試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁黑龍江省大慶市2025屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則a的值為（

）A． B．1 C． D．22．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C．3 D．93．已知等比數(shù)列中，，則的值為（

）A． B． C． D．4．已知是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，則點M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．若銳角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知定義域為的函數(shù)為奇函數(shù)，對任意的,,，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，直線與圓交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)是兩個非零向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．在方向上的投影向量的模為10．已知函數(shù)，其中，且．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于對稱B．在上單調(diào)遞增C．直線是的一條切線D．若在區(qū)間上的圖象與直線有且只有三個交點，則實數(shù)m的取值范圍為11．廣東汕頭海灣大橋被譽為“中國第一座大跨度現(xiàn)代懸索橋”，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，其方程為（為參數(shù)，）．當(dāng)時，該方程是雙曲余弦函數(shù)，類似的函數(shù)還有雙曲正弦函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．，B．當(dāng)時，函數(shù)有最小值C．，D．，三、填空題12．已知集合，則的所有元素之和為．13．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，直線與C交于M，N兩點，且．若四邊形的周長為，則C的離心率為．14．在正四棱臺中，，則該正四棱臺的高為；若點P在四邊形ABCD內(nèi)運動，且，則點P的軌跡長度為．四、解答題15．在中，．(1)求B；(2)求函數(shù)在上的最大值．16．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求a的值；(2)若存在使得，求實數(shù)m的取值范圍．17．設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．令，為數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，．18．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，O是AD的中點，平面ABCD，，平面平面．(1)求證：；(2)如圖，且，求點M到平面PBC的距離；(3)設(shè)四棱錐的外接球球心為Q，在線段PB上是否存在點E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為?若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由．19．已知曲線，點在曲線W上．(1)求曲線W在點Q處的切線方程；(2)如圖1，過曲線W外一點A（不在y軸上）作W的兩條切線AB，AC，切點為B，C，過曲線W上一點M的切線交AB，AC于點，且，把這樣的叫做“外切三角形”．①連接AM交BC于點E，求證：A，M，E三點的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；②如圖2，從點A出發(fā)做出的第一個外切三角形是再過點分別做出2個“外切三角形”，即和；繼續(xù)過點分別做出4個“外切三角形”以此類推，依次做出1，2，4，8，…，個外切三角形．設(shè)的面積為S，求這些“外切三角形”的面積之和T，并證明．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《黑龍江省大慶市2025屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案ABDBCACBACDAC題號11答案BCD1．A【分析】由復(fù)數(shù)乘法及純虛數(shù)定義可判斷選項正誤.【詳解】由題，，又為純虛數(shù)，.故選：A．2．B【分析】根據(jù)給定條件，求出冪函數(shù)的解析式，進而求出函數(shù)值.【詳解】設(shè)，則即，故選：B．3．D【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)列式計算得解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)，得，所以.故選：D4．B【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系的有關(guān)知識對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，若，則m，n可能平行或異面，所以A錯誤；對于B選項，若，則m垂直于內(nèi)的任意直線，，所以B正確；對于C選項，若，則m，n可能平行或相交或異面，所以C錯誤；對于D選項，若，則或，所以D錯誤.故選：B5．C【分析】設(shè)出交點的坐標(biāo)，寫出兩直線的斜率，直接由斜率之積是列式化簡.【詳解】設(shè)，則由已知得化簡得，故選：C．6．A【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合二倍角正弦得出，再應(yīng)用二倍角余弦公式得出，最后得出正切即可.【詳解】且平方得，又，故選：A．7．C【分析】根據(jù)題意，把要求解不等式,化為,利用函數(shù)的單調(diào)性，即可解得不等式.【詳解】設(shè),由為奇函數(shù)可知為偶函數(shù)因為任意的,,，都有所以時,單調(diào)遞減,由對稱性可知在上單調(diào)遞增．因為，所以若,則化為,即,由單調(diào)性可知．若，則化為，即，由單調(diào)性可得．綜上,．故選:C8．B【分析】設(shè)數(shù)列公差為d，結(jié)合等差數(shù)列通項公式分析可知直線過定點，再根據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)時，弦長最小，此時最小，進而運算求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，設(shè)數(shù)列公差為d，則直線可化為，即．令，解得，可知直線過定點，當(dāng)時，弦長最小，此時最小．又因為，則，可知，則．故選：B．【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．9．ACD【分析】對于A，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，即可判斷正誤；對于B，利用向量相等的條件，即可求解；對于C，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運算律，可得，即可求解；對于D，利用投向量及模長的定義，即可求解.【詳解】對于選項A，由可知，當(dāng)時，，所以．所以選項A正確，對于選項B，由可知，與共線，不一定是．所以選項B錯誤，對于選項C，由，得，即，所以，所以選項C正確，對于選項D，由投影向量定義可知，在方向上的投影向量為，所以其模長為，故選項D正確．故選：ACD．10．AC【分析】根據(jù)已知條件求出，再根據(jù)對稱性，單調(diào)性，判定AB；結(jié)合導(dǎo)數(shù)判定C；結(jié)合零點知識判定D.【詳解】由且，都有同號可知，,又，由得，由知關(guān)于對稱，故A正確．當(dāng)時，，此時先增后減，故B錯誤．．令得或，其中，時在處得切線為，故C正確．由得．由正弦函數(shù)圖象知道，得．故D錯誤．故選：AC．11．BCD【分析】利用指數(shù)運算可判斷A選項；利用不等式的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最小值，可判斷B選項；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)比較、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項；令，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，，A錯；對于B選項，，當(dāng)時，，則，則，所以，，所以，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，B對；對于C選項．設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，又，當(dāng)時，，所以，在上單調(diào)遞增，所以，．故C正確；對于D選項．當(dāng)時，則，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減．設(shè)，可在上單調(diào)遞增，因為，，則，所以，存在，使得，即存在，使得，故D正確故選：BCD.【點睛】方法點睛：函數(shù)單調(diào)性的判定方法與策略：（1）定義法：一般步驟：設(shè)元作差變形判斷符號得出結(jié)論；（2）圖象法：如果函數(shù)是以圖象的形式給出或者函數(shù)的圖象易作出，結(jié)合圖象可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）導(dǎo)數(shù)法：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）復(fù)合函數(shù)法：先將函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，再討論這兩個函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)法“同增異減”的規(guī)則進行判定.12．/2.5【分析】先利用指數(shù)冪的運算化簡集合B，再利用集合的并集運算求解即可.【詳解】,即,的所有元素之和為．故答案為：.13．【分析】由雙曲線對稱性結(jié)合題意可得四邊形為矩形，設(shè)，由雙曲線定義及題意可得，據(jù)此可得答案.【詳解】由雙曲線的對稱性，可知四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為矩形，設(shè)，則，兩個方程平方后相加得，在直角三角形中，所以，化簡得，由得．故答案為：14．【分析】根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已知條件計算出高，再判斷確定點的軌跡，再應(yīng)用弧長公式求出軌跡長度.【詳解】

取正方形的中心為，正方形ABCD的中心為O，連接，則平面ABCD．過點作于點H，則，所以平面ABCD，且四邊形為矩形，，．在中，，即該正四棱臺的高為．

連接PH，在中，，點P的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD內(nèi)的部分，即．過點H作于點E，過H作于點F，則．在中，．同理，，的長度為，故點P的軌跡長度為.故答案為：；.15．(1)(2)【分析】（1）運用正弦定理計算正弦值，進而得到角度；（2）將其轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，后求值域即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得或．又為鈍角.（2）由（1）可知．∴當(dāng)，即時．16．(1)(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)求得的值，驗證函數(shù)的單調(diào)性可知的值符合題意.（2）問題等價于存在使得，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值即可求得的取值范圍.【詳解】（1），由已知，又當(dāng)時，令得，且當(dāng)時在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，在區(qū)間上單調(diào)遞減．在處取得極大值.綜上，.（2）問題等價于存在使得．設(shè)，則當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，故m的范圍是．17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得到，再根據(jù)得到，接著用“累乘法”可得數(shù)列的通項公式.（2）分為偶數(shù)與奇數(shù)兩種情況，表示出，結(jié)合作差法比較與的大小.【詳解】（1）由題意得，

①，當(dāng)時，

②由①②得：，即．又時，滿足.（2）由得，.①當(dāng)n為偶數(shù)時，此時，，故②當(dāng)n為奇數(shù)時，綜上，當(dāng)時，．18．(1)證明見解析(2)(3)存在點E為PB上靠近點P的三等分點【分析】（1）由題可證平面PCD，再由線面平行性質(zhì)可完成證明；（2）以O(shè)為原點，OA，ON，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題可得平面PBC的法向量，然后結(jié)合空間向量知識可得答案；（3）由球心定義可得點Q坐標(biāo)，然后設(shè)，由空間向量知識可得平面AEC的一個法向量，及PQ與平面AEC所成的角的正弦值關(guān)于的表達式，據(jù)此可得答案.【詳解】（1）證明：四邊形ABCD為正方形又平面PCD，平面PCD平面PCD又平面PAB，平面平面（2）取BC中點N，連接ON，則平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD∴以O(shè)為原點，OA，ON，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面PBC的一個法向量為則，得，取點M到平面PBC的距離為（3）存在點E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為，，且平面ABCD為正方形，點Q在平面上的射影是ABCD的中心，可設(shè)則，解得．即設(shè)，，設(shè)平面AEC的一個法向量為，則得，取設(shè)直線PQ與平面AEC所成的角為化簡得，即或（舍）．∴存在點E為PB上靠近點P的三等分點，使得直線PQ與平面AEC所成角的正弦值為．【點睛】關(guān)鍵點睛：對于外接球問題關(guān)鍵在于確定球心位置，可先找某一平面外接圓圓心，則球心在過圓心所在平面的垂線上；對于動點問題，常設(shè)邊長比例為參數(shù)，再用參數(shù)表示已知量，求解相關(guān)方程或不等式.19．(1)(2)①證明見解析；②，證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)知識可得切線在點Q處切線斜率，即可得答案；（2）①由（1）結(jié)合A在AB上，同時A在AC上可得BC方程，再由，可得直線AM方程，據(jù)此可找到A，M，E三點的縱坐標(biāo)的關(guān)系，可完成證明；②由（1）結(jié)合幾何知識可得每一次所做“外切三角形”面積之和都是上一次“外切三角形”面積之和的，然后可由等比數(shù)列求和公式完成證明.【詳解】（1）由題可得，則，，，故點Q處的切線方程為即．（2）①則由（1）可知直線AB為直線AC為，由A在AB上，同時A在AC，可知直線BC的方程為，即，，又由（1）可知直線的斜率為，又，