第2章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)2.2奇異信號(hào)2.3沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)

2.1線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)

2.1.1線性連續(xù)系統(tǒng)的描述

1.元件約束VAR

電流、電壓需取關(guān)聯(lián)參考方向即滿足:

(1)電阻R,UR(t)=RiR(t);

(2)電感L,

(3)電容C,

(4)互感(同名端、異名端連接)、理想變壓器等原邊、副邊電壓、電流關(guān)系等。

2.結(jié)構(gòu)約束KCL與KVL

這里通過舉例來說明結(jié)構(gòu)約束KCL與KVL。

【例2-1】

如圖2-1所示電路,試分別列出電流i1(t)、

電流i2(t)和電壓uo(t)的數(shù)學(xué)模型。圖2-1例2-1圖解

KCL:KVL:VAR:解此聯(lián)立方程,最后求得2.1.2系統(tǒng)的響應(yīng)——微分方程的經(jīng)典解

將例2-1推廣到一般情況,如果單輸入、單輸出線性非時(shí)變的激勵(lì)為f(t),其全響應(yīng)為y(t),則描述線性非時(shí)變系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)與響應(yīng)y(t)之間關(guān)系的是n階常系數(shù)線性微分方程,它可寫為式中,an、an－1、…、a1、a0和bm、bm－1、b0、…均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即齊次解,用yh(t)表示;非齊次方程的特解用yp(t)表示,即有

y(t)=yh(t)+yp(t)

(2-1)

1.齊次解

齊次解滿足齊次微分方程:

any(n)(t)+an－1yn－1(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知,該齊次微分方程的特征方程為

anλn+an－1λn－1+…+a1λ+a0=0

(2-2)

特征方程的n個(gè)根λ1、λ2、…、λn稱為微分方程的特征根。在系統(tǒng)分析中常稱之為自然頻率或固有頻率。根據(jù)特征根的特點(diǎn),微分方程的齊次解有下面幾種形式:

(1)特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根都互不相同(即無(wú)重根),則微分方程的齊次解為(2-3)式中,Ci(i=1,2,…,n)是由初始條件確定的常數(shù)。

(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根,即有λ1=λ2=λ3=…=λγ,而其余(n－γ)個(gè)根λγ+1、λγ+2、…、λn都是單根,則微分方程的齊次解為(2-4)式中,Ci(i=1,2,…,γ)和Cj(i=γ+1,γ+2,…,n)均由初始條件確定。

(3)特征根有一對(duì)單復(fù)根,即λ1,2=a±jb,則微分方程的齊次解

yh(t)=C1eαtcosbt+C2eαtsinbt

(2-5)式中C1與C2由初始條件確定。

(4)特征根有一對(duì)m重復(fù)根,即共有m重λ1,2=a±jb的復(fù)根,則微分方程的齊次解為(2-6)yh(t)=C1eαtcosbt+C2teαtcosbt+…+Cmtm－1eαtcosbt+d1eαtsinbt+d2teαtsinbt+…+dmtm－1eαtsinbt

【例2-2】求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的齊次解。

解由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=－1,λ1=－2。因此該方程的齊次解為

yh(t)=C1e－t+C2e－2t

【例2-3】

求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齊次解。

解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根λ1=λ2=－1,因此該方程的齊次解

yh(t)=C1te－t+C2e－t

2.特解

特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。表2-1列出了幾種類型的激勵(lì)函數(shù)f(t)及其所對(duì)應(yīng)的特解yp(t)。選定特解后將它代入原微分方程,求出其特定系數(shù)Pi,就可求出特解。

3.完全解

根據(jù)式(2-1),完全解是齊次解與特解之和,如果微分方程的特征根全為單根,則微分方程的全解為(2-7)當(dāng)特征根中λ1為γ重根,而其余(n－γ)個(gè)根均為單根時(shí),方程的全解為(2-8)式中,系數(shù)Ci、Cj由初始條件確定。設(shè)激勵(lì)信號(hào)f(t)是在t=0時(shí)接入的,微分方程解適合于區(qū)間0<t<∞。對(duì)于n階線性微分方程,用給定的n個(gè)初始條件y(0)、y′(0)、y″(0)、…、y(n－1)(0)就可以確定全部的待定系數(shù)

Ci、Cj。這里只討論特征根都是單根的情形,特征方程有重根的情形也類似。

如果微分方程的特征根都是單根,則方程的完全解為式(2-7),將給定的初始條件分別代入到式(2-7)及其各階導(dǎo)數(shù),即可得方程組:由以上方程組可以解得待定系數(shù)系統(tǒng)Ci(i=1,2,…,n)。下面舉例說明。

【例2-4】

描述某線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t),已知系統(tǒng)的初始條件是y(0)=y′(0)=0,輸入激勵(lì)f(t)=e－tu(t),試求全響應(yīng)y(t)。

解在例2-2中求得該方程的齊次解,即yh(t)=C1e－t+C2e－2t,下面來求其特解。

因f(t)=e－t,α=－1與一個(gè)特征根λ1=－1相同,所以該方程的特解為

yp(t)=P1te－t+P0e－t

將特解yp(t)代入微分方程,有

(P1te－t+P0e－t)″+3(P1te－t+P0e－t)′+2(P1te－t+P0e－t)=e－t由待定系數(shù)法求得P0=0、P1=1,所以特解為

yp(t)=te－t

因此完全解是

y(t)=C1e－t+C2e－2t+te－t

由初始條件y(0)=y′(0)=0,有

y(0)=C1+C2=0

y′(0)=－C1－2C2+1=0

解得C1=－1、C2=1,所以,全響應(yīng)為

y(t)=(－e－t+e－2t+te－t)u(t)2.1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

1.零輸入響應(yīng)

所謂零輸入響應(yīng),是指系統(tǒng)無(wú)外加激勵(lì),即激勵(lì)信號(hào)f(t)=0時(shí),僅由系統(tǒng)初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的響應(yīng),系統(tǒng)方程為

any(n)(t)+an－1y(n－1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

(2-9)

式(2-9)為齊次微分方程,其特征方程為

anλn+an－1λn－1+…+a1λ+a0=0

(2-10)

對(duì)其進(jìn)行因式分解得

(λ－p1)(λ－p2)…(λ－pn)=0

其中,p1、p2、…、pn為方程的n個(gè)特征根。根據(jù)特征根的不同情況,零輸入響應(yīng)將具有不同的形式。

(1)當(dāng)特征根均為單根時(shí),零輸入響應(yīng)的一般形式為其中,pi為各個(gè)單根;Ai為單根對(duì)應(yīng)指數(shù)項(xiàng)的待定系數(shù)。

(2)當(dāng)特征根中含有k重根,其他為單根時(shí),零輸入響應(yīng)的一般形式為其中,p1為k重根,Ai為重根對(duì)應(yīng)各項(xiàng)的待定系數(shù);pj為各個(gè)單根,Aj為單根對(duì)應(yīng)指數(shù)項(xiàng)的待定系數(shù)。

【例2-5】

已知某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為y′(t)+3y(t)=x(t),激勵(lì)f(t)=e－4tu(t),系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0－)=5,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)。

解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)滿足方程由特征方程λ+3=0得特征根λ=－3,則零輸入響應(yīng)的形式為

yzi(t)=Ae－3t

t≥0由系統(tǒng)的初始值特定系數(shù),得yzi(0+)=y(0－)=A=5,所以零輸入響應(yīng)為

yzi(t)=5e－3t

t≥0

2.零狀態(tài)響應(yīng)

所謂零狀態(tài)響應(yīng),是指系統(tǒng)沒有初始儲(chǔ)能,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零,即yzi(0－)=y(1)(0－)=…=y(n－1)(0－)=0,這時(shí)僅由系統(tǒng)的外加激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。

由于零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)與激勵(lì)f(t)有關(guān),因此,獲得零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)需要求解非齊次微分方程(2-11)零狀態(tài)響應(yīng)的求解采用經(jīng)典法,這實(shí)際上是一種純數(shù)學(xué)方法,即將yzs(t)分解為零狀態(tài)條件下的齊次解yh(t)和特解yp(t)

yzs(t)=yh(t)+yp(t)

(2-12)

【例2-6】

已知某二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為y(2)(t)+

3y(1)(t)+2y(t)=x(1)(t)－x(t),系統(tǒng)初始狀態(tài)y(0－)=1,y(1)(0－)=2;初始值y(0+)=1,y(1)(0+)=3。當(dāng)激勵(lì)x(t)=u(t)時(shí),求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。

解求齊次解:由特征方程λ2+3λ+2=0,解得特征根為

λ1=－1,λ2=－2,則

yh(t)=C1e－t+C2e－2t

t≥0

求特解:設(shè)yp(t)=B,為了求待定系數(shù),將其代入原微分方程,并將激勵(lì)x(t)=1(t>0)也代入原微分方程,得解得B=(1/2),故特解yp(t)=－(1/2),則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為由系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及其微分方程y(1)zs(t)=－C1e－t－2C2e－2t可以得到方程解該方程,得C1=2,C2=－3/2,所以系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

其波形如圖2-2(a)所示。

2.2奇異信號(hào)2.2.1奇異信號(hào)的時(shí)域描述

典型的奇異信號(hào)有如下幾種,其中單位階躍信號(hào)和單位沖激信號(hào)尤為重要。

1.單位斜變信號(hào)

斜變信號(hào)又稱斜坡信號(hào),是指信號(hào)在某時(shí)刻以后隨時(shí)間呈現(xiàn)正比例增長(zhǎng)。當(dāng)斜變信號(hào)隨時(shí)間增長(zhǎng)的速率為1時(shí),稱為單位斜變信號(hào)或單位斜坡信號(hào),用符號(hào)R(t)表示,定義為圖2-2(b)所示為延遲的單位斜變信號(hào),時(shí)間起始點(diǎn)為t0(t0>0),其定義為(2-14)隨時(shí)間增長(zhǎng)的速率不為1的斜變信號(hào)稱為一般的斜變信號(hào),也可以表示成單位斜變信號(hào)的形式,如信號(hào)f(t)=2R(t)。在實(shí)際應(yīng)用中,斜變信號(hào)一般有時(shí)間延遲,且當(dāng)信號(hào)增長(zhǎng)到一定數(shù)值時(shí)不再發(fā)生變化,如圖2-2(c)所示,此信號(hào)可表示為(2-15)若用斜變信號(hào)表示,則有圖2-2斜變信號(hào)(2-16)

2.單位階躍信號(hào)

單位階躍信號(hào)又稱開關(guān)信號(hào),如圖2-3所示,用符號(hào)u(t)來表示,其定義為(2-17)式(2-17)表明,在t=0時(shí)刻,信號(hào)無(wú)定義,其值發(fā)生了跳變,即u(0－)=0,u(0+)=1。圖2-3單位階躍信號(hào)單位直流電壓源或電壓源在t=0時(shí)刻接入電路并且無(wú)限持續(xù)下去,此種電源激勵(lì)信號(hào)可以表示為單位階躍信號(hào)。

如果單位直流電源的接入時(shí)間為t=t0,且t0>0,可以用延遲的單位階躍信號(hào)來表示,如圖2-4(a)所示,可表示為(2-18)一般直流電源接入電路時(shí),可能存在時(shí)間延遲,而且電源的電壓值或電流值不為1,稱為一般階躍信號(hào),如圖2-4(b)所示,可表示為

f(t)=Ku(t－t0)

(2-19)圖2-4階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)u(t)和延遲的單位階躍信號(hào)u(t－t0)均可以理解為開關(guān)信號(hào),可以借助二者確定任意信號(hào)的起始時(shí)刻。如單位斜變信號(hào)表示為R(t)=tu(t),延遲的單位斜變信號(hào)表示為

R(t－t0)=(t－t0)u(t－t0),單位指數(shù)信號(hào)表示為f(t)=Keatu(t),圖2-2(c)所示信號(hào)可表示為(2-20)

3.單位沖激信號(hào)

沖激信號(hào)記為δ(t),其一般定義式為且(2-21)其波形如圖2-5所示。圖2-5沖激信號(hào)

4.單位沖激偶信號(hào)

單位沖激信號(hào)的求導(dǎo)稱為單位沖激偶信號(hào),又稱二次沖激信號(hào),用符號(hào)δ(1)(t)表示。沖激偶信號(hào)顧名思義是有兩個(gè)上下對(duì)稱的沖激信號(hào),如圖2-6所示。

由上述分析可以看出,信號(hào)R(t)、u(t)、δ(t)和δ(1)(t)之間具有如下關(guān)系:

(1)微分關(guān)系:(2-22)圖2-6沖激偶函數(shù)

(2)積分關(guān)系:(2-23)式(2-23)中的積分下限可以取0－。如果信號(hào)R(t)、u(t)、δ(t)和δ(1)(t)存在延遲,它們之間仍然存在上述關(guān)系。

5.門函數(shù)

門函數(shù)是一矩形脈沖信號(hào),又稱矩形窗函數(shù),用符號(hào)

gτ(t)來表示,如圖2-7所示,其脈沖寬度為τ,脈沖幅度為1,定義為(2-24)式(2-24)還可以表示為gτ(t)=。圖2-7門函數(shù)

6.符號(hào)函數(shù)

符號(hào)函數(shù)又稱正負(fù)號(hào)函數(shù),用符號(hào)sgn(t)來表示,如圖2-8所示,定義為(2-25)式(2-25)還可以表示為sgn(t)=2u(t)－1。圖2-8符號(hào)函數(shù)2.2.2沖激信號(hào)的特點(diǎn)及物理意義

沖激信號(hào)的概念來源于某些物理現(xiàn)象,如自然界中的雷電、電力系統(tǒng)中開關(guān)啟閉產(chǎn)生的瞬間電火花、通信系統(tǒng)中的抽樣脈沖等。

圖2-9所示為一無(wú)初始儲(chǔ)能的充電電路,直流電壓源的電壓為E,當(dāng)電容容量C不變,電阻R減少時(shí),充電速率提高;當(dāng)R→0時(shí),開關(guān)閉合,電容兩端電壓由原來的0值突變到電源電壓值E,此時(shí)電流值為無(wú)限大,如何來表示這一無(wú)限大的電流呢？圖2-9無(wú)初始儲(chǔ)能的充電電路如圖2-10(a)所示的矩形脈沖信號(hào)pτ(t),其脈沖寬度為τ,脈沖幅度為1/τ,則矩形脈沖的面積為1。保持面積不變,當(dāng)τ減少時(shí),脈沖幅度必然增加,如圖2-10(b)所示;當(dāng)τ→0,1/τ→∞時(shí),矩形脈沖信號(hào)演變?yōu)閱挝粵_激信號(hào),其定義為(2-26)單位沖激信號(hào)δ(t)的波形如圖2-10(c)所示,其幅度為∞,強(qiáng)度為1。圖2-10單位沖激信號(hào)的定義過程

δ(t)的定義是基于廣義函數(shù)的概念,它不符合普通函數(shù)的定義,函數(shù)與自變量之間沒有明確的關(guān)系。

當(dāng)單位沖激信號(hào)出現(xiàn)在t=t0時(shí),稱其為延遲的單位沖激信號(hào),表示為δ(t－t0),如圖2-11(a)所示,定義為(2-27)當(dāng)沖激信號(hào)的幅度無(wú)限大,強(qiáng)度為A時(shí),如圖2-11(b)所示,可以稱其為一般沖激信號(hào),即f(t)=Aδ(t),定義為圖2-11(c)所示為延遲的沖激信號(hào),f2(t)=Aδ(t－t0)。圖2-11沖激信號(hào)

1.δ(t)的奇偶性

因?yàn)閷?duì)上式以－t換t,有所以δ(t)是偶函數(shù)。

2.δ(t)具有采樣(篩選)性

若函數(shù)f(t)在t=0連續(xù),由于δ(t)只在t=0存在,故有

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

(2-28)

若f(t)在t=t0連續(xù),則有

f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)

(2-29)

以上說明,δ函數(shù)可以把信號(hào)f(t)在某時(shí)刻的值采樣(篩選)出來。

利用上述δ(t)的采樣性,可以得到兩個(gè)重要的積分結(jié)果(2-30)

2.3沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.3.1沖激響應(yīng)

一線性非時(shí)變系統(tǒng),當(dāng)其初始狀態(tài)為零,輸入為單位沖激信號(hào)δ(t)時(shí)所引起的響應(yīng)為單位沖激響應(yīng),簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng),記為h(t)。亦即沖激響應(yīng)是激勵(lì)為單位沖激信號(hào)δ(t)時(shí),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

【例2-7】

已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

y′(t)+6y(t)=3f′(t)+2f(t),(t≥0),試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。

解由原方程可得

h