第11講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]高考對(duì)此部分的考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問的形式考查，屬中檔題．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：空間直線、平面位置關(guān)系的判定判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問題．(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷．規(guī)律方法對(duì)于線面關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立．【例1】（多選）(2023·廣州模擬)已知直線m與平面α有公共點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是()A．平面α內(nèi)存在直線l與直線m平行B．平面α內(nèi)存在直線l與直線m垂直C．存在平面β與直線m和平面α都平行D．存在過直線m的平面β與平面α垂直【變式1】（2024·吉林白山·二模）已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，且，則下列說法正確的是（

）A．“//”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．若異面，則有公共點(diǎn)D．若有公共點(diǎn)，則有公共點(diǎn)【變式2】（2024·江西鷹潭·一模）設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，則【變式3】（22-23高三上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知平面，交于直線，直線，滿足，且，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：空間平行、垂直關(guān)系平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化考向1平行、垂直關(guān)系的證明規(guī)律方法(1)證明線線平行的常用方法①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理．(2)證明線線垂直的常用方法①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直．【例2】(2023·全國(guó)甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．【變式1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)不同的平面，是平面外兩條不同的直線，給出四個(gè)條件：①；②；③；④，以下四個(gè)推理與證明中，其中正確的是.（填寫正確推理與證明的序號(hào)）（1）已知②③④，則①成立（2）已知①③④，則②成立（3）已知①②④，則③成立（4）已知①②③，則④成立【變式2】（23-24高三上·遼寧·期末）如圖，在五棱錐中，平面，，，，，，.

(1)求證：平面平面；(2)已知直線與平面所成的角為，求點(diǎn)到平面的距離.考向2翻折問題翻折問題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．易錯(cuò)提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系．【例3】（多選）(2023·山東名校大聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折的過程中，下面四個(gè)命題中正確的是()A．BM的長(zhǎng)是定值B．點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)圓周上C．存在某個(gè)位置，使DE⊥A1CD．A1不在底面BCD上時(shí)，MB∥平面A1DE【變式1】（多選）（23-24高三上·福建莆田·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，為中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿將翻折，使點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，翻折后得到三棱錐，則（

）

A．三棱錐的體積為B．直線與直線所成角的余弦值為C．直線與平面所成角為D．三棱錐外接球的表面積為【變式2】（多選）（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，將菱形沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的有（

）A．平面ABDB．異面直線AC與MN所成的角為定值C．設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為a，，當(dāng)二面角為120°時(shí)，棱錐的外接球表面積為D．若存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直，則∠ABC的取值范圍是【變式3】（多選）（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，平面四邊形ABCD中，是等邊三角形，且，M是AD的中點(diǎn)．沿BD將翻折，折成三棱錐，翻折過程中下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)平面平面BDC時(shí)，三棱錐的外接球的表面積是B．棱CD上存在一點(diǎn)N，使得平面ABCC．存在某個(gè)位置，使得CM與BD所成角為銳角D．三棱錐的體積最大時(shí)，二面角的正切值為強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高三上·江蘇南京·期中）設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，有下列命題中，真命題為（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則2．（2024·山東煙臺(tái)·一模）設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若與所成的角相等，則C．若，則D．若，則3．（22-23高三下·河北承德·階段練習(xí)）已知，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江嘉興·二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點(diǎn)，則（

）A．1 B． C． D．6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D． E．均不是7．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知正方體的棱長(zhǎng)為為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，過點(diǎn)的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B．C． D．8．（22-23高三·江西·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)滿足，，其中，在下列說法中正確的是（

）①存在，使得②存在，使得平面③當(dāng)時(shí)，取最小值④當(dāng)時(shí)，存在，使得A．①② B．②③ C．③④ D．②④二、多選題1．（2023·安徽安慶·三模）如圖，已知四邊形是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，將沿對(duì)角線翻折到在翻折的過程中，下列結(jié)論中正確的是（

）

A．B．與可能垂直C．四面體的體積的最大值是D．直線與平面所成角的最大值是2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形中，，，，，，在上，，在上，．將沿直線翻折至的位置，將四邊形沿翻折至四邊形的位置，使，則（

）A．與所成的角為B．平面平面C．直線與平面所成的角為D．四棱錐的體積3．（2023·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，過中點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)．將沿直線翻折至，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點(diǎn)，是直線上異于的任意一點(diǎn)，則（

）

A．B．C．點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為D．直線與平面所成角的余弦值的最小值為三、填空題1．（22-23高三·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關(guān)系是．2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為．（1）不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；（2）若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；（3）若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；（4）依次首尾相接的四條線段必共面．3．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，∥，則；②若，，∥，則；③若∥，，則∥；④若，，則∥.其中正確命題的序號(hào)有．四、解答題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對(duì)角線交于點(diǎn)平面，平面是過直線的一個(gè)平面，與棱交于點(diǎn)，且．求證：；

2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在正方體中，E和F分別為BC和的中點(diǎn)．(1)判斷直線EF和直線的位置關(guān)系，并說明理由；(2)判斷直線和直線的位置關(guān)系，并說明理由．3．（23-24高三上·福建龍巖·期中）如圖，在正三棱錐中，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形為矩形．(2)若四邊形為正方形，求直線與平面所成角的正弦值．4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，，點(diǎn)在上；①點(diǎn)為中點(diǎn)，求與所成角的余弦值；②當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．5．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）利用定義法、向量法證明直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．第11講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]高考對(duì)此部分的考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問的形式考查，屬中檔題．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：空間直線、平面位置關(guān)系的判定判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問題．(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷．規(guī)律方法對(duì)于線面關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立．【例1】（多選）(2023·廣州模擬)已知直線m與平面α有公共點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是()A．平面α內(nèi)存在直線l與直線m平行B．平面α內(nèi)存在直線l與直線m垂直C．存在平面β與直線m和平面α都平行D．存在過直線m的平面β與平面α垂直【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若直線m與α相交，且平面α內(nèi)存在直線l與直線m平行，由于m?α，則m∥α，這與直線m與α相交矛盾，假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若m?α，則在平面α內(nèi)必存在l與直線m垂直；若直線m與α相交，設(shè)m∩α＝A，如圖所示，若m⊥α，且l?α，則m⊥l；若m與α斜交，過直線m上一點(diǎn)P(異于點(diǎn)A)作PB⊥α，垂足為點(diǎn)B，過點(diǎn)A作直線l，使得l⊥AB，因?yàn)镻B⊥α，l?α，則l⊥PB，又因?yàn)閘⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，所以l⊥平面PAB，因?yàn)閙?平面PAB，所以l⊥m，綜上所述，平面α內(nèi)存在直線l與直線m垂直，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)直線m與平面α的一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)A，假設(shè)存在平面β，使得α∥β且m∥β，過直線m作平面γ，使得γ∩β＝l，因?yàn)閙∥β，m?γ，γ∩β＝l，則l∥m，因?yàn)棣痢桅?，記α∩γ＝n，又因?yàn)棣谩搔拢絣，則n∥l，因?yàn)樵谄矫姒脙?nèi)過點(diǎn)A有且只有一條直線與直線l平行，且A∈n，故m，n重合，所以m?α，但m不一定在平面α內(nèi)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若m⊥α，則過直線m的任意一個(gè)平面都與平面α垂直，若m與α不垂直，設(shè)直線m與平面α的一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)A，則過點(diǎn)A有且只有一條直線l與平面α垂直，記直線l，m所確定的平面為β，則α⊥β，D正確．【變式1】（2024·吉林白山·二模）已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，且，則下列說法正確的是（

）A．“//”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．若異面，則有公共點(diǎn)D．若有公共點(diǎn)，則有公共點(diǎn)【答案】C【分析】對(duì)于A，推理說明“//”是“”的必要條件即可判斷；對(duì)于B，推理說明“”是“”的充分條件即可判斷；對(duì)于C，通過反證法易判斷命題正確；對(duì)于D，由有公共點(diǎn)和題設(shè)條件，易得可相交或異面即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由，可得，又，故得，即“//”是“”的必要條件，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可得或，當(dāng)時(shí)，因，則，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過和平面內(nèi)一點(diǎn)可確定平面，且，則，由可得，同理可得，即“”是“”的充分條件，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，運(yùn)用反證法說明，假設(shè)沒有公共點(diǎn)，則，又由可得，這與異面矛盾，故假設(shè)不成立，即C項(xiàng)正確；對(duì)于D，由有公共點(diǎn)可得相交，因，則相交或異面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【變式2】（2024·江西鷹潭·一模）設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】利用空間直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷ACD，利用空間向量判斷線面位置關(guān)系，從而判斷B，由此得解.【詳解】對(duì)于A，若，，則有可能，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則直線的方向向量分別為平面法向量，又，即，所以，故B正確；對(duì)于C，若，，則有可能，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則有可能，故D錯(cuò)誤.故選：B.【變式3】（22-23高三上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知平面，交于直線，直線，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間值線面位置關(guān)系判斷即可.【詳解】，相交，，的二面角不僅僅是直角，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫妫挥谥本€，，顯然不垂直與，故B錯(cuò)誤;因?yàn)榍?，則或，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；又因?yàn)?，平面，交于直線，則，故C選項(xiàng)正確.故選：C考點(diǎn)二：空間平行、垂直關(guān)系平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化考向1平行、垂直關(guān)系的證明規(guī)律方法(1)證明線線平行的常用方法①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理．(2)證明線線垂直的常用方法①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直．【例2】(2023·全國(guó)甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．【解析】(1)證明因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因?yàn)椤螦CB＝90°，即AC⊥BC，因?yàn)锳1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因?yàn)锽C?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如圖，過點(diǎn)A1作A1O⊥CC1于點(diǎn)O.因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為A1O.因?yàn)锳1C⊥平面ABC，AC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC與Rt△A1BC中，因?yàn)锳1B＝AB，BC＝BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C＝AC.設(shè)A1C＝AC＝x，則A1C1＝x，所以O(shè)為CC1中點(diǎn)，OC1＝eq\f(1,2)AA1＝1，又因?yàn)锳1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝AAeq\o\al(2,1)，即x2＋x2＝22，解得x＝eq\r(2)，所以A1O＝eq\r(A1C\o\al(2,1)－OC\o\al(2,1))＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為1.【變式1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)不同的平面，是平面外兩條不同的直線，給出四個(gè)條件：①；②；③；④，以下四個(gè)推理與證明中，其中正確的是.（填寫正確推理與證明的序號(hào)）（1）已知②③④，則①成立（2）已知①③④，則②成立（3）已知①②④，則③成立（4）已知①②③，則④成立【答案】（1）（3）【分析】由線面平行，垂直的判定定理和性質(zhì)定理，以及面面平行的判定，性質(zhì)定理判斷即可，不正確的舉出一個(gè)反例即可.【詳解】（1）若，，所以，因?yàn)?，所以，?）正確；（2）若，，且是平面外的直線，則，又因?yàn)?，所以與平行或相交，（2）錯(cuò)誤；（3）因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，是平面外的直線，所以，（3）正確；（4）若，，且是平面外的直線，則，又因?yàn)?，則與平行或相交，（4）錯(cuò)誤.故答案為：（1）（3）【變式2】（23-24高三上·遼寧·期末）如圖，在五棱錐中，平面，，，，，，.

(1)求證：平面平面；(2)已知直線與平面所成的角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件先證平面，通過線面垂直，再證面面垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知條件通過空間向量先確定，再利用空間向量求點(diǎn)到面的距離即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，，在中，由余弦定理有：，即，解得，所以有，由此可知為等腰直角三角形，所以，又因?yàn)?，所以，即；因?yàn)槠矫?，平面，所以；因?yàn)椋?，平面，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）

建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，，，在中由余弦定理有，解得，，所以為等腰直角三角形，所以，；又因?yàn)椋?，所以，又，，所以四邊形為正方形，所以；點(diǎn)到軸距離為，點(diǎn)到軸距離為，所以，，，，；所以，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，解得；因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，整理有：，，因?yàn)?，解得；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，平面的法向量為，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.考向2翻折問題翻折問題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．易錯(cuò)提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系．【例3】（多選）(2023·山東名校大聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折的過程中，下面四個(gè)命題中正確的是()A．BM的長(zhǎng)是定值B．點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)圓周上C．存在某個(gè)位置，使DE⊥A1CD．A1不在底面BCD上時(shí)，MB∥平面A1DE【答案】ABD【解析】如圖所示，取CD的中點(diǎn)F，連接MF，BF，AC，易得MF∥A1D，BF∥DE，∵M(jìn)F?平面A1DE，A1D?平面A1DE，∴MF∥平面A1DE，同理可得BF∥平面A1DE，又MF∩BF＝F，MF，BF?平面BMF，∴平面BMF∥平面A1DE，∵BM?平面BMF，∴BM∥平面A1DE，D選項(xiàng)正確；又∠BFM＝∠A1DE，MF＝eq\f(1,2)A1D為定值，BF＝DE為定值，由余弦定理知，BM2＝MF2＋BF2－2MF·BF·cos∠MFB，∴BM的長(zhǎng)為定值，A選項(xiàng)正確；∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)B為圓心，BM為半徑的圓周上，B選項(xiàng)正確；∵A1C在平面ABCD中的射影在直線AC上，且AC與DE不垂直，∴不存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．【變式1】（多選）（23-24高三上·福建莆田·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，為中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿將翻折，使點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，翻折后得到三棱錐，則（

）

A．三棱錐的體積為B．直線與直線所成角的余弦值為C．直線與平面所成角為D．三棱錐外接球的表面積為【答案】BCD【分析】求得三棱錐的體積判斷選項(xiàng)A；求得直線與直線所成角的余弦值判斷選項(xiàng)B；求得直線與平面所成角判斷選項(xiàng)C；求得三棱錐外接球的表面積判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題意可得，三棱錐中，，，，又平面，則平面，選項(xiàng)A：三棱錐的高為，底面積，則,故三棱錐的體積為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，故直線與直線所成角的余弦值為.判斷正確；選項(xiàng)C：設(shè)三棱錐的高為d，又，則，則，設(shè)直線與平面所成角為，則,又，則，故直線與平面所成角為.判斷正確；選項(xiàng)D：外接圓半徑設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，又平面，則，解之得，則三棱錐外接球的表面積為.判斷正確.故選：BCD【變式2】（多選）（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，將菱形沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的有（

）A．平面ABDB．異面直線AC與MN所成的角為定值C．設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為a，，當(dāng)二面角為120°時(shí)，棱錐的外接球表面積為D．若存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直，則∠ABC的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，證得，證得平面，可判定A正確；證得平面，證得，得到，可判定B正確；取的中心，設(shè)外接球的球心為，根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)，求得外接球半徑為，可判定C錯(cuò)誤；分為直角和鈍角時(shí)，結(jié)合在線段的關(guān)系，結(jié)合，可判定D正確．【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)榉謩e為菱形的邊的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以A正確；對(duì)于B中，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，所以，即異面直線與所成的角為定值，所以B正確；對(duì)于C中，取的中心，設(shè)外接球的球心為，連接平面，平面，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)榈倪呴L(zhǎng)為，可得，則，又因?yàn)?，?dāng)二面角為時(shí)，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，即外接球半徑為，所以外接球的表面積為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，過作，垂足為，若為銳角，在線段上；若為直角，則與重合；若為鈍角，則在線段的延長(zhǎng)線上，若存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，若為直角，與重合，所以，在中，因?yàn)?，所以不可能成立，即為直角不可能成立；若為鈍角，在線段的延長(zhǎng)線上，則在菱形中，為銳角，由于立體圖中，所以立體圖中一定小于平面圖中的，所以為銳角，，故點(diǎn)在線段上與H在線段的延長(zhǎng)線上矛盾，因此不可能是鈍角；綜上,的取值范圍是，所以D正確．故選：ABD．【變式3】（多選）（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，平面四邊形ABCD中，是等邊三角形，且，M是AD的中點(diǎn)．沿BD將翻折，折成三棱錐，翻折過程中下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)平面平面BDC時(shí)，三棱錐的外接球的表面積是B．棱CD上存在一點(diǎn)N，使得平面ABCC．存在某個(gè)位置，使得CM與BD所成角為銳角D．三棱錐的體積最大時(shí)，二面角的正切值為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，確定外接球球心位置，求得外接球半徑，即可求得外接球的表面積；對(duì)于B，取CD的中點(diǎn)N，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于C，證明平面CME，推出，即可判斷CM與BD所成角不可能為銳角；對(duì)于D，確定三棱錐的體積最大時(shí)，平面平面BDC，作出二面角的平面角，即可求得其正切值，判斷D.【詳解】對(duì)于A，三棱錐的外接球被平面BCD所截小圓圓心是正的中心，是等邊三角形，設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接，則在上，，則，

由于，故外接球被平面ABD所截小圓圓心為點(diǎn)M，設(shè)球心為O，連，OM，則平面BCD，平面ABD，由于是等邊三角形，故，而平面平面BDC，平面平面，平面，故平面ABD，因?yàn)?，同理可證平面BCD，為的中點(diǎn)，連接，故,則平面BCD，故，，故四邊形為矩形，，連AO，由于，則，在中，，所以三棱錐的外接球的表面積，A正確；對(duì)于B，取CD的中點(diǎn)N，連MN，因M是AD的中點(diǎn)，則，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，B正確；對(duì)于C，如圖，因是正三角形，有，而M是AD的中點(diǎn)，有，而，則，，CE，平面CME，于是得平面CME，平面CME，所以，即CM與BD所成角不可能為銳角，C不正確；因?yàn)椋谷忮F的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C到平面ABD距離最大，即平面平面BDC時(shí)，由選項(xiàng)A知，點(diǎn)C到直線BD的距離為，

由A可知平面ABD，作，垂足為G，連接，由于平面ABD，故,而平面，故平面，平面平面，平面平面，故為二面角的平面角，由題意知且，則,故在中，，故,即三棱錐的體積最大時(shí)，二面角的正切值為，D正確，故選：ABD．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高三上·江蘇南京·期中）設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，有下列命題中，真命題為（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)空間中直線和平面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：如下圖所示，直線，，則垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則的位置關(guān)系是任意的，故B錯(cuò)誤.對(duì)C：若，，則，故C正確；對(duì)D：若，，則，的位置關(guān)系是任意的，故D錯(cuò)誤；故選：C.2．（2024·山東煙臺(tái)·一模）設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若與所成的角相等，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，與所成的角相等，則可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，則可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，則，D正確，故選：D3．（22-23高三下·河北承德·階段練習(xí)）已知，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，若，，則平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則相交或平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則（垂直于同一平面的兩條直線互相平行），故C正確；對(duì)于D，若，，則相交或平行，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體，正三棱柱的性質(zhì)，線面的位置關(guān)系及線面平行的判定定理結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】A選項(xiàng)中，由正方體的性質(zhì)可知，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，因?yàn)?，故平面CNQ即為平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故正確；C選項(xiàng)中，因?yàn)?，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點(diǎn)B，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，假設(shè)直線BM與平面CNQ平行，過點(diǎn)M作CQ的平行線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是在上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，平面，則平面平面CNQ，而平面與平面，平面CNQ分別交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，假設(shè)錯(cuò)誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯(cuò)誤．故選：B.5．（2023·浙江嘉興·二模）已知正方體的棱長(zhǎng)為為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點(diǎn)，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題意知平面平面，可先令為中點(diǎn)，再證明當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，滿足平面平面，即可輕易得出的值.【詳解】因?yàn)闉榭臻g內(nèi)一點(diǎn)且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點(diǎn)，所以∥平面,而平面，故平面平面.在正方體中，如圖所示，取中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，假設(shè)為中點(diǎn)，則為等腰三角形，中點(diǎn)為,所以;又因?yàn)?,所以，中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,所以,而,所以，，平面，所以平面，平面,所以；因?yàn)?，?平面，所以平面，平面，所以平面平面，符合題意，故為中點(diǎn)，.故選：D.6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】C【分析】在上取點(diǎn)，使，連接、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合題意可得平面，平面，故點(diǎn)到直線距離的最小值為，計(jì)算出即可得.【詳解】在上取點(diǎn)，使，連接、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，故，又平面，平面，故平面，由平面，平面，故，故，又，，、平面，故平面，故到平面的距離為，又在線段上，故點(diǎn)到直線距離的最小值為，由，故，則，故.故選：C.7．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知正方體的棱長(zhǎng)為為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，過點(diǎn)的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，由，證得，再由平面，證得，從而得到平面，同理證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到平面截正方體的截面為，進(jìn)而求得截面的面積，得到答案.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，分別連接，在正方形中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證：，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，即平面截正方體的截面為，由正方體的棱長(zhǎng)為，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以截面的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定所求截面為，從而得解.8．（22-23高三·江西·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)滿足，，其中，在下列說法中正確的是（

）①存在，使得②存在，使得平面③當(dāng)時(shí)，取最小值④當(dāng)時(shí)，存在，使得A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系可判斷①；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷②；利用和異面直線都垂直且相交的線段的長(zhǎng)為異面直線間的最短距離的含義可判斷③；利用球的半徑和點(diǎn)到球心的距離的比較可判斷④，即得答案.【詳解】因?yàn)槠矫?，且平面，所以不存在，，使得，故①錯(cuò)誤；記平面，在平面中，過點(diǎn)M作直線，交直線于點(diǎn)N，在正方體中,平面平面,故,連接,則,而,平面,故平面，所以此時(shí)平面，故②正確；當(dāng)時(shí)，分別為，的中點(diǎn)，M點(diǎn)也為的中點(diǎn)，則，且直線與不垂直，即與不垂直，即MN不是線段和上兩點(diǎn)連線的最小值，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，N為的中點(diǎn)，，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為O，連接，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，則，因此以為直徑的球與線段必有交點(diǎn)，即存在，使得.故④正確,故選：D.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類空間幾何體中的存在性問題，屬于較難問題，解答是要充分發(fā)揮空間想象能力，明確空間幾何體中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，對(duì)于存在性的判斷，可以找到特殊位置或特殊值，說明適合題意，如果不存在，要加以證明或說明.二、多選題1．（2023·安徽安慶·三模）如圖，已知四邊形是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，將沿對(duì)角線翻折到在翻折的過程中，下列結(jié)論中正確的是（

）

A．B．與可能垂直C．四面體的體積的最大值是D．直線與平面所成角的最大值是【答案】ABC【分析】由折疊平面的變與不變性，對(duì)于A，取中點(diǎn)，可得⊥面，A選項(xiàng)可判斷；對(duì)于B，假設(shè)與垂直，則⊥面，再根據(jù)題目所給長(zhǎng)度即可判斷；對(duì)于C，當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)四面體的體積的最大,計(jì)算最大體積即可;對(duì)于D，當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)直線與平面所成角最大，判斷即可.【詳解】對(duì)于A，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，

是以為斜邊的等腰直角三角形，，為等邊三角形，，又面，面，又面，，故A正確.對(duì)于B，假設(shè)，又面，面，又面，，又，易知，當(dāng)時(shí)，，故與可能垂直，故B正確.對(duì)于D，當(dāng)面面時(shí)，面面=，平面，此時(shí)面即為直線與平面所成角，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.對(duì)于C，易知當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)四面體的體積最大，此時(shí)的體積為：，故C正確.故選：ABC.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形中，，，，，，在上，，在上，．將沿直線翻折至的位置，將四邊形沿翻折至四邊形的位置，使，則（

）A．與所成的角為B．平面平面C．直線與平面所成的角為D．四棱錐的體積【答案】BC【分析】對(duì)A，即為與所成的角，對(duì)B，證明平面，平面即可；對(duì)C，轉(zhuǎn)化為直線與平面所成的角，證平面，則即為所求角；對(duì)D，應(yīng)用等積法即可.【詳解】對(duì)于A，依題意可得，則，所以為與所成的角．在中，，，，所以，即與所成的角為，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，，又平面，平面，所以平面．因?yàn)椋矫?，平面，所以平面．又，，平面，所以平面平面，故B正確．對(duì)于C，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以直線與平面所成的角即直線與平面所成的角．因?yàn)椋?，所以，則，則和均為直角三角形，所以．由題意可得平面．又平面，所以．因?yàn)?，，平面，所以平面，所以即為所求角．由，，得，則直線與平面所成的角為，故C正確．對(duì)于D，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又，，平面，所以平面，則為四棱錐的高．由，得，所以，則四棱錐得體積，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)睛】本題以直角梯形的翻折為背景，考查異面直線所成的角、面面平行的判定、直線與平面所成的角、四棱錐的體積，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)．3．（2023·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，過中點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)．將沿直線翻折至，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點(diǎn)，是直線上異于的任意一點(diǎn)，則（

）

A．B．C．點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為D．直線與平面所成角的余弦值的最小值為【答案】BCD【分析】A、B選項(xiàng)結(jié)合線面角最小，二面角最大可判斷;對(duì)于C，先由旋轉(zhuǎn)，易判斷出，故其軌跡為圓弧，即可求解.對(duì)于D求直線與平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再結(jié)合三角恒等變換求出函數(shù)的最值即可【詳解】

依題意，將沿直線翻折至，連接,由翻折的性質(zhì)可知，關(guān)于所沿軸對(duì)稱的兩點(diǎn)連線被該軸垂直平分，故，又在平面內(nèi)的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面.平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內(nèi)的部分，易知其長(zhǎng)度為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示

設(shè)，在中，，，在中，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：BCD．三、填空題1．（22-23高三·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關(guān)系是．【答案】或【分析】畫出空間圖形判斷得解.【詳解】解：若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關(guān)系是或.故答案為：或2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為．（1）不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；（2）若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；（3）若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；（4）依次首尾相接的四條線段必共面．【答案】1【分析】對(duì)（1）利用反證法即可證明；對(duì)（2）若A，B，C共線則反駁該結(jié)論；對(duì)（3）直線b，c可能存在異面的情況；對(duì)（4）空間四邊形可以不在一個(gè)平面內(nèi).【詳解】對(duì)（1），可以用反證法證明：假設(shè)任意3點(diǎn)均共線，不妨設(shè)A，B，C共線，則由一直線和一直線外的點(diǎn)確定一個(gè)平面，知A，B，C，D共面，這與題設(shè)矛盾，∴題目成立，得證．故（1）正確；對(duì)（2），從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C三點(diǎn)共線，則結(jié)論不正確，故（2）錯(cuò)誤；對(duì)（3），共面不具有傳遞性，直線b，c可能異面，故（3）錯(cuò)誤；對(duì)（4），∵此時(shí)所得的四邊形四條邊可以不在一個(gè)平面上．故（4）錯(cuò)誤.故答案為：1.3．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，∥，則；②若，，∥，則；③若∥，，則∥；④若，，則∥.其中正確命題的序號(hào)有．【答案】①③④【分析】根據(jù)空間直線和平面平行、垂直的判定與性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】對(duì)于①：因?yàn)椤?，可知在平面?nèi)存在直線，使得∥，如圖所示，

又因?yàn)?，且，則，所以，因此①正確；對(duì)于②：如圖∥，，，∥，即此時(shí)符合題設(shè)，因此②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知：③正確；

對(duì)于④：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：④正確．

綜上所述，正確命題的序號(hào)有①③④．故答案為：①③④．四、解答題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對(duì)角線交于點(diǎn)平面，平面是過直線的一個(gè)平面，與棱交于點(diǎn)，且．求證：；

【答案】證明見解析【分析】利用線面平行的判定定理，得到平面，再利用線面平行的性質(zhì)，即可證明結(jié)果.【詳解】證明：四棱錐的底面