第8講冪函數(shù)與二次函數(shù)知識梳理1、冪函數(shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點4、二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標(biāo)，為對稱軸方程.（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標(biāo).5、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標(biāo)為.（1）單調(diào)性與最值=1\*GB3①當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；=2\*GB3②當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，（2）與軸相交的弦長當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點和，.6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.對二次函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.【解題方法總結(jié)】1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時，其圖象可類似畫出．2、實系數(shù)一元二次方程的實根符號與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個不等正根（2）方程有兩個不等負根（3）方程有一正根和一負根，設(shè)兩根為3、一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關(guān)系；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的正負.設(shè)為實系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒有實根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實根在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根4、有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側(cè)；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側(cè)；=3\*GB3③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數(shù)值正負.必考題型全歸納題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像【例1】（2024·寧夏固原·高三隆德縣中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實數(shù)（

）A． B．或 C． D．【對點訓(xùn)練1】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【對點訓(xùn)練2】（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【對點訓(xùn)練3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【解題方法總結(jié)】確定冪函數(shù)的定義域，當(dāng)為分數(shù)時，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或為則被開方式非負.當(dāng)時，底數(shù)是非零的.題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例2】（2024·吉林長春·高三?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則滿足成立的實數(shù)a的取值范圍為___________.【對點訓(xùn)練5】（2024·全國·高三專題練習(xí)）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是________．【對點訓(xùn)練6】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，若對，，，則實數(shù)的取值范圍是_________.【對點訓(xùn)練7】（2024·福建三明·高三?？计谥校┮阎?，則實數(shù)的取值范圍是___________【對點訓(xùn)練8】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．【對點訓(xùn)練9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為：_________．【對點訓(xùn)練10】（2024·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.【對點訓(xùn)練11】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴格減函數(shù)，則__________.【解題方法總結(jié)】緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時，為偶函數(shù).題型三：二次方程的實根分布及條件【例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或4【對點訓(xùn)練12】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a為實數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【對點訓(xùn)練13】（2024·全國·高三專題練習(xí)）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練14】（2024·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析實根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍.題型四：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題【例4】（2024·上海·高三專題練習(xí)）已知.(1)若，，解關(guān)于的不等式；(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.【對點訓(xùn)練15】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，.(1)求在區(qū)間上的解析式；(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.【對點訓(xùn)練16】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【對點訓(xùn)練17】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實數(shù)a和t的值．【對點訓(xùn)練18】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知值域為的二次函數(shù)滿足，且方程的兩個實根滿足．(1)求的表達式；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實數(shù)的取值范圍．【對點訓(xùn)練19】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解題方法總結(jié)】“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：（1）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時需要結(jié)合區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值進行分析；（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.題型五：二次函數(shù)最大值的最小值問題【例5】（2024·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．(1)求的解析式；(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．【對點訓(xùn)練20】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，設(shè)的最大值為，求的最小值．【對點訓(xùn)練21】（2024·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，(1)當(dāng)時，①求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；②求函數(shù)在區(qū)間的值域；(2)當(dāng)時，記函數(shù)的最大值為，求的最小值．【對點訓(xùn)練22】（2024·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解方程；(2)當(dāng)時，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值第8講冪函數(shù)與二次函數(shù)知識梳理1、冪函數(shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點4、二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標(biāo)，為對稱軸方程.（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標(biāo).5、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標(biāo)為.（1）單調(diào)性與最值=1\*GB3①當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；=2\*GB3②當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，（2）與軸相交的弦長當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點和，.6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.對二次函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.【解題方法總結(jié)】1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時，其圖象可類似畫出．2、實系數(shù)一元二次方程的實根符號與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個不等正根（2）方程有兩個不等負根（3）方程有一正根和一負根，設(shè)兩根為3、一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關(guān)系；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的正負.設(shè)為實系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒有實根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實根在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根4、有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側(cè)；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側(cè)；=3\*GB3③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數(shù)值正負.必考題型全歸納題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像【例1】（2024·寧夏固原·高三隆德縣中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實數(shù)（

）A． B．或 C． D．【答案】A【解析】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，又因為在上單調(diào)遞減，則.故選：A【對點訓(xùn)練1】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，所以或，對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；故只有B選項“在上單調(diào)遞減”符合這兩個函數(shù)的性質(zhì)．故選：B【對點訓(xùn)練2】（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)為，圖象過點，故，故，，.故選：B【對點訓(xùn)練3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，定義域和值域均為，符合題意；時，定義域為，值域為，故不合題意；時，定義域為，值域為，符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意；時，定義域為R，值域為，不符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意.故選：C【對點訓(xùn)練4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【解析】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，所以0，因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，所以選項D正確，故選：D.【解題方法總結(jié)】確定冪函數(shù)的定義域，當(dāng)為分數(shù)時，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或為則被開方式非負.當(dāng)時，底數(shù)是非零的.題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例2】（2024·吉林長春·高三校考期中）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則滿足成立的實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【解析】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，與已知的圖象關(guān)于原點對稱矛盾，當(dāng)時，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，于是得，不等式化為：，即，解得：，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：【對點訓(xùn)練5】（2024·全國·高三專題練習(xí)）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是________．【答案】②③④⑤【解析】冪函數(shù)圖象不過第四象限，①正確；圖象是直線上去掉點，②錯誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，③錯誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，④錯誤；若函數(shù)的值域是，則它的定義域也可能是，⑤錯誤，故答案為：②③④⑤．【對點訓(xùn)練6】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，若對，，，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】因為對，，，所以只需即可，因為，，所以，，由，解得故答案為：.【對點訓(xùn)練7】（2024·福建三明·高三?？计谥校┮阎瑒t實數(shù)的取值范圍是___________【答案】【解析】已知，或①；，②；，③．綜合①②③，求得實數(shù)的取值范圍為．故答案為：﹒【對點訓(xùn)練8】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時，若，有，而，此時函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時，若，有，而，若函數(shù)的值域為，必有，可得．則實數(shù)的取值范圍為．故答案為：【對點訓(xùn)練9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為：_________．【答案】【解析】不等式變形為，所以，令，則有，因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，則，解得，故不等式的解集為．故答案為：.【對點訓(xùn)練10】（2024·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.【答案】【解析】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且是遞減函數(shù)，因為，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【對點訓(xùn)練11】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴格減函數(shù)，則__________.【答案】-1【解析】因為冪函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)，所以，所以，又因為冪函數(shù)奇函數(shù)，且，所以，故答案為：-1【解題方法總結(jié)】緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時，為偶函數(shù).題型三：二次方程的實根分布及條件【例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或4【答案】A【解析】關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，，解得：，關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，，，，，即，解得：或舍去故選：A.【對點訓(xùn)練12】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a為實數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】C【解析】令，由方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解可得，即或，解得，故選：C【對點訓(xùn)練13】（2024·全國·高三專題練習(xí)）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間（3，4）內(nèi)，只需，即，解不等式組可得，即的取值范圍為，故選：C.【對點訓(xùn)練14】（2024·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側(cè)，故時，，即，解得，故，故選：D【解題方法總結(jié)】結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析實根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍.題型四：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題【例4】（2024·上海·高三專題練習(xí)）已知.(1)若，，解關(guān)于的不等式；(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.【解析】（1）因為，所以，又因，所以，所以，則不等式即為，即，若，則不等式的解集為；若，則不等式的解集為；若，當(dāng)時，則不等式的解集為；當(dāng)時，則不等式的解集為；當(dāng)時，則不等式的解集為；（2）若，則，，當(dāng)時，則無解，所以；若時，由，得，對稱軸為，假設(shè)，，，區(qū)間，在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，所以在，上是單調(diào)函數(shù)，則的最值必在，處取到，，，，所以假設(shè)錯誤，則，綜上，得到.【對點訓(xùn)練15】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，.(1)求在區(qū)間上的解析式；(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.【解析】(1)設(shè)，則，，即當(dāng)時，.(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，；又因為，所以，函數(shù)在上的值域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，因為，則，使得成立，則，解得.【對點訓(xùn)練16】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由已知可得的定義域為，任取，且，則，因為，，，所以，即，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．（2），令，則當(dāng)時，，所以．令，，則只需．當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以，解得，與矛盾，舍去；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，所以，解得，與矛盾，舍去．綜上，實數(shù)的取值范圍是．【對點訓(xùn)練17】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實數(shù)a和t的值．【解析】（1）當(dāng)時，不等式，即為，即，所以，所以或，所以原不等式的解集為．（2），由題意或，這時解得，若，則，所以；若，即，所以，則，綜上，或．【對點訓(xùn)練18】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知值域為的二次函數(shù)滿足，且方程的兩個實根滿足．(1)求的表達式；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由，可得的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的值域為，所以二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，所以設(shè)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，因為方程的兩個實根滿足則，解得：，所以.（2）由于函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，即，所以的對稱軸方程為，則，即，故的取值范圍為.【對點訓(xùn)練19】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意知函數(shù)的定義域為，因為為偶函數(shù)，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以，解得.（2）由（1）知所以，令，則，其對稱軸為，①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以，由，解得，此時不滿足，此時不存在符合題意的值；②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由，解得或，又，所以；③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以，由，解得，不滿足，此時不存在符合題意的值.綜上所述，存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.【解題方法總結(jié)】“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：（1）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時需要結(jié)合區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值進行分析；（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.題型五：二次函數(shù)最大值的最小值問題【例5】（2024·湖南衡陽