《高等數(shù)學(xué)》課程教案課題：二重積分教學(xué)目的：1．了解二重積分的概念與性質(zhì)2．掌握二重積分的計(jì)算方法及應(yīng)用課型：新授課課時(shí)：本章安排4個(gè)課時(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)：二重積分的計(jì)算方法及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：難點(diǎn)：二重積分的計(jì)算方法及應(yīng)用教學(xué)過程：教學(xué)形式：講授課，教學(xué)組織采用課堂整體講授和分組演示。教學(xué)媒體：采用啟發(fā)式教學(xué)、案例教學(xué)等教學(xué)方法。教學(xué)手段采用多媒體課件、視頻等媒體技術(shù)。板書設(shè)計(jì)：本課標(biāo)題二重積分課次2授課方式理論課□討論課□習(xí)題課□其他□課時(shí)安排4學(xué)分共2分授課對象普通高等院校學(xué)生任課教師教材及參考資料1.《高等數(shù)學(xué)》；電子工業(yè)出版社。2.本教材配套視頻教程及學(xué)習(xí)檢查等資源。3.與本課程相關(guān)的其他資源。教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法及教學(xué)手段課程引入銜接導(dǎo)入在一元函數(shù)積分學(xué)中，定積分是某種確定形式的和式極限，若將這種和式極限的概念推廣到定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)，則得到二重積分的概念。本章將介紹二重積分的概念、計(jì)算方法及應(yīng)用。參考以下形式：1.銜接導(dǎo)入2.懸念導(dǎo)入3.情景導(dǎo)入4.激疑導(dǎo)入5.演示導(dǎo)入6.實(shí)例導(dǎo)入7.其他形式本章基本知識匯總第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念1.引例曲頂柱體的體積設(shè)有一個(gè)立體圖形，它的底面是xOy平面上的有界閉區(qū)域D，側(cè)面是以區(qū)域

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的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面，頂是由二元連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)，f(x,y)≥0表示的曲面，如圖所示。這個(gè)立體圖形稱為區(qū)域D我們知道，對于平頂柱體，當(dāng)f(x,y)=h?（h為整數(shù)，h>0）時(shí)，它的體積V=底面積×高=σ×h，式中σ是有界閉區(qū)域D的面積?，F(xiàn)在曲頂柱體的頂是曲面，高f(x,y)在區(qū)域D上是變量，體積不能用上面的公式來計(jì)算。因此可仿照求曲邊梯形面積的思路，把區(qū)域D分成許多小區(qū)域。由于（1）分割。將區(qū)域D任意分成n個(gè)小區(qū)域，稱為子域Δσ1、??Δσ2、???（2）取近似。在每個(gè)小曲頂柱體的底Δσi上任取點(diǎn)(ξi,ηi)（ΔV（3）求和。將這n個(gè)小平頂柱體的體積相加得到原曲頂柱體體積的近似值，即V=i=1（4）取極限。將區(qū)域D無限細(xì)分以使每個(gè)子域趨于一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)近似值就趨于原曲頂柱體的體積，即V=limλn2.二重積分的定義上面這個(gè)例子可看作二元函數(shù)在平面區(qū)域上的一個(gè)和式的極限。在物理、力學(xué)、幾何及工程技術(shù)中，有很多量的計(jì)算都可以歸結(jié)為上述特定和式的極限，拋開其具體意義，可以抽象出二重積分的定義。定義：設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)定義在有界閉區(qū)DD意分成n個(gè)子域Δσi（i=1,2,?,n），Δσi表示第i個(gè)子域的面積；在Δσi上任取一點(diǎn)(Df這時(shí)，稱f(x,y)在區(qū)域D上可積，式中f(x,y)為被積函數(shù)，f(x,y)dσ為被積表達(dá)式，dσ為面積元素，D為積分區(qū)域，“根據(jù)二重積分的定義，曲頂柱體的體積就是曲頂函數(shù)f(x,y)，f(x,y)≥0在底面區(qū)域V=D3.二重積分的幾何意義當(dāng)f(x,y)≥0時(shí)，二重積分Df(x,y)dσ的幾何意義就是如圖9-1所示的曲頂柱體的體積；當(dāng)f(x,y)<0時(shí)，柱體在xOy平面的下方，二重積分Df(x,y)dσ表示該柱體體積的相反值，即f(x,y)的絕對值在區(qū)域

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上的二重積分Df(x,y)二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1Dkf(x,y)dσ=kD性質(zhì)2D性質(zhì)3（積分區(qū)域可加性）若區(qū)域D被分成兩個(gè)子域D1和D2，則在區(qū)域 D性質(zhì)4若在區(qū)域D上f(x,y)=1，且區(qū)域D的面積為σ，則D性質(zhì)5若在區(qū)域D上f(x,y)≤g(x,y)，則D推論：函數(shù)在區(qū)域D上的二重積分的絕對值不大于函數(shù)的絕對值在區(qū)域D上的二重積分，即D性質(zhì)6（估值定理）若M和m分別是函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的最大值和最小值，σ為區(qū)域D的面積，則mσ≤性質(zhì)7（中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，記σ是區(qū)域D的面積，則在區(qū)域D上至少存在一點(diǎn)(ξ,η)，使得D第二節(jié)二重積分的計(jì)算一、在直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算在直角坐標(biāo)系中，用平行于x軸和y軸的兩簇直線分割區(qū)域D時(shí)，面積元素dσ=dxDf(x,y)現(xiàn)在先假定f(x,y)≥0，根據(jù)二重積分的幾何意義討論它的計(jì)算問題，同樣適用于一般的二重積分（1）設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式組表示為&φ其中函數(shù)φ1(x)和φ2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，如下圖所示。這種區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于y軸的直線與區(qū)域

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選x為積分變量，x∈[a,b]，任取子區(qū)間[x,x+dx]?[a,b]。設(shè)A(x)表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的平面與曲頂柱體相交的截面的面積（見下圖），則曲頂柱體體積V的微元ddV=A(x)從而得曲頂柱體的體積 V=a截面面積A(x)又如何確定呢？由圖9-4可見，該截面是一個(gè)以區(qū)間[φ1(x),φ2(x)]A(x)=φ將A(x)代入上式，則曲頂柱體的體積V=a于是二重積分Df(x,y)dσ=由此看到，二重積分的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為先對y后對x的二次定積分。第一次積分，把x看作常數(shù)，把f(x,y)看作變量y的函數(shù)對變量y積分，它的積分限一般是x的函數(shù)，結(jié)果是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)；第二次積分，第一次計(jì)算得到的結(jié)果對變量x積分，積分限是常量，最終得到一個(gè)常數(shù)。這種先對一個(gè)變量積分，再對另一個(gè)變量積分的方法，稱為累次積分法。式（9-1）稱為先對y后對x的累次積分公式，通常寫作Df(x,y)dσ=a（2）設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式組表示為&ψ其中函數(shù)ψ1(y)和ψ2(y)在區(qū)間[c,d]上連續(xù)，如下圖所示。這種區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于x軸的直線與區(qū)域D的邊界的交點(diǎn)不超過兩點(diǎn)（或與邊界線有一段重合）。該區(qū)域稱為YV=c 于是二重積分Df(x,y)dσ=式（9-3）稱為先對x后對y的累次積分公式，通常寫作Df(x,y)dσ=不難發(fā)現(xiàn)，把二重積分化為累次積分的關(guān)鍵是根據(jù)所給的積分區(qū)域

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判定兩次定積分的上下限。上下限的判定方法可用如下直觀方法確定。首先在xOy平面上畫出曲線圍成的區(qū)域D，然后在區(qū)域D內(nèi)作平行于y軸的直線。若平行于y軸的直線與區(qū)域D的邊界的交Df(x,y)若區(qū)域D不是X型區(qū)域，可以在區(qū)域D內(nèi)作平行于x軸的直線，若平行于x軸的直線與區(qū)域D的邊界的交點(diǎn)不超過兩點(diǎn)（或與邊界線有一段重合），則區(qū)域D為Y型區(qū)域。二重積分可以轉(zhuǎn)化為先對x后對y的二次定積分：兩個(gè)交點(diǎn)的x坐標(biāo)（交點(diǎn)所在的曲線方程用y表示x）分別為x的上下限（左交點(diǎn)是下限、右交點(diǎn)是上限）；直線上下平行移動，不超過D的區(qū)域，視y在哪兩個(gè)常數(shù)之間，從而得到y(tǒng)的上下限。如圖9-7所示，轉(zhuǎn)化為二次積分Df(x,y)注：（1）轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，兩個(gè)積分限都必須“下限”小于“上限”。先積分的變量寫在后面，其上下限一般是后積分變量的函數(shù)；后積分的變量寫在前面，其上下限一定是常數(shù)。（2）對于每個(gè)區(qū)域D中二重積分的計(jì)算，在直角坐標(biāo)系中都可以轉(zhuǎn)化為先對y后對x的二次定積分，也可以轉(zhuǎn)化為先對x后對y的二次定積分。我們可以根據(jù)D的圖形選擇方便的方法。在計(jì)算時(shí)對于有些被積函數(shù)還需要考慮計(jì)算問題，如根據(jù)被積函數(shù)選擇合適的積分次序。積分次序的選擇，不僅要看積分區(qū)域的特征，而且要考慮被積函數(shù)的特點(diǎn)；原則是既要使計(jì)算能進(jìn)行，又要使計(jì)算盡可能地簡便。這需要讀者通過自己的實(shí)踐，逐漸靈活掌握。二、極坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算在極坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分Df(x,y)dσ會遇到兩個(gè)問題：一是如何把被積函數(shù)f(x,y)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式，二是如何把面積元素dσ轉(zhuǎn)第一個(gè)問題容易解決。若選取極點(diǎn)

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為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)、極軸為x軸的正半軸，如上圖所示，則由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的關(guān)系，有&x=r即有f(x,y)=f(rcos對于第二個(gè)問題，在極坐標(biāo)系中，可以用θ=常數(shù)和r=常數(shù)兩簇曲線（一簇從極點(diǎn)發(fā)出的射線和另一簇圓心在極點(diǎn)的同心圓）把區(qū)域D分割成許多子域。這些子域除靠邊界曲線的一些子域外，絕大多數(shù)都是扇形域（見圖）。當(dāng)分割更細(xì)時(shí)，這些不規(guī)則子域的面積之和趨于0，所以不必考慮。圖中陰影所示子域的面積近似等于以rdθ為長、dσ=r于是二重積分的極坐標(biāo)形式為Df(r注意，面積元素的極坐標(biāo)形式中有一個(gè)因子r，讀者在運(yùn)用中切勿遺漏。在極坐標(biāo)系中，區(qū)域D的邊界曲線方程通常用r=r(θ)表示，因此在極坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分時(shí)一般選擇先積r后積θ的次序。在實(shí)際計(jì)算中，分兩種情形：（1）原點(diǎn)在積分區(qū)域D內(nèi)，且邊界方程為r=r(θ)，如圖所示，則二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分D==0（2）D==α三、二重積分的對稱性設(shè)f(x,y)在有界區(qū)域D上為連續(xù)函數(shù)，區(qū)域D可以分為D1?和?D2兩個(gè)子域，則f

（1）若D1與D2是關(guān)于D（2）若D1與D2 D例如，設(shè)積分區(qū)域D是由曲線y=1-x2與y=x2-則DxD第三節(jié)二重積分在幾何上的應(yīng)用根據(jù)二重積分的幾何意義可知，當(dāng)f(x,y)≥0時(shí)，Df(x,y)dσ表示以區(qū)域D為底、曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積，因此二重積分在幾何上可用于求空間立