2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)摸底試卷（滿分160分，120分鐘完成．答案一律寫在答題紙上．）考試說(shuō)明：試卷最后的挑戰(zhàn)題為非必答題，分值10分一、填空題．（本題共12小題，前6題每小題4分；6題每小題5分，共54分．請(qǐng)?jiān)跈M線上方填寫最終的、最簡(jiǎn)的、完整的結(jié)果）1.已知集合，，且，則實(shí)數(shù)______．2.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___.3.已知常數(shù)且，假設(shè)無(wú)論為何值，函數(shù)的圖像恒經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．4.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________．5.若（為常數(shù)）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．6.已知，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)值是__________．7.兩正數(shù)a與b的幾何平均值為2，則與的算術(shù)平均值的最小值為_(kāi)_______．8.若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______．9.中，，則__________．10.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)通增，則的取值范圍是__________．11.定義在上的函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_________．12.已知函數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②存在，使得；③對(duì)于任意的，都有；④對(duì)于任意的，都有．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．二、選擇題（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)?zhí)顚懛弦蟮倪x項(xiàng)前的代號(hào)）13.已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（）A. B. C. D.14.設(shè)與是兩個(gè)不同的冪函數(shù)，記，則中的元素個(gè)數(shù)的可能是（）.A.0、1、2、 B.1、2、3 C.1、2、3、4 D.0、1、2、315.中，以下與“”不等價(jià)的是（）A. B.C. D.16.已知函數(shù)定義域和值域均，有兩個(gè)命題：命題若對(duì)任意，且，都有，則增函數(shù)；命題若對(duì)任意，且，都有，則奇函數(shù).則正確的說(shuō)法是（）A.命題是真命題，命題也是真命題 B.命題是真命題，命題是假命題C.命題是假命題，命題是真命題 D.命題是假命題，命題也是假命題三、解答題．（本大題共5小題，滿分78分．請(qǐng)寫出必要的證明過(guò)程或演算步驟）17.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18.已知，函數(shù)為奇函數(shù)，為常數(shù)．（1）求的值；（2）若對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)的值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.數(shù)學(xué)家在研究平面幾何問(wèn)題時(shí)分別總結(jié)出如下結(jié)論：①四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓的充要條件是四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)．②（托勒密定理）任意凸四邊形，兩組對(duì)邊的乘積之和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)該四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立．③婆羅摩笈多面積定理）若給定凸四邊形的四條邊長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)該四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓時(shí)，四邊形的面積最大．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：（1）見(jiàn)圖1，若，求線段長(zhǎng)度的最大值，并求出此時(shí)線段長(zhǎng)度；（2）見(jiàn)圖2，若，求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)角的大?。?0.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，求解不等式；（3）當(dāng)時(shí)，若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的值．21.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)；（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，求證：；（3）求證：“函數(shù)具有性質(zhì)”的充要條件是“對(duì)任意的，成立”．【挑戰(zhàn)題】22.“三角形內(nèi)角嵌入不等式”是英國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫·沃爾斯滕霍姆所提出的平面幾何中的一個(gè)不等式，在不至于引起歧義的情況下簡(jiǎn)稱“嵌入不等式”．該不等式指出，若、、是的三個(gè)內(nèi)角，則對(duì)任意實(shí)數(shù)、、，有：，不等式的取等條件為：存在實(shí)數(shù)，使得．根據(jù)上述材