《高等數(shù)學(xué)》課程教案課題：微分方程教學(xué)目的：1．了解微分方程的基本概念2．掌握一階微分方程、可降階的微分方程、二階線(xiàn)性微分方程的計(jì)算方法課型：新授課課時(shí)：本章安排6個(gè)課時(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)：一階微分方程、可降階的微分方程、二階線(xiàn)性微分方程的計(jì)算方法教學(xué)難點(diǎn)：難點(diǎn)：一階微分方程、可降階的微分方程、二階線(xiàn)性微分方程的計(jì)算方法教學(xué)過(guò)程：教學(xué)形式：講授課，教學(xué)組織采用課堂整體講授和分組演示。教學(xué)媒體：采用啟發(fā)式教學(xué)、案例教學(xué)等教學(xué)方法。教學(xué)手段采用多媒體課件、視頻等媒體技術(shù)。板書(shū)設(shè)計(jì)：本課標(biāo)題微分方程課次3授課方式理論課□討論課□習(xí)題課□其他□課時(shí)安排6學(xué)分共2分授課對(duì)象普通高等院校學(xué)生任課教師教材及參考資料1.《高等數(shù)學(xué)》；電子工業(yè)出版社。2.本教材配套視頻教程及學(xué)習(xí)檢查等資源。3.與本課程相關(guān)的其他資源。教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法及教學(xué)手段課程引入銜接導(dǎo)入函數(shù)是客觀(guān)事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映，利用函數(shù)關(guān)系可以對(duì)客觀(guān)事物的變化規(guī)律進(jìn)行研究，因此尋求變量之間的函數(shù)關(guān)系在實(shí)踐中具有重要意義。在許多實(shí)際問(wèn)題中，往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系，但是根據(jù)問(wèn)題所提供的條件，有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即所謂的微分方程。微分方程建立后，對(duì)它進(jìn)行研究，找出未知函數(shù)，這就是解微分方程。本章主要介紹微分方程的一些基本概念和幾種較簡(jiǎn)單的解法。參考以下形式：1.銜接導(dǎo)入2.懸念導(dǎo)入3.情景導(dǎo)入4.激疑導(dǎo)入5.演示導(dǎo)入6.實(shí)例導(dǎo)入7.其他形式本章基本知識(shí)匯總第一節(jié)微分方程的基本概念例1已知直角坐標(biāo)系中的一條曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)(1,2)，且在該曲線(xiàn)上任一點(diǎn)P(x,y)處的切線(xiàn)斜率等于該點(diǎn)縱坐標(biāo)的平方，求此曲線(xiàn)的方程。解：設(shè)所求曲線(xiàn)的方程為y=y(x)，這是待求的未知函數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及本題給出的條件，得y'即

dxdy積分得x=-又已知曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,2)，代入上式，得C=32，所以，所求曲線(xiàn)的方程為例2設(shè)一物體從A點(diǎn)出發(fā)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在任一時(shí)刻的速度為運(yùn)動(dòng)時(shí)間的兩倍，求物體的運(yùn)動(dòng)方程。解：首先建立坐標(biāo)系。取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向，并設(shè)物體在t時(shí)刻到達(dá)M點(diǎn)，其坐標(biāo)為s(t)。顯然，s(t)是時(shí)間t的函數(shù)，它表示物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是本題中待求的未知函數(shù)。s(t)的導(dǎo)數(shù)s'(t)就是物體運(yùn)動(dòng)的速度v(t)=2t, （6-1）以及

s(0)=0。 （6-2）式（6-1）能幫助建立微分方程，式（6-2）是本題的初始條件，因?yàn)関(t)=s'(t)，因此求物體的運(yùn)動(dòng)方程已s'積分后得通解s(t)=t2+C，再將式（6-2）代入通解中，得C=0，故初值問(wèn)題的解為s(t)=上述兩例的方程都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般地，含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱(chēng)為微分方程。若微分方程中的未知函數(shù)為一元函數(shù)，則稱(chēng)為常微分方程。由于我們僅研究常微分方程，因此將常微分方程簡(jiǎn)稱(chēng)為微分方程，有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為方程。例如，下面方程都是微分方程（其中y、v、θ均為未知函數(shù)）：（1）y'=kx，（2）(y-（3）mv（4）y″（5）d2θdt2+gl微分方程可以描述許多現(xiàn)象，如上面的方程（1）和方程（3）描述的是某種變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng)為該微分方程的階數(shù)，如方程（1）～（3）為一階微分方程，方程（4）和方程（5）為二階微分方程。通常，n階微分方程的一般形式為Fx,y,y',?,y(n)=0，式中本章主要研究幾種特殊類(lèi)型的一階微分方程和二階微分方程。將一個(gè)函數(shù)代入微分方程使其成為恒等式，此函數(shù)稱(chēng)為微分方程的解。不難驗(yàn)證，函數(shù)y=x2、y=x2+1及y=x若微分方程解中所含獨(dú)立的（不能合并的）任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱(chēng)這樣的解為該微分方程的通解。若在微分方程通解中的任意常數(shù)中取定一組固定常數(shù)，則得到的解稱(chēng)為該微分方程的特解。例如，方程y'=2x的解y=x2+C中含有一個(gè)任意常數(shù)且與該方程的階數(shù)相同，因此，這個(gè)解是該微分方程的通解；若求滿(mǎn)足條件y(0)=0的解，代入通解y=x2+C yx=x0=由此可以確定通解中的一個(gè)任意常數(shù)。二階微分方程的初始條件是yx=x0=y0及由此可以確定通解中的兩個(gè)任意常數(shù)。一個(gè)微分方程與其初始條件構(gòu)成的問(wèn)題稱(chēng)為初值問(wèn)題。求解某初值問(wèn)題，就是求微分方程的特解。例3驗(yàn)證函數(shù)y=C1ex+C2解：由y=Cy'y″將y'與y C1因此函數(shù)y是原方程的解。又函數(shù)y中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)為2，等于方程的階數(shù)，所以y=C1ex將初始條件yx=0=3代入C1+C2=3；將初始條件y'x=0=0C1-2C2=0由式（6-3）和式（6-4）解得C1=2、C2一般地，微分方程的一個(gè)解的圖形是一條平面曲線(xiàn)，稱(chēng)為微分方程的積分曲線(xiàn)。通解的圖形是平面上的一簇曲線(xiàn)，稱(chēng)為微分方程的積分曲線(xiàn)簇。特解的圖形是積分曲線(xiàn)簇中的一條確定的曲線(xiàn)。這就是微分方程解的幾何意義。第二節(jié)一階微分方程一階微分方程的一般形式為Fx,y,y'=0，下面僅介紹幾種常用的一階微分方程。一、可分離變量的一階微分方程若方程可將變量x、y及其微分分列于等式兩邊，則可化為g(y)dy=f(x)dx的形式，這種方程稱(chēng)為可分離變量的微分方程。因?yàn)榉匠讨械淖兞靠梢酝耆胤蛛x到等式兩邊，所以對(duì)于這樣的方程可以?xún)蛇呁瑫r(shí)積分。右邊對(duì)變量x求積分，左邊對(duì)變量y求積分，即g(y)dy=設(shè)g(y)及f(x)的原函數(shù)依次為G(y)及F(x)，即得G(y)=F(x)+C。上式是只含變量x、y而不含導(dǎo)數(shù)（或微分）的等式，它就是方程的解。二、齊次方程形式為dy的微分方程稱(chēng)為齊次方程。求解這類(lèi)方程可令y=u(x)?x，則xdu分離變量得duf(u)兩端積分得duf(u)求出積分后，再用yx代替u，便得所給齊次方程的通解三、一階線(xiàn)性微分方程形式為dy的微分方程稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程。若Q(x)≡dy為一階齊次線(xiàn)性微分方程。若Q(x)≠dy為一階非齊次線(xiàn)性微分方程。1.一階齊次線(xiàn)性微分方程的解法不難看出，一階齊次線(xiàn)性微分方程dy是可分離變量的方程。分離變量得dyy兩邊積分得lny所以，方程的通解公式為y=Ce2.一階非齊次線(xiàn)性微分方程的解法一階非齊次線(xiàn)性微分方程dy與其對(duì)應(yīng)的一階齊次線(xiàn)性微分方程dy的差異在于自由項(xiàng)Q(x)不等于

0。因此，可以設(shè)想它們的通解之間會(huì)有一定的聯(lián)系。設(shè)y=y1(x)是一階齊次線(xiàn)性微分方程的一個(gè)解，則當(dāng)C為常數(shù)時(shí)，y=Cy1(x)仍是該方程的解，它不可能滿(mǎn)足一階非齊次線(xiàn)性微分方程。如果把C看作x的函數(shù)，并將y=C(x)y1代入設(shè)y=C(x)y1是一階非齊次線(xiàn)性微分方程的解，將y=C(x)yy'則有C'即C'因?yàn)閥1對(duì)應(yīng)的是一階齊次線(xiàn)性微分方程的解，故yC'式中，y1與Q(x)均為已知函數(shù)所以可以通過(guò)積分求得C(x)=Q(x)代入y=C(x)yy=Cy容易驗(yàn)證，上式給出的函數(shù)滿(mǎn)足一階非齊次線(xiàn)性微分方程y'且含有一個(gè)任意常數(shù)，所以它是一階非齊次線(xiàn)性方程y的通解。在運(yùn)算過(guò)程中，取一階齊次線(xiàn)性微分方程的一個(gè)解為y1于是，一階非齊次線(xiàn)性微分方程的通解公式也可寫(xiě)成y=e上述討論中所用的方法是將常數(shù)C變?yōu)榇ê瘮?shù)C(x)，再通過(guò)確定C(x)來(lái)求解方程。該法稱(chēng)為常數(shù)變易法。第三節(jié)可降階的微分方程一、y(n)=f對(duì)這類(lèi)微分方程只需要進(jìn)行n次積分就可得到含有n個(gè)任意常數(shù)的通解。設(shè)F1(x)是y(ny(n…二、y″=f(x,因方程中不顯含y，故令y'=p(x)，則d2yp'三、y″=f(y因方程中不顯含x，故令y'=p(y)，則yp?dpdy第四節(jié)二階線(xiàn)性微分方程形式為y的微分方程稱(chēng)為二階線(xiàn)性微分方程。當(dāng)f(x)≠y″+p(x)y'+q(x)y=f(x)稱(chēng)為二階非齊次線(xiàn)性微分方程。當(dāng)f(x)=0時(shí)，y″+p(x)y'+q(x)y=0稱(chēng)為二階齊次線(xiàn)性微分方程。當(dāng)系數(shù)p(x)、q(x)分別為常數(shù)p和q時(shí)，上述方程分別為y″+py'+qy=f(x)和y″+py'+qy=0二者分別稱(chēng)為二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程和二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程。一、二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)1.二階齊次線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1設(shè)函數(shù)y1、y2是二階齊次線(xiàn)性微分方程［見(jiàn)式（6-8）］的解，則函數(shù)C2y2（這里要提醒的是，函數(shù)y=C1y1+C2y=C而C1k+C2實(shí)際上是一個(gè)常數(shù)，所以y=C1y1+C2y2不是所求方程的通解定義1若y1y2=常數(shù)，則稱(chēng)y1、y2為線(xiàn)性相關(guān)；若下面給出二階齊次線(xiàn)性微分方程通解的結(jié)構(gòu)。定理2設(shè)函數(shù)y1、y2是二階齊次線(xiàn)性微分方程［見(jiàn)式（6-8）］的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，則函數(shù)y=C1y例如，y=C1e3x+C2e-2x（C1C2為任意常數(shù)）是微分方程y″-y'-6y=0的通解，可驗(yàn)證y1=e3x和y2=e-2.二階非齊次線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理3設(shè)函數(shù)y*是二階非齊次線(xiàn)性微分方程［見(jiàn)式（6-7）］的一個(gè)特解，函數(shù)Y是其對(duì)應(yīng)的二階齊次線(xiàn)性微分方程［見(jiàn)式（6-8）］的通解，則y=Y+y證明：因?yàn)閥*和Y分別是式（6-7）和式（6-8y*Y″將y=Y+y*代入式（6-7左邊===0+f(x)=f(x)=右邊。因此，y=Y+y*是式（6-7）的解。又因?yàn)閅是式（6-8）的通解，必含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，所以y=Y+y*中也含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。二、二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程由定理2知，求二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程［見(jiàn)式（6-10）］通解的關(guān)鍵是找出其兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解。由于y″+py'+qy=0中的p和q均為常數(shù)，而形如y=erx的指數(shù)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是自身的倍數(shù)，故設(shè)想方程將y=erx、y'=rerx、yr2因?yàn)閑rxr2由此可見(jiàn)，只要解出上述一元二次方程的根

r，就能得到方程y″+py定義2方程r2+pr+q=0稱(chēng)為二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程［見(jiàn)式（6-特征根有如下三種情況：（1）特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2，此時(shí)y=er1x、y=y=C1er1x（2）特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2，此時(shí)方程只有一個(gè)特解y1=er1x；我們還要尋找另一個(gè)特解y2y=C1+C2x（3）特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1，2=α±iβ（β≠0，α、β為實(shí)數(shù)），此時(shí)方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)形式的特解yeix則y1、y2y1y2由定理1知，12(y1+y2)=eαxcosβx y=eαxC1cosβ綜上所述，求解二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程通解的步驟如下：（1）寫(xiě)出方程所對(duì)應(yīng)的特征方程r2（2）求出特征方程的兩個(gè)根r1、r（3）由特征根的三種不同情況寫(xiě)出微分方程y″+p三、二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程根據(jù)定理

3，二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程y″+py'+qy=f(x)的通解為對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程y″+py'+qy=0（1）f(x)=Pmy*式中：Pm(x)為已知的m次多項(xiàng)式；Qm(x)=bmxm+?+b1x+b0，為待定的m1．教學(xué)