4.5.1

函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解復(fù)習(xí)1.函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)y=f(x)我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).2.等價(jià)關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)新課探究零點(diǎn)的存在性問題：函數(shù)y=f(x)在[a,b]上滿足什么條件時(shí)一定有零點(diǎn)？函數(shù)圖像區(qū)間[a,b]f(a)·f(b)的符號(hào)零點(diǎn)f(x)=x-1[0,2]f(x)=x2-2x-3[-2,1][2,4]f(x)=2x-1[-1,2]f(x)=log2x-2[3,5]f(0)·f(2)<0f(-2)·f(1)<0f(2)·f(4)<0f(-1)·f(2)<0f(3)·f(5)<0x=1x=-1x=3x=0x=4結(jié)論：函數(shù)y=f(x)在[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0時(shí)有零點(diǎn)問題：上述結(jié)論正確嗎？結(jié)論：函數(shù)y=f(x)在[a,b]上圖像連續(xù)且f(a)·f(b)<0時(shí)一定有零點(diǎn)一般地，我們有：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根零點(diǎn)存在性定理思考：1.f(x)在[a,b]上圖像不連續(xù)或不滿足f(a)·f(b)<0，則f(x)一定沒有零點(diǎn)嗎？2.f(x)在[a,b]上有零點(diǎn)，則f(x)的圖像一定連續(xù)或滿足f(a)·f(b)<0嗎？不一定不一定對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定要注意四點(diǎn)：1.函數(shù)的圖象既在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，又在區(qū)間[a,b]端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào),則存在零點(diǎn).2.函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且存在零點(diǎn)，在區(qū)間[a,b]端點(diǎn)的函數(shù)值可能異號(hào)也可能同號(hào).3.函數(shù)f(x)在[a,b]上是連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，如果f(a)f(b)<0,那么這個(gè)函數(shù)在(a,b)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；如果f(a)f(b)>0，那么這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上沒有零點(diǎn).4.只能用來判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性，不能用來判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).問題：如何判斷函數(shù)f(x)在[a,b]上有幾個(gè)零點(diǎn)？方法一：解方程方法二：圖像法方法三：利用單調(diào)性1.判斷函數(shù)在[a,b]上的單調(diào)性，確定單調(diào)區(qū)間；2.利用定理判斷函數(shù)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上是否有零點(diǎn).應(yīng)用例1

求函數(shù)f(x)=lnx+2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解法一：令f(x)=0，即lnx+2x－6=0，則lnx=6-2x.在同一坐標(biāo)系作出g(x)=lnx和h(x)=6-2x的圖像，由圖可知g(x)的圖像與h(x)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).例1求函數(shù)f(x)=lnx+2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解法二：f(x)=lnx+2x－6在（0，+∞）上單調(diào)遞增.而f(1)=-4<0,如何判斷f(x)的單調(diào)性？f(2)=ln2-2f(3)=ln3>0,所以f(2)f(3)<0,即f(x)在（2,3）內(nèi)有零點(diǎn).<0,結(jié)合單調(diào)性知f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練1.求函數(shù)f(x)=2x+x-2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解法一：由f(x)=0,得2x=2-x,在同一坐標(biāo)系作出g(x)=2x和h(x)=2-x的圖像，由圖可知g(x)的圖像與h(x)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).解法二：因?yàn)閒(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以f(x)在（0,1）內(nèi)有零點(diǎn).又因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).2.已知定義在[-5,5]上的偶函數(shù)f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，在[2,3]上是減函數(shù)，在[3,5]上是增函數(shù)，且滿足下表：x0235f(x)-26-4-1則f(x)的零點(diǎn)有

個(gè).4例2使得f(x)=log0.5x-x有零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是（）A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.(3,4)A跟蹤訓(xùn)練1.使得函數(shù)f(x)=lnx+x-2有零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)B2.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex-2x-5=0的一個(gè)根所在的區(qū)間是（）x01234ex12.727.3920.0954.602x+55791113A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C課堂小結(jié)1.零點(diǎn)存在性定理；2.單調(diào)函數(shù)如果有零點(diǎn)，只會(huì)有一個(gè).作業(yè)1.求函數(shù)f(x)=x-3+ln