第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年重慶市萬州區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑。1．（4分）計算a2?a4結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)8 D．2a22．（4分）小彬想了解合肥五月份每天的氣溫變化情況，最適合選用的統(tǒng)計圖表是（）A．條形統(tǒng)計圖 B．扇形統(tǒng)計圖 C．折線統(tǒng)計圖 D．統(tǒng)計表3．（4分）如圖，點B、C、D在同一直線上，若△ABC≌△DEC，AC＝3，BD＝10，則CE等于（）A．3 B．7 C．10 D．134．（4分）下列各組數(shù)分別為一個三角形三邊的長，其中能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．2，4，5 B．4，6，9 C．7，9，10 D．9，12，155．（4分）估計17?2A．4到5之間 B．3到4之間 C．2到3之間 D．1到2之間6．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝10，AD＝7，則點D到AB的距離為（）A．6 B．5 C．4 D．37．（4分）若M＝x2+y2+6x﹣2y+2024，則M的最小值是（）A．2014 B．2016 C．2018 D．20208．（4分）下列命題中為真命題的是（）A．27的立方根是﹣3 B．有理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng) C．面積相等的兩個三角形一定全等 D．若a+b＝0，則a2＝b29．（4分）如圖，在等腰直角△ABD中，∠ABD＝90°，BE⊥AC，AE＝2BE．若∠BAE＝α，則∠BDE的度數(shù)為（）A．α B．α﹣15° C．45°﹣α D．90°﹣2α10．（4分）有依次排列的2個整式：a+b，a﹣b，用這兩個整式的和除以2，得到的結(jié)果放在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生第1個整式串：a+b，a，a﹣b，稱為第1次操作；將第1個整式串中任意相鄰的兩個整式按上述方式進行第2次操作，可以得到第2個整式串．以此類推，下列說法：①第2個整式串為：a+b，a+b2，a，a?b2，②第4個整式串中，從左往右第2個整式乘以從右往左第2個整式的積為a2③第2024個整式串中，所有整式的和為（22024+1）a．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）64的算術(shù)平方根是．12．（4分）若2a﹣b＝﹣3，ab＝2，則2a2b﹣ab2的值為．13．（4分）梁啟超先生曾說：“少年智則國智，少年富則國富；少年強則國強，……”，在這句話劃線部分的所有漢字中，“國”字出現(xiàn)的頻率是．14．（4分）若一個多項式M與單項式2x2的積是10x4﹣8x5，則這個多項式M是．15．（4分）已知等腰三角形有一內(nèi)角為100°，則該等腰三角形的底角為度．16．（4分）如圖，已知正方形ABCD與正方形CEFG的面積之差為36，則陰影部分面積為．17．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC，BF⊥AC交AC于點E，AD⊥CD，∠ABE＝∠ACD．若BF＝11，CD＝8，則CE的長為．18．（4分）一個各個數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0的四位正整數(shù)M=abcd（其中1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d為整數(shù)），若滿足a+b+c+d＝18，則稱該數(shù)為“恒常數(shù)”，規(guī)定F(M)=M9．例如：四位正整數(shù)1827，∵1+8+2+7＝18，∴1827是“恒常數(shù)”，F(xiàn)(1827)=18279=203，如果M=abcd是一個“恒常數(shù)”，且a+1＝b，b+1＝c，c+1＝d，則F（M）為．若M=abcd是一個“恒常數(shù)”，令P(M)=F(M)+d7，Q（M）＝a+b﹣c﹣d，其中c＜d，當Q（三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。19．（8分）（1）分解因式：3a3﹣12a；（2）化簡：2（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．20．（10分）“勞動最光榮、勞動最崇高、勞動最偉大、勞動最美麗”，勞動是一切成功的必經(jīng)之路，也是培養(yǎng)棟梁之才的必需方式．某中學(xué)為了解該校學(xué)生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間，隨機抽取部分學(xué)生調(diào)查了他們一周課外活動和家庭生活中的勞動時間，用x表示時間（單位：小時），共分成四組：A：0≤x＜3，B：3≤x＜4，C：4≤x＜5，D：x≥5，將數(shù)據(jù)進行整理并制成如下統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）此次調(diào)查一共隨機抽取了名學(xué)生，補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（2）扇形統(tǒng)計圖中C部分對應(yīng)的圓心角為度；（3）若該中學(xué)共有800名學(xué)生，請估計該校學(xué)生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間不少于3小時的人數(shù)．21．（10分）如圖，AD∥BC．（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線交AD于點E，交AC于點F．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作圖形中，若點F恰為線段AC的中點，求證：△ABC是等腰三角形．請補全下面的證明過程．證明：∵BE是∠ABC的平分線，∴．∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CBF．∴．∴AB＝AE．∵F為AC的中點，∴AF＝CF．在△AEF和△CBF中，∠AEF=∠CBF∠AFE=∠CFB∴△AEF≌△CBF（AAS）．∴．∴AB＝CB．∴△ABC是等腰三角形．由此發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論，請完成下列命題：如果一個三角形的一個內(nèi)角的平分線又是其對邊的中線，那么這個三角形是．22．（10分）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“※”：a※b＝2（a﹣b）2﹣3，例如：3※2＝2×（3﹣2）2﹣3＝﹣1．（1）若a＝5，b＝﹣3，計算a※b的立方根；（2）若2※x＝15，求x的值．23．（10分）放風箏是清明節(jié)的節(jié)日習俗，寓意將煩惱和疾病隨著風箏一起放飛，此外，放風箏還是一項娛樂性運動，無論是與家人還是朋友一起放風箏，都能增進彼此之間的關(guān)系．某校八年級幾名同學(xué)在學(xué)習了“勾股定理”之后，想用此定理來測量風箏的垂直高度．如圖，牽線放風箏的同學(xué)站在A處，風箏在F處，先測得他抓線的地方與地面的距離AB為1.5米，然后測得他抓線的地方與風箏的水平距離BC為15米，最后根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BF的長為17米．（1）求此時風箏的垂直高度EF的長；（2）若放風箏的同學(xué)站在點A不動，風箏沿EF的方向繼續(xù)上升到D處，風箏線又放出了8米，請求出風箏沿EF方向上升的高度FD的長．24．（10分）某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習整式乘法公式后，構(gòu)造了以下圖形驗證乘法公式．請你利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過等積法解決以下數(shù)學(xué)問題．從邊長為a的正方形中減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）比較兩圖中陰影部分面積，可以驗證的等式是；（請選擇正確的選項）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）若4x2﹣9y2＝20，2x﹣3y＝4，求2x+3y的值；（3）計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1．25．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，點P和點Q分別是△ABC邊上的兩動點，點P從點A開始沿A→C方向運動，速度為每秒1cm，到達C點后停止；點Q從點C開始沿C→B→A的方向運動，速度為每秒2cm，到達A點后停止，它們同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t秒．（1）當t＝4秒時，求△PCQ的面積；（2）當t為何值時，點P恰好在邊AB的垂直平分線上；（3）當點Q在AB邊上運動時，直接寫出△BCQ為等腰三角形時t的值．26．（10分）在等邊△ABC中，點D為BC邊上一點，連接AD．（1）如圖1，若AB＝4，CD＝1，求AD的長；（2）如圖2，AD＝AE，∠DAE＝120°，連接BE交AC于點F，求證：CD＝2AF；（3）如圖3，若AB＝2，點D為BC邊的中點，點M為線段AD上一動點，點N為AB邊上一動點，直接寫出BM+MN的最小值．

2024-2025學(xué)年重慶市萬州區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案BCBDCDADCD一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑。1．（4分）計算a2?a4結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)8 D．2a2【解答】解：a2?a4＝a6，故選：B．2．（4分）小彬想了解合肥五月份每天的氣溫變化情況，最適合選用的統(tǒng)計圖表是（）A．條形統(tǒng)計圖 B．扇形統(tǒng)計圖 C．折線統(tǒng)計圖 D．統(tǒng)計表【解答】解：根據(jù)統(tǒng)計圖的特點，想了解合肥五月份每天的氣溫變化情況，最適合使用的統(tǒng)計圖是折線統(tǒng)計圖．故選：C．3．（4分）如圖，點B、C、D在同一直線上，若△ABC≌△DEC，AC＝3，BD＝10，則CE等于（）A．3 B．7 C．10 D．13【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴CD＝AC＝3，CE＝BC，∵BD＝10，∴CE＝BC＝BD﹣CD＝10﹣3＝7，故選：B．4．（4分）下列各組數(shù)分別為一個三角形三邊的長，其中能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．2，4，5 B．4，6，9 C．7，9，10 D．9，12，15【解答】解：A、∵22+42≠52，∴不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；B、∵42+62≠92，∴不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；C、∵72+92≠102，∴不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D、∵92+122＝152，∴能構(gòu)成直角三角形，符合題意，故選：D．5．（4分）估計17?2A．4到5之間 B．3到4之間 C．2到3之間 D．1到2之間【解答】解：∵16＜∴4＜17∴17?故選：C．6．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝10，AD＝7，則點D到AB的距離為（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∠C＝90°，由BD平分∠ABC可得：點D到BC的距離等于CD的長度．∵AC＝10，AD＝7，∴CD＝AC﹣AD＝10﹣7＝3．∴點D到AB的距離也是3．故選：D．7．（4分）若M＝x2+y2+6x﹣2y+2024，則M的最小值是（）A．2014 B．2016 C．2018 D．2020【解答】解：∵M＝x2+y2+6x﹣2y+2024＝（x+3）2+（x﹣1）2+2014≥2014，故選：A．8．（4分）下列命題中為真命題的是（）A．27的立方根是﹣3 B．有理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng) C．面積相等的兩個三角形一定全等 D．若a+b＝0，則a2＝b2【解答】解：A、27的立方根是3，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；B、實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；C、面積相等的三角形不一定全等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；D、若a+b＝0，則a2＝b2，正確，是真命題，符合題意．故選：D．9．（4分）如圖，在等腰直角△ABD中，∠ABD＝90°，BE⊥AC，AE＝2BE．若∠BAE＝α，則∠BDE的度數(shù)為（）A．α B．α﹣15° C．45°﹣α D．90°﹣2α【解答】解：如圖，在AE上截取AF＝BE，連接BF，∵AE＝2BE，∴EF＝AF＝BE，∴∠FBE＝45°，∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ABD，∴∠ABE+∠DBE＝90°＝∠ABE+∠BAE，∴∠BAE＝∠DBE＝α，又∵AB＝BD，∴△ABF≌△BDE（SAS），∴∠ABF＝∠BDE，∴∠BDE＝∠ABF＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，故選：C．10．（4分）有依次排列的2個整式：a+b，a﹣b，用這兩個整式的和除以2，得到的結(jié)果放在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生第1個整式串：a+b，a，a﹣b，稱為第1次操作；將第1個整式串中任意相鄰的兩個整式按上述方式進行第2次操作，可以得到第2個整式串．以此類推，下列說法：①第2個整式串為：a+b，a+b2，a，a?b2，②第4個整式串中，從左往右第2個整式乘以從右往左第2個整式的積為a2③第2024個整式串中，所有整式的和為（22024+1）a．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：第1個整式串：a+b，a，a﹣b，所有整式的和為3a＝（21+1）a；第2個整式串：a+b，a+b2，a，a?b2，a﹣b，所有整式的和為5a＝（2第3個整式串：a+b，a+34b，a+b2，a+b4，a，a?b4，a?b2，a?3第4個整式串：a+b，a+78b，...，a?78b，a﹣b，所有整式的和為17∴①的說法正確；②由題意得（a+78b）（a?78b）③由題意得，第2024個整式串中，所有整式的和為（22024+1）a，③的說法正確；綜上，①②③的說法都正確；故選：D．二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。11．（4分）64的算術(shù)平方根是8．【解答】解：∵82＝64∴64=故答案為：8．12．（4分）若2a﹣b＝﹣3，ab＝2，則2a2b﹣ab2的值為﹣6．【解答】解：∵2a﹣b＝﹣3，ab＝2，∴2a2b﹣ab2的＝ab（2a﹣b）＝2×（﹣3）＝﹣6，故答案為：﹣6．13．（4分）梁啟超先生曾說：“少年智則國智，少年富則國富；少年強則國強，……”，在這句話劃線部分的所有漢字中，“國”字出現(xiàn)的頻率是16【解答】解：在“少年智則國智，少年富則國富；少年強則國強”這18個字中，“國”字有3個，∴“國”字出現(xiàn)的頻率是318故答案為：1614．（4分）若一個多項式M與單項式2x2的積是10x4﹣8x5，則這個多項式M是5x2﹣4x3．【解答】解：根據(jù)題意得，M＝（10x4﹣8x5）÷2x2＝10x4÷2x2﹣8x5÷2x2＝5x2﹣4x3，故答案為：5x2﹣4x3．15．（4分）已知等腰三角形有一內(nèi)角為100°，則該等腰三角形的底角為40度．【解答】解：①當這個角是頂角時，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；②當這個角是底角時，另一個底角為100°，因為100°+100°＝200°，不符合三角形內(nèi)角和定理，所以舍去．故答案為：40．16．（4分）如圖，已知正方形ABCD與正方形CEFG的面積之差為36，則陰影部分面積為18．【解答】解：設(shè)正方形ABCD的邊長為a，正方形CEFG的邊長為b，則a2﹣b2＝36，DG＝a﹣b，所以S陰影部分＝S△BDG+S△EDG=12DG?BC+1=12a（a﹣b）+12b（=12（a+b）（a﹣=12（a2﹣b=1＝18．故答案為：18．17．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC，BF⊥AC交AC于點E，AD⊥CD，∠ABE＝∠ACD．若BF＝11，CD＝8，則CE的長為4．【解答】解：連接AF，如圖所示：∵BF⊥AC，AD⊥CD，∴∠AEB＝∠D＝90°，在△ABE和△ACD中，∠ABE=∠ACD∠AEB=∠D=90°∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AE＝AD，BE＝CD＝8，∴EF＝BF﹣BE＝11﹣8＝3，∵BF⊥AC，AD⊥CD，∴∠AEF＝∠D＝90°，在Rt△AEF和Rt△ADF中，AE=ADAF=AF∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），∴EF＝DF＝3，∴CF＝CD﹣DF＝8﹣3＝5，在Rt△CEF中，EF＝3，CF＝5，由勾股定理得：CE=C故答案為：4．18．（4分）一個各個數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0的四位正整數(shù)M=abcd（其中1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d為整數(shù)），若滿足a+b+c+d＝18，則稱該數(shù)為“恒常數(shù)”，規(guī)定F(M)=M9．例如：四位正整數(shù)1827，∵1+8+2+7＝18，∴1827是“恒常數(shù)”，F(xiàn)(1827)=18279=203，如果M=abcd是一個“恒常數(shù)”，且a+1＝b，b+1＝c，c+1＝d，則F（M）為384．若M=abcd是一個“恒常數(shù)”，令P(M)=F(M)+d7，Q（M）＝a+b﹣c﹣d，其中c＜d，當Q（【解答】解：∵M=abcd為“恒常數(shù)”，a+b+c+d又∵b＝a+1，c＝b+1＝a+2，d＝c+1＝a+3，∴a+a+1+a+2+a+3＝18，解得a＝3，∴b＝4，c＝5，d＝6，∴M＝3456，∴F（M）＝F（3456）=3456∵a+b+c+d＝18目a，b，c，d為正整數(shù)，1≤a，b，c，d≤9，又Q（M）＝a+b﹣c﹣d，當Q（M）取最大值時，a+b最大，c，d盡可能小，又∵c＜d，∴c＝l，d＝2，∴a+b＝18﹣1﹣2＝15；①當a＝9，則b＝6時，F(xiàn)（M）＝F（9612）=96129=1068，P（M②當a＝8，則b＝7時，F(xiàn)（M）＝F（8712）=87129=968，P（M③當a＝7，則b＝8時，F(xiàn)（M）＝F（7812）=78129=868，P（M④當a＝6，則b＝9時，F(xiàn)（M）＝F（6912）=69129=768，P（M∴M的值為6912；故答案為：384；6912．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。19．（8分）（1）分解因式：3a3﹣12a；（2）化簡：2（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．【解答】解：（1）原式＝3a（a2﹣4）＝3a（a+2）（a﹣2）；（2）原式＝2x2+4x+2﹣4x2+9＝﹣2x2+4x+11．20．（10分）“勞動最光榮、勞動最崇高、勞動最偉大、勞動最美麗”，勞動是一切成功的必經(jīng)之路，也是培養(yǎng)棟梁之才的必需方式．某中學(xué)為了解該校學(xué)生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間，隨機抽取部分學(xué)生調(diào)查了他們一周課外活動和家庭生活中的勞動時間，用x表示時間（單位：小時），共分成四組：A：0≤x＜3，B：3≤x＜4，C：4≤x＜5，D：x≥5，將數(shù)據(jù)進行整理并制成如下統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）此次調(diào)查一共隨機抽取了50名學(xué)生，補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（2）扇形統(tǒng)計圖中C部分對應(yīng)的圓心角為108度；（3）若該中學(xué)共有800名學(xué)生，請估計該校學(xué)生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間不少于3小時的人數(shù)．【解答】解：（1）20÷40%＝50（名），∴此次調(diào)查一共隨機抽取了50名學(xué)生，D組的人數(shù)為：50﹣5﹣20﹣15＝10，補全條形統(tǒng)計圖：故答案為：50；（2）扇形統(tǒng)計圖中C部分對應(yīng)的圓心角為：360°×15故答案為：108；（3）800×20+15+10答：估計該校學(xué)生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間不少于3小時的人數(shù)為720名．21．（10分）如圖，AD∥BC．（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線交AD于點E，交AC于點F．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作圖形中，若點F恰為線段AC的中點，求證：△ABC是等腰三角形．請補全下面的證明過程．證明：∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBF．∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CBF．∴∠ABE＝AEF．∴AB＝AE．∵F為AC的中點，∴AF＝CF．在△AEF和△CBF中，∠AEF=∠CBF∠AFE=∠CFB∴△AEF≌△CBF（AAS）．∴AE＝BC．∴AB＝CB．∴△ABC是等腰三角形．由此發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論，請完成下列命題：如果一個三角形的一個內(nèi)角的平分線又是其對邊的中線，那么這個三角形是等腰三角形．【解答】（1）解：如圖所示，AE平分∠ABC，（2）證明：BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBF，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵F為AC的中點，∴AF＝CF．在△AEF和△CBF中，∠AEF=∠CBF∠AFE=∠CFB∴△AEF≌△CBF（AAS），∴AE＝BC，∴AB＝CB．∴△ABC是等腰三角形．由此發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論，請完成下列命題：如果一個三角形的一個內(nèi)角的平分線又是其對邊的中線，那么這個三角形是等腰三角形．故答案為：∠ABE＝∠CBF，∠ABE＝∠AEF，AE＝BC，等腰三角形．22．（10分）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“※”：a※b＝2（a﹣b）2﹣3，例如：3※2＝2×（3﹣2）2﹣3＝﹣1．（1）若a＝5，b＝﹣3，計算a※b的立方根；（2）若2※x＝15，求x的值．【解答】解：（1）∵a＝5，b＝﹣3，∴a※b＝5※（﹣3）＝2×[5﹣（﹣3）]2﹣3＝2×82﹣3＝2×64﹣3＝125，∵125的立方根是5，∴a※b的立方根是5；（2）∵2※x＝15，∴2（2﹣x）2﹣3＝15，∴2（2﹣x）2＝18，∴（2﹣x）2＝9，∴2﹣x＝±3，∴x＝﹣1或x＝5．23．（10分）放風箏是清明節(jié)的節(jié)日習俗，寓意將煩惱和疾病隨著風箏一起放飛，此外，放風箏還是一項娛樂性運動，無論是與家人還是朋友一起放風箏，都能增進彼此之間的關(guān)系．某校八年級幾名同學(xué)在學(xué)習了“勾股定理”之后，想用此定理來測量風箏的垂直高度．如圖，牽線放風箏的同學(xué)站在A處，風箏在F處，先測得他抓線的地方與地面的距離AB為1.5米，然后測得他抓線的地方與風箏的水平距離BC為15米，最后根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BF的長為17米．（1）求此時風箏的垂直高度EF的長；（2）若放風箏的同學(xué)站在點A不動，風箏沿EF的方向繼續(xù)上升到D處，風箏線又放出了8米，請求出風箏沿EF方向上升的高度FD的長．【解答】解：（1）∵AB⊥AE，CE⊥AE，BC⊥DE，∴∠BAE＝∠AEC＝∠BCE＝90°，∴四邊形ABCE是矩形，∴AB＝CE＝1.5米，在Rt△BCF中，CF=B∴EF＝CF+CE＝8+1.5＝9.5（米），答：此時風箏的垂直高度EF的長為9.5米；（2）在Rt△BCD中，BD＝17+8＝25（米），BC＝15米，∴CD=B∴DF＝CD﹣CF＝20﹣8＝12（米），答：風箏沿EF方向上升的高度FD的長為12米．24．（10分）某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習整式乘法公式后，構(gòu)造了以下圖形驗證乘法公式．請你利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過等積法解決以下數(shù)學(xué)問題．從邊長為a的正方形中減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）比較兩圖中陰影部分面積，可以驗證的等式是B；（請選擇正確的選項）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）若4x2﹣9y2＝20，2x﹣3y＝4，求2x+3y的值；（3）計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1．【解答】解：（1）圖1陰影部分可以看作兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，拼成的圖2是長為a+b，寬為a﹣b的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：B；（2）∵4x2﹣9y2＝20，即（2x+3y）（2x﹣3y）＝20，而2x﹣3y＝4，∴2x+3y＝5；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1＝（28﹣1）（28+1）…（21024+1）+1＝（216﹣1）…（21024+1）+1＝22048﹣1+1＝22048．25．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，點P和點Q分別是△ABC邊上的兩動點，點P從點A開始沿A→C方向運動，速度為每秒1cm，到達C點后停止；點Q從點C開始沿C→B→A的方向運動，速度為每秒2cm，到達A點后停止，它們同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t秒．（1）當t＝4秒時，求△PCQ的面積；（2）當t為何值時，點P恰好在邊AB的垂直平分線上；（3）當點Q在AB邊上運動時，直接寫出△BCQ為等腰三角形時t的值