高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時，，故不是不等式的解，不等式可化為，因為，故，所以且，所以且，又，所以.故選：B.2.已知命題，命題，則（）A.p和q都是真命題 B.p是假命題，q是真命題C.p是真命題，q是假命題 D.p和q都是假命題【答案】B【解析】因為時，所以命題為假命題；因為時，；時，，且指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)在上有一個交點，所以，故命題為真命題．綜上是假命題，是真命題．故選：B.3.某生命科學(xué)研究所通過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個人的肥胖指數(shù)大于24但不大于28時，可認(rèn)定為輕微肥胖；當(dāng)一個人的肥胖指數(shù)大于28時，可認(rèn)定為嚴(yán)重肥胖，且輕微肥胖和嚴(yán)重肥胖均為肥胖類型的一種，據(jù)上述文字?jǐn)⑹隹梢缘弥ǎ〢.嚴(yán)重肥胖是肥胖指數(shù)大于24的充分不必要條件B.嚴(yán)重肥胖是肥胖指數(shù)大于24的必要不充分條件C.嚴(yán)重肥胖是肥胖指數(shù)大于24的充要條件D.嚴(yán)重肥胖既不是肥胖指數(shù)大于24的充分條件也不是必要條件【答案】A【解析】由題意可得嚴(yán)重肥胖一定能推出肥胖指數(shù)大于24，但肥胖指數(shù)大于24，不大于28時不能推出嚴(yán)重肥胖，因此嚴(yán)重肥胖是肥胖指數(shù)大于24的充分不必要條件．故選:A.4.已知冪函數(shù)的圖象分別經(jīng)過兩點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為冪函數(shù)的圖象分別經(jīng)過兩點，所以把兩點分別代入可得，故，故.故選：B.5.已知函數(shù)，其中，則下列說法中錯誤的是（）A.若a為偶數(shù)，則與的值域相同B.若a為奇數(shù)，則與的值域相同C.若a為偶數(shù)，則與的定義域相同D.若a為奇數(shù)，則與的定義域相同【答案】C【解析】當(dāng)為偶數(shù)時，定義域為與的定義域不同，此時為偶函數(shù)，，與的值域相同，故A正確；C錯誤；當(dāng)為奇數(shù)時，定義域為與的定義域相同，，與的值域相同，故B，D正確；故選:C.6.已知函數(shù)則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，因為，易得在上單調(diào)遞增，又因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因此可化為，解得，故實數(shù)的取值范圍為．故選：A.7.某科研小組共60名成員，他們需要完成甲、乙、丙、丁四個科研項目，科研成員隨機參與，且每個人可以參與一個或多個項目．若參與甲項目的有30人，參與乙項目的有10人，參與丙項目的有20人，參與丁項目的有30人，參與了甲項目或乙項目的共有40人，同時參與了甲項目和丙項目的有10人，參與了甲項目或丁項目的共有60人，則下列說法正確的是（）A.參與甲項目與參與乙項目不互斥 B.參與甲項目與參與丁項目互斥但不對立C.參與丙項目與參與丁項目不相互獨立 D.參與甲項目與參與丙項目相互獨立【答案】D【解析】設(shè)總?cè)藬?shù)為，記參與甲，乙，丙，丁項目分別為事件，由題意可得，故，故參與甲項目與參與乙項目互斥，故A錯誤；由題意可得，，故，故參與甲項目與參與丁項目互斥且對立，故B錯誤；由題意得，故，，故，故參與丙項目與參與丁項目相互獨立，故C錯誤；，故參與甲項目與參與丙項目相互獨立，故D正確．故選：D.8.已知正數(shù)a，b，c滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，由此可得是方程的根，也是直線與曲線交點的橫坐標(biāo)；同理，是直線與曲線交點的橫坐標(biāo)；是直線與曲線交點的橫坐標(biāo)．由于上述三條直線相交于點，曲線經(jīng)過點，結(jié)合函數(shù)圖象可得．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某科研團隊對某產(chǎn)品的一項新功能進行了8次測試，將不合格、合格、良、優(yōu)的結(jié)果分別用0，1，2，3標(biāo)記，若8次測試結(jié)果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次優(yōu)，則對于標(biāo)記后的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A.極差為4 B.平均數(shù)為1C.方差為1 D.75%分位數(shù)為2【答案】BC【解析】將8次測試結(jié)果標(biāo)記后得到數(shù)據(jù)0，0，0，1，1，1，2，3，對于A：極差為，故A錯誤；對于B：平均數(shù)為，故B正確；對于C：方差為故C正確；對于D：，按從小到大排列的第6個數(shù)為1，第7個數(shù)為2，故分位數(shù)為，故D錯誤．故選：BC.10.已知函數(shù)，其中，則下列說法正確的是（）A.若的定義域是，則B.若的最大值為1，則C.若在上單調(diào)遞增，則D.若在上單調(diào)遞減，則【答案】ACD【解析】對于A，若的定義域是，則的解集為，所以，故A正確；對于B，令，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時取最大值，因為單調(diào)遞增，且最大值為1，得的最大值為4，所以當(dāng)時，，解得，故B錯誤；對于C，易知在上單調(diào)遞增，所以，解得，故C正確；對于D，易知在上單調(diào)遞減，所以解得，故D正確；故選：ACD.11.已知定義域為函數(shù)滿足對于，則下列說法正確的是（）A.B.若對于，則函數(shù)是奇函數(shù)CD.若當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BD【解析】對于A：令，則，則或0，故A錯誤；對于B：因為，所以，由，且，所以，令，則，所以，所以，故是奇函數(shù)，故B正確；對于C：若，令可得，故C錯誤；對于D：若當(dāng)時，，則不滿足，所以，設(shè)0，則，所以，所以，即對任意的，都有，所以在上單調(diào)遞增．又，所以在，上單調(diào)遞增，故D正確．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某次九省聯(lián)考考試結(jié)束后，相關(guān)部門為了分析考生的數(shù)學(xué)成績，采用隨機抽樣的方式從某地區(qū)抽取了3000名高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，則此次抽樣的樣本為_______．【答案】某地區(qū)3000名高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績【解析】總體為所有參加此次考試考生的數(shù)學(xué)成績；樣本為某地區(qū)3000名高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.故答案為：某地區(qū)3000名高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.13.已知a>0，則的最小值為_______．【答案】12【解析】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為12.故答案為：12.14.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則_______.【答案】6【解析】由題意可得，因為是奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，因此，即，經(jīng)檢驗適合題意.故答案為：6.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.對下列兩個式子進行求值．（1）；（2）．解：（1）原式.（2）因為，，所以原式16.設(shè)集合．（1）當(dāng)時，求集合的非空真子集的個數(shù)；（2）若，求整數(shù)的所有可能取值．解：（1）當(dāng)時，，故，其中含有4個元素，故其非空真子集的個數(shù)為．（2）由題意可得，由，可得解得，故整數(shù)的所有可能取值為1和2．17.某林場在海拔（單位：米）0至2500米內(nèi)均種植樹木，從中隨機抽取100棵樹，將其海拔分布情況繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，再從海拔在的樹中采用分層隨機抽樣的方式抽取5棵深入檢查，用頻率估計概率．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該林場樹木海拔的中位數(shù)；（2）從參與深入檢查的5棵樹中隨機選擇3棵，求有且僅有2棵海拔在內(nèi)的概率．解：（1）計算各組對應(yīng)的頻率，海拔在為，海拔在為，海拔在為，故海拔在的頻率為0.4，海拔在的頻率為0.8，所以中位數(shù)在內(nèi)，故該林場樹木海拔的中位數(shù)為（米）（2）從海拔在的樹中采用分層隨機抽樣的方式抽取5棵深入檢查，故從的樹中抽?。茫?，從）的樹中抽?。茫?，設(shè)抽取的海拔在的樹為，海拔在的樹為，故從這5棵樹中隨機選擇3棵的可能結(jié)果有，，，共10種，其中有且僅有2棵海拔在內(nèi)的可能結(jié)果有，，共6種，故有且僅有2棵海拔在內(nèi)的概率為．18.為探究與x關(guān)系，研究人員提出了用的函數(shù)模型刻畫數(shù)據(jù)．其中與x的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：1231248156（1）運用上述函數(shù)模型，求當(dāng)時的值；（2）若當(dāng)時，恒成立，求t的最小值．解：（1）將表格數(shù)據(jù)代入，得解得故該函數(shù)模型的表達式為，把代入，得．（2）由題意，當(dāng)時，恒成立．即，設(shè)，則，不等式可化為，即（*），再令，則，（*）可化為：，因，故當(dāng)時，即時，取得最大值為，由可得，故t的最小值為.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上單調(diào)遞增．