PAGEPAGE2頁/5頁2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高二教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一.8540分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.的五張卡片中無放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之和是6（）B.C.已知直線，則下列說法正確的是（ ）當(dāng) 時(shí)，直線的傾斜角為當(dāng) 時(shí)，若，則直線的縱截距為 a3.，則（ ）A.3 B.C.D.若點(diǎn) 為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) 總能作圓的切線，則 的最小值為（）B.C.-2 D..如圖，四棱錐為陽馬，平面，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且 ，若，則（ ）1 B.C.2 如圖，在長(zhǎng)方體中，， ，點(diǎn) 是棱 的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）B.C.已知 、分別是橢圓的左右頂點(diǎn)， 是橢圓上異于 、的意點(diǎn)直與 斜率之積，則此橢圓離心率的取值范圍是（ ）A. B.C. D.正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn) 在棱 上，且 ，點(diǎn) 是正方體下底面內(nèi).(含邊界)的點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) 到直線的距離與點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離的平方差為則的最大值是（ ）A2 B.C.D.二. 多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但選不全對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.已知隨機(jī)事件 ，，則下列說法正確的是（ ）若事件 與事件相互獨(dú)立，則B.是事件 與事件互為對(duì)立事件的充要條件若事件 與事件互斥， ，則若事件 與事件相互獨(dú)立， 則已知點(diǎn)，點(diǎn) 滿足 ，設(shè)點(diǎn) 的軌跡為曲線 ，則下列法正確的是（ ）的方程為上存在點(diǎn) ，使得在 上不存在點(diǎn) ，使得上的點(diǎn)到直線的最小距離已知曲，則下列說法正確的是（ ）時(shí)，曲于對(duì)稱當(dāng) 時(shí)的最大值為2當(dāng) 時(shí)，若是曲線 上任意一點(diǎn)，則當(dāng) 時(shí)，曲線 上的到原點(diǎn)距離的最小值為三. 填空題：本題共3小題，每小題5分.共15分.在正方體中，點(diǎn)分別在棱 上，且，則異面直線 與所成角的正弦值為 .已知直線 與曲線 恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .已知點(diǎn)、為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) 為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的 倍，則該橢圓的離心率為 .577分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.在某次1500米能試甲乙丙人自過試概分為，甲，乙，丙人是否通過測(cè)試互不影響，求:只有2人通過體能測(cè)試的概率；至少有1人通過體能測(cè)試的概率.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線 距離與到距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線 .求曲的方程；過的直交 于 兩點(diǎn)，( 為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為32，的方程.已知圓與圓，直線判與圓的位置關(guān)系并證明；分別作兩切線 ( 分別為切點(diǎn))若，求的最小值.如圖，四棱錐，平平面，，，，， ，.證明:求直線 與平面 所成正弦值；若是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，平面，求平面與平面夾角的余弦值.已知雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 的左右頂點(diǎn)分別為 ，右焦點(diǎn)，離心率 .求雙曲線的方程及其漸近線方程；過的直線交雙曲線 于 兩點(diǎn)(點(diǎn) 在第一象限)，記直線 斜率為直線 斜率為，的值;圓上的點(diǎn) 作圓 的切線 交曲線 于 ， 點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，證明:PAGEPAGE10頁/21頁2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高二教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一.8540分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.從標(biāo)有五張卡片中無放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之和是6的概率為（）B.C.【答案】A【解析】【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.，，，【詳解】從五張卡片中無放回隨機(jī)抽取兩張則可能結(jié)果，，，，，，，，，共 個(gè)；，，，，，其中滿足兩張卡片數(shù)字之和是6的共個(gè)，所以抽到的兩張卡片數(shù)字之和是6的概.故選：A已知直線，則下列說法正確的是（ ）當(dāng) 時(shí)，直線的傾斜角為當(dāng) 時(shí)，若 ，則直線的縱截距為 a【答案】D【解析】線垂直或平行的條件求得參數(shù)值可判斷B和C；求的縱截距后可判斷D．【詳解】對(duì)于A，當(dāng) 時(shí)，直，斜，則傾斜角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B， 等價(jià)于 ，解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若 ，則 且 ，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng) 時(shí) ，直線的縱截距為 ，故D正確.故選：D.3.，則（ ）A.3 B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量的關(guān)系列等式求解x，y的值，再運(yùn)用向量的數(shù)乘及加法的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合向量的模計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】因，∴ ，解得，∴故選：C．若點(diǎn) 為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) 總能作圓的切線，則 的最小值為（）A. B. C.-2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相離或相切可的最小值.【詳解】因?yàn)檫^總能作的切線，故點(diǎn)在圓外或圓上也即直線與相離或相切，則 ，即 ，解故的最小值.故選：B..如圖，四棱錐 為陽馬， 平面 ，點(diǎn) 是 邊上一點(diǎn)，且，若，則（ ）1 B.C.2 【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)?，故，而，而不共面，故【詳解】因?yàn)?，故，而，而不共面，故，故，故選：C如圖，在長(zhǎng)方體中，， ，點(diǎn) 是棱 的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）B.C.【答案】A【解析】【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法解.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸，y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則則．從.設(shè)平面的法向量，則 ，即 ，得 令 ，，所以點(diǎn)E到平面 的距離為 ．故選：A.已知 、分別是橢圓的左右頂點(diǎn)， 是橢圓上異于 、的意點(diǎn)直斜率之積 ，則此橢圓離心率的取值范圍是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】點(diǎn) ，利用斜率公式以及已知條件可得出 取圍可求得該橢圓離心率的取值范圍.、，【詳解】設(shè)點(diǎn) ，則 ，，可易知、，所以 ，所以 ，可，故故.故選：D.正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn) 在棱 上，且 ，點(diǎn) 是正方體下底面內(nèi).(含邊界)的點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) 到直線的距離與點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離的平方差為則的最大值是（ ）2 B.C.D.【答案】B【解析】， 即為到直線距，而得點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線，然后建立平面直角坐標(biāo)系求解.【詳解】平面，如圖，作 ，因 ，則 平面 ，平面，平面，過于 ，因?yàn)椋?，平，故平面，所?長(zhǎng)即為到直線的距離.因，，所以所以點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線，如圖建立直角坐標(biāo)系，，則點(diǎn)的軌跡方程是，設(shè) ，所以 ，所以取得最大.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：空間中點(diǎn)的軌跡，往往利用空間中的點(diǎn)線面的關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面中動(dòng)點(diǎn)的軌跡的問題，后者往往需要利用曲線的定義來處理.二.3618分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但選不全對(duì)的得部分分，有0分.已知隨機(jī)事件，，則下列說法正確的是（）若事件與事件相互獨(dú)立，則B.是事件與事件互為對(duì)立事件的充要條件若事件與事件互斥， ，則若事件與事件相互獨(dú)立， 則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷A，舉反例判斷B，根據(jù)互斥事件的定義可得，再由對(duì)立事CD.【詳解】對(duì)于A：若事件 與事件相互獨(dú)立，，故A正確；對(duì)于B：推不出事件 與事件互為對(duì)立事件，如拋擲一枚骰子，記 ， ，所，顯然事件 與事件不對(duì)立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若事件 與事件互斥， 則 ， ，所以 ，故C正確；對(duì)于D：若事件 與事件相互獨(dú)立，則 ，故D正確.故選：ACD已知，點(diǎn) 滿足 ，設(shè)點(diǎn) 的軌跡為曲線 ，則下列法正確的是（ ）的方程為在上存在，使得在上不存在，使得上的點(diǎn)到直線的最小距離【答案】ABC【解析】據(jù) 求出曲線 的方程可判斷A；用圓位關(guān)判斷B；的判別式符號(hào)判斷C；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可判斷D.【詳解】已，點(diǎn) 滿足 ，，則 ，整理，，故A正確；的圓心半徑為4，因?yàn)?，所以D在以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的圓O上，因，所以圓O與圓C相交，所以在曲線C上存在點(diǎn)D，使得，故B正確；，，①，假設(shè) 上存在點(diǎn) 符合題意，②，①-②可，代入①可得，方程無解，假設(shè)不成立，即在C上存在點(diǎn)M，使，故C正確；C的圓到直的距離 ，所以C上的點(diǎn)到直的最小距離，故D錯(cuò)誤.故選：ABC:①標(biāo) 于 的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③逆代法，將 代入.已知曲，則下列說法正確 是（ ）時(shí)，曲于對(duì)稱當(dāng) 時(shí)的最大值為2當(dāng) 時(shí)，若是曲線 上任意一點(diǎn)，則當(dāng) 時(shí)，曲線 上的到原點(diǎn)距離的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】點(diǎn) 關(guān)于 對(duì)稱的點(diǎn)為 ，代入方程即可判斷A，，，利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B，即可求出的取值范圍即可判斷C，利用基本不等式求的最小值，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng) 時(shí)曲，即，設(shè)在曲線上，則關(guān)于 對(duì)稱的點(diǎn)，所以即，，即，令，故不在曲線 上，所以曲線 不關(guān)于 對(duì)稱，故A錯(cuò)誤對(duì)于B：時(shí)曲線，即，令，，則則，所以當(dāng) ，即 時(shí)取最大值，，則，所的最大值為，故B正確對(duì)于C：時(shí)曲線，則，則，所，解得 或 ，所以 ，故C正確對(duì)于D：當(dāng) 時(shí)曲，則，當(dāng)且僅當(dāng) ，時(shí)取等號(hào)，所，所以曲線 上 點(diǎn) 到原點(diǎn)距離的最小值，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)關(guān)鍵是三角換元，D選項(xiàng)關(guān)鍵是利用基本不等式求的最小值.三. 填空題：本題共3小題，每小題5分.共15分.在正方體中，點(diǎn)分別在棱 上，且，，則異面直線 與所成角的正弦值為 .【答案##【解析】【分析】以D為原點(diǎn)， 為x軸， 為y軸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與 所成角的余弦值.【詳解】設(shè)正方中棱長(zhǎng)為3，以D為原點(diǎn)， 為x軸， 為y軸為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，則，，，設(shè)異面直線 所成角，則 .則，，，即異面直線所成角的余弦值為 .故答案為.已知直線 與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .【答案】【解析】【分析】利用直線與半圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)數(shù)形結(jié)合后可求實(shí)的取值范圍.【詳解】曲即為半圓，而直過定點(diǎn)，如圖：當(dāng)直線過 時(shí)， ，過 時(shí)，故或當(dāng)直與半圓相切時(shí)，，故或或，故當(dāng)直線線與半圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)故實(shí)數(shù) 的取值范圍，或，故答案為：

（舍）已知點(diǎn)、為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) 為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的 倍，則該橢圓的離心率為 .【答案】【解析】在 中利用余弦定理求得得 圓半徑，和正弦定理可得外接圓半徑，結(jié)合已知可解.【詳解】根據(jù)橢圓的定義，余弦定理，面積相等即可求解.如圖，由橢圓的定義可知，且，又，利用余弦定理可知：，化簡(jiǎn)可得 ，所的面積為 ，的外接圓半徑為 ，內(nèi)切圓半徑為，由正弦定理可得 ，可得 ，易的周長(zhǎng)，利用等面積法可知 ，解得 ，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的 倍，即 ，所以 ，即可得 ，所以 ，離心.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出 ，，代入公；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于 的齊次式，結(jié)轉(zhuǎn)化為 的齊次式，然后等式(等式)兩邊分別除以 轉(zhuǎn)化為關(guān)的方程(不等式)，解方程(不等式)即可的取值范圍)．四．解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.在某次1500米能試甲乙丙人自過試概分為，甲，乙，丙人是否通過測(cè)試互不影響，求:只有2人通過體能測(cè)試的概率；至少有1人通過體能測(cè)試的概率.【答案】（1）（2）（2）【解析】件“甲通過測(cè)試“乙通過測(cè)試通過測(cè)試”，利相獨(dú)事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）利用相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得.【小問1詳解】設(shè)事件“甲通過測(cè)試”，事“乙通過測(cè)試”，事“丙通過測(cè)試”，由題意．設(shè)事件“甲?乙?丙3人中恰有2人通過測(cè)試”，所以；【小問2詳解】設(shè)事“甲?乙?丙3人中至少有1人通過測(cè)試”，則 的對(duì)立事件.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線 的距離與到距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線 .求曲的方程；過的直交 于 兩點(diǎn)，( 為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為32，的方程.【答案】（1）或【解析】【分析】(1)由拋物線的定義即可求出拋物線方程；(2)設(shè)直的方程，聯(lián)立拋物線方程消去，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合面積即可求解.【小問1詳解】由已知有：動(dòng)的軌跡是以 為焦點(diǎn)，直為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線 的方程為.【小問2詳解】，顯然直的斜率不為0，可設(shè)直聯(lián)立 ，則，，則，所以，原點(diǎn) 到直的距離為： ，所以 ，解，或.所以直的方程為：或.已知圓與圓，直線判與圓的位置關(guān)系并證明；分別作兩圓的切線(分別為切點(diǎn))若，求的最小值.【答案】（1） 與相交.（2）【解析】求出動(dòng)直線所過的定點(diǎn)后可判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）先求的軌跡方程后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求最小值.，令，【小問1，令，直線的方程可化為：故 ，故直過定點(diǎn)，而 故該定點(diǎn)在的內(nèi)部，與圓相交.【小問2詳解】?jī)蓤A的半徑均為1，因?yàn)椋始?，，?，的軌跡為直.因表示，而 ，故 .的最小值.如圖，四棱，平平面，，，，， ，.證明:求直與平面所成角的正弦值；若點(diǎn) 是平面 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且 平面 ，求平面 與平面 夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）（3）【解析】平平面，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證平此證，結(jié)，由線面垂直判定定理證平，由此證明結(jié)論；建立空間直角坐標(biāo)系，求直的方向向量與平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求結(jié)論；由（1）求平面的法向量，結(jié)合（2）求平的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.【小問1詳解】因 平平面，平平面，平面，因 平平面，平面，所，平面，平面，，，所平面平面所，平面，【小問2詳解】由（1）平面，如下圖，以 為原點(diǎn)為 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)? ，， ，所以，因?yàn)椋?， ，所，，，所，，，，，，所以 ，，，設(shè)平面 的法向