初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)講義

第一講和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖:

二、絕對(duì)值的意義：

（1）幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。

（2）代數(shù)意義：①正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身；②負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；

③零的絕對(duì)值是零。

a（當(dāng)a為正數(shù)）

也可以寫(xiě)成：|。|=<0（當(dāng)。為0）

（當(dāng)a為負(fù)數(shù)）

說(shuō)明：（I）|a|/即|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

（II）|a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。

三、典型例題

例1.（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：

則代數(shù)式Ia+a+b|+c-a-b-c|的值等于（A）

A.-3aB.2c—aC.2a—2bD.b

解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-cba。c

|=-a-（a+b）+（c-a）+b-c=-3a

分析：解絕對(duì)值的問(wèn)題時(shí)，往往需要脫去絕對(duì)值符號(hào)，化成一般的有理數(shù)計(jì)算。脫去絕對(duì)值的符號(hào)時(shí)，必須先

確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)各個(gè)數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義脫去絕對(duì)值符號(hào)。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)

學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)數(shù)的符號(hào)，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)，完成化簡(jiǎn)。

例2.已知：x<0<z,xy>0,且那么+++

的值（C

A.是正數(shù)B.是負(fù)數(shù)C.是零D.不能確定符號(hào)

解:由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：

所以H+z[+|y+z|一,一y|

=x+z-（y+z）-（x-y）—~Jz?

=0'

分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個(gè)看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、

輕松的找到了X、y、z三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡(jiǎn)鋪平了道路。雖然例題中沒(méi)有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)

該有數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的意識(shí)。

例3.（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè),

兩點(diǎn)之間的距離為8,求這兩個(gè)數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？

分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號(hào)相反，即

一正一負(fù)。那么究竟誰(shuí)是正數(shù)誰(shuí)是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問(wèn)題。

解：設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y

由題意得：|x|=3|y|,

（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè):

若x在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即x<0,y>0,則4y=8,所以y=2,x=-6

若x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即x>0,y<0,則-4y=8,所以y=-2,x=6

（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：

若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即x<0,y<0,則-2y=8,所以y=-4,x=T2

若x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即x>0,y>0,則2y=8,所以y=4,x=12

例4.（整體的思想）方程卜―200^=2008—%的解的個(gè)數(shù)是（D）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)窮多個(gè)

分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個(gè)整體，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求方程|a|=-a的解，利用絕

對(duì)值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題

的答案為D。

例5.（非負(fù)性）已知|ab—2|與|a—1|互為相互數(shù)，試求下式的值.

1111

------1-------------------------1---------------------------1--|--------------------------------------

ab(a+l)(Z?+l)(a+2)(b+2)(a+2007)(6+2007)

分析：利用絕對(duì)值的非負(fù)性，我們可以得到：［|ab—21=|a—11=0,解得:a=l,b=2

于T是E__1_I________1_______I________1________|__|____________1___________

ab(a+l)(/?+l)(a+2)(6+2)(a+2007)(6+2007)

----1-------------1-------------F...H--------------

20082009

I--------

2009

2008

在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過(guò)程中，我們采用了裂項(xiàng)的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果.同學(xué)們可以再深入思考，

1111

如果題目變成求+++…+CM。…值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)

2x44x66x82008x2010

探究。

例6.(距離問(wèn)題)觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離4與—2,3與5,—2與—6,—4與3.

并回答下列各題：

(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？答：相等.

(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x,點(diǎn)B表示的數(shù)為一1,則A與B兩點(diǎn)間的距離

可以表示為|力(1)|=、+1.

分析：點(diǎn)B表示的數(shù)為-1,所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn)B所在的位置。那么點(diǎn)A呢？因?yàn)閤可以表示任意有

理數(shù)，所以點(diǎn)A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出A與B兩點(diǎn)間的距離呢？

結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。

當(dāng)x<-l時(shí)，距離為-xT,當(dāng)-l〈x<0時(shí)，距離為x+1,當(dāng)x>0,距離為x+1

綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x+l\

(3)結(jié)合數(shù)軸求得卜-2|+|九+3］的最小值為」—，取得最小值時(shí)x的取值范圍為-3Wx&2,

分析：|九-2|即x與2的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x(chóng)與2之間的距離。

|%+3|=|x-(-3)|即X與-3的差的絕對(duì)值，它也可以表示數(shù)軸上X與-3之間的距離。

如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：

2x

圖2符合題意

(4)滿足卜+1|+卜+4|>3的X的取值范圍為x〈-4或x〉T

分析：同理|尤+1|表示數(shù)軸上x(chóng)與T之間的距離，|x+4|表示數(shù)軸上x(chóng)與-4之間的距離。本題即求，當(dāng)x

是什么數(shù)時(shí)x與T之間的距離加上x(chóng)與-4之間的距離會(huì)大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案:x<-4

或X>-lo

說(shuō)明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對(duì)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問(wèn)題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問(wèn)題也可以

轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值問(wèn)題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問(wèn)題時(shí)可以帶來(lái)方便。事實(shí)上，|A-B\表示的幾何意義就是在

數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離。這是一個(gè)很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識(shí)解

決了（3）、（4）這兩道難題。

四、小結(jié)

1.理解絕對(duì)值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對(duì)值的非負(fù)性

2.體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用

第二講：代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題

一、知識(shí)鏈接

1.“代數(shù)式”是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容,

是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的內(nèi)容之一。

2.用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個(gè)代數(shù)式的值。

注：一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化

3.求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會(huì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識(shí)打下基礎(chǔ)。

二、典型例題

例1.若多項(xiàng)式27nx2-x2+5x+8-（7x2-3y+5x）的值與x無(wú)關(guān)，

求—[2m2—（5m-4）+m]的值.

分析：多項(xiàng)式的值與X無(wú)關(guān)，即含X的項(xiàng)系數(shù)均為零

因?yàn)?mX?-x2+5x+8-（7x2-3y+5x）=（2m-8）x2+3y+8

所以m=4

將m=4代人，m2-[2m2—（5m—4）+m]=—m2+4m—4=—16+16-4=-4

利用“整體思想”求代數(shù)式的值

例2.X=-2時(shí)，代數(shù)式+人工3+”-6的值為8,求當(dāng)X=2時(shí)，代數(shù)式辦5+"3+c%-6的值。

分析：因?yàn)?b工3+“-6=8

當(dāng)x=-2時(shí)，—25〃—236—2c—6=8得到25a+236+2。+6=—8,

所以25〃+236+20=—8—6=—14

當(dāng)x=2時(shí)，ax5+bx3+cx—6=25tz+23Z;+2c—6=(-14)—6=—20

例3.當(dāng)代數(shù)式+3x+5的值為7時(shí)，求代數(shù)式31+9x—2的值.

分析：觀察兩個(gè)代數(shù)式的系數(shù)

由/+3%+5=7得/+3%=2,利用方程同解原理，得3/+9X=6

整體代人，3x2+9x-2=4

代數(shù)式的求值問(wèn)題是中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，它的運(yùn)算技巧、解決問(wèn)題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法

就是其中之一。

例4.已知。2+。一1=0,求+2007的值.

32

分析：解法一（整體代人）：由。2+?！?=。得a+a-a=0

所以：a+la+2007

=tz3+a2+a2+2007

=a+a2+2007

=1+2007

=2008

解法二（降次）：方程作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。

由+a—1=0,得a2=1—a,

所以：a3+2a2+2007

=ci~ci+2a~+2007

=（1-d）a+2a2+2007

=a—a2+2a2+2007

=a+a2+2007

=1+2007

=2008

解法三（降次、消元）：a2+a=l（消元、、減項(xiàng)）

a+2a2+2007

=a3+a2+a~+2007

=a（a~+a）+a~+2007

=ci+G~+2007

=1+2007

=2008

例5.（實(shí)際應(yīng)用）A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會(huì)招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下

差異：A公司，年薪一萬(wàn)元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收

入的角度考慮，選擇哪家公司有利？

分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實(shí)際收入（元）

第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050

第二年：A公司10200；B公司5100+5150=10250

第n年:A公司10000+200(n-1)；

B公司：[5000+100(n-l)]+[5000+100(n-1)+50]

=10050+200(n-1)

由上可以看出B公司的年收入永遠(yuǎn)比A公司多50元，如不細(xì)心考察很可能選錯(cuò)。

例6.三個(gè)數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且％=總a+h5+c5+\―ab\+\」aa+\」ba，

\a\\b\|c|abacbe

則ax3+bx1+cx+l的值是

解：因?yàn)閍bc〈0,所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)，或三個(gè)都是負(fù)數(shù)

又因?yàn)閍+b+c〉0,所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)。

不妨設(shè)妨0,b>0,c>0

則ab<0,ac<0,bc>0

所以x=-l+l+l-l-l+l=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為lo

同理，當(dāng)b<0,c<0時(shí)，x=0o

|aZ?|l?c|一

另：觀察代數(shù)式Aa+bA+Ac+—+—+0\b(\>交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變，這樣的

|?|\b\|c|abacbe

代數(shù)式成為輪換式，我們不用對(duì)a、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要

的性質(zhì)。

規(guī)律探索問(wèn)題:

例7.如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線0A,OB,0C,0D,OE,0F,從射線0A開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏?/p>

線上寫(xiě)出數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,

(1)“17”在射線上，

“2008”在射線___________上.

(2)若n為正整數(shù)，則射線0A上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的

代數(shù)式表示為.

分析：0A上排列的數(shù)為:1,7,13,19,-

觀察得出，這列數(shù)的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多6,

歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5

因?yàn)?7=3X6T,所以17在射線0E上。

因?yàn)?008=334X6+4=335X6-2,所以2008在射線0D上

例8.將正奇數(shù)按下表排成5列:

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行1357

第二行1513119

第三行17192123

第四行31292725

根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在

A.125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列

分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找

第三列數(shù)：3,11,19,27,規(guī)律為8n-5

因?yàn)?007=250X8+7=251X8T

所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列

又因?yàn)榈?51行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開(kāi)始從小到大排列，

所以2007應(yīng)該在第251行第5列

例9.（2006年嘉興市）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

nn

結(jié)果為灰（其中k是使皿為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如，取n=26,則：

若n=449,則第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是.

nn

分析：?jiǎn)栴}的難點(diǎn)和解題關(guān)鍵是真正理解“F”的第二種運(yùn)算，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為灰（其中k是使齊為

奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個(gè)運(yùn)算才能結(jié)束。

449奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“F①”變?yōu)?352；1352是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“F②”變?yōu)?69,

169是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“F①”變?yōu)?12,512是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“F②”變?yōu)?,

1是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)“F①”變?yōu)?,8是偶數(shù)，經(jīng)過(guò)“F②”變?yōu)?,

我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過(guò)多次運(yùn)算，它的結(jié)果將出現(xiàn)1、8的交替循環(huán)。

再看運(yùn)算的次數(shù)是449,奇數(shù)次。因?yàn)榈谒拇芜\(yùn)算后都是奇數(shù)次運(yùn)算得到8,偶數(shù)次運(yùn)算得到1,

所以，結(jié)果是8o

三、小結(jié)

用字母代數(shù)實(shí)現(xiàn)了我們對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的又一次飛躍。希望同學(xué)們能體會(huì)用字母代替數(shù)后思維的擴(kuò)展，體會(huì)一些

簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。體會(huì)由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

第三講：與一元一次方程有關(guān)的問(wèn)題

一、知識(shí)回顧

一元一次方程是我們認(rèn)識(shí)的第一種方程，使我們學(xué)會(huì)用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易解決的問(wèn)題。

一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)一一有理數(shù)部分的鞏固和深化，又為以后的一元

二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

典型例題：

二、典型例題

0X—kX—

例1.若關(guān)于X的一元一次方程4—+土*=1的解是x=T,則k的值是（）

32

213

A.—B.1C.——D.0

711

分析：本題考查基本概念“方程的解”

YkX—Wk

因?yàn)閄=-l是關(guān)于X的一元一次方程土0——+土上=1的解，

32

2x（—1）—左一1—3左—13

所以------------1--------=1,角牛胃k一——

3211

3/7—X

例2.若方程3x-5=4和方程1-旦」=0的解相同，則a的值為多少？

3

分析：題中出現(xiàn)了兩個(gè)方程，第一個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)x,所以可以解這個(gè)方程求得x的值；第二個(gè)方程

中有a與x兩個(gè)未知數(shù)，所以在沒(méi)有其他條件的情況下，根本沒(méi)有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題

中的條件。因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解相同，所以可以把第一個(gè)方程中解得x代入第二個(gè)方程，第二個(gè)方程也就轉(zhuǎn)化為

一元一次方程了。

解：3x-5=4,3x=9,x=3

3/7—x

因?yàn)?x-5=4與方程1--~-=0的解相同

3

3/7—X

所以把x=3代人1-=0中

3

3a-3

即1----------=0得3-3a+3=0,-3a=-6,a=2

3

例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系）

b

a、b、c、d為實(shí)數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算0=ad-bc-

cd

1

(1)貝IJ2的值為；(2)當(dāng)24=^時(shí)，％=

-12(1-x)5

分析：(1)BPa=l,b=2,c=-l,d=2,

因?yàn)椤癰=ad_bc，所以12=2-(-2)=4

cd—12

(2)由24=18得：10-4(l_x)=18

(1-無(wú))5

所以10-4+4x=18,解得x=3

例4.（方程的思想）如圖，一個(gè)瓶身為圓柱體的玻璃瓶?jī)?nèi)裝有高。厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面

高為h厘米，則瓶?jī)?nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的（）

D.

a+ba+ba+ba+h

分析：左右兩個(gè)圖中墨水的體積應(yīng)該相等，所以這是個(gè)等積變換問(wèn)題，我們可以用方程的思想解決問(wèn)題

解：設(shè)墨水瓶的底面積為S,則左圖中墨水的體積可以表示為Sa

設(shè)墨水瓶的容積為V,則右圖中墨水的體積可以表示為V-Sb

于是，Sa=V-Sb,V=S(a+b)

由題意，瓶?jī)?nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為—=Sa=^—

VS(a+b)a+b

例5.小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊(duì)的人一樣多，就站在A窗口隊(duì)伍的里面，過(guò)了2分鐘，他

發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開(kāi)隊(duì)伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開(kāi)隊(duì)伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增

加5人。此時(shí)，若小李迅速?gòu)腁窗口隊(duì)伍轉(zhuǎn)移到B窗口后面重新排隊(duì)，將比繼續(xù)在A窗口排隊(duì)提前30秒買到

飯，求開(kāi)始時(shí)，有多少人排隊(duì)。

分析：“B窗口每分鐘有6人買了飯離開(kāi)隊(duì)伍，且B窗口隊(duì)伍后面每分鐘增加5人”相當(dāng)于B窗口前的隊(duì)伍每

分鐘減少1人，

題中的等量關(guān)系為：小李在A窗口排隊(duì)所需時(shí)間=轉(zhuǎn)移到B窗口排隊(duì)所需時(shí)間+-

2

解：設(shè)開(kāi)始時(shí)，每隊(duì)有x人在排隊(duì)，

2分鐘后，B窗口排隊(duì)的人數(shù)為：x-6X2+5X2=x-2

YY—21

根據(jù)題意，可列方程：一=2+——+-

462

去分母得3x=24+2(x-2)+6

去括號(hào)得3x=24+2x-4+6

移項(xiàng)得3x-2x=26

解得x=26

所以，開(kāi)始時(shí)，有26人排隊(duì)。

課外知識(shí)拓展：

一、含字母系數(shù)方程的解法：

思考：◎=5是什么方程？

在一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式、最簡(jiǎn)形式中都要求aWO,所以狽=5不是一元一次方程

我們把它稱為含字母系數(shù)的方程。

例6.解方程=

b

解：(分類討論)當(dāng)aWO時(shí)，x=—

a

當(dāng)a=0,b=0時(shí)，即0x=0,方程有任意解

當(dāng)a=0,bWO時(shí)，即Ox=b,方程無(wú)解

即方程O(píng)X=b的解有三種情況。

例7.問(wèn)當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，方程2x+5-a=l-bx：(1)有唯一解；(2)有無(wú)數(shù)解；(3)無(wú)解。

分析：先解關(guān)于x的方程，把x用a、b表示，最后再根據(jù)系數(shù)情況進(jìn)行討論。

解：將原方程移項(xiàng)得2x+bx=l+a-5,合并同類項(xiàng)得：(2+b)x=a-4

n—4

當(dāng)2+bO,即b-2時(shí)，方程有唯一解x=-----,

2+b

當(dāng)2+b=0且a-4=0時(shí)，即b=-2且a=4時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，

當(dāng)2+b=0且a-4W0時(shí)，即b=-2且a#4時(shí)，方程無(wú)解，

例8.解方程土°-寧=?

abab

分析：根據(jù)題意，abWO,所以方程兩邊可以同乘ab

去分母，得b(xT)-a(l-x)=a+b

去括號(hào)，得bx~b-a+ax=a+b

移項(xiàng)，并項(xiàng)得(a+b)x=2a+2b

2a+2b

當(dāng)a+bWO時(shí)，x==2

a+b

當(dāng)a+b=O時(shí)，方程有任意解

說(shuō)明：本題中沒(méi)有出現(xiàn)方程=b中的系數(shù)a=0,b#0的情況，所以解的情況只有兩種。

二、含絕對(duì)值的方程解法

例9.解下列方程|5x—2|=3

解法1：（分類討論）

2

當(dāng)5x-2>0時(shí)，即x>—,5x-2=3,5x=5,x=l

5

2

因?yàn)閄=1符合大前提X>g,所以此時(shí)方程的解是X=1

2

當(dāng)5x-2=0時(shí)，即x二二,得到矛盾等式0=3,所以此時(shí)方程無(wú)解

21

當(dāng)5x-2<0時(shí)，即x<一,5x-2=-3,x=---

55

1?I

因?yàn)閤二一一符合大前提水一，所以此時(shí)方程的解是x二一一

555

綜上，方程的解為X=1或x=-；

注：求出X的值后應(yīng)注意檢驗(yàn)X是否符合條件

解法2：（整體思想）

聯(lián)想：I<7I=3時(shí)，a=±3

類比：|5九一2|=3,則5x-2=3或5x-2=-3

解兩個(gè)一元一次方程，方程的解為x=l或*=-,

5

2x-l-5

例10.解方程」一1—=1

3

解：去分母2|x-11-5=3

移項(xiàng)2|x-l|=8

|x-1|=4

所以x-l=4或x-l=-4

解得x=5或x=-3

例11.解方程|x-l|=-2x+l

分析：此題適合用解法2

2

當(dāng)x-l>0時(shí)，即x>l,x-l=-2x+l,3x=2,x=

3

2

因?yàn)閤二一不符合大前提x>l,所以此時(shí)方程無(wú)解

3

當(dāng)xT=0時(shí)，即x=l,0=-2+1,0=-1,此時(shí)方程無(wú)解

當(dāng)xT〈0時(shí)，BPx<l,l-x=-2x+l,x=0

因?yàn)閤=0符合大前提x<l,所以此時(shí)方程的解為x=0

綜上，方程的解為x=0

三、小結(jié)

1、體會(huì)方程思想在實(shí)際中的應(yīng)用

2、體會(huì)轉(zhuǎn)化的方法，提升數(shù)學(xué)能力

第四講：圖形的初步認(rèn)識(shí)

一、相關(guān)知識(shí)鏈接：

1.認(rèn)識(shí)立體圖形和平面圖形

我們常見(jiàn)的立體圖形有長(zhǎng)方體、正方體、球、圓柱、圓錐，此外，棱柱，棱錐也是常見(jiàn)的幾何體。我們常

見(jiàn)的平面圖形有正方形、長(zhǎng)方形、三角形、圓

2.立體圖形和平面圖形關(guān)系

立體圖形問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形來(lái)研究，常常會(huì)采用下面的作法

（1）畫(huà)出立體圖形的三視圖

立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得到的三個(gè)平面圖

形。

（2）立體圖形的平面展開(kāi)圖

常見(jiàn)立體圖形的平面展開(kāi)圖

圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）

二、典型問(wèn)題：

（一）正方體的側(cè)面展開(kāi)圖（共十一種）

分類記憶：

第一類，中間四連方，兩側(cè)各一個(gè)，共六種。

第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個(gè)，共三種。

第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)，只有一種。

第四類，兩排各三個(gè)，只有一種。

基本要求：

1.在右面的圖形中是正方體的展開(kāi)圖的有（c）

（A）3種（B）4種（C）5種（D）6種

2.下圖中，是正方體的展開(kāi)圖是（B）

D

③④

B.②③④C.①③④

較高要求：

4.下圖可以沿線折疊成一個(gè)帶數(shù)字的正方體，每三個(gè)帶數(shù)字的面交于正方體的

一個(gè)頂點(diǎn)，則相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字之和最小是（A）

A.7B.8C.9D.10

5.一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如右圖所示，每一個(gè)面上都寫(xiě)有一個(gè)自然數(shù)并且相對(duì)

兩個(gè)面所寫(xiě)的兩個(gè)數(shù)之和相等，那么a+b-2c=（B）

A.40B.38C.36D.34

分析：由題意8+a=b+4=c+25

所以b=4+ac=a-17

所以a+b-2c=a+（4+a）-2（a-17）=4+34=38

6.將如圖所示的正方體沿某些棱展開(kāi)后，能得到的圖形是（C

A.B.C.D.

7.下圖是某一立方體的側(cè)面展開(kāi)圖，則該立方體是（D）

D

還原正方體，正確識(shí)別正方體的相對(duì)面。

（二）常見(jiàn)立體圖形的平面展開(kāi)圖

9.下面是四個(gè)立體圖形的展開(kāi)圖，則相應(yīng)的立體圖形依次是（A）

「口

B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱

C.正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐

11.如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的表面展開(kāi)圖，每個(gè)面上都標(biāo)注了字母，請(qǐng)根據(jù)要求回答鳳題:

（1）如果A面在長(zhǎng)方體的底部，那么哪一個(gè)面會(huì)在上面?

（2）若F面在前面，B面在左面，則哪一個(gè)面會(huì)在上面？（字母朝外）（3）若C面

在右面，D面在后面，則哪一個(gè)面會(huì)在上面？（字母朝外）

答案：(1)F；(2)C,A

（三）立體圖形的三視圖

12.如圖，從正面看可看到△的是（C）

13.對(duì)右面物體的視圖描繪錯(cuò)誤的是（C）

BCD

(B)(C)(D)

14.如圖的幾何體，左視圖是

15.如圖，是由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個(gè)

幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（）

主視圖左視圖俯視圖

（四）新穎題型

16.正方體每一面不同的顏色對(duì)應(yīng)著不同的數(shù)字，將四個(gè)這樣的正方體如圖拼成一個(gè)水平放置的長(zhǎng)方體，那么長(zhǎng)

方體的下底面數(shù)字和為.

顏色紅黃藍(lán)a紫綠

對(duì)應(yīng)數(shù)字123456白紅白黃

分析：正面一黃，右面一紅，上面一藍(lán)，后面一紫，下面一白，左面一綠

所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫

數(shù)字和為：4+6+2+5=17

17.觀察下列由棱長(zhǎng)為1的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖⑴行作用；

所示共有1個(gè)小立方體，其中1個(gè)看得見(jiàn)，0個(gè)看不見(jiàn)；如圖⑵所示：。EHxEHx

（1）（2）（3）

共有8個(gè)小立方體，其中7個(gè)看得見(jiàn)，1個(gè)看不見(jiàn)；如圖⑶所示：共有27個(gè)小立方體，其中19個(gè)看得見(jiàn)，8

個(gè)看不見(jiàn)……（1）寫(xiě)出第⑹個(gè)圖中看不見(jiàn)的小立方體有125個(gè);（2）猜想并寫(xiě)出第（n）個(gè)圖形中看不見(jiàn)

的小立方體的個(gè)數(shù)為（n-l）'個(gè).

分析：

11=10=03

8=2i=r

27=338=23

64=4327=33

(n-1)

第五講：線段和角

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

二、典型問(wèn)題:

(一)數(shù)線段一一數(shù)角一一數(shù)三角形

問(wèn)題1、直線上有n個(gè)點(diǎn)，可以得到多少條線段?

分析：點(diǎn)線段ABCD

21

33=1+2

46=1+2+3

510=1+2+3+4

615=1+2+3+4+5

1+2+3+…+61)=^^

n

2

問(wèn)題2.如圖，在/A0B內(nèi)部從。點(diǎn)引出兩條射線0C、0D,則圖中小于平角的角共有(D)個(gè)

(A)3(B)4(C)5(D)6

拓展：1、在NAOB內(nèi)部從0點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個(gè)?

射線角

13=1+2

26=1+2+3

310=1+2+3+4

,、(n+lYn+2)

1+2+3+…+(n+l)=^----------

2

類比：從0點(diǎn)引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個(gè)?

射線角

21

33=1+2

46=1+2+3

510=1+2+3+4

1+2+3+…與

n

類比聯(lián)想：如圖,可以得到多少三角形?

A.「_

CDB

（二）與線段中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題

線段的中點(diǎn)定義：

文字語(yǔ)言:若一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩部分，那么這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)

AMB

圖形語(yǔ)言:

幾何語(yǔ)言:???M是線段AB的中點(diǎn)

/.AM=BM=-AB,2AM=2BM=AB

2

典型例題：

1.由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點(diǎn)”的是（D）

(A)AP=-AB(B)AB=2PB(C)AP=PB(D)AP=PB=-AB

22

2.若點(diǎn)B在直線AC上，下列表達(dá)式:①A3」AC；②AB=BC；③AC=2AB；@AB+BC=AC.

2

其中能表示B是線段AC的中點(diǎn)的有(A)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如果點(diǎn)C在線段AB上,下列表達(dá)式①AC=^AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中，能表示C是AB中點(diǎn)的有

2

C)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.已知線段MN,P是MN的中點(diǎn)，Q是PN的中點(diǎn)，R是MQ的中點(diǎn)，那么岷=MN.

分析：據(jù)題意畫(huà)出圖形-——

RPQN

設(shè)QN=x,貝?。軵Q=x,MP=2x,MQ=3x,

3

一X

3MR3

所以，MR=—x,則nl——2

2MN4x8

5.如圖所示，B、C是線段AD上任意兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，若MN=a,BC=b,則線段AD的長(zhǎng)是

)

O—sr---------O-----------Oc

BCND

A2(a-b)B2a-bCa+bDa-b

分析：不妨設(shè)CN=ND=x,AM=MB=y

因?yàn)镸N=MB+BC+CN

所以a=x+y+b

因?yàn)锳D=AM+MN+ND

所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b

(三)與角有關(guān)的問(wèn)題

1.已知：一條射線0A,若從點(diǎn)0再引兩條射線OB、0C,使/A0B=60°,ZB0C=20°,

則/AOC=80°或40°度(分類討論)

2.A、0、B共線，0M、0N分別為/AOC、ZBOC的平分線,

猜想：90°

證明：因?yàn)轭I(lǐng)、0N分別為NAOC、ZBOC的平分線

所以NMOC=L/AOC，ZC0N=-ZC0B

22

因?yàn)閆M0N=ZM0C+ZC0N

所以/MON=L/AOC+-ZC0B=-ZA0B=90°

222

3.如圖，已知直線A3和CD相交于。點(diǎn)，NCOE是直角，O/平分NAOE,ZCOF=34，

求N3OD的度數(shù).

分析：因?yàn)镹COE是直角，ZCOF=34,

所以NE0F=56°

因?yàn)镺尸平分NAOE

所以NA0F=56°

因?yàn)閆A0F=ZA0C+ZC0F

所以NA0C=22°

因?yàn)橹本€AB和。相交于。點(diǎn)

所以N3OD=NA0C=22°

4.如圖，BO、C0分別平分NABC和NACB,

(1)若NA=60°，求N0；

(2)若NA=100°,/0是多少？若NA=120°,N0又是多少？

(3)由(1)、(2)你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當(dāng)NA的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎？

(提示：三角形的內(nèi)角和等于180°)

答案：(1)120°；(2)140°、150°(3)Z0=90°+-ZA

2

5.如圖，0是直線AB上一點(diǎn),0C、0D、0E是三條射線，則圖中互補(bǔ)的角共有(B)對(duì)

(A)2(B)3(C)4(D)5

6.互為余角的兩個(gè)角(B)

(A)只和位置有關(guān)(B)只和數(shù)量有關(guān)

(C)和位置、數(shù)量都有關(guān)(D)和位置、數(shù)量都無(wú)關(guān)

7.已知/I、N2互為補(bǔ)角，且/1>/2,則/2的余角是(C)

A.1(Z1+Z2)B.IziC.1(Z1-Z2)D.Iz2

2222

分析：因?yàn)?1+/2=180°,所以L(Z1+Z2)=90°

2

90°-Z2=-(Z1+Z2)-Z2=1(Z1-Z2)

22

第六講：相交線與平行線

一、知識(shí)框架

二、典型例題D

B

1.下列說(shuō)法正確的有（B）

①對(duì)頂角相等;②相等的角是對(duì)頂角;③若兩個(gè)角不相等,則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角；

④若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等.A

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)/2D

2.如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（D）

BC

A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB;B.點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC

C.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段；D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段

3.下列說(shuō)法正確的有（C）

①在平面內(nèi)，過(guò)直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；

②在平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；

③在平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)可以任意畫(huà)一條直線垂直于已知直線；

④在平面內(nèi)，有且只有一條直線垂直于已知直線.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)F

CD

4.一學(xué)員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，/---------

這兩次拐彎的角度可能是（A）A-------BE

A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐130°

C.第一次向右拐50°第二次向右拐130。D.第一次向左拐50°第二次向左拐130°

5.如圖，若ACLBC于C,CDLAB于D,則下列結(jié)論必牢或親的是（C）

A.CD>ADB.AC<BCC.BOBDD.CD<BD/

A口

分析：考察垂線段的性質(zhì)、基本圖形一一“雙垂直”圖形

6.如圖，已知AB〃CD,直線EF分別交AB,CD于E,F,EG平分/BEF,若Nl=72°,卜_____E

貝I]Z2=54°/

7.如圖,AB〃EF〃CD,EG〃BD,則圖中與N1相等的角（N1除外）共有（C

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)

8.如圖，直線L、上、L交于。點(diǎn),圖中出現(xiàn)了幾對(duì)對(duì)頂角，若n條直線相交呢？

答案：3對(duì),n（n+l）

9.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中,NLZ2,N3的大小關(guān)系是

答案：Z1=Z2>Z3

10.如圖所示,hLz,Ls交于點(diǎn)0,Z1=Z2,Z3:Z1=8:1,求N4的度數(shù).（方程思想）

答案：36。

11.如圖所示，已知AB〃CD,分別探索下列四個(gè)圖形中NP與NA,NC般條索T請(qǐng)廊從所得的四個(gè)關(guān)系中任選

一個(gè)加以說(shuō)明.