高考數(shù)學(xué)試題分類分析匯編

G單元立體幾何

G1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

20.、、[2014?安徽卷]如圖1-5,四棱柱ABCD-ABiGQi中，AA_L底面/WCO,四邊

形A8C。為梯形，AD//BC,且AO=2BC.過4,C,。三點的平面記為a,B以與a的交點

為Q.

圖1-5

(1)證明：Q為〃0的中點；

(2)求此四棱柱被平面a所分成上下兩部分的體積之比；

(3)若44=4,67)=2,梯形A8CQ的面積為6,求平面a與底面A8CO所成二面角的

大小.

20.解：(1)證明：因為BQ〃A4，BC//AD,

BCC\BQ=B,ADOAA]=A,

所以平面Q/3C〃平面AiAD,

從而平面4C。與這兩個平面的交線相互平行，

即QC//A\D.

故AQAC與△A3。的對應(yīng)邊相互平行，

于是△Q8CSAA]AD,

所以患=翳=能當(dāng)即Q為明的中點.

(2汝口圖1所示，連接QA,QO.設(shè)A4=/?,梯形A8C。的高為〃，四楂柱被平面a所分

圖I

V三棱錐Q-A\AD=^X^?2a?h,d=\ahd,

J4D

唳9.斗牛?d?&)4〃&

所以VF=V三棱錐。-ANO+V^Q.ABCD=^Clhd.

又V四棱柱AiBiCQ-ABCD=^ahd,

3711V\\1

所以V1：=V四棱柱?43。。一丫下=呼血/一五〃以=五川以，=—.

(3)方法一：如圖1所示，在△ADC中，作4E_LDC,垂足為R連接4E.

又。反LAAi，且AAnAE=A,

所以。及L平面AEAi，所以。E_L4￡

所以/AE4為平面a與底面A8CO所成二面角的平面角.

因為BC〃/1。，AD=2BC,所以S?OC=2S.MCA.

又因為梯形ABC。的面積為6,DC=2,

所以以八℃=4,AE=4.

AAin

于是tanZAE4i=~AE19NAEAi="^".

故平面a與底面ABCD所成二面角的大小為

方法二：如圖2所示，以。為原點，DA,歷?分別為x軸和z軸正方向建立空間直角

坐標系.

設(shè)NCD4=。，BC=Q,則40=2。

空.2sin

因為S四邊形A8CD=0=6,

所以。=一2

0'

從而可得C(2cos0,2sin

所以DC=(2cos0,2sin〃，())，0，4

設(shè)平面4OC的法向量〃=(x,y,1),

DA},〃=.4〃.x+4=0,

sin0

由

DCn=2xcof>〃+2ysin〃=0,

x=—sin0,

得

尸cos0,

所以〃=（—sin0,cos〃，1）.

又因為平面ABC。的法向量切=（0,0,1）,

irmy[2

所以cos(?>m)=麗=2'

n

故平面a與底面ABCD所成二面角的大小為了.

8.［2014?湖北卷］《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是

我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘乜.又

以高乘之，三十六成一.”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高小計算其體積V的

近似公式Vg表A?力它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率1T近似取為3.那么，近似公式V

7

心后1人相當(dāng)于將圓錐體積公式中的n近似取為（）

、22「25-157、355

A-TBTc.前D.而

8.B

7.、［2014?遼寧卷］某幾何體三視圖如圖1-1所示，則該幾何體的體積為（）

A.8-2n

俯視圖

圖1-1

7.B

G2空間幾何體的三視圖和直觀圖

7.［2014?安徽卷］一個多面體的三視圖如圖1-2所示，則該多面體的表面積為（）

A.21+小B.8+72

C.21D.18

7.A

2.［2014.福建卷］某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()

A.圓柱B.圓錐C.四面體D.三棱柱

2.A

5.［2014?湖北卷］在如圖1-1所示的空間直角坐標系。-x*中，一個四面體的頂點坐

標分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號為①，②，③，④的四個

圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()

A.①和②B.①和③C.③和②D.④和②

5.D

7.、［2014.湖南卷］一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖1-2所示，將該石材切削、打

磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()

正視圖側(cè)視圖

L

112U

俯視圖

圖1-2

A.1B.2C.3D.4

7.B

5.［2014?江西卷］一幾何體的直觀圖如圖1-■1所示，下列給出的四個俯視圖中正確的是

）

左（側(cè)）於L

肉1-1

mo三匕I

ABCE

圖1-2

5.B

7.、［2014遼寧卷］某幾何體三視圖如圖1-1所不,則該兒何體的體枳為（）

nn

A.8—2nB.8—n口C.8——D.8—-

I

i>2-<>?-―>2*1

主視圖左視圖

V■

LAI

1-------2^-----H

俯視圖

圖1-1

7.B

3.［2014.浙江卷］幾何體的三視圖（單位：cm）如圖1-1所示，則此幾何體的表面積是

）

DZ

側(cè)視圖

A.90cm2B.129cm2C.

3.D

12.[2014?新課標全國卷[]如圖1?3,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是

某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）

A.6也B.6C.4gD.4

12.B

6.[2014?新課標全國卷H]如圖1-1,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖

中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯

切削得到，）

A旦

A-27

6.C

17.[2014?陜西卷」四面體A6C.。及其三視圖如圖19所示，過棱A4的中點《作平行

于A/5,8c的平面分別交四面體的棱8。，DC,O于點尸，G,H.

(1)證明：四邊形EFG"是矩形；

(2)求直線與平面EFGH夾角。的正弦值.

17.解：(1)證明：由該四面體的三視圖可知,

BD工DC,BD±AD,AD±DC,

BD=DC=2,AD=\.

由題設(shè)，BC〃平面EFGH,

平面平面BDC=FG,

平面平面ABC=E”，

:.BC〃FG,BC//EH,：.FG//EH.

同理E/〃A。，f/G//AD,：,Er//llG.

???四邊形EFGH是平行四邊形.

又?.?4/)J_OC,AD1BD,平面BQC,

：.AD±BC,：.EFLFG,

.??四邊形是矩形.

(2)方法一：如圖，以。為坐標原點建立空間直角坐標系，則0(0,0,0),A(0,0.1),

8(2,0,0),C(0,2,0),

0A=(0,0,1),BC=(~2,2,0),

84=(-2,0,1).

設(shè)平面MGH的法向量〃=(x,)，，z),

,：EF//AD,FG//BC,

：.n-DA=0,〃BC=0,

z=0,

得取〃=(1,1,0),

-2x+2y=0,

84?〃_2_VlO

sin?=|cos〈8A,加|=\BA\\n\=V5X^2=5'

方法二：如圖，以。為坐標原點建立空間直角坐標系，

則。(0,0,0),4(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),

???￡是48的中點，.?*,G分別為8。，。。的中點，得《1,0,習(xí),

,0,0),G((),

1,0).

???曲=(0,0,3，F(xiàn)G=(-I,I,0),

BA=(-2,0,1).

設(shè)平面EFG"的法向量〃=(x,y,z),

則〃FE=0,〃FG=0,

7z=0,

取〃=(l,1,0),

—x+y=0,

2迎

sin0=|cos(BAt加|=

10.[2014天津卷]一個兒何體的三視圖如圖1?3所示（單位：m）,則該幾何體的體積為

7.[2014?重慶卷]某幾何體的三視圖如圖1-2所翌則該幾何體的表面積為（）

A.54B.60C.66D.72

7.B

G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線

4.[2014?遼寧卷]已知機，〃表示兩條不同直線，a表示平面.下列說法正確的是（）

A.若〃i〃a,”〃a,則〃?〃〃

B.若m_La,“Ua,則〃?

C.若，〃_La,m.Ln,則〃〃a

D.若/〃〃。，則〃_La

4.B

17.、、［2014?福建卷］在平面四邊形A8C。中，AB=BD=CD=\.AB±I3D,CDLBD.

將△AB。沿8D折起，使得平面ABD_L平面BCD,如圖1-5所示.

(1)求證：ABLCDx

(2)若M為A。中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.

圖1-5

17.解：(1)證明：?.?平面ABO_L平面BCD,平面ABDA平面BCD=3Q,A8U平面ABD,

ABA.BD,平面BCD

又CQU平面8CQ,???48J_CQ.

(2)過點B在平面BCD內(nèi)作I3E1.BD.

由(1)知A8_L平面BC。，BEU平面8CQ,8QU平面8C。，C.ABVBE,ABLBD.

以B為坐標原點，分別以豆，BD,函的方向為x軸，)，軸，z軸的正方向建立空間直

角坐標系(如圖所示).

依題意，得8(0,0,0),C(l,I,0),0(0,1,0),4(0,0,1),A7(0,去￡).

則正=(1,1,0),施=(0,/￡),病=(0,I,-I).

設(shè)平面M3c的法向量〃=(刈，州，zo),

〃氏=0,卜。一州=°，

貝什艮M1,?

“前=0,［灑+呼0=0，

取力=1,得平面MBC的一個法向量〃=(1,-1,1).

設(shè)直線AD與平面MBC所成角為仇

則sin〈〃,AD)卜吟邛.

\n\-\AD\"

即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為孝.

11.［2014?新課標全國卷U］直三棱柱A6aAi81cl中，//3CA=90°，用，N分別是4場，

AiG的中點，BC=C4=CG，則BM與AN所成角的余弦值為()

11.C［解析］如圖，E為8C的中點.由于M,N分別是AIB”AIG的中點，故MN〃SG

且“、=5力。］,故MN觸BE,所以四邊形MNE4為平吁四邊形，所以所以直

線4V,NE所成的角即為直線BM,AN所成的角.設(shè)BC=1,則8|M=)8/i=乎，所以

MB=N1+3=^=NE,4N=4E=坐，

18.,,,［2014?四川卷］三楂錐A-BCO及其側(cè)視圖、俯視圖如圖1-4所示.設(shè)M,N分

別為線段A。，A8的中點，尸為線段8C上的點，且MNJLNP

(1)證明：尸是線段4C的中點；

(2)求二面角A-NP-M的余弦值.

18.解：(1)如圖所示，取B。的中點。，連接AO,CO.

由側(cè)視圖及俯視圖知，△AB。，△BC。為正三角形，

所以AO_L8D,OC1BD.

因為A。，OCU平面A。。，且40Goe=0,

所以8。_1_平面A0C.

又因為ACU平面A0C,所以8O_L4C.

取8。的中點”，連接NH,PH.

又M,N,〃分別為線段AO,AB,30的中點，所以MN〃兇九NH//AO,

因為A0_LB。，所以NH工BD.

因為MNINP,所以NPIHD

因為N〃，NPU平西NHP,旦NHRNP=N,所以8O_L平面N〃P.

又因為“PU平面Mi'R所以BD_LHP.

又0C_L4Q,HPU平面3C。，OCU平面8C。，所以〃P〃OC.

因為“為8。的中點，所以P為8C的中點.

(2)方法一:如圖所示,作NQ_LAC于Q,連接MQ.

由(I)知，NP//AC,所以NQJ_NP.

因為MNINP,所以/MNQ為二面角A-NP?M的一個平面角.

由(1)知，△48。，△BC。為邊長為2的正三角形，所以人O=OC=小.

由俯視圖可知，AO_L平面BCD

因為。CU平面8C。，所以40J_0C,因此在等腰直角△AOC中，AC=".

作BRLAC于R

因為在△48C中，AB=BC,所以R為AC的中點，

所以BR=yjAB?一性)=￥2

因為在平面A8C內(nèi)，NQ_LAC,BRLAC,

所以NQ//BR.

又因為N為的中點，所以Q為AR的中點,

所以廢=磬乎

同理，可得知。=%-.

故△MNQ為等腰三角形,

所以在等腰△MNQ中，

MNBD

~~VTo

COSNMNQ=H^=N^=5?

故二面角A-NP-M的余弦值是手.

方法二：由俯視圖及⑴可知，AOJ?平面BCD.

因為0c08U平面8CQ,所以AO_LOC,AOLOB.

又OCLOB,所以直線OA,OB,0C兩兩垂直.

如圖所示，以0為坐標原點，以O(shè)B,0C,。4的方向為x軸，y軸，z軸的正方向,

建立空間直角坐標系O-xyz.

則A(0,0,小),8(1,0,0),C(0,小，0),D(-l,0,0).

因為M,N分別為線段A。，A8的中點，

乂由(1)知，P為線段的中點，

所以從一；，0,0,乎，。)于是AB=(1,0,—小)，BC=(—

\,小，0),MN=(I,0,0),NP=((),坐,一要

設(shè)平面A8C的一個法向量〃i=(xi，＞'i，zi),

?iA.AB,n\?八8=0,

由《得即

[〃i_L8C,Im?BC=0,

（xi，y\,z\）?（1,0,一?。?0,

.（xi，yi，zi）?（—1,小，0）=0,

Xi—A/3ZI=0,

從而，

.~x\+=0?

取zi=l,則.*=小，yi=l,所以鹿i=(小，1,I).

設(shè)平面MN尸的一個法向量〃2=(X2，丫2，Z2)，由，

n，工MN,[/i??MN=0,

得

〃2_LNP,n2?NP=0,

加Z2）?（I,0,0）=0,

即1Z2）（o,坐,一鳴=（）,

（12,”，

卜2=0，

從而立龍n

［2^2-222=0

取Z2=l，則丁2=1，M=。，所以〃2=(()，1，1).

〃1?〃2（小，1,1）.（0,1,I）

設(shè)二面角A-NP-M的大小為仇則coso=

l?il?M小X也

_VTo

=5-

故二面角A-NP-M的余弦值是手.

G4空間中的平行關(guān)系

20.、、［2014?安徽卷］如圖1-5,四棱柱ABC。-A由Ci。中，4A_L底面48CQ,四邊

形/WC。為梯形，AD//BC,且人。=2BC過4，C,。三點的平面記為a,BBi與a的交點

為Q.

圖1-5

(1)證明：Q為/陽?的中點；

(2)求此四棱柱被平面a所分成上下兩部分的體積之比；

(3)若AA=4,CD=2,梯形ABC。的面積為6,求平面Q與底面A8CO所成二面角的

大小.

20.解：(1)證明：因為8Q〃AA，BC//AD,

BCCBQ=B,ADOAAi=A,

所以平面QBC〃平面AAO,

從而平面AiCD與這兩個平面的交線相互平行，

即QC//A\D.

故△Q8C與△AN。的對應(yīng)邊相互平行，

于是△QBC'sAA/o,

所以照=署=器斗即。為胸的中點.

(2)如圖1所示，連接QA,QD設(shè)A4=/?,梯形ABC。的高為d,四棱柱被平面。所分

成上下兩部分的體積分別為V上和丫下,BC=a,則AO=2a.

圖1

V三棱錐Q-A|AO=1X；?2a,h,d=\ahd,

所以V卜=丫三棱錐2-44。+八世9"6=馬"

又V四棱柱AliGD-ABCD鼻hd,

所以Vjt=V四棱柱Zii^iCiDi-ABCD—VT=^ahd—~^ahd=^ahd,故;=空

⑶方法一：如圖1所示，在△AQC中，作AE_LOC,垂足為E,連接4E.

又。EJ_M，RAA\HAE=A,

所以。及L平面4E4I，所以。E_L4￡

所以NASA為平面a與底面A8c。所成二面角的平面角.

因為BC〃A。，AD=2BC,所以S.MDC=2S.MCA.

又因為梯形A8CO的面積為6,。。=2,

所以5AADC=4,AE=4.

.-AA\n

于是ianNAE4i=/^=I,ZAEA\=~.

故平面a與底面ABCD所成二面角的大小為

方法二：如圖2所示，以。為原點，DA,分別為xz軸正方向建立空間直角

坐標系.

設(shè)NCOA=e,BC=Q,則AO=2a

空.2sin

因為S四邊形ABCD='。=6,

2

所以〃=▽?

從而可得C(2cos。，2sin。?

0,4.

所以。C=(2cos°,2sin0，0),DAi=sin〃

設(shè)平面AQC的法向量〃=(x,y,1),

4

DA\,n=.nA+4=0,

sin0

由

DCw=2xcos0+2ysin〃=0,

x=-sin0,

得〉

y=cos0,

所以〃=(—sin0,cos0,1).

又因為平面ABC。的法向量皿=(0,0,1),

ivmV2

所以cos<n,m)=

川網(wǎng)一2'

故平面a與底面ABCD所成二面角的大小為子.

17.、［2014.北京卷］如圖1-3,正方形AMOE的邊長為2,B,C分別為AM,MQ的中

點.在五棱錐尸-A3CDE中，尸為棱尸E的中點，平面4B/與棱尸。，PC分別交于點G,

H.

(1)求證：AB//FG；

(2)若以J_底面ABODE,且附=A￡,求直線8c與平面A8/所成角的大小，并求線段

尸〃的長.

17.解：(1)證明：在正方形八例OE中，因為8是4W的中點，所以4

又因為A加平面

所以48〃平面PDE.

因為ABU平面ABF,且平面ABFQ平面PDE=FG,

所以A8〃FG

⑵因為%J_底面4BCQE,

所以以_LA8,PALAE.

建立空間直角坐標系A(chǔ)r)，z,如圖所示，則A(0,0,0),8(1,0,0),C(2,1,0),P((),

0,2),F(0,I,I),BC=(1,1,0).

設(shè)平面A8r的法向量為〃=(x,y,z),則

n-AB=0,fx=O,

即

［〃壽=o,b+z=().

令z=l,則y=-1.所以〃=(0,—1,1).

設(shè)直線AC與平面所成角為a,則

nBC1

ain,BC)|=

sin=|cosZ

MBC\

因此直線6C與平面A”所成角的大小為看.

設(shè)點〃的坐標為(〃，。，w).

因為點，在棱尸。上，所以可設(shè)兩=2斤

即3，v,w—2)=42,1,—2),所以〃=2Lw=2—2L

因為〃是平面ABF的一個法向量，

所以〃.國/=0,

即(0,-1,1)(2；.,2,2-2A)=0,

解得瀉，所以點”的坐標為住,|，

所以

19.、、、［2014.湖北卷］如圖1-4,在棱長為2的正方體ABCD-如BiGDi中,E,F、M,

N分別是棱48,AD,4Bi，A1。的中點，點尸，。分別在棱。G，3歷上移動，旦DP=

8Q=2(0<；.<2).

⑴當(dāng)2=1時，證明：直線8G〃平面EFPQ.

(2)是否存在九使面EFP。與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出入的

值；若不存在，說明理由.

19.解：方法一(幾何方法)：

(1)證明：如圖①，連接A?！庇葾BCQ-A/iGOi是正方體，知8G〃4Oi.

當(dāng)2=1時，。是。。的中點，又F是AQ的中點，所以FP〃4。所以3G〃FP.

而FPU平面EFPQ,且8GQ平面EFPQ,故直線8G〃平面E"Q.

圖①

(2)如圖②，連接8D.因為E,尸分別是AB,AO的口點，所以E廣〃B。，且EF=；BD.

又DP=BQ,DP//BQ,

所以四邊形PQ8。是平行四邊形，板PQ//BD,且PQ=8。，從而EF〃PQ,且互'=4

PQ.

在RtZXEBQ和Rl△尸D尸中，因為BQ=OP=2,BE=DF=\,

于是EQ=FP=4而，所以四邊形￡FPQ也是等腰梯形.

同理可證四邊形PQMV也是等腰梯形.

分別取ERPQ,MN的中點為，，O,G,連接。從OG,

則GO_LPQ,HO±PQ,而GOn"O=O,

故NGO”是面EFPQ與面PQMN所成的二面角的立面角.

若存在九使面EFPQ與面。0MN所成的二面角為直二面角，則NGO〃=90°.

連接EM,FN,則由￡：F〃MM且EF=MN知四邊形EFMW是平行四邊形.

連接G",因為"，G是EF,MN的中點,

所以GH=ME=2.

在△GOH中，GH?=4,0印=1+乃一(^=R+J

OG2=l+(2-A)2-^}=(2-X)2+^,

由OG2+O,2=G“2,得(2—2)2+/+產(chǎn)+3=4,解得力=1+乎，

故存在使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角.

方法二(向量方法)：

以。為原點，射線。A,DC,。。分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖③所示的空間直

角坐標系.由己知得8(2,2,0),Ci(0,2,2),EQ,1,0),F(l,0,0),P(0,0,A).

BC(=(-2,0,2),FP=(-1,0,A),FE=(1,I,0).

(1)證明：當(dāng)2=1時，F(xiàn)P=(-1,0,1),

因為比1=(-2,0,2),

所以反>1=2崩，即〃/P.

而FPU平面七/中Q,且8GQ平面E/PQ,故直線8G〃平面上"Q.

\FE,n=(),.?+)，=(),

(2)設(shè)平面"PQ的一個法向量為〃=(x,y,z),則由1可得

［FPn=0—x+/lz=0.

于是可取〃=(3—A,1).

同理可得平面MNPQ的一個法向量為〃1=(1-2,2-z,1).

若存在九使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，

則mn=(A—2,2—2,1>(4,—X,1)=0,

即;1(4一2)一久(2—/1)+1=0,解得;1=1土乎.

故存在4=1*,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角.

18.、［2014.新課標全國卷H］如圖1?3,四棱錐尸-4BCQ中，底面ABCQ為矩形，M±

平面A8CQ,七為。。的中點.

(1)證明：PB〃平面NEC；

(2)設(shè)二面角Q-AE-C為60°,AP=\,AD=小,求三棱錐E-AC短的體積.

E

圖1-3

18.解：(1)證明：連接8。交AC于點O,連接E0.

因為/WCO為矩形，所以。為〃。的中點.

又E為P。的中點，所以EO//PB.

因為EOU平面AKC,P8Q平面AEC,

所以P8〃平面AEC.

(2)因為辦_L平面ABC。，48CO為矩形，

所以A8,AD,AP兩兩垂直.

如圖，以A為坐標原點，AB,AD,A0的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，|亦|為單位

長，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則。(。，小，0),d0,坐，,，AE=(0,坐，

設(shè)0,0)(/〃>0),則。(機，小，0),Ac=(w,6,0).

設(shè)小=(x,y,2)為平面ACE的法向量，

切x+小v=0,

n\?AC=0,噌金。,

則，

iii,AE=0,

可取〃尸僧,一匕小)

又〃2=(1，0,0)為平面OAE的法向量，

由題設(shè)易知|cos</1|,112)|=1?即

吊下W，解得加器.

因為E為P。的中點，所以三棱錐E-ACD的高為;.三棱錐E-ACD的體積V=gx/小

義溺邛

17.,[2014.山東卷]如圖1-3所示，在四楂柱ABC。-A網(wǎng)GQi中，底面ABCQ是等腰

梯形，ND48=60。，AB=2CD=2,M是線段A8的中點.

(1)求證：CM〃平面

(2)若CDi垂直于平面ABCD且CD尸小,求平面GQM和平面ABCD所成的角(匏角)

的余弦值.

17.解：(1)證明：因為四邊形人8CO是等腰梯形，

且48=2CO,所以至〃。。，

又M是/W的中點，

所以CD//MA且CO=MA.

連接A。］.因為在四楂柱A3CO-A|/3IGQI中，

CD//CiD^CD=GDi,

所以G0i〃MA,C\Di=MA,

所以四邊形AMGG為平行四邊形，

因此，C\M//Dx\.

又GMQ平面4人。。1,QiAU平面

所以GM〃平面44D。.

(2)方法一：連接AC,MC.

由(1)知，CO〃AM且CD=AM,

所以四邊形4MC。為平行四邊形，

所以BC=AD=MC.

由題意/48C=ND48=60°,

所以△MBC為正三角形，

因此A8=28C=2,CA=小,

因此CAA.CB.

設(shè)C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xvz.

所以4V5，o,0),B(0,1,0),D)(0,0,y/3).

因此加宵，J,o）,

所以詬i=（一坐，-1,?。?，求|=%=（一坐，1,0）

設(shè)平面CiGM的一個法向量〃=（x,戶z）,

w-D|Ci=0,［小x—y=o,

由，得欣+廠2

〃MQi=0,

可得平面的個法向量〃=（1,小,I).

又無產(chǎn)（0,0,?。槠矫鍭BCD的一個法向量.

因止匕cos（cbi，加~~=5?

I國II川

所以平面CQM和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值為害.

方法二：由（1）知，平面Q1GA/C1平面A4CO=44點過C向48引垂線交A8于點M

連接DiN.

由平面/WCZ）,可得。iN_L/W,

因此NQNC為二面角G-AB-C的平面角.

在RtZkBNC中，8c=1,NNBC=6（）Q,

可得CN=^,

所以NDi=在麗右0=隼.

坐r

在RtZ\￡)iCN中，cosND[NC=D[N=1^^=5，

2

所以平面GAM和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值為坐.

18.,,,[2014?四川卷]三棱錐A-BCO及其側(cè)視圖、俯視圖如圖1-4所示.設(shè)M,N分

別為線段人。，的中點，P為線段BC上的點，且MN_LNP.

(1)證明：P是線段BC的中點；

(2)求二面角A-NP-M的余弦值.

18.解；(1)如圖所示，取。。的中點O,連接AO,CO.

由側(cè)視圖及俯視圖知，AABD,△BC。為正三角形，

所以AO_LB。，OC1BD.

因為40,OCU平面AOC,且AOGOC=O,

所以平面AOC.

又因為ACU平面AX,所以BD_LAC

取BO的中點〃，連接N4,PH.

又M,N,”分別為線段A。，AB,8。的中點，所以MN//BD、NH//AO,

因為AO_L3。，所以NHLBD.

因為MNJ_N尸，所以NP工BD.

因為N”，NPU平面NHP,且NHCNP=N,所以8。_1_平面NHP.

又因為HPU平面NHP,所以BD工HP.

又OC_L8O,HPU平面8CO,0CU平面8CQ,所以HP〃OC

因為，為BO的中點，所以P為的中點.

由(1)知，NP//AC,所以NQLNP.

因為MNINP,所以NMNQ為二面角A-NP-M的一個平面角.

由(1)知，^ABD,△BC。為邊長為2的正三角形，所以AO=OC=，1

由俯視圖可知，4O_L平面8CD

因為OCU平面4CQ,所以AO_LOC,因此在等腰直角△AOC中，AC=?

作BRA.AC于R

因為在△48C中，AB=BC,所以R為AC的中點，

所以BR=yp商囹=邛.

因為在平面A4C內(nèi)，NQLAC,BRLAC,

所以NQ〃BR.

又因為N為A3的中點，所以Q為AR的中點，

所以八9考=乎

同理，可得MQ=邛.

故△MNQ為等腰三角形,

所以在等腰△MNQ中，

MNBD

24-JTo

cos/MNQ=^=湎=5?

故二面角A-NP-M的余弦值是邛.

方法二：由俯視圖及⑴可知，AO_L平面BCD

因為。C,08U平面8CQ,所以40_L0C,AOLOB.

又OCLOB,所以直線。4,。/3,0C兩兩垂直.

如圖所示，以0為坐標原點，以。8,0C,。4的方向為x軸，y軸，z軸的正方向,

建立空間直角坐標系O-xyz.

貝|JA(U,U,5)，僅1,U,0),C(U,V5,0),/)(一I,0,0).

因為M,N分別為線段AD,A8的中點，

又由(1)知，P為線段8C的中點，

所以MTO.嗡,心,o,坐),pQ,坐,0)于是A8=(l,0,一小)，BC={~

坐一嗎

\,小，0),MN=(1,0,0),NP=0,

設(shè)平面ABC的一個法向量〃i=(xi，yi，zi),

HI_LA8,,AB=0,

rtr得即

m±BC,zu?BC=。,

(xi>yi，zi)?(1?0,一小)=0,

(xi，y\,zi)?(—1,小，0)=0,

XL小zi=0,

從而V廠

「制+q31yl=（）.

取zi=i,則｝?i=i>所以〃i=N^,i,1）.

設(shè)平面M/V0的一個法向量〃2=（X2,”，Z2）,由，

〃2_LMN,n2?MN=0,

得

ii2.LNP,[〃2,NP=0,

（工2，以，Z2）?（1，0,0）=0,

即（及，”，Z2）（o,坐，一明=0，

X2=o,

從前近亞八

2Z2=o

取Z2=l,則>2=1，.V2=。，所以〃2=（0，1?1）.

(小，1,1)?(0,1,1)

設(shè)二面角4-NP-M的大小為優(yōu)則cos0=瑞■

^5X^2

二迎

—5'

故二面角A-NP-M的余弦值是邛.

G5空間中的垂直關(guān)系

17.、、［2014?福建卷］在平面四邊形A3CO中，AB=BD=CD=l,AB±BD,CD1BD.

將△A3。沿8。折起，使得平面43。_1_平面8CQ,如圖1-5所示.

（1）求證：ABLCDx

（2）若M為A。中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.

圖1-5

17.解：（1）證明：???平面人8。_1_平面BCD,平面人BOG平面8CQ=4O,A8U平面

AB1BD,?"BJ_平面8co.

又CQU平面8CQ,：,ABLCD.

（2）過點B在平面BCD內(nèi)作BELBD.

由(I)知人8_1_平面BC。，BEU平面BCD,4OU平面BC。，：.ABLBE,ABLBD.

以B為坐標原點，分別以廢，BD,麗的方向為x軸，)，軸，z軸的正方向建立空間直

角坐標系(如圖所示).

依題意，得8(0,0,0),C(l,I,0),。(0,L0),&0,0,I),40,￡).

則證=(1,1,0),詼=((),。Ab=(o,i,-1).

設(shè)平面M8C的法向量〃=(M),制，Zo),

"辰=0,x（）—yo=O,

則J即11J八

2.yo+po=0,

BM=0,

取為=1,得平面的一個法向量〃=(1,-I,I).

設(shè)直線AD與平面MBC所成角為仇

則而"二晟5,布卜黑邛.

即直線A。與平面MBC所成角的正弦值為乎.

18.、［2014?廣東卷］如圖1-4,四邊形A8C。為正方形，尸。_L平面ABC。，,

AFLPC于點F,FE//CD,交PD于點E.

(1)證明：C尸J■平面廠；

(2)求二面角D-AF-E的余弦值.

圖1-4

19.、［2014.湖南卷］如圖1-6所示，四棱柱A8CO-A&G。的所有棱長都相等,ACC8。

=0,A1C1AB1D1=O1，四邊形ACG4和四邊形8。。閏均為矩形.

(1)證明：OQ_L底面ABC7)；

(2)若NC8A=60°,求二面角的余弦值.

圖1-6

19.解：⑴如圖(a),閃為四邊形ACC1A1為矩形，所以CG_LAC.同理ODi_L6D

因為CG〃QO|,所以CGJ_8D而ACna)=0,因此CGJ_底面48CD

由題設(shè)知，OiO〃GC.故OiOJ■底面ABCD

⑵方法一：如圖(a),過萬作Oi//_LOB］于H,連接HG.

乂因為四棱柱4BCO-A囚GG的所有棱長都相等，所以四邊形A用iCiG是菱形，

因此4G_LSOi，從而AQJ_平面BDABi，所以4G_LOS，于是ABiJ_平面Q〃G.

進而OS_LG”.故NG"。1是二面角CrOBrD的平面角.

不妨設(shè)A8=2.因為NC3A=60°,所以。3=小，OC=1,0%=幣.

方法二：因為四棱柱A8CD-A囚G"的所有棱長都相等，所以四邊形A8C。是菱形,

因此人C_L3O.又OiOJ_底面A8C。，從而04,0C,001兩兩垂直.

圖(b)

如圖(b),以。為坐標原點，OB,0C,。。所在直線分別為x軸，)，軸，z軸，建立空

間直角坐標系0-xyz,不妨設(shè)A8=2.因為NCBA=60°,所以。8=/，0C=\,于是相

關(guān)各點的坐標為0(0,0,0),

囪(小，0,2),Ci(0,1,2).

易知，〃1=(0,1,())是平面3。。歸］的一個法向量.

Il2,06]=0,小x+2z=0,

設(shè)〃2=(x，y，Z)是平面O81G的一個法向量，則

112?及1=0,），+2z=0.

取2=一小，則X=2,)，=2小，所以〃2=(2,2V5,一小).

設(shè)二面角G-O3-O的夫小為。，易如。是銳角，于是

故二面角G-OB「。的余弦值為嚼.

19.、、［2014?江西卷］如圖1-6,四棱錐P-ABCO中，A8CQ為矩形,平面以平面

ABCD.

⑴求證：ABLPD.

(2)若N4PC=90°,PB=?PC=2,問/W為何值時，四棱錐P-A6co的體積最大？

并求此時平面8PC與平面QPC夾角的余弦值.

19.解：(1)證明：因為A3CD為矩形,所以A8LW.

乂平面網(wǎng)。J_