第3講］圓周運(yùn)動

目標(biāo)要求1.熟練掌握描述圓周運(yùn)動的各物理量之間的關(guān)系。2.會分析圓周

運(yùn)動的向心力來源，掌握圓周運(yùn)動的動力學(xué)問題的分析方法。3.理解豎直面內(nèi)圓

周運(yùn)動的“輕桿”“輕繩”模型。

考點(diǎn)一圓周運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)問題

------知識梳理―........

1.勻速圓周運(yùn)動

(1)定義：物體沿圓周運(yùn)動，如果在任意相等時間內(nèi)通過的圓弧長度都置相笠,

這種運(yùn)動就叫作勻速圓周運(yùn)動。

(2)特點(diǎn)：加速度大小不變，方向始終指向團(tuán)圓心,是變加速運(yùn)動。

(3)條件：合力大小不變、方向始終與囪速度方向垂直且指向圓心。

2.描述勻速圓周運(yùn)動的物理量

比較項(xiàng)目音義公式/單位

(1)描述做勻速圓周運(yùn)動的物體

線速運(yùn)動國快慢的物理量

As

度(力(2)矢量，方向和半徑垂直，沿圓

周切線方向

As2兀〃。

△tT

(1)描述物體繞圓心園轉(zhuǎn)動快慢單位：

角速m/s

的物理量

△e271c

度(。)3=----=-~=2nn

(2)矢量(中學(xué)階段不研究方向)△tT

單位：Elrad/s

2nr2n

1————

物體沿圓周運(yùn)動團(tuán)一周的時間

周期和轉(zhuǎn)

叫周期，單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)單位：s

速(77〃)

叫轉(zhuǎn)速〃=；,單位：r/s

向心加速⑴描述速度園方向變化快慢的

a=—=叵］3%

度(小)物理量nr

⑵方向指向圓心單位：m/s2

【判斷正誤】

1.勻速圓周運(yùn)動是勻變速曲線運(yùn)動。（X）

2.物體做勻速圓周運(yùn)動時，其所受合外力是變力。（J）

3.勻速圓周運(yùn)動的向心加速度與半徑成反比。（X）

------法量能比-------

L對公式的理解

當(dāng)①一定時，，與r成正比；當(dāng)，一定時，出與r成反比。

2.對〃=￥=（?27.的理解

r

在，一定時，斯與〃成反比；在①一定時，斯與尸成正比。

3.常見的傳動方式及特點(diǎn)

比較

同軸轉(zhuǎn)動皮帶傳動齒輪傳動

項(xiàng)目

兩個齒輪輪齒嚙

兩個輪子用皮帶連

4、8兩點(diǎn)在同軸的

合，A.5兩點(diǎn)分別

接，/、8兩點(diǎn)分別

一個圓盤上

是兩個齒輪邊緣上

是兩個輪子邊緣的

裝置B

（）的點(diǎn)

§點(diǎn)

A?8

特點(diǎn)角速度、周期相同線速度大小相等線速度大小相等

轉(zhuǎn)向相同相同相反

線速度與半徑成正

角速度與半徑成反

角速度與半徑成反

匕比：

比：一=二r

規(guī)律⑼R比：*」

3A」2

3BR

向心加速度與半徑3Br\

向心加速度與半徑

向心加速度與半徑

成正比：

QA_r_成反比：-=￡成反比：見=在

asRQBRQBr\

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.（勻速圓周運(yùn)動物理量的關(guān)系）夏天人們常用蚊香來驅(qū)除蚊蟲。如圖所示，蚊

香點(diǎn)燃后緩慢燃燒，若某滑冰運(yùn)動員（可視為質(zhì)點(diǎn)）的運(yùn)動軌跡與該蚊香燃點(diǎn)的軌

跡類似，運(yùn)動的速率保持不變，則該運(yùn)動員（）

A.線速度不變

B.角速度變大

C.向心加速度變小

D.運(yùn)動一圈（360°）所用時間保持不變

解析：B由題意可知線速度大小不變，方向時刻改變，故A錯誤；運(yùn)動員

運(yùn)動半徑在減小，由片0r可知角速度變大，故B正確；由a=K可知，運(yùn)動半

r

徑r減小，向心加速度。變大，故C錯誤；一圈的長度逐漸變小，故運(yùn)動一圈所

用的時間變短，故D錯誤。故選B。

2.（皮帶傳動）如圖是自行車傳動結(jié)構(gòu)的示意圖，其中I是半徑為ri的大齒輪,

II是半徑為「2的小齒輪，III是半徑為市的后輪，假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為〃r/s,則自

行車前進(jìn)的速度為（）

解析：C大齒輪的線速度為lA=2nnn,大齒輪的線速度等于小齒輪的線速

度，則小齒輪的角速度為①而小齒輪的角速度等于后輪的角速度,

丫2丫2

則后輪的線速度，即自行車前進(jìn)的速度為匕=。2-3=匈”，故選C。

3.（同軸傳動）如圖所示是靜止在地面上的起吊重物的吊車，某次操作過程中,

液壓桿長度收縮，吊臂繞固定轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動，吊臂上的河、N兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動,

此時M點(diǎn)的角速度為①，ON=2OM=2L,則（）

固定轉(zhuǎn)軸

A.M點(diǎn)的速度方向垂直于液壓桿

B.N點(diǎn)的角速度為2。

C.兩點(diǎn)的線速度大小關(guān)系為弧=4加

D.N點(diǎn)的向心加速度大小為2①2工

解析：D吊臂是繞固定轉(zhuǎn)軸。旋轉(zhuǎn)的，因此/點(diǎn)的速度方向垂直于吊臂，

不垂直于液壓桿，故A錯誤；M,N點(diǎn)在吊臂上繞同一固定轉(zhuǎn)軸。旋轉(zhuǎn)，有相同

的角速度，即N點(diǎn)的角速度應(yīng)該等于M點(diǎn)的角速度，故B錯誤；根據(jù)廣。廠可

知外=24，故C錯誤；根據(jù)斯=蘇廠可知，N點(diǎn)的向心加速度大小為°N=202"

故D正確。

4.（摩擦或齒輪傳動）如圖甲所示，修正帶是通過兩個齒輪相互咬合進(jìn)行工作

的，其原理可簡化為圖乙中所示的模型。Z、5是大、小齒輪邊緣上的兩點(diǎn)，C是

大輪上的一點(diǎn)。若大輪半徑是小輪半徑的2倍，小輪中心到Z點(diǎn)和大輪中心到C

點(diǎn)的距離之比為2：1,則幺、B、。三點(diǎn)（）

A.線速度大小之比為4：4：1

B.角速度之比為1：1：1

C.轉(zhuǎn)速之比為2：2：1

D.向心加速度大小之比為2：1：1

解析：AA、B是大、小齒輪邊緣上的兩點(diǎn)，可知K4=VB,又^=a>r,以=%B,

2

可得以=2。方，由于8、C兩點(diǎn)都在大輪上，可知oB=OC,又m=4rc,

可得%=4叱，則2、B、。三點(diǎn)線速度大小之比為匕：⑼：叱=4：4：1,2、8、

C三點(diǎn)角速度之比為：3B：3c=2：1：1,選項(xiàng)A正確，B錯誤；根據(jù)角速

度和轉(zhuǎn)速的關(guān)系有①=2?！?，可知48、C三點(diǎn)轉(zhuǎn)速之比為〃/：〃B：〃C=%：3B：

3c=2：1：1,選項(xiàng)C錯誤；根據(jù)向心加速度公式有?？芍?5、C三

點(diǎn)向心加速度大小之比為aA,.aB-.ac=8：4：1,選項(xiàng)D錯誤。故選A。

考點(diǎn)二圓周運(yùn)動的動力學(xué)問題

--------知.梳亞------

1.勻速圓周運(yùn)動的向心力

(1)作用效果：向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的硬方向,不改變速度的

固大小。

展4兀2

(2)大?。篎=m—==moo47i2mf2r

rTo

(3)方向：始終沿半徑方向指向日圓心,時刻在改變，即向心力是一個變力。

(4)來源：向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的囪合力提供,還可以

由一個力的國分力提供。

2.離心運(yùn)動和近心運(yùn)動

(1)離心運(yùn)動：在做圓周運(yùn)動時，由于合外力提供的向心力消失或不足，以致

物體沿圓周運(yùn)動的底切線方向飛出或屈遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動。

(2)受力特點(diǎn)(如圖)

①當(dāng)尸合=0時，物體沿因切線方向飛出。

②當(dāng)0〈尸合〈加一時，物體逐漸幻遠(yuǎn)離圓心。

R

③當(dāng)尸合＞加-時，物體逐漸向圓心靠近，做■近心運(yùn)動。

R

(3)本質(zhì)：離心運(yùn)動的本質(zhì)并不是受到離心力的作用，而是提供的力囪小于做

勻速圓周運(yùn)動需要的向心力。

【判斷正誤】

1.向心力可以由物體受到的某一個力提供，也可以由物體受到的合力提供。

(V)

2.做勻速圓周運(yùn)動的物體，當(dāng)所受合外力突然減小時，物體將沿切線方向飛

出。(X)

3.摩托車轉(zhuǎn)彎時速度過大就會向外發(fā)生滑動，這是摩托車受沿轉(zhuǎn)彎半徑向外

的離心力作用的緣故。(X)

------能互------------

1.向心力來源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也

可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個

向心力。

2.運(yùn)動模型

運(yùn)動模型向心力的來源圖示運(yùn)動模型向心力的來源圖示

心

飛機(jī)水

火車轉(zhuǎn)彎

平轉(zhuǎn)彎

F^=mgtan0X

mg

產(chǎn)合二mgtan6

F^\

/

次”/

圓錐擺飛車走壁m鏟-----

mg產(chǎn)合二mgtan0

歹合二mgtan0

r=Zsin0

汽車在

A水平轉(zhuǎn)臺r////Z7rl

水平路7氣車

（光滑）

面轉(zhuǎn)彎〃合二加8g

3.分析思路

血工I（多選）如圖，矩形金屬框〃AQ0豎直放置，其中跖V、尸。足夠長，

且尸。桿光滑。一根輕彈簧一端固定在初點(diǎn)，另一端連接一個質(zhì)量為機(jī)的小球，

小球穿過尸0桿。金屬框繞跖V軸分別以角速度①和①'勻速轉(zhuǎn)動時，小球均相對

尸0桿靜止。若〃>0,則與以。勻速轉(zhuǎn)動時相比，以〃勻速轉(zhuǎn)動時（）

A.小球的高度一定降低

B.彈簧彈力的大小一定不變

C.小球?qū)U壓力的大小一定變大

D.小球所受合外力的大小一定變大

解析：BD設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為鼠形變量為x,彈簧與豎直方向的夾角為仇

MN、00間的距離為對小球受力分析有依cos6一機(jī)g=0,即豎直方向受力為

0,水平方向有Axsin。土N=M02"當(dāng)金屬框以〃繞W軸轉(zhuǎn)動時，假設(shè)小球的位

置升高，則依減小，COS。減小，小球受力不能平衡；假設(shè)小球的位置降低，則

日增大，cos。增大，小球受力同樣不能平衡，則小球的位置不會變化，彈簧彈力

的大小一定不變，故A錯誤，B正確；小球?qū)U的壓力大小尸壓=N=加①2A—m；sin

72

?；?1s=N=依sin。一機(jī)0A,所以當(dāng)角速度變大時壓力大小不一定變大，故C錯

誤；由/備=機(jī)02r知，當(dāng)角速度變大時小球受到的合外力一定變大，故D正確。

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

5.（圓錐擺模型）四個完全相同的小球A、B、C、D均在水平面內(nèi)做圓錐擺運(yùn)

動。如圖甲所示，其中小球A、B在同一水平面內(nèi)做圓錐擺運(yùn)動（連接B球的繩較

長）；如圖乙所示，小球C、D在不同水平面內(nèi)做圓錐擺運(yùn)動，但是連接C、D的

繩與豎直方向之間的夾角相同（連接D球的繩較長），則下列說法錯誤的是（）

A.小球A、B角速度相等

B.小球A、B線速度大小相同

C.小球C、D向心加速度大小相同

D.小球D受到繩的拉力與小球C受到繩的拉力大小相等

解析：B對題圖甲A、B分析：設(shè)繩與豎直方向的夾角為仇小球的質(zhì)量為

根，小球A、B到懸點(diǎn)。的豎直距離為h,則mgtan0=ma）2lsm0,解得①=AI—一

7/cos0

=所以小球A、B的角速度相等，線速度大小不相同，故A正確，B錯誤；

對題圖乙C、D分析：設(shè)繩與豎直方向的夾角為仇小球的質(zhì)量為機(jī)，繩長為，

繩上拉力為尸r,則有祖gtane=w?a,尸rcos。=叫得a=gtan仇FT=叫，所以

cos0

小球C、D向心加速度大小相同，小球C、D受到繩的拉力大小也相同，故C、D

正確。

6.（轉(zhuǎn)彎模型X多選）如圖所示，當(dāng)列車以恒定速率通過一段水平圓弧形彎道

時，乘客發(fā)現(xiàn)在車廂頂部懸掛玩具小熊的細(xì)線與車廂側(cè)壁平行，同時觀察放在桌

面上水杯內(nèi)的水面（與車廂底板平行）。已知此彎道路面的傾角為仇不計空氣阻力，

重力加速度為g,則下列判斷正確的是（）

A.列車轉(zhuǎn)彎時的向心加速度大小為gtan。

B.列車的輪緣與軌道均無側(cè)向擠壓作用

C.水杯受到指向桌面外側(cè)的靜摩擦力

D.水杯受到指向桌面內(nèi)側(cè)的靜摩擦力

解析：AB設(shè)玩具小熊的質(zhì)量為機(jī)，則玩具受到的重力機(jī)g、細(xì)線的拉力T

的合力提供玩具小熊隨車做水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的向心力E如圖所示，有機(jī)gtan。

=ma,可知列車在轉(zhuǎn)彎時的向心加速度大小為。=gtan。，A正確；列車的向心加

速度a=gtan。，由列車的重力與軌道的支持力的合力提供，故列車與軌道均無側(cè)

向擠壓作用，B正確；水杯的向心加速度a=gtan。，由水杯的重力與桌面的支持

力的合力提供，水杯與桌面間的靜摩擦力為零，CD錯誤。故選AB。

mg

7.（圓盤模型）如圖所示，甲、乙兩水平圓盤緊靠在一塊，甲圓盤為主動輪，乙

靠摩擦隨甲轉(zhuǎn)動且無相對滑動。甲圓盤與乙圓盤的半徑之比為r甲：r乙=3：1,

兩圓盤和小物體2、8之間的動摩擦因數(shù)相同，4、5的質(zhì)量分別為如、m2,Z距

。點(diǎn)為2%8距。點(diǎn)為乙當(dāng)甲緩慢轉(zhuǎn)動起來且轉(zhuǎn)速慢慢增加時（）

甲乙

A.A與B都沒有相對圓盤滑動時，角速度之比必：孫=3：1

B.A與B都沒有相對圓盤滑動時，向心加速度之比41：42=1：3

C.隨轉(zhuǎn)速慢慢增加，幺先開始滑動

D.隨轉(zhuǎn)速慢慢增加，8先開始滑動

解析：D甲、乙兩輪子邊緣上的各點(diǎn)線速度大小相等，有01?r甲=02?r乙,

則得01：￡02=1：3,所以物塊相對盤開始滑動前，Z與8的角速度之比為1：3,

故A錯誤；物塊相對盤開始滑動前，根據(jù)。=。2/得Z與8的向心加速度之比為

2

m?2r：?2r=2：9,故B錯誤；當(dāng)兩個物體所受的靜摩擦力達(dá)到最大,

對幺有〃機(jī)ig=mi'2,2r,解得①J=對5有〃機(jī)2g=^2。2'2r,解得

02'=1手，根據(jù)甲乙的角速度之比為01：。2=1：3,當(dāng)轉(zhuǎn)速增加時，設(shè)5先

達(dá)到臨界角速度，此時Z的角速度為①i=；說明此時Z的

角速度還沒有達(dá)到臨界值，故8先開始滑動，故C錯誤，D正確。故選D。

8.（圓錐斗模型）（多選）如圖所示，兩個圓錐內(nèi)壁光滑，豎直放置在同一水平面

上，圓錐母線與豎直方向夾角分別為30°和60°,有2、8兩個質(zhì)量相同的小球

在兩圓錐內(nèi)壁等高處做勻速圓周運(yùn)動，下列說法正確的是（）

A.Z、5球受到的支持力之比為加：3

B.48球的向心力之比為加：1

C.A,8球運(yùn)動的角速度之比為3：1

D.45球運(yùn)動的線速度之比為1：1

解析：CD設(shè)小球受到的支持力為N,向心力為G有Nsin6=機(jī)g,則M：

NB=51,選項(xiàng)A錯誤；因4黑，則或：33：1,選項(xiàng)B錯誤；小球運(yùn)

動軌道高度相同，則半徑R=〃tan仇處：見=1：3,由尸=機(jī)①2火得o/：%=3：1,

選項(xiàng)C正確；由?；鸬秘埃?=1：1,選項(xiàng)D正確。

9.（離心運(yùn)動）（多選）如圖所示為波輪式洗衣機(jī)的工作原理示意圖，當(dāng)甩衣桶在

電機(jī)的帶動下高速旋轉(zhuǎn)時，衣服緊貼在甩衣桶器壁上,從而迅速將水甩出。衣服（帶

水，可視為質(zhì)點(diǎn)）質(zhì)量為機(jī)，衣服和器壁間的動摩擦因數(shù)約為〃，甩衣桶的半徑為

,洗衣機(jī)的外桶的半徑為凡當(dāng)角速度達(dá)到00時，衣服上的水恰好被甩出，假設(shè)

滑動摩擦力和最大靜摩擦力相等，重力加速度為g,則下列說法正確的是（）

A.衣服（帶水）做勻變速曲線運(yùn)動

B.電動機(jī)的角速度至少為時，衣服才掉不下來

N卬

C.當(dāng)①=雨時，水滴下落高度g打到外桶上

2①o'r2

D.當(dāng)。=。0時，水滴下落高度人^^2匕打到外桶上

2002r2

解析：BD衣服（帶水）做變速曲線運(yùn)動，因?yàn)槠湎蛐募铀俣纫彩亲兓?，A

錯誤；在豎直方向，根據(jù)平衡條件有掰g=〃網(wǎng)，由于彈力提供向心力，由牛頓第

二定律有尸聯(lián)立解得①=B正確；當(dāng)①=。0時，水滴打到外桶

\l]ur

上，設(shè)水滴下落高度為人，根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律有〃=[g/2,x=t4,r2+x2=R2,/

聯(lián)立解得「心然「，C錯誤'D正確。

考點(diǎn)三豎直面內(nèi)“輕繩模型”和“輕桿模型”

------國鍵能止-------

1.輕繩模型和輕桿模型概述

在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的物體，運(yùn)動至軌道最高點(diǎn)時的受力情況可分為兩

類：一是無支撐（如球與繩連接，沿內(nèi)軌道的“過山車”等），稱為“輕繩模型”；

二是有支撐（如球與桿連接，小球在彎管內(nèi)運(yùn)動等），稱為“輕桿模型”。

2.兩類模型對比

比較項(xiàng)目輕繩模型輕桿模型

門繩\H

情景圖示BCD

彈力可能向下，可能向上，也

彈力特征彈力可能向下，也可能等于零

可能等于零

受力示一夕w一

%一抨

mgmgmgmgmg

意圖00000

,展

力學(xué)方程mg+F^—m-mg±F^=m一

rr

FT=O,即mg=m一,得l/=0,即下向=0,此時人=

臨界特征r

mg

網(wǎng)表現(xiàn)為拉力還是支持力的

物體能否過最高點(diǎn)的臨界點(diǎn)

的意義臨界點(diǎn)

維度1輕繩模型

EE如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為機(jī)的小球，在豎直平面內(nèi)做

圓周運(yùn)動（不計一切阻力），小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時繩對小球的拉力為尸，小球在最

高點(diǎn)的速度大小為％其Fj圖像如圖乙所示，則（）

A.輕質(zhì)繩長為。

a

B.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹閺?qiáng)

a

C.當(dāng)j=c時，輕質(zhì)繩的拉力大小為華+a

D

D.只要展》從小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時繩的拉力差均為6a

解析：D小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，對小球受力分析，由牛頓第二定律有尸十

能g="d，可得尸="￥一能g,可知圖線斜率為左=?=?，可得輕質(zhì)繩長為/=與小

IIIba

故A錯誤；由圖像可知縱軸上截距的絕對值為a=冽g,則有g(shù)=且，故B錯誤；

m

由圖像可知尸="一a,故當(dāng)展=c時，有F音一a,故C錯誤；從最高點(diǎn)到最

bb

低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒有2mgi2-g加d，在最低點(diǎn)對小球受力分析，由牛頓

I2

第二定律有戶一機(jī)g=:—,聯(lián)立可得小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時繩的拉力差為尸

—F=6mg=6a,故D正確。故選D。

維度2輕桿模型

EE（多選）如圖所示，輕桿一端與一小球相連，另一端連在光滑固定軸上,

可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。小球在豎直平面內(nèi)恰好能做完整的圓周運(yùn)動，已知小

球質(zhì)量為根，桿長為3重力加速度為g,不計空氣阻力。下列說法正確的是（）

,「-7-、、、

/輕'、'

:':桿;

I1

、I

\'

\/

'、~--/

A.小球在最高點(diǎn)時，小球的速度大小為'癡L

B.小球在最低點(diǎn)時，小球的速度大小為\l^gL

C.小球在最低點(diǎn)時，桿對小球的作用力大小為5mg

D.當(dāng)桿處于水平位置時，桿對小球的作用力大小為2mg

解析：CD小球在豎直平面內(nèi)恰好能做完整的圓周運(yùn)動，則小球在最高點(diǎn)的

速度恰好為零，A錯誤；從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)對小球應(yīng)用動能定理可得機(jī)g-2￡=

g機(jī)展，解得k2喜，B錯誤；最低點(diǎn)對小球受力分析，由牛頓第二定律有尸一

mg=~,解得尸=5根g,C正確；從最高點(diǎn)到水平位置對小球應(yīng)用動能定理可得

L

1加/2

mgL=^mtA2,由牛頓第二定律有￡=二］，解得尸1=2根g,D正確。故選CD。

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

10.（輕繩模型）如圖所示，一質(zhì)量為機(jī)=0.5kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），用長為

0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，g=10m/s2,下列說法不正確的是

V

A.小球要做完整的圓周運(yùn)動，在最高點(diǎn)的速度至少為2m/s

B.當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時，輕繩拉力為15N

C.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4也m/s

D.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4m/s

解析：D設(shè)小球通過最高點(diǎn)時的最小速度為外，則根據(jù)牛頓第二定律有機(jī)g

/、

=m一,解得k&=2m/s,故A正確；當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為/i=4m/s時，設(shè)

%

輕繩拉力大小為尸r,根據(jù)牛頓第二定律有尸r+機(jī)g=/?—,解得尸r=15N,故B

正確；小球在軌跡最低點(diǎn)處速度最大，此時輕繩的拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律

2

有尸Tm一機(jī)＞解得％=4/m/s,故C正確，D錯誤。

n.（輕桿模型）如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，內(nèi)

側(cè)壁半徑為凡小球半徑為八則下列說法正確的是（）

A.小球通過最高點(diǎn)時的最小速度Knin='\/g（7?+r）

B.小球通過最高點(diǎn)時的最小速度Knin=yIgR

C.小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力

D.小球在水平線而以上的管道中運(yùn)動時，外側(cè)管壁對小球一定有作用力

解析：C在最高點(diǎn)，由于外管或內(nèi)管都可以對小球產(chǎn)生彈力作用，當(dāng)小球

的速度等于0時，內(nèi)管對小球產(chǎn)生彈力，大小為機(jī)g,故最小速度為0,A、B錯

誤；小球在水平線仍以下管道中運(yùn)動，由于沿半徑方向的合力提供小球做圓周運(yùn)

動的向心力，所以外壁對小球一定有作用力，而內(nèi)壁對小球一定無作用力，C正

確；小球在水平線仍以上管道中運(yùn)動時，由于重力有指向圓心的分力，所以彈力

可以背離圓心，也可以指向圓心，D錯誤。

限時規(guī)范訓(xùn)練15

［基礎(chǔ)鞏固題組］

1.在東北嚴(yán)寒的冬天，人們經(jīng)常玩一項(xiàng)“潑水成冰”的游戲，具體操作是把

一杯開水沿弧線均勻快速地潑向空中。圖甲所示是某人玩“潑水成冰”游戲的瞬

間，其示意圖如圖乙所示。潑水過程中杯子的運(yùn)動可看成勻速圓周運(yùn)動，人的手

臂伸直，在0.5s內(nèi)帶動杯子旋轉(zhuǎn)了210。，人的臂長約為0.6m。下列說法正確

的是（）

\'I

、、、、、、\\'II/

二

-二歲即

,',z

/

甲乙

A.潑水時杯子的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r針方向

B.P位置飛出的小水珠初速度沿1方向

C.杯子在旋轉(zhuǎn)時的角速度大小為§rad/s

D.杯子在旋轉(zhuǎn)時的線速度大小約為個m/s

解析：D由圖乙中做離心運(yùn)動的軌跡可知，杯子的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r針方向，

尸位置飛出的小水珠初速度沿2方向，故AB錯誤；杯子旋轉(zhuǎn)的角速度為。=為

△t

7

=￡rad/s=7"rad/s,故C錯誤；杯子旋轉(zhuǎn)的軌跡半徑約為0.6m,則線速度大

0.53

小約為l/=a>R=^XQ.6m/s=-^m/s,故D正確。故選D。

35

2.如圖所示為一種新型壓路機(jī)，最前面的大滾筒甲的半徑是車身乙輪半徑的

1.5倍，圖中〃、N分別為甲、乙輪邊緣上的兩點(diǎn)。若車行進(jìn)時輪與路面沒有滑動,

則（）

李號連接桿大滾筒

N乙甲

A.M點(diǎn)的線速度比N點(diǎn)的線速度大

B.N點(diǎn)的向心加速度是拉點(diǎn)的向心加速度的1.5倍

C.甲、乙兩輪轉(zhuǎn)動的周期相等

D.甲輪的角速度比乙輪的角速度大

解析：B因?yàn)檐囆羞M(jìn)時輪與路面沒有滑動，所以初點(diǎn)的線速度與N點(diǎn)的線

速度大小相等，故A錯誤；根據(jù)a="可知N、M兩點(diǎn)向心加速度之比為效=4

rCIMr乙

9.7TFTy

=1.5,故B正確；根據(jù)T=——可知甲、乙兩輪轉(zhuǎn)動的周期之比為L=2=I.5,

,T乙外乙

故C錯誤；根據(jù)。=號可知甲、乙兩輪的角速度之比為處=乙==,即。甲乙，

T①乙T甲3

故D錯誤。故選B。

3.（2023?全國甲卷）一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，若其所受合力的大小與軌道半徑

的〃次方成正比，運(yùn)動周期與軌道半徑成反比，則〃等于（）

A.lB.2

C.3D.4

解析：C質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)題意設(shè)周期7=&合外力等于向心力，

r

根據(jù)/臺=居=優(yōu)駕廠，聯(lián)立可得居=塔己其中喑2為常數(shù)，升的指數(shù)為3,故

1KK

題中〃=3,故選C。

4.如圖所示，一根細(xì)線下端拴一個金屬小球。，細(xì)線穿過小孔（小孔光滑）另一

端連接在金屬塊尸上，尸始終靜止在水平桌面上，若不計空氣阻力，小球在某一

水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動（圓錐擺）。實(shí)際上，小球在運(yùn)動過程中不可避免地受到

空氣阻力作用。因阻力作用，小球。的運(yùn)動軌跡發(fā)生緩慢的變化（可視為一系列

半徑不同的圓周運(yùn)動）。下列判斷正確的是（）

A.小球。的位置越來越高

B.細(xì)線的拉力減小

C.小球0運(yùn)動的角速度增大

D.金屬塊尸受到桌面的靜摩擦力增大

解析：B由于小球受到空氣阻力作用，線速度減小，則所需要的向心力減

小，小球做近心運(yùn)動，小球的位置越來越低，故A項(xiàng)錯誤；設(shè)小孔下面細(xì)線與豎

直方向的夾角為仇細(xì)線的拉力大小為尸T,細(xì)線的長度為乙當(dāng)小球做勻速圓周

運(yùn)動時，由重力和細(xì)線的拉力的合力提供向心力，則有尸?=上三，mgtan0=

m-^=mco2Lsm0,解得。=A,由于小球受到空氣阻力作用，線速度

Lsin/9Leos8

減小，。減小，cos。增大，因此細(xì)線的拉力尸r減小，角速度①減小，故B項(xiàng)正確，

C項(xiàng)錯誤；對金屬塊P,由平衡條件知，尸受到桌面的靜摩擦力大小等于細(xì)線的

拉力大小，則靜摩擦力減小，故D項(xiàng)錯誤。

5.如圖所示，半徑為R的半球形容器固定在水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺繞過容器球心

。的豎直軸線以角速度o勻速轉(zhuǎn)動。質(zhì)量不同的小物塊4B隨容器轉(zhuǎn)動且相對器

壁靜止，48和球心。點(diǎn)連線與豎直方向的夾角分別為a和同a叫，則（）

A.A的質(zhì)量一定小于8的質(zhì)量

B.Z、8受到的摩擦力可能同時為零

C.若Z不受摩擦力，則8受沿容器壁向上的摩擦力

D.若。增大，A,8受到的摩擦力可能都增大

解析：D當(dāng)8受到的摩擦力恰為零時，受力分析如圖；根據(jù)牛頓第二定律

S

得機(jī)gtan￡=M°B2RsinA解得①B=AIn@二，同理可得o4=A/n一，物塊轉(zhuǎn)

\lReospVKcosa

動角速度與物塊的質(zhì)量無關(guān)，所以無法判斷物塊質(zhì)量的大小，故A錯誤；由于aM，

所以①4。B,即48受到的摩擦力不可能同時為零，故B錯誤；若Z不受摩擦

力，此時轉(zhuǎn)臺的角速度為。=必>則8物塊有向上的運(yùn)動趨勢，所以此時8

受沿容器壁向下的摩擦力，故C錯誤；如果轉(zhuǎn)臺的角速度0>,,Z和5均受沿

容器壁向下的摩擦力，如果①增大，幺、8受到的摩擦力都增大，故D正確。

6.如圖所示，一個半徑為5m的圓盤正繞其圓心勻速轉(zhuǎn)動，當(dāng)圓盤邊緣上的

一點(diǎn)N處在如圖所示位置的時候，在其圓心正上方20m的高度有一個小球(視為

質(zhì)點(diǎn))正在向邊緣的Z點(diǎn)以一定的速度水平拋出，取g=10m/s2,不計空氣阻力，

要使得小球正好落在Z點(diǎn)，則()

(A

A.小球平拋的初速度一定是2.5m/s

B.小球平拋的初速度可能是2.5m/s

C.圓盤轉(zhuǎn)動的角速度一定是7irad/s

D.圓盤轉(zhuǎn)動的加速度大小可能是序m/s2

解析：A根據(jù)〃=；g/2可得/=1^=2s,則小球平拋的初速度以=；=2.5

m/s,A正確，B錯誤；根據(jù)O/=2〃兀(〃=1,2,3,…)，解得圓盤轉(zhuǎn)動的角速度①

=^^=〃兀rad/s(〃=1,2,3,…)，圓盤轉(zhuǎn)動的加速度大小為口=027=〃2712r=5/兀2

m/s2(M=l,2,3,???),C、D錯誤。

7.如圖所示，一小球以一定的初速度從圖示位置進(jìn)入光滑的軌道，小球先進(jìn)

入圓軌道1,再進(jìn)入圓軌道2,圓軌道1的半徑為凡圓軌道2的半徑是軌道1的

1.8倍，小球的質(zhì)量為m,若小球恰好能通過軌道2的最高點(diǎn)瓦則小球在軌道1

上經(jīng)過其最高點(diǎn)A時對軌道的壓力大小為（重力加速度為g）（）

A.2mgB3mg

CAmgD.5mg

解析：C小球恰好能通過軌道2的最高點(diǎn)8時，有加g=—，小球在軌道

L8R

1上經(jīng)過其最高點(diǎn)幺時，有外+加g="U_,根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有1.6mgR=

R

聯(lián)立解得/，N=4加g,結(jié)合牛頓第三定律可知，小球在軌道1上經(jīng)

過其最高點(diǎn)/時對軌道的壓力大小為4加g,C正確。

8.如圖所示，輕桿長3L在桿兩端分別固定質(zhì)量均為加的球/和8,光滑水

平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球N為￡處的。點(diǎn)，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平

面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球8運(yùn)動到最高點(diǎn)時，桿對球8恰好無作用力。忽略空氣阻力，則球

3在最高點(diǎn)時（）

A.球B的速度為零

B.球Z的速度大小為/gZ

C.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5加g

D.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg

解析：C球6運(yùn)動到最高點(diǎn)時，桿對球8恰好無作用力，即重力恰好提供

2

向心力，有機(jī)g=m一,解得片初￡,故A錯誤；由于N、8兩球的角速度相等,

由可知，球