第20講統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的分析（3大考點+強化訓練）[考情分析]高考對本講內(nèi)容的考查往往以實際問題為背景，考查隨機抽樣與用樣本估計總體、經(jīng)驗回歸方程的求解與運用、獨立性檢驗問題，常與概率綜合考查，中等難度．知識導圖考點分類講解考點一：統(tǒng)計圖表、數(shù)字特征1．頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距，縱坐標表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).2．在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和相等．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．易錯提醒(1)對于給出的統(tǒng)計圖表，一定要結(jié)合問題背景理解圖表意義．(2)頻率分布直方圖中縱坐標不要誤以為是頻率．【例1】（2024·陜西西安·二模）某教育機構(gòu)為調(diào)查中小學生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．估計該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天B．估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3C．估計該學生每日完成作業(yè)時間的平均數(shù)為2.75小時D．估計該學生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)與平均數(shù)相等【變式1】（23-24高三上·安徽亳州·期末）如圖所示為某企業(yè)員工年齡（歲）的頻率分布直方圖，從左到右依次為第一組?第二組、……、第五組，若第五組的員工有80人，則第二組的員工人數(shù)為（

）A．140 B．240 C．280 D．320【變式2】（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開學考試）為了積極推進國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某示范村不斷自主創(chuàng)新，拓寬村民增收渠道，近年來取得了顯著成效．據(jù)悉該村2023年經(jīng)濟總收入是2022年的2倍，為了更好地了解該村經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該村兩年的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的條形圖和餅圖．則以下說法錯誤的是（

）A．2023年“種植收入”和2022年“種植收入”一樣多B．2023年“養(yǎng)殖收入”與“第三產(chǎn)業(yè)收入”之和比2022年的全年總收入還多C．2023年“外出務工收入”是2022年“外出務工收入”的D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍還多【變式3】（2024·甘肅·一模）小李一周的總開支分布如圖（1）所示，其中一周的食品開支如圖（2）所示，則以下判斷錯誤的是（

）

A．小李這一周用于肉蛋奶的支出高于用于娛樂的支出B．小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中是最少的C．小李這一周用于主食的支出比用于通信的支出高D．小李這一周用于主食和蔬菜的總支出比日常支出高考點二：回歸分析求經(jīng)驗回歸方程的步驟(1)依據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系(有時可省略)．(2)計算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).(3)寫出經(jīng)驗回歸方程．易錯提醒(1)樣本點不一定在經(jīng)驗回歸直線上，但點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))一定在經(jīng)驗回歸直線上．(2)求eq\o(b,\s\up6(^))時，靈活選擇公式，注意公式的推導和記憶．(3)利用樣本相關系數(shù)判斷相關性強弱時，看|r|的大小，而不是r的大小．(4)區(qū)分樣本相關系數(shù)r與決定系數(shù)R2.(5)通過經(jīng)驗回歸方程求的都是估計值，而不是真實值．【例2】（22-23高三下·浙江杭州·階段練習）某公司在x年的銷售額(萬元)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)用最小二乘法得到的回歸方程為，則當關于a，b的表達式取到最小值時，（

）x201720182019202020212022A．5 B．13C．8059 D．8077【變式1】（2023·上海奉賢·三模）已知兩組數(shù)據(jù)和，其中且時，；且時，，，我們研究這兩組數(shù)據(jù)的相關性，在集合中取一個元素作為a的值，使得相關性最強，則a=（

）A．8 B．11 C．12 D．13【變式2】（2024·河北·一模）集校為了解本校高一男生身高和體重的相關關系，在該校高一年級隨機抽取了7名男生，測量了他們的身高和體重得下表：身高（單位：167173175177178180181體重（單位：90545964677276由表格制作成如圖所示的散點圖：

由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，其相關系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析，點對應殘差過大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關系數(shù)為.則下列選項正確的是（

）A．B．C．D．【變式3】（22-23高三上·四川成都·階段練習）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)，設將其變換后得到線性回歸方程，則原模型中的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，考點三：獨立性檢驗獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，計算χ2的值．(3)查表比較χ2與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷．χ2越大，對應假設事件H0成立(兩類變量相互獨立)的概率越小，H0不成立的概率越大．易錯提醒(1)χ2越大兩分類變量無關的可能性越小，推斷犯錯誤的概率越小，通過表格查得無關的可能性．(2)在犯錯誤的概率不大于0.01的前提下認為兩個變量有關，并不是指兩個變量無關的可能性為0.01.【例3】（2024·寧夏銀川·一模）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30合計附：P（K2≥k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（

）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”【變式1】（2024高三·全國·專題練習）下列命題中①散點圖可以直觀地判斷兩個變量是否具有線性相關關系;②回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線;③回歸分析和獨立性檢驗沒有什么區(qū)別;④回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點.其中正確的命題個數(shù)為（）A． B． C． D．【變式2】（2024·廣東廣州·二模）根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到.依據(jù)的獨立性檢驗，結(jié)論為（

）A．變量與獨立B．變量與獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過C．變量與不獨立D．變量與不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過【變式3】（23-24高三上·四川成都·期末）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現(xiàn)隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下列聯(lián)表（部分數(shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗1050未注射疫苗3050合計301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計算可知，根據(jù)小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”（

）附：，.A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005強化訓練一、單選題1．（23-24高三下·四川綿陽·開學考試）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系，運用列聯(lián)表進行檢驗，經(jīng)計算，參考下表，則認為“性別與喜歡數(shù)學有關”犯錯誤的概率不超過（

）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A． B． C． D．2．（2024·海南·模擬預測）某機構(gòu)統(tǒng)計了1000名演員的學歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學歷的人數(shù)為630.現(xiàn)按比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學歷的人數(shù)為（

）

A．11 B．13 C．22 D．263．（21-22高二下·山東濱州·期末）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯(lián)進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．104．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習）為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了50人，得到如下結(jié)果（單位：人）不患肺癌患肺癌合計不吸煙24630吸煙61420合計302050根據(jù)表中數(shù)據(jù)，以下敘述正確的是：（

）A．可以通過計算，結(jié)合統(tǒng)計決斷，判斷：有的把握認為吸煙與患肺癌有關B．可以通過計算，結(jié)合統(tǒng)計決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無關C．可以通過計算，結(jié)合統(tǒng)計決斷，判斷：有的把握認為吸煙與患肺癌有關D．可以通過計算，結(jié)合統(tǒng)計決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無關5．（2024·云南曲靖·一模）已知變量關于的回歸方程為，若對兩邊取自然對數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：12345則當時，預測的值為（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·二模）高三某班學生每天完成作業(yè)所需的時間的頻率分布直方圖如圖，為響應國家減負政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎上減少小時，則減負后完成作業(yè)的時間的說法中正確的是（

）A．減負后完成作業(yè)的時間的標準差減少B．減負后完成作業(yè)的時間的方差減少C．減負后完成作業(yè)的時間在小時以上的概率大于D．減負后完成作業(yè)的時間的中位數(shù)在至之間7．（23-24高三上·江西·期末）為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學黨史、育文化的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（

）A．的值為0.005 B．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分C．估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85分 D．估計成績低于60分的有250人8．（23-24高三上·浙江紹興·期末）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關.在下圖分布形態(tài)中，分別對應這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關系正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）為豐富優(yōu)質(zhì)旅游資源，釋放旅游消費潛力，推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，某地政府從2023年國慶期間到該地旅游的游客中，隨機抽取部分游客進行調(diào)查，得到各年齡段游客的人數(shù)和對景區(qū)服務是否滿意的數(shù)據(jù)，并繪制統(tǒng)計圖如圖所示，利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖估計，得到的結(jié)論正確的是（

）A．游客中，青年人是老年人的2倍多B．老年人的滿意人數(shù)是青年人的2倍C．到該地旅游的游客中滿意的中年人占總游客人數(shù)的24.5%D．到該地旅游的游客滿意人數(shù)超過一半2．（2024·廣西南寧·一模）下列說法中，正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為12B．若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2C．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D．在獨立性檢驗中，零假設為：分類變量和獨立．基于小概率值的獨立性檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立3．（2024·云南·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．設隨機變量的均值為是不等于的常數(shù)，則相對于的偏離程度小于相對于的偏離程度（偏離程度用差的平方表示）B．若一組數(shù)據(jù)的方差為0，則所有數(shù)據(jù)都相同C．用決定系數(shù)比較兩個回歸模型的擬合效果時，越小，殘差平方和越小，模型擬合效果越好D．在對兩個分類變量進行獨立性檢驗時，如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再去判斷兩變量的關聯(lián)性時，結(jié)論不會發(fā)生改變?nèi)?、填空題1．（23-24高三下·北京海淀·開學考試）某直播間從參與購物的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則在這200人中年齡在的人數(shù)，直方圖中.2．（23-24高三·天津濱海新·期末）下列說法中正確的有（填正確說法的序號）．①回歸直線恒過點，且至少過一個樣本點；②若樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的標準差為4；③已知隨機變量，且，則；④若線性相關系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關性越弱；⑤是用來判斷兩個分類變量是否相關的隨機變量，當?shù)闹岛苄r可以推斷兩個變量不相關．3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）有甲、乙兩個班級共計105人進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”；④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”.四、解答題1．（2024·貴州畢節(jié)·二模）某地區(qū)工會利用“健步行APP”開展健步走活動.為了解會員的健步走情況，工會在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會員，統(tǒng)計了當天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；(2)據(jù)統(tǒng)計，在樣本數(shù)據(jù)，，的會員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率.2.（2024·寧夏吳忠·模擬預測）配速是馬拉松運動中常使用的一個概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時間，相比配速，把心率控制在一個合理水平是安全理性跑馬拉松的一個重要策略.圖1是一名馬拉松跑者的心率（單位：次/分鐘）和配速（單位：分鐘/公里）的散點圖，圖2是一次馬拉松比賽（全程約42公里）前3000名跑者成績（單位：分鐘）的頻率分布直方圖.(1)由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，求與的線性回歸方程；(2)該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160次/分鐘左右跑完全程，估計他跑完全程花費的時間，并估計他能獲得的名次，參考公式：線性回歸方程中，，.3．（2024·黑龍江·二模）2023年是全面貫徹落實黨的二十大精神的開局之年，也是實施“十四五”規(guī)劃承上啟下的關鍵之年，經(jīng)濟增長呈現(xiàn)穩(wěn)中有進的可喜現(xiàn)象.某省為做好刺梨產(chǎn)業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展，項目組統(tǒng)計了全省近5年刺梨產(chǎn)業(yè)綜合產(chǎn)值如下：年份代碼x，綜合產(chǎn)值y（單位：億元）年份20192020202120222023年份代碼x12345綜合產(chǎn)值y1.523.5815(1)請通過樣本相關系數(shù)，推斷y與x之間的相關程度；（若，則線性相關性程度很強;若，則線性相關性程度一般，若，則線性相關性程度很弱.）(2)求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測2024年該省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值.參考公式：樣本相關系數(shù)經(jīng)驗回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.參考數(shù)據(jù)：4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而許多人被睡眠時長過短?質(zhì)量不高等問題所困擾.2023年3月21日是第23個世界睡眠日，這一天某研究小組隨機調(diào)查了某高校100名學生在某一天內(nèi)的睡眠情況，將所得數(shù)據(jù)按照分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求的值，并由頻率分布直方圖估計該校所有學生每一天的平均睡眠時長（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)每一天睡眠時長不低于7.75小時認定為睡眠充足，以頻率代替概率，樣本估計總體，在該高校學生中隨機抽查3人，求至少有兩人每一天睡眠時長充足的概率.5．（2024·安徽黃山·一模）某校高三年級名學生的高考適應性演練數(shù)學成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、、、．(1)求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這名學生的這次考試數(shù)學成績的第百分位數(shù)；(2)從這次數(shù)學成績位于、的學生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人，該人中成績在區(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望．第20講統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的分析（3大考點+強化訓練）[考情分析]高考對本講內(nèi)容的考查往往以實際問題為背景，考查隨機抽樣與用樣本估計總體、經(jīng)驗回歸方程的求解與運用、獨立性檢驗問題，常與概率綜合考查，中等難度．知識導圖考點分類講解考點一：統(tǒng)計圖表、數(shù)字特征1．頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距，縱坐標表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).2．在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和相等．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．易錯提醒(1)對于給出的統(tǒng)計圖表，一定要結(jié)合問題背景理解圖表意義．(2)頻率分布直方圖中縱坐標不要誤以為是頻率．【例1】（2024·陜西西安·二模）某教育機構(gòu)為調(diào)查中小學生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．估計該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天B．估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3C．估計該學生每日完成作業(yè)時間的平均數(shù)為2.75小時D．估計該學生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)與平均數(shù)相等【答案】C【分析】直接根據(jù)直方圖來計算判斷每一個選項.【詳解】對于A：估計該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有天，A錯誤；對于B：估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為，B錯誤；對于C：，C正確；對于D：估計該學生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為，則，解得，D錯誤.故選：C.【變式1】（23-24高三上·安徽亳州·期末）如圖所示為某企業(yè)員工年齡（歲）的頻率分布直方圖，從左到右依次為第一組?第二組、……、第五組，若第五組的員工有80人，則第二組的員工人數(shù)為（

）A．140 B．240 C．280 D．320【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得的值，進一步計算即可

.【詳解】由已知得，所以，因為第五組的員工人數(shù)為80，所以第二組的員工人數(shù)為.故選：C.【變式2】（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開學考試）為了積極推進國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某示范村不斷自主創(chuàng)新，拓寬村民增收渠道，近年來取得了顯著成效．據(jù)悉該村2023年經(jīng)濟總收入是2022年的2倍，為了更好地了解該村經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該村兩年的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的條形圖和餅圖．則以下說法錯誤的是（

）A．2023年“種植收入”和2022年“種植收入”一樣多B．2023年“養(yǎng)殖收入”與“第三產(chǎn)業(yè)收入”之和比2022年的全年總收入還多C．2023年“外出務工收入”是2022年“外出務工收入”的D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍還多【答案】C【分析】設2022年總收入為m，則2023年總收入為，A選項，分別計算出2022年和2023年種植收入，得到A正確；B選項，計算出，B正確；C選項，分別計算出2022年和2023年外出務工收入，得到C錯誤；D選項，分別計算出2022年和2023年其他收入，得到D正確.【詳解】設2022年總收入為m，則2023年總收入為，對于A，2022年種植收入為，2023年種植收入為，A正確；對于B，2023年養(yǎng)殖收入和第三產(chǎn)業(yè)收入之和為，B正確；對于C，2022年外出務工收入為，2023年外出務工收入為，是2022年外出務工收入的，C不正確；對于D，2022年其他收入為，2023年其他收入為，由于，故2023年其他收入比2022年其他收入的2倍還多，D正確．故選：C．【變式3】（2024·甘肅·一模）小李一周的總開支分布如圖（1）所示，其中一周的食品開支如圖（2）所示，則以下判斷錯誤的是（

）

A．小李這一周用于肉蛋奶的支出高于用于娛樂的支出B．小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中是最少的C．小李這一周用于主食的支出比用于通信的支出高D．小李這一周用于主食和蔬菜的總支出比日常支出高【答案】D【分析】條形圖各支出占食品支出的比例乘以即是條形圖各支出占總支出的比例，由此關系即可逐一判斷每一個選項.【詳解】對于A，肉蛋奶的支出占食品開支的，從而小李這一周用于肉蛋奶的支出占比（總開支是單位1）與用于娛樂的支出占比（總開支是單位1）大小關系為，故A描述正確，不符合題意；對于B，小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中占比為，對比其他類型的支出占比可知，B描述正確，不符合題意；對于C，小李這一周用于主食的支出占比（總開支是單位1）與通信的支出占比（總開支是單位1）的大小關系為，，故C描述正確，不符合題意；對于D，小李這一周用于主食和蔬菜的總支出占比（總開支是單位1）與日常支出占比（總開支是單位1）的大小關系為，，故D描述錯誤，符合題意.故選：D.考點二：回歸分析求經(jīng)驗回歸方程的步驟(1)依據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系(有時可省略)．(2)計算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).(3)寫出經(jīng)驗回歸方程．易錯提醒(1)樣本點不一定在經(jīng)驗回歸直線上，但點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))一定在經(jīng)驗回歸直線上．(2)求eq\o(b,\s\up6(^))時，靈活選擇公式，注意公式的推導和記憶．(3)利用樣本相關系數(shù)判斷相關性強弱時，看|r|的大小，而不是r的大?。?4)區(qū)分樣本相關系數(shù)r與決定系數(shù)R2.(5)通過經(jīng)驗回歸方程求的都是估計值，而不是真實值．【例2】（22-23高三下·浙江杭州·階段練習）某公司在x年的銷售額(萬元)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)用最小二乘法得到的回歸方程為，則當關于a，b的表達式取到最小值時，（

）x201720182019202020212022A．5 B．13C．8059 D．8077【答案】D【分析】表達式表示的是樣本點與回歸直線方程的整體接近程度，故可根據(jù)此意義逆向分析的意義，結(jié)合條件即可解決之.【詳解】由題意得，，表示樣本點與回歸直線的整體接近程度，且由樣本點構(gòu)成的表為k123456對應的回歸直線方程為：，由表知，所以，由題意可知：在散點圖中，樣本點是將樣本點整體向左平移了2016個單位，故取到最小值時，回歸直線與必平行，則有，所以，所以.故選：D.【變式1】（2023·上海奉賢·三模）已知兩組數(shù)據(jù)和，其中且時，；且時，，，我們研究這兩組數(shù)據(jù)的相關性，在集合中取一個元素作為a的值，使得相關性最強，則a=（

）A．8 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根據(jù)相關性與線性回歸方程的關系即可得到答案.【詳解】設點坐標為，且，由題意得前9個點位于直線上，面，則要使相關性更強，應更接近10，四個選項中11更接近10，故選：B.【變式2】（2024·河北·一模）集校為了解本校高一男生身高和體重的相關關系，在該校高一年級隨機抽取了7名男生，測量了他們的身高和體重得下表：身高（單位：167173175177178180181體重（單位：90545964677276由表格制作成如圖所示的散點圖：

由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，其相關系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析，點對應殘差過大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關系數(shù)為.則下列選項正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)的特點判斷斜率和截距；由于去掉，其它點的線性關系更強，從而可判斷相關系數(shù)．【詳解】身高的平均數(shù)為，因為離群點的橫坐標167小于平均值176，縱坐標90相對過大，所以去掉后經(jīng)驗回歸直線的截距變小而斜率變大，故去掉后相關性更強，擬合效果也更好，且還是正相關，，故選：A．【變式3】（22-23高三上·四川成都·階段練習）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)，設將其變換后得到線性回歸方程，則原模型中的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式可得，再結(jié)合線性回歸方程即可求解.【詳解】兩邊取對數(shù)，可得，令可得∵線性回歸方程∴，解得.故選：B.考點三：獨立性檢驗獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，計算χ2的值．(3)查表比較χ2與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷．χ2越大，對應假設事件H0成立(兩類變量相互獨立)的概率越小，H0不成立的概率越大．易錯提醒(1)χ2越大兩分類變量無關的可能性越小，推斷犯錯誤的概率越小，通過表格查得無關的可能性．(2)在犯錯誤的概率不大于0.01的前提下認為兩個變量有關，并不是指兩個變量無關的可能性為0.01.【例3】（2024·寧夏銀川·一模）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30合計附：P（K2≥k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（

）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”【答案】C【分析】根據(jù)題中條件計算可判斷選項A、B；根據(jù)列聯(lián)表計算出的值，即可判斷選項C,D.【詳解】由題意知，成績優(yōu)秀的學生數(shù)是，成績非優(yōu)秀的學生數(shù)是75，所以，選項A、B錯誤；根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到因此有97.5%的把握認為“成績與班級有關系”.故C正確，D錯誤，故選：C.【變式1】（2024高三·全國·專題練習）下列命題中①散點圖可以直觀地判斷兩個變量是否具有線性相關關系;②回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線;③回歸分析和獨立性檢驗沒有什么區(qū)別;④回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點.其中正確的命題個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用散點圖、回歸直線、獨立性檢驗的知識分析判斷各個命題即得.【詳解】散點圖可以直觀地判斷兩個變量是否具有線性相關關系,故①正確;回歸直線可以不經(jīng)過散點圖中的任何一個點,故②錯誤;回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法,獨立性檢驗是對兩個變量是否具有某種關系的分析,故③錯誤;回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點,故④正確.所以正確的命題個數(shù)為個.故選:B.【變式2】（2024·廣東廣州·二模）根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到.依據(jù)的獨立性檢驗，結(jié)論為（

）A．變量與獨立B．變量與獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過C．變量與不獨立D．變量與不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過【答案】A【分析】根據(jù)獨立性檢驗的基本思想可得結(jié)論.【詳解】因為，所以，依據(jù)的獨立性檢驗，我們認為變量與獨立，故選：A.【變式3】（23-24高三上·四川成都·期末）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現(xiàn)隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下列聯(lián)表（部分數(shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗1050未注射疫苗3050合計301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計算可知，根據(jù)小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”（

）附：，.A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005【答案】B【分析】計算卡方，再根據(jù)獨立性檢驗的概念判斷即可.【詳解】完善列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗104050未注射疫苗203050合計3070100假設：“給基因編輯小鼠注射該疫苗不能起到預防該病毒感染的效果”.因為：，而，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立.即認為“給基因編輯小鼠注射該疫苗能起到預防該病毒感染的效果”.故選：B強化訓練一、單選題1．（23-24高三下·四川綿陽·開學考試）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系，運用列聯(lián)表進行檢驗，經(jīng)計算，參考下表，則認為“性別與喜歡數(shù)學有關”犯錯誤的概率不超過（

）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)與臨界值的大小關系確定犯錯誤的概率的范圍.【詳解】因為，結(jié)合表格可知，所以認為“性別與喜歡數(shù)學有關”犯錯誤的概率不超過0.010.故選：B．2．（2024·海南·模擬預測）某機構(gòu)統(tǒng)計了1000名演員的學歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學歷的人數(shù)為630.現(xiàn)按比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學歷的人數(shù)為（

）

A．11 B．13 C．22 D．26【答案】D【分析】由餅狀圖先算出碩士學歷的人數(shù)與總?cè)藬?shù)1000之比，進一步結(jié)合分層抽樣的方法即可求解.【詳解】由題意碩士學歷的人數(shù)與總?cè)藬?shù)1000之比為，現(xiàn)按比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學歷的人數(shù)為.故選：D.3．（21-22高二下·山東濱州·期末）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯(lián)進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由已知數(shù)據(jù)計算，根據(jù)獨立性檢驗的結(jié)論，列不等式求的取值范圍，得最小值.【詳解】根據(jù)題意，不妨設，于是，由于依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.故選：C4．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習）為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了50人，得到如下結(jié)果（單位：人）不患肺癌患肺癌合計不吸煙24630吸煙61420合計302050根據(jù)表中數(shù)據(jù)，以下敘述正確的是：（

）A．可以通過計算，結(jié)合統(tǒng)計決斷，判斷：有的把握認為吸煙與患肺癌有關B．可以通過計算，結(jié)合統(tǒng)計決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無關C．可以通過計算，結(jié)合統(tǒng)計決斷，判斷：有的把握認為吸煙與患肺癌有關D．可以通過計算，結(jié)合統(tǒng)計決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無關【答案】C【分析】利用卡方計算公式求得，再利用獨立性檢驗中的意義即可得解.【詳解】由題意，得，則，所以有的把握認為“吸煙與患肺癌有關有關”.故選：C.5．（2024·云南曲靖·一模）已知變量關于的回歸方程為，若對兩邊取自然對數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：12345則當時，預測的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，可得出，求出、的值，將、的值代入，求出的值，可得出變量關于的回歸方程，然后令，可得出的值.【詳解】令，由可得，如下表所示：由表格中的數(shù)據(jù)可得，，則有，解得，故，當時，.故選：C.6．（2024·四川成都·二模）高三某班學生每天完成作業(yè)所需的時間的頻率分布直方圖如圖，為響應國家減負政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎上減少小時，則減負后完成作業(yè)的時間的說法中正確的是（

）A．減負后完成作業(yè)的時間的標準差減少B．減負后完成作業(yè)的時間的方差減少C．減負后完成作業(yè)的時間在小時以上的概率大于D．減負后完成作業(yè)的時間的中位數(shù)在至之間【答案】D【分析】根據(jù)方差、標準差的性質(zhì)判斷A、B，由頻率分布直方圖分析減負前完成作業(yè)的時間在小時以上的概率，即可判斷C，分析減負前完成作業(yè)的時間的中位數(shù)位于之間，即可判斷D.【詳解】依題意若每天作業(yè)布置量在此基礎上減少小時，則平均數(shù)減小小時，方差和標準差均不變，故A、B錯誤；減負前完成作業(yè)的時間在小時以上的概率為，所以減負后完成作業(yè)的時間在小時以上的概率為，故C錯誤；由頻率分布直方圖可得，，所以減負前完成作業(yè)的時間的中位數(shù)位于之間，所以減負后完成作業(yè)的時間的中位數(shù)在至之間，故D正確.故選：D7．（23-24高三上·江西·期末）為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學黨史、育文化的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（

）A．的值為0.005 B．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分C．估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85分 D．估計成績低于60分的有250人【答案】C【分析】由頻率分布直方圖面積之和為1可計算從而判斷A，由眾數(shù)定義可判斷B，計算低于60（分）的人數(shù)即可判斷D，根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可判斷C．【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知：，即，故A正確；由圖易得在區(qū)間,的人最多，故可估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，故B正確；，故成績低于60（分）的有250人，即D正確；由圖中前四組面積之和為：，圖中前五組面積之和為：，故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)在第五組數(shù)據(jù)中，設這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為，則有，故，即估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86分，故C錯誤．故選：C．8．（23-24高三上·浙江紹興·期末）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關.在下圖分布形態(tài)中，分別對應這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直方圖矩形高低以及數(shù)據(jù)的分布趨勢，判斷即可得出結(jié)論.【詳解】眾數(shù)是最高矩形的中點橫坐標，因此眾數(shù)在第二列的中點處.因為直方圖第一、二、三、四列高矩形較多，且在右邊拖尾低矩形有三列，所以中位數(shù)大于眾數(shù)，右邊拖尾的有三列，所以平均數(shù)大于中位數(shù)，因此有.故選：C.二、多選題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）為豐富優(yōu)質(zhì)旅游資源，釋放旅游消費潛力，推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，某地政府從2023年國慶期間到該地旅游的游客中，隨機抽取部分游客進行調(diào)查，得到各年齡段游客的人數(shù)和對景區(qū)服務是否滿意的數(shù)據(jù)，并繪制統(tǒng)計圖如圖所示，利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖估計，得到的結(jié)論正確的是（

）A．游客中，青年人是老年人的2倍多B．老年人的滿意人數(shù)是青年人的2倍C．到該地旅游的游客中滿意的中年人占總游客人數(shù)的24.5%D．到該地旅游的游客滿意人數(shù)超過一半【答案】ACD【分析】根據(jù)題意結(jié)合統(tǒng)計圖表逐項分析判斷.【詳解】由扇形統(tǒng)計圖可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正確；其中滿意的青年人占總?cè)藬?shù)的，滿意的中年人占總?cè)藬?shù)的，滿意的老年人占總?cè)藬?shù)的，故B錯誤，C正確；總滿意率為，故D正確.故選：.2．（2024·廣西南寧·一模）下列說法中，正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為12B．若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2C．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D．在獨立性檢驗中，零假設為：分類變量和獨立．基于小概率值的獨立性檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立【答案】BC【分析】對A，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可；對B，根據(jù)方差的公式推導數(shù)據(jù)的方差與的方差關系求解即可；對C，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性推導即可；對D，由獨立性檢驗的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對A，由于共10個數(shù)據(jù)，且，故第40百分位數(shù)為第4，5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A錯誤；對B，設數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，故B正確；對C，則，即，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，故C正確；對D，在獨立性檢驗中，零假設為：分類變量和獨立．基于小概率值的獨立性檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立.故D錯誤.故選：BC3．（2024·云南·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．設隨機變量的均值為是不等于的常數(shù)，則相對于的偏離程度小于相對于的偏離程度（偏離程度用差的平方表示）B．若一組數(shù)據(jù)的方差為0，則所有數(shù)據(jù)都相同C．用決定系數(shù)比較兩個回歸模型的擬合效果時，越小，殘差平方和越小，模型擬合效果越好D．在對兩個分類變量進行獨立性檢驗時，如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再去判斷兩變量的關聯(lián)性時，結(jié)論不會發(fā)生改變【答案】AB【分析】根據(jù)均值的性質(zhì)，方差的公式及決定系數(shù)的含義可判斷A，B，C；根據(jù)獨立性檢驗的含義可判斷D.【詳解】對于：由均值的性質(zhì)可知，由于是不等于的常數(shù)，故可得，即相對于的偏離程度小于相對于的偏離程度，A正確；對于：根據(jù)方差公式，可知若一組數(shù)據(jù)，的方差為0，則正確；對于：由決定系數(shù)的定義可知，錯誤；對于D：如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，則的值變?yōu)樵瓉淼?0倍，在相同的檢驗標準下，再去判斷兩變量的關聯(lián)性時，結(jié)論可能發(fā)生改變，D錯誤，故選：AB.三、填空題1．（23-24高三下·北京海淀·開學考試）某直播間從參與購物的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則在這200人中年齡在的人數(shù)，直方圖中.【答案】【分析】利用頻率分布直方圖求出年齡在的頻率即可求出；由各小矩形面積和為1求出.【詳解】由頻率分布直方圖知，年齡在的頻率為，所以；由于，所以.故答案為：30；0.0352．（23-24高三·天津濱海新·期末）下列說法中正確的有（填正確說法的序號）．①回歸直線恒過點，且至少過一個樣本點；②若樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的標準差為4；③已知隨機變量，且，則；④若線性相關系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關性越弱；⑤是用來判斷兩個分類變量是否相關的隨機變量，當?shù)闹岛苄r可以推斷兩個變量不相關．【答案】②③【分析】根據(jù)線性回歸方程的概念可以判斷①，根據(jù)方差的性質(zhì)可以判斷②，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可以判斷③，根據(jù)相關系數(shù)的概念可以判斷④，根據(jù)獨立性檢驗的基本概念可以判斷⑤.【詳解】因為回歸直線可以不過樣本點，所以①錯誤；由于，所以數(shù)據(jù)的方差為16，故標準差為4，因此②正確；根據(jù)正態(tài)分布的概念，，故，即，故，因此③正確；根據(jù)相關系數(shù)的概念，若線性相關系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關性越強，故④錯誤；的值很小時只能說明兩個變量的相關性不強，故⑤錯誤.故答案為：②③3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）有甲、乙兩個班級共計105人進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”；④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”.【答案】②③【分析】由成績優(yōu)秀的概率，可求的成績優(yōu)秀的人數(shù)，進而求出非優(yōu)秀人數(shù)，得到的值，計算的觀測值，對照題目中的表格，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，在全部的105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，所以成績優(yōu)秀的人數(shù)為人，非優(yōu)秀的人數(shù)為人，所以，故①錯誤，②正確；則，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”，故③正確，④錯誤.故答案為：②③.【點睛】關鍵點睛：熟練掌握的計算方法是本題解決的關鍵.四、解答題1．（2024·貴州畢節(jié)·二模）某地區(qū)工會利用“健步行APP”開展健步走活動.為了解會員的健步走情況，工會在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會員，統(tǒng)計了當天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；(2)據(jù)統(tǒng)計，在樣本數(shù)據(jù)，，的會員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率.【答案】(1)14.5(2)0.38【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和總體百分位數(shù)的定義直接求解即可.（2）設任取的會員數(shù)據(jù)在，，中分別為事件，，，先求出對應概率，即可求解體檢為“健康”的概率.【詳解】（1）解：（1）由于在的樣本數(shù)據(jù)比例為：∴樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)在內(nèi)∴估計為：.（2）（2）設任取的會員數(shù)據(jù)在，，中分別為事件，，，∴，，設事件在該地區(qū)工會會員中任取一人體檢為“健康”.2.（2024·寧夏吳忠·模擬預測）配速是馬拉松運動中常使用的一個概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時間，