18二、能級圖當(dāng)時

在高能級上可看成能級連續(xù)分布，即此時量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)等價！

n稱為量子數(shù),能量由n決定,只能取一系列分立的值——能級。n=1時,能量最小稱為零點能：19ax三、電子勢阱中各處出現(xiàn)的幾率on+1個節(jié)點穩(wěn)定的駐波能級20第6節(jié)簡諧振子

HarmonicOscillators經(jīng)典諧振子的勢能為式中：m是粒子的質(zhì)量,k是諧振子的彈性系數(shù),

是角頻率:線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為滿足束縛邊界條件的級數(shù)解是21一、諧振子的波函數(shù)

稱為厄米多項式,

它的前幾個表達(dá)式為線性諧振子的能級只能取分立值,能級間隔相等線性諧振子基態(tài)能線性諧振子波函數(shù)22二、線性諧振子位置幾率密度n=11時的幾率密度分布(虛線是經(jīng)典結(jié)果)

諧振子的位置分布與經(jīng)典的完全不同。隨量子數(shù)n增大，其平均值與經(jīng)典結(jié)果趨于符合,相似性逐漸增大。23V(x)=

設(shè)有能量為E的粒子在此勢場中運動。經(jīng)典力學(xué)觀點：當(dāng)E>V0時,粒子才能越過勢壘到達(dá)x>a

的區(qū)域。x0V(x)aV0E入射透射反射如下形式的勢場常稱為勢壘：第7節(jié)一維勢壘

One-DimensionalPotentialBarrier解定態(tài)薛定諤方程確定粒子的運動情況：24方程的解為由波函數(shù)的解可知:

能量E小于V0的粒子也能透過勢壘!123E25

粒子容易穿透薄的勢壘，質(zhì)量小的粒子穿透勢壘的幾率大。透射率：粒子穿過勢壘的幾率

微觀粒子具有波動性，入射粒子的物質(zhì)波射向勢壘時，如同光波從一種媒質(zhì)傳向另一種媒質(zhì)一樣，一部分通過勢壘繼續(xù)前進(jìn)并可能傳透過去，另一部分則從勢壘表面反射回來。

——隧道效應(yīng)26一、氫原子的薛定諤方程氫原子核外電子在核電荷的勢場中運動U是r的函數(shù),不隨時間變化，所以電子的定態(tài)薛定諤方程：用球坐標(biāo)表示：其波函數(shù)設(shè)U

=0,則r處第8節(jié)氫原子的量子力學(xué)處理

QuantumMechanicsoftheHydrogenAtom27將方程分離變量得

解微分方程,可得電子的波函數(shù),并在求解方程過程中可自然地得到氫原子的量子化條件。由電子的波函數(shù)282.角動量量子化微觀粒子具有動量,此動量對坐標(biāo)原點(原子核)就有角動量：(共有n個值)1.能量量子化量子力學(xué)與玻爾理論結(jié)果一致!二、能量和角動量293.角動量空間量子化

量子理論認(rèn)為:氫原子中角動量L在空間的取向不是任意的,只能取一些特定的方向

——稱為角動量空間量子化。LLLLzLz

這個特征是以角動量在空間某一特定方向(例如外磁場方向)Z軸上的投影來表示的。——軌道磁量子數(shù)有2l+1個值30例：當(dāng)

n=3時,l可取0,1,2,三個值,電子的角動量空間量子化情形有：則當(dāng)當(dāng)

則當(dāng)有5個取向有3個取向31其波函數(shù):三、電子的波函數(shù)和幾率分布

量子力學(xué)中雖沒有軌道的概念,但有電子的空間幾率分布的概念?？梢宰C明,玻爾理論中所謂的軌道半徑r=n2r1（r1=0.53?）,在量子理論中,是電子出現(xiàn)幾率最大的位置。一組量子數(shù)n,l,m,能確定一組能量、動量、角動量及波函數(shù)。32幾率云(電子云)：對電子在空間各處出現(xiàn)的幾率現(xiàn)象的描述。1.電子的徑向幾率分布r1s2s3s4saor2p3p4p4ao2.電子角向概率分布z

pzos

zp33一、電子自旋1.電子除繞原子核旋轉(zhuǎn)外，還繞自身的軸旋轉(zhuǎn)

——自旋2.每個電子的自旋角動量為Ls：——自旋量子數(shù)——自旋磁量子數(shù)其在空間取向是量子化的,并在空間某方向的投影只能取兩個值：B

第9節(jié)電子的自旋四個量子數(shù)

ElectronSpintheFourQuantumNumbers341925年由兩個青年物理學(xué)家首次提出電子自旋假設(shè)：二、史特恩－蓋拉赫實驗（1921）D1D2SNP

沒有加外磁場時，在P

板上銀原子射線集結(jié)為與縫平行的一條直線。

加非均勻的外磁場時，銀原子射線分為兩束對稱線。1.實驗結(jié)果35非均勻磁場S態(tài)的銀原子2.結(jié)果分析

在不均勻磁場（外場）中，原子軌道磁矩在空間取向量子化，則射線分裂。但：實驗用S態(tài)銀原子束，基態(tài)銀原子l＝0，

應(yīng)無偏轉(zhuǎn)（即只應(yīng)有一條原子集結(jié)線）。射線的偏轉(zhuǎn)表明電子還應(yīng)具有自旋角動量!m有2l+1個取向362.角量子數(shù)

l=0,1,2,3,…,n-13.軌道磁量子數(shù)三、四個量子數(shù)電子的運動狀態(tài)由四個量子數(shù)決定1.主量子數(shù)

n=1,2,3,…4.自旋磁量子數(shù)37

第10節(jié)多電子原子殼層結(jié)構(gòu)

Many-ElectronAtomsShells

在含有多個電子的原子中,每個電子在受到核的作用的同時還受到其他電子的作用。

電子的狀態(tài)仍由四個量子數(shù)決定,但電子能量不僅與n有關(guān)，還與l有關(guān)。一、電子狀態(tài)如何描述1.主殼層：主量子數(shù)相同的電子分布在同一殼層(主殼層)上。n12345···主殼層KLMNO···二、原子的殼層結(jié)構(gòu)382.支殼層：主量子數(shù)相同而副量子數(shù)不同的電子分布在同一主殼層的不同支殼層上。l01234···n-1分殼層spdfg···三、電子的分布準(zhǔn)則及規(guī)律

1.泡利不相容原理

在原子系統(tǒng)內(nèi)不可能有兩個