2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州市安寧區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知全集u=尺，集合"={x-14x43},則（）

A.{x|-l<x<3}B.{x|-l<x<3}

C.{x|x<-l或x>3}口.{x|x4-l或xN3}

p'—1〉_1

2.已知命題74,命題9：VxeR,ax2+ax+l>Q,則°成立是“成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3

2kx9+kx—<0

3.若一元二次不等式8對一切實數(shù)x都成立，則后的取值范圍是（

）

A.（T。）B.（T°lc.（-°°，-3）30,+8）口（f-3）u[0,+叼

3\xe[-l,0）

riy

4.若、U''1則/[〃皿？）]的值為（）

B_V|_j_

A.3B.3C.2D.-2

nji

5.數(shù)列{%}的通項公式""一"C°s2,其前〃項和為S"，貝|]邑。15=

A.1008B.2015c.-1008D.-504

6.已知函數(shù)/6）=^3+隊+1的圖象在點（1"+6+1）處的切線斜率為6,且函數(shù)

/（X）在%=2處取得極值，貝ija+b=（）

262226

A.3B.7c.3D.3

7.將余弦函數(shù)y=cosx的圖象向右至少平移加個單位，可以得到函數(shù)y=—sinx的

圖象，貝I加=（）

71

A.B.71

37131

C.TD.4

8.若。也ceR且.>萬，則下列不等式成立的是（）

A.a2>b2B.ab

ab

-；——

C6z|c|>ic|D.。+1c+1

二、多選題（本大題共3小題）

9.過點尸（2,3）,并且在兩軸上的截距相等的直線方程為（）

A1+y—5—0B2x+y—4—0

Q3x-2y=0D4x-2y+5=0

22

土+匕=1"

10.已知橢圓C：/b2（。>6>0）的左右焦點分別片、鳥，過片且斜率為2的直

線交橢圓E于尸、°兩點，若"P耳耳為直角三角形，則該橢圓C的離心率6=（）.

A.逝T

B.3

C.石-2

45

D.3

11.下列命題中不正確的是（）.

A.若A、3、C、。是空間任意四點，則有AB+BC+CD+DA=0

B.若g=㈤，則。、3的長度相等而方向相同或相反

C.⑷一⑸=〃+加是2、1共線的充分條件

ULUUUULUUUU

D.對空間任意一點？與不共線的三點A、B、C,若。尸=MM+yO8+zOC（

x,yzeR）,貝|p、A、8、C四點共面

三、填空題（本大題共3小題）

12.設(shè)全集"={1"，3,4,5},集合/={1,2},則6/等于

13.不等式ax?一融+220對一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

f（x）=sin（o>x+^?）CD>^.--<（p<—

14.設(shè)定義在R上的函數(shù)I122）,給出以下四個說法:

,Z、

②/口）在區(qū)間I6J上是增函數(shù)；

③/（町的圖象關(guān)于點13J對稱；

_71

④/（X）的圖象關(guān)于直線X一份對稱.

以其中兩個說法作為條件，另兩個說法作為結(jié)論，寫出一組你認為正確的一個命題（寫

成“0O4”的形式）.（其中用到的說法用序號表示）

四、解答題（本大題共5小題）

f(x)=—ex(cosx+sinx)(0<x<

15.已知函數(shù)2

（1）計算函數(shù)/（X）的導(dǎo)數(shù)/（X）的表達式;

（2）求函數(shù)A》）的值域.

16.已知正項數(shù)列｛""｝的前"項和為乞，滿足氏=瘋+點:〃？2〃eN*,%=1.

（1）求數(shù)列"J的通項公式；

°,—COnS〃兀?-----

（2）設(shè)“%％用，求數(shù)列也｝的前2〃項和耳的表達式.

17.（1）求與向量'=（2TZ共線且滿足方程限彼=T8的向量加的坐標；

（2）已知"GT"）,3（4,5,-1）,C（-2,2,3）,求點尸的坐標使得"‘一5伽一"Q

（3）己知"=（3,5，-4）,"=（2,1,8）,求：①[%；②￡與否夾角的余弦值；③確定彳、

〃的值使得比+〃與z軸垂直,且伽+力）G+*）=53.

18.電動汽車革命已經(jīng)成為全球汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的新趨勢.2018年某企業(yè)計劃引進新能

源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)x（百輛）

10x2+100x,0<x<40

C（x）=\10000

\501尤+-------4500,x>40

,需投入成本0（盯萬元，且〔x,由市場調(diào)研知，每輛車

售價5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.

（1）求出2018年的利潤￡（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系；（利潤=銷

售額-成本）

（2）2018年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.

f（x）=\nx--ax1—bx

19.設(shè)函數(shù)2.

（1）已知/（X）在點尸O'，。））處的切線方程是了=2x-l,求實數(shù)a,6的值；

（2）在第（1）間的條件下，若方程有唯一實數(shù)解，求實數(shù)X的

值.

答案

I.【正確答案】c

【詳解】由題意，全集U=A,集合M={X|-1WX43},

所以={x|x<T或x>3}

故選:C.

2.【正確答案】A

【分析】分別由命題夕國求得.的取值范圍，然后考查充分性和必要性是否成立即可

11

——〉—

【詳解】求解不等式。4可得°<。<4,

對于命題夕，當。=°時，命題明顯成立；

a>0

<

當。彳0時，有[/=/-4”0,解得0<°<4,

即命題4為真時0?〃<4,

故°成立是“成立的充分不必要條件.

故選A.

3.【正確答案】A

【詳解】依題意可得《#0,

,3

2kx+kx—<0

由二次函數(shù)性質(zhì)可得若一元二次不等式8對一切實數(shù)x都成立,

k<0

,93

A=A:2+4X2A:X-<0

需滿足〔8,

解得-3（左<0,即左的取值范圍是（一3，°）.

故選：A

4.【正確答案】A

【詳解】易知啕2小,1],所以“嗎?）一R一2,

-

/[/（log32）]=/f-^=3L^

所以<2>3.

故選：A

5.【正確答案】C

【詳解】試題分析：根據(jù)三角函數(shù)的周期性可

=cos—=0,a:=2cosK=2,ay=3cos--=0.a4=4co$47

-4,同理得生=0.%=fa-=0,q=8,可知周期為%

S：us=503(<jj+a2+a3+q)+a::li+

+a；“$+a.M=10062014=-1008

考《；三鹿盲數(shù)的周期性及數(shù)列求和:

6.【正確答案】C

y（2）=o

【分析】計算/（X）,然后根據(jù)I'‘。”',可得。力,最后可得結(jié)果.

【詳解】由題可知：/3=3辦2+6,

[3Q+6=6,2

則[12Q+b=0,解得"3,6=8,

__2

經(jīng)檢驗，當"一6=8時，/（'）在、=2處取得極大值，

722

a+b=——

所以3.

故選：C

本題主要考查曲線在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重在于計算以及理解，屬基礎(chǔ)題

7.【正確答案】C

【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式得,y=—sinx=cosv，=cos')故欲得到

3%

y=—sinx的圖象，須將y=cosx的圖象向右至少平移2個單位長度.

8.【正確答案】D

【分析】對于ABC,舉反例排除即可；

對于D,利用不等式的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】對于A,令〃=2]=-3,則但/<片故A錯誤;

11

—>—

對于B,令a=2,b=-3,則a>b,但ab,故B錯誤；

對于C,令。=0,貝=故c錯誤；

C—>0

?72

對于D,因為貝ijc2+l>°,gpc+l,

ab

又a>b,所以。2+1c2+l,故D正確.

故選：D.

9.【正確答案】AC

設(shè)出直線的點法向式方程為/(x-2)+B(y-3)=0(A、B不同時為°),先討論”=°或

A

8=°均不合題意，即AB^Q,然后求出橫縱截距，由兩截距相等得出萬，代入即得

直線方程.

【詳解】設(shè)所求直線方程為4x-2)+3(y-3)=0(A、B不同時為0),

顯然，當/=°或8=°時，所得直線方程不滿足題意，故A、B均不為0,

y=——+3八x=——

當x=0時，-B,當＞=0時，A

-----1-3=-----1-2

根據(jù)題意，直線在兩坐標軸上的截距相等，則B/

A3

z=—2z+3=—+2

令5,貝|Jz,整理，得2z7+z—3=0,

33

A=一一八0

解得z=l,或2,則Z=5w0,或2

故所求直線方程為x+y-5=0或3x-2y=0,

故選：AC.

10.【正確答案】CD

分兩類：一，和㈤洱一2,設(shè)朋1=2,由P耳的斜率求得“力笆中其他兩邊，

得2a,2c,即可得離心率.

71

【詳解】當々'"一，時，設(shè)阿=2,則由于tan/P“2=2,...閨尸2卜1,1尸國=6

=。=2c=1=/7_

「。=|尸周+|%|=石+2,2c=|耳閭=1,...橢圓。的離心率為丁五-4一”-9

71

當49=5時，設(shè)陷1=2,則由于tan/P"L2,,四|=1"耳聞=色

|*=3,2c=|卡卜色，橢圓。的離心率為e=:||=S,

故選：CD.

11.【正確答案】ABD

【分析】本題考查向量的概念與性質(zhì)，需按個選項分析，A選項考察向量加法的意義,

B選項考察向量的模的性質(zhì)，C選項可以兩邊平方計算，D選項考察四點共面的性質(zhì)

ULUUUUuuuuuuI

【詳解】A選項，/2+8C+8+D4=°而不是0,故A錯，

B選項，同=內(nèi)僅表示￡與.的模相等，與方向無關(guān)，故B錯，

C選項，由-由=而+司=同2-2同煙+|盯=,2+2展5+52,

即-2同?問=2展5=2間?岡.cos.5）

即cos??=_\,々與否方向相反，故c對，

D選項，空間任意一個向量方都可以用不共面的三個向量方、礪、反表示,

二尸、A、3、C四點不一定共面，故D錯，

故選ABD.

12.【正確答案】{345}

【詳解】由。={1，2,3,4,5},/={1,2},可得名"={3,4,5}.

故{345}

13.【正確答案】［°岡

【詳解】解：當a=0時，不等式等價于220,恒成立，所以a=0符合條件.

ja>0>0

當"0時，不等式等價于lA^0,BPK-8?<0,解得：0<a<8,

所以a的范圍為04a48.

故答案為［°岡.

14.【正確答案】①④二②③（答案不唯一）

【詳解】解析：答案不唯一，比如：

①/（X）的周期為乃，則。=2,函數(shù)〃x）=si"（2x+e）.

7T7171713兀

-------<(p<——<2x----\-(p<——

又因為12"2,所以1212*3

_717171

2x----\-(p=—(P=一

所以1212,所以3

f(x)=sin2x+—

所以I3A此時②③成立，故①④=>②③.

再如：

若①的周期為萬，則。=2,函數(shù)/（x）=sin（2x+°）,

若再有③/G）的圖象關(guān)于點

對稱,

。萬7717t71

2x—+°=九萬—<(p<—(p=—

則3,又因為122,所以3,

f(x)=sinf2x+y

所以,此時②④成立，故①③n②④.

故①④=②③（答案不唯一）

11i

,一，-e2

15.【正確答案】（1）/'（x）=e、cosx；122」.

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則求導(dǎo)即可；

0<x<—、0,--

（2）根據(jù)2,可得函n數(shù)在L2」上是單調(diào)增函數(shù)，求出極大、極小值即可

得出值域.

f(x)=—ex(cosx+sinx)(0<x<—)

【詳解】解:（1）因為

f(x)=；/(cosx+sinx)+—ex(-sinx+cosx)=excosx

所以

故函數(shù)〃x）的導(dǎo)數(shù)/（X）=/cosX.

兀

*/0<x<-

(2)2,

-f(x)=eXcosx>0

5

0,-

函數(shù)〃x）在L2」上是單調(diào)增函數(shù)，

匚GM=/（0）=:e°（cos0+sin0）=:

所以22,

/(刈皿*=/(—)=-e2(cos—+sin—)=-e2

所以八/ma*八2，2\222.

'11f-

一,一

故函數(shù)/(X)的值域為H2」.

16.【正確答案】（1）%=2〃-1；（2）2"-4"+1.

【分析】

（1）利用可將題設(shè)中的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為底一百=1,利用等差數(shù)列的

通項公式可求｛*｝的通項公式，從而可求｛“〃｝的通項公式.

(2)利用裂項相消法可求

【詳解】

(1)正項數(shù)列｛""｝的前"項和為S，，滿足厄+卮〃22〃eN*,

所以S“-S,T=厄+瓦,

整理得：他+瓦XK一再一10,

由于數(shù)列為正項數(shù)列，所以底一百=1(常數(shù))，

所以眄｝是以何=百=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

所以皿=1+(幾-1)="

所以"〃=+JS〃_i=n+n-I=2n-l易見%=1也適合該式.

故?！?2篦-1

,nz1611

b=cosrm--------=(-11)x---------H---------

(2)由于anan+\42〃—12〃+1

+b

所以%〃=4+b2+^+---+Vl2n

+…-I—11?1

444H—14〃+1

1111

-+——--------1--------

33554〃一14〃+1

1n

-1+

44〃+14〃+1

方法點睛：數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則

用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可

以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則

用并項求和法或把通項拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的和(除了符號外).

,D7叵

12

17.【正確答案】(1)6=(-4,2,-4)；(2)IJ；(3)①21,②230,③

1

u——

2=1,"2

【詳解】(1)?.不與￡共線，故可設(shè)3=由。力=一18得：

a.=A\a|2=A?4+1+4)=94=—18

故4=-2,2。=(—4,2,—4)；

UCIU

(2)設(shè)PG//),貝|jN=(x-2/+l,z_2)^5=(2,6,-3)/C=(-4,3,l)

，/，/，

umiJJLUuun、

AP=%。)

(x-2,j；+l,z-2)=1[(2,6,-3)-(-4,3,l)]=1(6,3,-4)=3,”

5,

二尸點坐標為r°

(3)①=(3,5,-4>(2,l,8)=3x2+5xl-4x8=-21

...面=50,倔,

②:設(shè)向量￡與否的夾角為

a-b-217V138

cos(a,b一內(nèi).向一5萬刷一230

7V138

???）與石夾角的余弦值為230,

(A,a+)元=0

③取Z軸上的單位向量［=（0,0,1）,5+,=（5,6,4）,依題意［(,Xa+)g+B)=0

(34+2〃,54+〃，—44+8//)(0,0,1)=0—4/1+8〃=0

(34+2〃,54+〃,-42+8//)(5,6,4)=0故

即292+48//=53

1

u.——

解得彳=1,2

—10x~+400x—2500,0<x<40

〃x)=，2000一"一

,x>40

18.【正確答案】（1）

（2）當2018年產(chǎn)量為100百輛時，該企業(yè)獲得的利潤最大，最大利潤為1800萬元

【詳解】（1）根據(jù)題意，當°<x<40時，

2

Z(x)=5X100x-1Ox-100x-2500=_iOx2+400x_2500.

Z(x)=5xl00x-501x-^^+4500-2500=2000-|x+10000

當xN40時，-xIx

-10x2+400x一2500,0<x<40

L(x)=<10000

2000-x+--------,x>40

故x

(2)根據(jù)題意，當0<x<4。時，“X)=T°X2+400X_2500=_10(X_20)2+1500

當工=20時，￡(%)?￡(20)=1500；

L(x)=2000~(x+12222]<2000-2Jxx^^-=1800

當x?40時，IxJVx

當且僅當x