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文檔簡介

第六章二次型二次型就是二次齊次多項式.本章通過矩陣乘法將二次型與對稱矩陣聯系起來，從而一方面使得二次型的問題可以用矩陣的理論和方法來研究，另一方面也可以將對稱矩陣的問題轉化為用二次型來解決。

1二次型及其矩陣表示2第六章二次型化二次型為標準形3正定二次型3二次型的矩陣表示第一節(jié)二次型及其矩陣表示2二次型的定義1問題的引出二次曲線ax2+bxy+cy2=1m(x')2+n(y')2=1Oxyx’y’yOxQTQ=E一般形標準形幾何:直角系旋轉代數:正交變換一、問題的提出考慮方程在平面上代表什么曲線？(1)一、問題的提出將坐標系（O,x,y)順時針旋轉45°,即令(2)則得曲線在坐標系(O,u,v)中的方程：(3)從而曲線為一橢圓。o一、問題的提出含有n個變量x1,x2,…,xn的實系數二次齊次多項式

f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2

+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn取aij

=aji,則二、二次型的定義則：f(x1,x2,…,xn)=x1(a11x1+a12x2+…+a1nxn)+x2

(a21x1+a22x2+…+a2nxn)+……+xn

(an1x1+an2x2+…+annxn)=(x1,x2,…,xn)a11x1+a12x2+…+a1nxna21x1+a22x2+…+a2nxn……an1x1+an2x2+…+annxn三、二次型的矩陣表示=(x1,x2,…,xn)簡記為f=XTAX其中：X=三、二次型的矩陣表示稱矩陣A

為二次型f

的矩陣，方陣A

的秩為二次型的秩。顯然(1)A是對稱矩陣f(x1,x2,…,xn)A(2)三、二次型的矩陣表示f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2

+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn取aij

=aji,則注：實二次型f=xTAx與實對稱矩陣A一一對應.實二次型的平方項系數A的主對角線元素實二次型的交叉項xixj的系數的一半A的元素aij(ij)三、二次型的矩陣表示例1寫出二次型的

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