3.4函數(shù)的奇偶性和周期性【考點(diǎn)梳理】1．奇、偶函數(shù)的概念(1)偶函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．2．奇、偶函數(shù)的圖象特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱．3．具有奇偶性函數(shù)的定義域的特點(diǎn)具有奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于，即“定義域關(guān)于”是“一個(gè)函數(shù)具有奇偶性”的條件．4．周期函數(shù)的概念(1)周期、周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的值時(shí)，都有，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．5．函數(shù)奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在[a，b]上為增(減)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為；(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在[a，b]上為增(減)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為．6．奇、偶函數(shù)的“運(yùn)算”(共同定義域上)奇±奇＝，偶±偶＝，奇×奇＝，偶×偶＝，奇×偶＝.考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性【例題】（1）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．（2）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，則（

）A．1 B．3 C．4 D．7（3）函數(shù)為上的奇函數(shù)，時(shí)，，則（

）A． B．2 C． D．6（4）已知分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，若，則（

）A．5 B． C．3 D．（5）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則常數(shù)的值為．（6）是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?，則等于（

）A．1 B． C． D．01【變式】（1）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．（2）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3（3）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為（

）A．10 B．5 C．3 D．2（4）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（

）．A． B．2 C． D．1（5）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則．（6）已知函數(shù)，若，則（

）A．4 B．5 C．7 D．考點(diǎn)二函數(shù)的周期性【例題】（1）下列函數(shù)是周期函數(shù)的有（

）①

②

③A．①③ B．②③ C．①② D．①②③（2）已知是以2為周期的函數(shù)，且，則（

）A．1 B．-1 C． D．7（3）若是R上周期為6的奇函數(shù)，且滿足，，則（

）A．-1 B．-2 C．2 D．3（4）已知在上是奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A．-2 B．2 C．-98 D．98（5）設(shè)函數(shù)是定義在上周期為3的奇函數(shù)，且，則的值為．【變式】（1）已知是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．（2）已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.（3）已知是定義在上的奇函數(shù)，且．當(dāng)時(shí)，，則．（4）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3（5）已知滿足對(duì)任意，且時(shí)，則的值為（）A． B． C． D．【方法總結(jié)】1．判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域(函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件，如果函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它不具有奇偶性)，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系，從而確定函數(shù)的奇偶性．2．奇、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了方便判斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?eq\f(f（－x）,f（x）)＝±1(f(x)≠0)進(jìn)行判斷．3．判斷函數(shù)奇偶性的方法通常有(1)定義法：根據(jù)定義判斷．(2)圖象法：函數(shù)的圖象能夠直觀地反映函數(shù)的奇偶性，f(x)為奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；f(x)為偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(3)運(yùn)用奇、偶函數(shù)的運(yùn)算結(jié)論．要注意定義域應(yīng)為兩個(gè)函數(shù)定義域的交集．4．判斷周期函數(shù)的一般方法(1)定義法：應(yīng)用定義法判斷或證明函數(shù)是否具有周期性的關(guān)鍵是從函數(shù)周期的定義出發(fā)，充分挖掘隱含條件，合