選擇必修三

第六章

計(jì)數(shù)原理6.1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第1課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例，總結(jié)出分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理；1.特殊到一般的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和歸納的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.了解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義；2.數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).3.能利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).知識(shí)背景第六章

計(jì)數(shù)原理

汽車(chē)號(hào)牌的序號(hào)一般是從26個(gè)英文字母、10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中選出若干個(gè)，并按適當(dāng)順序排列而成.隨著人們生活水平的提高，家庭汽車(chē)擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車(chē)號(hào)牌序號(hào)需要擴(kuò)容.那么交通管理部門(mén)應(yīng)如何確定序號(hào)的組成方法，才能滿足民眾的需求呢？這就需要“數(shù)（shǔ)出”某種汽車(chē)號(hào)牌序號(hào)的組成方案下有可能的序號(hào)數(shù).這就是計(jì)數(shù).

日常生活、生產(chǎn)中類(lèi)似的問(wèn)題大量存在.例如，幼兒會(huì)通過(guò)一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)的方法，統(tǒng)計(jì)自己擁有玩具的數(shù)量；學(xué)校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育組的老師需要知道共需要舉行多少場(chǎng)比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號(hào)，顏色的不同排列表示不同的信號(hào)，需要知道共可以組成多少種不同的信號(hào)……如果問(wèn)題中數(shù)量很少，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)也不失為一種好的計(jì)數(shù)方法.但如果問(wèn)題中數(shù)量很多，我們還一個(gè)一個(gè)地去數(shù)嗎？

本章將要學(xué)習(xí)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的最基本、最重要的方法，利用其可以得到兩類(lèi)特殊計(jì)數(shù)問(wèn)題的計(jì)數(shù)公式－排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計(jì)數(shù)問(wèn)題.作為計(jì)數(shù)原理與計(jì)數(shù)公式的應(yīng)用，我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項(xiàng)式定理.新知探究6.1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第1課時(shí)）

計(jì)數(shù)問(wèn)題是我們從小就遇到的，通過(guò)一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法.但當(dāng)問(wèn)題中數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率不高.能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.

用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求→→英文字母共有26個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26+10=36種不同的號(hào)碼.座位編號(hào)英文字母一個(gè)數(shù)字2610知新探究⑴確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問(wèn)題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類(lèi)；上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：

⑵分別計(jì)算各類(lèi)號(hào)碼的個(gè)數(shù)；

你能說(shuō)一說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？

首先，這里要完成的事情是“給一個(gè)座位編號(hào)”；其次是“或”字的出現(xiàn)：一個(gè)座位編號(hào)用一個(gè)英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示.因?yàn)橛⑽淖帜概c阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同，所以用英文字母編出的號(hào)碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號(hào)碼也互不相同.這兩類(lèi)號(hào)碼數(shù)相加就得到號(hào)碼的總數(shù).⑶各類(lèi)號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).

你能舉一些生活中類(lèi)似的例子嗎?

讀書(shū)課上，老師提供了6本不同的科普雜志，7本不同的文學(xué)雜志，你從其中任選一本，有幾種選擇方式？選一本書(shū)科普雜志文學(xué)雜志6種7種6+7=13（種）知新探究

完成一件事有兩類(lèi)方案.在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，則完成這件事共有

N=m+n

種不同的方法.一般地，有如下分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：

兩類(lèi)不同方案中的方法互不相同.

【例1】在填寫(xiě)高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)，如下表.A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專(zhuān)業(yè)，那么他共有多少種選擇？知新探究分析：要完成的事情是“選一個(gè)專(zhuān)業(yè)”.因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專(zhuān)業(yè)，又因?yàn)闆](méi)有共同的強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)，所以符合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的條件.這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專(zhuān)業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專(zhuān)業(yè)選擇方法.因?yàn)闆](méi)有一個(gè)強(qiáng)勢(shì)專(zhuān)業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專(zhuān)業(yè)選擇種數(shù)為解：N=5+4=9.知新探究分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的推廣：

如果完成一件事有三類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有m2種不同的方法，在第3類(lèi)方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

如果完成一件事有n類(lèi)不同方案，在每一類(lèi)方案中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？

N=m1+m2+m3.

完成一件事,如果有n類(lèi)不同的方案,而且第一類(lèi)方案中有m1種不同的方法,第二類(lèi)方案中有m2種不同的方法……第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有

N=m1+m2+…+mn種不同的方法.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理使用前提：各類(lèi)方案中的方法互不相同且都能獨(dú)立完成這件事情.知新探究

用前6個(gè)大寫(xiě)英文字母和1~9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？

這里要完成的事情任然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，但與前一問(wèn)題的要求不同.在前一個(gè)問(wèn)題中，用26個(gè)英文字母中的任意一個(gè)或10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中的任意一個(gè)，都可以給出一個(gè)座位號(hào)碼.但在這個(gè)問(wèn)題中，號(hào)碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，即得到一個(gè)號(hào)碼要經(jīng)過(guò)先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個(gè)步驟.知新探究用下圖所示的方法可以列出所有可能的號(hào)碼.

用前6個(gè)大寫(xiě)英文字母和1~9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？

左圖是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題常用的“樹(shù)狀圖”.你能用樹(shù)狀圖列出所有可能的號(hào)碼嗎?知新探究

用前6個(gè)大寫(xiě)英文字母和1~9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,...,A9,B1,B2,...的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？也可能這樣思考：由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有6×9=54種不同的號(hào)碼.知新探究

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m×n種不同的方法.

你能說(shuō)一說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？

上述問(wèn)題要完成的一件事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，其中最重要的特征是“和”字的出現(xiàn)：一個(gè)座位編號(hào)由一個(gè)英文字母和一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)成.因此得到一個(gè)座位號(hào)要經(jīng)過(guò)先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個(gè)步驟，每一個(gè)英文字母與不同的數(shù)字組成的號(hào)碼是互不相同的.一般地，有如下分步乘法計(jì)數(shù)原理：

無(wú)論第1步采用哪種方法，與之對(duì)應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù).

知新探究【例2】某班有男生30名、女生24名，現(xiàn)要從中選出男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？

解：任選男生和女生各1人，可以分兩個(gè)步驟完成：分析:要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可以分兩個(gè)步驟：第1步，選男生；

第2步，選女生.第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；第1步30第2步24第2步，從24名男生中選出1人，有24種不同選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為N=30×24=720.

新知探究分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣：

完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……,做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1×m2×…×mn.種不同的方法.

如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

如果完成一件事有n個(gè)步驟，做每一步都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？N=m1×m2×m3.分步乘法計(jì)數(shù)原理使用前提：各步中每種方法不能獨(dú)立完成這件事.新知探究?jī)蓚€(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)不同點(diǎn)注意點(diǎn)用來(lái)計(jì)算“完成一件事”的不同方法種數(shù)分類(lèi)完成，類(lèi)類(lèi)相加分步完成，步步相乘各類(lèi)中每種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事（各步中每種方法不能獨(dú)立完成這件事）類(lèi)類(lèi)獨(dú)立，不重不漏步步依存，步驟完整新知探究⑴從書(shū)架上任取1本書(shū)，有三類(lèi)方案：第2類(lèi)方案是從第2層取1本文藝書(shū)，有3種方法；解：第1類(lèi)方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種取法；根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，不同取法種數(shù)為【例3】書(shū)架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū).

⑴從書(shū)架上任取1本書(shū)，有多少種不同的取法？

⑵從書(shū)架的第1層、第2層、第3層各取1本書(shū)，有多少種不同的取法？分析:⑴要完成的一件事是“從書(shū)架上取1本書(shū)”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類(lèi)方案；第3類(lèi)方案是從第3層取1本體育書(shū)，有2種方法.N=4+3+2=9.

新知探究⑵從書(shū)架的第1層、第2層、第3層各取1本書(shū)，可以分三個(gè)步驟完成：第2步，從第2層取1本文藝書(shū)，有3種方法；解：第1步，從第1層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法種數(shù)為【例3】書(shū)架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū).

⑴從書(shū)架上任取1本書(shū)，有多少種不同的取法？

⑵從書(shū)架的第1層、第2層、第3層各取1本書(shū)，有多少種不同的取法？分析:⑵要完成的一件事是“從書(shū)架第1層、第2層、第3層中各取1本書(shū)”，可以分三個(gè)步驟完成.第3步，從第3層取1本體育書(shū)，有2種方法.N=4×3×2=24.

初試身手⑴要選出1人來(lái)完成的這項(xiàng)工作，有2種方法：第2種，從另4個(gè)人中選1人，有4種選法.解：第1種，從前5個(gè)人中選1人，有5種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的配法種數(shù)為⑴一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是________；⑵現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長(zhǎng)褲，如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為(

)

A．7 B．12 C．64 D．81第1步，從3條不同顏色的長(zhǎng)褲中取一條，有3種方法；N=3×4=12.

根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，不同選法種數(shù)為N=5+4=9.

9⑵要完成“取一條長(zhǎng)褲