高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)1.5.2全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定含答案1.5.2全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)實(shí)例總結(jié)含有一個(gè)量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律.2.能寫(xiě)出全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的否定并判斷真假.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象邏輯推理全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的否定命題的類(lèi)型全稱(chēng)量詞命題存在量詞命題命題的符號(hào)表示?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)命題的否定的符號(hào)表示?x∈M,?p(x)?x∈M,?p(x)命題的否定的類(lèi)型存在量詞命題全稱(chēng)量詞命題版本交融(人BP28嘗試與發(fā)現(xiàn))一個(gè)命題與它的否定的真假性關(guān)系如何?提示:一個(gè)命題與它的否定的真假性關(guān)系是“一真一假”或“此假彼真”.【教材深化】一般命題的否定與含有一個(gè)量詞的命題的否定的區(qū)別與聯(lián)系.一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結(jié)論,得到真假性完全相反的兩個(gè)命題;含有一個(gè)量詞的命題的否定,是在否定結(jié)論p(x)的同時(shí),改變量詞的屬性,即將全稱(chēng)量詞改為存在量詞,存在量詞改為全稱(chēng)量詞.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)存在量詞命題的否定一定是全稱(chēng)量詞命題.(√)提示:因?yàn)榇嬖诹吭~命題否定時(shí)要把存在量詞改為全稱(chēng)量詞,所以它的否定一定是全稱(chēng)量詞命題.(2)對(duì)全稱(chēng)量詞命題或存在量詞命題進(jìn)行否定時(shí),只否定其結(jié)論即可.(×)提示:對(duì)全稱(chēng)量詞命題或存在量詞命題進(jìn)行否定時(shí),除了否定其結(jié)論外,還要改變量詞.(3)短語(yǔ)“都是”的否定短語(yǔ)是“都不是”.(×)提示:短語(yǔ)“都是”的否定短語(yǔ)是“不都是”.(4)短語(yǔ)“至少有一個(gè)”的否定短語(yǔ)是“至多有兩個(gè)”.(×)提示:短語(yǔ)“至少有一個(gè)”的否定短語(yǔ)是“一個(gè)也沒(méi)有”.類(lèi)型一全稱(chēng)量詞命題的否定及真假的判斷(邏輯推理)【典例1】(1)設(shè)x∈Z,集合A是奇數(shù)集,集合B是偶數(shù)集.若命題p:?x∈A,2x∈B,則?p為()A.?x∈A,2x∈BB.?x?A,2x?BC.?x?A,2x∈BD.?x∈A,2x?B【解析】選D.命題p:?x∈A,2x∈B是一個(gè)全稱(chēng)量詞命題,?p:?x∈A,2x?B.(2)寫(xiě)出下列命題的否定,并判斷否定的真假.①p:不論m取何實(shí)數(shù),方程x2+x-m=0必有實(shí)數(shù)根;②q:對(duì)所有實(shí)數(shù)x,都有x2+x+3>0.③r:等圓的面積相等,周長(zhǎng)相等.【解析】①這一命題可以表述為p:“對(duì)所有的實(shí)數(shù)m,方程x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根”,所以?p:“存在實(shí)數(shù)m,使得x2+x-m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根”.當(dāng)Δ=1+4m<0,即m<-14時(shí),一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,所以?p是真命題②?q:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2+x+3≤0.因?yàn)閤2+x+3=(x+12)2+③?r:存在一對(duì)等圓,其面積不相等或周長(zhǎng)不相等,由平面幾何知識(shí)知?r是一個(gè)假命題.【總結(jié)升華】對(duì)全稱(chēng)量詞命題的否定的關(guān)注點(diǎn)(1)兩變:一變量詞,即把全稱(chēng)量詞變?yōu)榇嬖诹吭~;二變結(jié)論,即否定結(jié)論.(2)一補(bǔ):對(duì)省略全稱(chēng)量詞的全稱(chēng)量詞命題要補(bǔ)上量詞后再進(jìn)行否定.【即學(xué)即練】1.命題“?x>0,2x2=5x-1”的否定是()A.?x>0,2x2≠5x-1B.?x≤0,2x2=5x-1C.?x>0,2x2≠5x-1D.?x≤0,2x2=5x-1【解析】選C.因?yàn)槿Q(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題,根據(jù)命題否定的規(guī)則知,C選項(xiàng)正確.2.寫(xiě)出下列全稱(chēng)量詞命題的否定,并判斷所得命題的真假:(1)每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.【解析】(1)該命題的否定:存在一個(gè)四邊形,它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓.真命題.(2)對(duì)任意x∈Z,x2的個(gè)位數(shù)字都不等于1.【解析】(2)該命題的否定:存在x∈Z,x2的個(gè)位數(shù)字等于1.真命題.(3)每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角.【解析】(3)該命題的否定:有的三角形至多有一個(gè)銳角,由三角形的內(nèi)角和為180°知原命題的否定為假命題.類(lèi)型二存在量詞命題的否定及真假的判斷(邏輯推理)【典例2】(1)命題p:?a>0,a+1a<2,則p的否定為(A.?a<0,a+1a<2 B.?a<0,a+1C.?a>0,a+1a<2 D.?a>0,a+1【解析】選D.命題p:?a>0,a+1a<2為存在量詞命題,其否定為?a>0,a+1a(2)寫(xiě)出下列存在量詞命題p的否定?p,并判斷?p的真假.①p:?x<0,x+1x+2<0②p:有一個(gè)質(zhì)數(shù)含有三個(gè)正因數(shù).③p:存在實(shí)數(shù)m,x2+x+m=0的兩根都是正數(shù).【解析】①?p:?x<0,x+1x+2≥0當(dāng)x=-2時(shí),x+1x+2<0,所以?p是假命題②?p:每一個(gè)質(zhì)數(shù)都不含有三個(gè)正因數(shù),?p是真命題.③?p:對(duì)任意實(shí)數(shù)m,x2+x+m=0的兩根不都是正數(shù).假設(shè)x2+x+m=0的兩根x1,x2都是正數(shù),則必須Δ≥0,x1+x2>0,x1x2>0,即1-【總結(jié)升華】存在量詞命題的否定形式與判斷真假的方法(1)寫(xiě)否定命題時(shí),先將存在量詞變?yōu)槿Q(chēng)量詞,再把性質(zhì)p(x)否定為?px;(2)由于命題與命題的否定一真一假,所以如果判斷一個(gè)命題的真假困難時(shí),那么可以轉(zhuǎn)化為判斷命題的否定的真假,從而進(jìn)行判斷.【即學(xué)即練】1.設(shè)命題p:?n∈N,n2>2n,則?p為()A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2nC.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n【解析】選C.將“?”改寫(xiě)成“?”,“>”改寫(xiě)為“≤”即可.2.寫(xiě)出下列存在量詞命題的否定,并判斷其否定的真假.(1)有的素?cái)?shù)是偶數(shù);【解析】(1)命題的否定:所有的素?cái)?shù)都不是偶數(shù).由于2是素?cái)?shù)也是偶數(shù),因此命題的否定為假命題.(2)?a,b∈R,a2+b2≤0.【解析】(2)命題的否定:?a,b∈R,a2+b2>0.因?yàn)楫?dāng)a=b=0時(shí),a2+b2=0,所以命題的否定是假命題.2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時(shí)不等關(guān)系與比較大小【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的等量關(guān)系與不等關(guān)系.2.會(huì)用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系.3.會(huì)運(yùn)用作差法比較兩個(gè)數(shù)或式的大小、證明不等式.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模邏輯推理一、不等式與不等關(guān)系不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn):(1)不等符號(hào)<,>,≤,≥或≠.(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系.版本交融(人BP61想一想)5≥3,2≥2,2≤2這三個(gè)命題都是真命題嗎?為什么?提示:都是真命題.不等式a≥b的含義是指“a>b或者a=b”,即若a>b或a=b之中有一個(gè)正確,則a≥b正確.a≤b也類(lèi)似.二、實(shí)數(shù)a,b的大小比較文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言等價(jià)條件a-b是正數(shù)a-b>0a>ba-b等于零a-b=0a=ba-b是負(fù)數(shù)a-b<0a<b三、重要不等式一般地,?a,b∈R,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)a不小于b應(yīng)表示為a>b.(×)提示:a不小于b應(yīng)表示為a≥b.(2)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b之間的大小關(guān)系,有且只有a>b,a<b兩種關(guān)系中的一種.(×)提示:任意兩數(shù)之間,有且只有a>b,a=b,a<b三種關(guān)系中的一種,沒(méi)有其他大小關(guān)系.(3)若x-y<0,我們就說(shuō)x大于y.(×)提示:若x-y<0,則x小于y.(4)?a,b∈R,且a≠b有a2+b2>2ab.(√)提示:因?yàn)閍≠b,所以a2+b2>2ab.類(lèi)型一用不等式(組)表示不等關(guān)系(邏輯推理)【典例1】(1)如圖兩種廣告牌,其中圖①是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的,圖②是一個(gè)矩形,從圖形上確定這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系,并將這種關(guān)系用含字母a,b(a≠b)的不等式表示出來(lái)()A.12(a2+b2)>ab B.12(a2+b2C.12(a2+b2)≥ab D.12(a2+b2【解析】選A.題圖①是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的,面積為12(a2+b2),題圖②是一個(gè)矩形,面積為ab.由題中圖形知,題圖①的面積大于題圖②的面積,故12(a2+b2(2)某汽車(chē)公司因發(fā)展需要,需購(gòu)進(jìn)一批汽車(chē),計(jì)劃使用不超過(guò)1000萬(wàn)元的資金購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為40萬(wàn)元、90萬(wàn)元的A型汽車(chē)和B型汽車(chē),根據(jù)需要,A型汽車(chē)至少買(mǎi)5輛,B型汽車(chē)至少買(mǎi)6輛,寫(xiě)出滿(mǎn)足上述所有不等關(guān)系的不等式(組).【解析】設(shè)購(gòu)買(mǎi)A型汽車(chē)和B型汽車(chē)分別為x輛,y輛,則40【總結(jié)升華】用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟(1)審清題意,明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ):至多、至少、大于等.(2)適當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)表示變量.(3)用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語(yǔ),連接變量得不等式.提醒:要注意題中的隱性不等關(guān)系,如由變量的實(shí)際意義限制的范圍.【即學(xué)即練】1.某高速公路要求行駛的車(chē)輛的速度v的最大值為120km/h,同一車(chē)道上的車(chē)間距d不得小于10m,用不等式表示為()A.v≤120km/h且d≥10mB.v≤120km/h或d≥10mC.v≤120km/hD.d≥10m【解析】選A.v的最大值為120km/h,即v≤120km/h,車(chē)間距d不得小于10m,即d≥10m.2.如圖,在一個(gè)面積小于450m2的矩形地基中心位置上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù),倉(cāng)庫(kù)的四周建成綠地,倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)x(單位:m)大于寬y(單位:m)的3倍.試用不等式組表示上面的不等關(guān)系.【解析】依題意,得x類(lèi)型二作差法比較大小(邏輯推理)【典例2】(類(lèi)題·節(jié)節(jié)高)(1)比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小;【解析】(1)因?yàn)?x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0,所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).(2)比較2x2+5x+4與x2+3x+2的大小;【解析】(2)(2x2+5x+4)-(x2+3x+2)=x2+2x+2=(x+1)2+1,因?yàn)?x+1)2≥0,所以(x+1)2+1≥1>0.所以(2x2+5x+4)-(x2+3x+2)>0,所以2x2+5x+4>x2+3x+2.(3)已知x∈R且x≠-1,比較11+x與1-x【解析】(3)因?yàn)?1+x-(1-x)=1-(當(dāng)x=0時(shí),11+x=1-當(dāng)1+x<0,即x<-1時(shí),x21+x<0,所以1當(dāng)1+x>0且x≠0,即-1<x<0或x>0時(shí),x21+x>0,所以【總結(jié)升華】作差法比較大小的步驟【即學(xué)即練】1.設(shè)a=3x2-x+1,b=2x2+x,則()A.a>b B.a<bC.a≥b D.a≤b【解析】選C.a-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以a≥b.2.已知a>0,試比較a與1a的大小【解析】因?yàn)閍-1a=a2-1a所以當(dāng)a>1時(shí),(a-1)(a當(dāng)a=1時(shí),(a-1)(a當(dāng)0<a<1時(shí),(a-1)(a綜上,當(dāng)a>1時(shí),a>1a當(dāng)a=1時(shí),a=1a當(dāng)0<a<1時(shí),a<1a【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a≥1,試比較M=a+1-a和N=a-a-【解析】因?yàn)閍≥1,所以M=a+1-a>0,N=a-a-所以MN=a+1-因?yàn)閍+1+a>a+a所以MN<1,所以M<類(lèi)型三作差法證明不等式(邏輯推理)【典例3】已知a>0,b>0,證明a3+b3≥ab2+a2b.【證明】a3+b3-(ab2+a2b)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2).因?yàn)閍>0,b>0,且a2+b2≥2ab,所以a+b>0,a2+b2-2ab≥0.所以a3+b3-(ab2+